Kmitání. tuhost pružiny, kmitání vlastní netlumené a tlumené, řazení pružin, ohybové kmitání. asi 1,5 hodiny

Transkript

1 Kitání Dynaia I,. přednáša Obsah přednášy : tuhost pružiny, itání vlastní netluené a tluené, řazení pružin, ohybové itání Doba studia : asi,5 hodiny íl přednášy : seznáit studenty se záladníi záonitosti itavého pohybu

2 Kitání Dynaia I,. přednáša S itavý pohybe se setáváe doslova na aždé rou. Koná jej struna hudebního nástroje, stožár eletricého vedení nebo třeba hřídel otoru. Podínou vzniu itavého pohybu je pružné uložení hotného objetu. Pojy hota a hotnost se zabýváe po celou Dynaiu a nebudee je tedy zde podrobněji rozebírat. Zaěříe se na vysvětlení pojů pružný, poddajný a tuhost. Poddajnost (nebo pružnost) je schopnost ěnit tvar pod vlive sil. Ačoliv tuto vlastnost ají všechny reálné ateriály, doposud jse ji nebrali v úvahu. Naopa zabývali jse se tzv. echaniou absolutně tuhých těles. Je-li deforace, způsobená silai, veli alá ve srovnání s rozěry tělesa, ůže být předpolad absolutně tuhého tělesa přijatelný. (Poje absolutně tuhé těleso byl zíněn na první přednášce.) hcee-li se vša zabývat itání, bez uvažování poddajnosti se neobejdee. Kvantitativně tuto vlastnost ateriálu obvyle vyjadřujee veličinou, zvanou tuhost (převrácená hodnota poddajnosti).

3 Dynaia I,. přednáša tuhost Představe si vinutou spirálovou pružinu, na jedno onci zavěšenou a na druhé onci zatíženou silou. Vlive této síly se pružina prodlouží o délu Δl : φd φd Δl -tuhost pružiny Anebo naopa : Zde : 3 8 D n Δl 4 G d 4 G d 8 D n 3 Δl G - odul pružnosti ve syu [Pa, MPa], vlastnost ateriálu, d -průěr drátu, z něhož je pružina svinuta [, ], D -průěr celé pružiny [, ], n -počet závitů pružiny [-]. Poznáa : Vzorec sá není v tuto chvíli důležitý. Lze jej nalézt v libovolných technicých tabulách a bylo by plýtvání ozovou apacitou učit se jej zpaěti. Slouží ná lepšíu pochopení poju tuhost.

4 Dynaia I,. přednáša tuhost Představe si vinutou spirálovou pružinu, na jedno onci zavěšenou a na druhé onci zatíženou silou. Vlive této síly se pružina prodlouží o délu Δl : φd φd -tuhost pružiny Δl Anebo naopa : 3 8 D n Δl 4 G d 4 G d 8 D n 3 Zavedee-li substituci : 4 G d 3 8 D n ůžee jednoduše psát : Δl nebo Δl Δl Zde tuhost vyjadřuje poěr ezi silou a deforací. Δl Tuhost je vlastnost pružiny, závislá na ateriálu a rozěrech pružiny. -tuhost [N/, N/] Poznáa : Závislost síly a deforace Δl je lineární, avša jen v oezené rozsahu. Budee-li pružinu napínat víc a více, nejprve se závislost stane nelineární, pa se pružina natáhne, přestane být pružinou a stane se dráte. Naonec prasne. N, N

5 Dynaia I,. přednáša tuhost Představe si vinutou spirálovou pružinu, na jedno onci zavěšenou a na druhé onci zatíženou silou. Vlive této síly se pružina prodlouží o délu Δl : -tuhost pružiny Dále si připoenee záon ace a reace. Síla (zde odrá) je vnější ační silou, působící na pružinu. Proti ní působí stejně velá, opačně orientovaná reační síla (zde červená) - tzv. direční síla D. I pro direční sílu tedy platí : D Δl Direční síla je odezva pružiny na deforaci. D Δl

6 Dynaia I,. přednáša tuhost Představe si vinutou spirálovou pružinu, na jedno onci zavěšenou a na druhé onci zatíženou silou. Vlive této síly se pružina prodlouží o délu Δl : Při deforaci pružiny působí síla na dráze Δl, oná tedy práci. Tato práce určuje potenciální energii deforované pružiny. -tuhost pružiny D y (y) y Zatí jse se seznáili s potenciální energií ve forě polohové energie E P g h. Deforací je v pružině rovněž auulovaná potenciální energie, jejíž veliost je rovna vyonané práci. Protože je spojena s deforací, bývá nazývána deforační energie. Při výpočtu nesíe zapoenout na sutečnost, že tažná síla není onstantní. K natažení pružiny o první ilietr je zapotřebí jen veli alé síly. K natažení o druhý ilietr je zapotřebí již poněud větší síly,..., teprve na onci natahování dosahuje síla onečné hodnoty : Δl

7 Dynaia I,. přednáša tuhost Představe si vinutou spirálovou pružinu, na jedno onci zavěšenou a na druhé onci zatíženou silou. Vlive této síly se pružina prodlouží o délu Δl : Je-li : pa práce je : -tuhost pružiny D y (y) y A anebo, je-li : pa práce je : Δl ( y) dy y Δl y dy A Δl Δl Δl Potenciální deforační energie natažené (nebo též stlačené) pružiny tedy je : E P Δl Pozornéu čtenáři jistě neunine že výraz ½ Δl představuje plochu trojúhelnía, lineární závislosti síly na prodloužení Δl. A Δl

8 Dynaia I,. přednáša druhy itání Kitavý pohyb budee rozlišovat podle dvou ritérií. I. Volné (vlastní) itání. Při itání na těleso nepůsobí žádná vnější síla. Volný neboli vlastní itání itá napřílad houpača s dítěte (sedí-li toto nehnutě), nebo ytarová struna poté co ji ytarista rozezní. Vynucené itání je neustále buzeno vnější působící silou. Vynucený itání itá např. nevyvážený rotor nebo prača v režiu ždíání - itání je neustále buzeno odstředivou silou.

9 druhy itání Kitavý pohyb budee rozlišovat podle dvou ritérií. II. Netluené itání není žádný fyziální jeve brzděno - tlueno. Trvá neustále. Dynaia I,. přednáša Tluené itání je nějaý fyziální jeve brzděno - tlueno. Postupně vyizí. Poznáa : Toto rozlišení je uělé. Ve sutečnosti neeistuje netluené itání, ve sutečnosti je aždé itání tluené. Poud vša je tluení alé, pa jej zanedbáváe a luvíe (trochu nepřesně) o netluené itání. hustá, visózní apalina

10 druhy itání Kitavý pohyb budee rozlišovat podle dvou ritérií. Budee se tedy zabývat : Vlastní netluený itání. Vlastní tluený itání. Vynucený itání tluený i netluený. Dynaia I,. přednáša itání netluené tluené vlastní vynucené Konečně dodeje že se budee zabývat lineární itání s jední stupně volnosti. Nelineární itání a itání s více stupni volnosti přesahují rozsah těchto přednáše.

11 vlastní netluené itání D v, a Dynaia I,. přednáša Uvažuje těleso (absolutně tuhé) o hotnosti, vázané ráu pružinou o tuhosti (zanedbatelné hotnosti), teré á ožnost pohybu (bez tření) ve vodorovné sěru (souřadnice, rychlost v a zrychlení a). Při vychýlení na ně působí direční síla D proti sěru vychýlení. Pohybová rovnice je : a a Provedee substituci : Ω Naleznee řešení pohybové rovnice - lineární diferenciální rovnice II. řádu, hoogenní. sin v & a && ( Ω t + φ ) Ω cos( Ω t + φ ) Ω sin( Ω t + φ ) sin( Ω t + φ ) + [ Ω ] ( ) Zde : Ω je vlastní ruhová frevence [s - ], a φ jsou integrační onstanty [, -], jejichž hodnotu určíe z počátečních podíne. sin Ω t + φ [ ] D & + i

12 vlastní netluené itání Dynaia I,. přednáša Kitavý pohyb je vantitativně popsán dvěa supinai paraetrů. Paraetry, vyplývající ze substituce : sin T ( Ω t + φ ) T Δt φ /Ω T v, a t Ω Ω f π π T f Ω vlastní ruhová frevence [s - ] Integrační onstanty : aplituda [] fázový posuv [rad] φ vlastní frevence [Hz] počet itů za seundu perioda [s] doba jednoho itu Určíse z počátečních podíne : t... -počáteční výchyla, vv -počáteční rychlost. v sin Ω ( φ ) cos( φ ) + v Ω φ arctan Ω v

13 vlastní netluené itání ( Ω + φ ) Integrační onstanty pa jsou : sin t v, a Časový průběh itání lze též popsat alternativně : sin( Ω t + φ ) A cos( Ω t) + B sin( Ω t) de : A sin φ B cos φ sin sin ( Ω t + φ ) ( φ ) cos( Ω t) + cos( φ ) sin( Ω t) A Ω sin( Ω t) + B Ω ( Ω t) & v cos t... -počáteční výchyla, vv -počáteční rychlost. A v B Ω A onečně : A + B v A B Ω A φ arctan B Dynaia I,. přednáša Kitavý pohyb je vantitativně popsán dvěa supinai paraetrů. Paraetry, vyplývající ze substituce : Ω Ω f π π T f Ω vlastní ruhová frevence [s - ] Integrační onstanty : aplituda [] fázový posuv [rad] φ vlastní frevence [Hz] počet itů za seundu perioda [s] doba jednoho itu Určíse z počátečních podíne : t... -počáteční výchyla, vv -počáteční rychlost. v + sin Ω v Ω ( φ ) cos( φ ) φ Ω arctan v

14 vlastní netluené itání sin T ( Ω t + φ ) T Δt φ /Ω T v, a Časový průběh itání lze též popsat alternativně : sin( Ω t + φ ) A cos( Ω t) + B sin( Ω t) de : A sin φ B cos φ v Integrační onstanty pa jsou : A B Ω A A onečně : A + B φ arctan B t Dynaia I,. přednáša Kitavý pohyb je vantitativně popsán dvěa supinai paraetrů. Paraetry, vyplývající ze substituce : Ω Ω f π π T f Ω vlastní ruhová frevence [s - ] Integrační onstanty : aplituda [] fázový posuv [rad] φ vlastní frevence [Hz] počet itů za seundu perioda [s] doba jednoho itu Určíse z počátečních podíne : t... -počáteční výchyla, vv -počáteční rychlost. v + sin Ω v Ω ( φ ) cos( φ ) φ Ω arctan v

15 vlastní netluené itání sin T ( Ω t + φ ) T Δt φ /Ω T v, a Časový průběh itání lze též popsat alternativně : sin( Ω t + φ ) A cos( Ω t) + B sin( Ω t) de : A sin φ B cos φ v Integrační onstanty pa jsou : A B Ω A A onečně : A + B φ arctan B t Dynaia I,. přednáša Poznáa funci arctan. unce arctan á vždy dva ořeny. Např. : arctan(,5) 6,6º ale též : arctan(,5) 6,6º Nebo : arctan(-) -45º ale též : arctan(-) 35º Pozornéu čtenáři je jistě zřejé že oba ořeny jsou vůči sobě posunuty vždy o 8º. Každá alulača je naprograovaná ta, že vrací ten z obou ořenů, terý leží v intervalu -9º,9º. To vša neusí být správný výslede. O to, terý výslede je správný, rozhoduje znaéno čitatele A a jenovatele B. φ A> A< B< 9º,8º φ B A B>,9º 8º,7º 7º,36º

16 vlastní netluené itání Dynaia I,. přednáša Elegantní (i dyž poněud aadeicý) přílade vlastního itání je ateaticé, resp. fyziální yvadlo. (Uožňuje ná též přirozeně naznačit probleatiu nelineárního itání.) Mateaticé yvadlo (idealizace sutečného yvadla) lze charaterizovat jao hotný bod na nehotné závěsu. Hotný bod o hotnosti (zanedbatelných rozěrů) ω,ε r na nehotné závěsu dély r (zanedbatelné hotnosti). S (Další idealizace spočívá v zanedbání pasivních odporů.) φ a n a (Poje zanedbatelný je relativní. Je-li něco zanedbatelné, t pa to není zanedbatelné absolutně, ale relativně vůči něčeu. Zde rozěry hotného bodu jsou zanedbatelné vůči délce závěsu, naopa hotnost závěsu je zanedbatelná vůči hotnosti bodu.) G Oažitá poloha yvadla je dána úhle φ od svislice závěsu, ineaticé paraetry pa jsou úhlová rychlost ω a úhlové zrychlení ε. Bod se pohybuje po ruhové trajetorii a á tečné zrychlení a t a norálové zrychlení a n. a t r ε a r ω n ω φ& ε && φ Na bod působí tíhová síla G a tahová síla v závěsu S (reace).

17 vlastní netluené itání Dynaia I,. přednáša Elegantní (i dyž poněud aadeicý) přílade vlastního itání je ateaticé, resp. fyziální yvadlo. (Uožňuje ná též přirozeně naznačit probleatiu nelineárního itání.) Pro obě složy zrychlení platí. Newtonův záon : φ ω,ε S G a n r a t a Při běžných technicých požadavcích na přesnost je tato linearizace přijatelná přibližně do rozitu φ ±5º. t _ G sin φ Po úpravě á pohybová rovnice tvar : r ε g sin φ resp. : r ε + g sin φ r φ && + g sin φ t i a S G cos φ n n _ i Tato rovnice není sutečnou pohybovou rovnicí. Po úpravě z ní lze vyjádřit sílu v závěsu : S G cos φ + r ω Pohybová rovnice je nelineární diferenciální rovnicí II. řádu. Jde o typicý přílad nelineárního itání. Pro alý úhel φ lze přibližně linearizovat : sinφ φ. Pro ilustraci : φ [º] º 5º 5º sin φ,745,8756,5889 φ [rad],7453,8766,6799 chyba,5 %,3 %,5 %

18 vlastní netluené itání Dynaia I,. přednáša Elegantní (i dyž poněud aadeicý) přílade vlastního itání je ateaticé, resp. fyziální yvadlo. (Uožňuje ná též přirozeně naznačit probleatiu nelineárního itání.) Po linearizaci á pohybová r & φ rovnice tvar : + g φ ω,ε Z hledisa ateatiy á pohybová rovnice stejný charater r jao pohybová rovnice hotného bodu na pružině. S & + r & φ + g φ φ a n a t G Počáteční podíny jsou : t... φ φ počáteční úhel ω ω počáteční úhlová rychlost Řešení je tedy analogicé : sin ( Ω t + γ ) φ sin( Ω t + γ ) Ω γ v + Ω Ω arctan v ruhová frevence aplituda fázový posuv Ω γ g r φ ω + Ω φ Ω arctan ω

19 vlastní netluené itání Dynaia I,. přednáša Elegantní (i dyž poněud aadeicý) přílade vlastního itání je ateaticé, resp. fyziální yvadlo. (Uožňuje ná též přirozeně naznačit probleatiu nelineárního itání.) yziální yvadlo je reálné těleso určitých rozěrů. Těleso á hotnost, oent setrvačnosti ( závěsnéu bodu) je I, vzdálenost těžiště od závěsného bodu je r. ω,ε r (I v toto případě zanedbáe pasivní odpory.) Pohybová rovnice je pohybovou rovnicí rotačního pohybu : φ I ε G r sin φ I ε + G r sin φ T, I I φ && + G r sin φ a po linearizaci sinφ φ (viz též ateaticé yvadlo) : G I & φ + G r φ I tato pohybová rovnice je analogicá pohybové rovnici hotného bodu na pružině : & + I & φ + G r φ Ω Ω G r I Řešení je tedy analogicé : sin ( Ω t + γ ) φ sin( Ω t + γ )

20 vlastní tluené itání D b B b v v, a Tluení se projevuje ta, že proti sěru rychlosti působí tzv. tluící síla B. Její veliost ůže být různá podle fyziální příčiny tluení. Nejčastější druhy tluení vyvolávají tluící sílu závislou na rychlosti a to buď lineárně nebo vadraticy. Dále provedee řešení itavého pohybu při lineární, tzv. visózní tluení, dy tluící síla je přío úěrná rychlosti B b v, de b je tzv. oeficient tluení. Kroě tluící síly na těleso působí, stejně jao u netlueného itání, direční síla D. Dynaia I,. přednáša Ja již bylo zíněno, aždý reálný itavý pohyb je vždy tluený a dříve či později se zastaví. Příčin tluení ůže být více. Např. pohyb v odporující prostředí (vzduch, apalina). S tluení je spojena saotná deforace ateriálu (pružiny), při níž dochází přeěně alého nožství echanicé energie na energii tepelnou. Touto druhu tluení říáe ateriálové tluení a je tařa všudypřítoné. Příčinou tluení ůže být i technicé zařízení - tluič, taový, jaý znáe třeba z autoobilu. Sybolicé znázornění tluení právě připoíná tluič. Musíe jej vša chápat pouze jao znázornění fatu že tluení je přítono. Jeho příčinou neusí být vždy technicé zařízení.

21 vlastní tluené itání D b B b v v, a δ t Řešení : e sin( Ω t + φ ) δ t v & e [ Ω cos( Ω t + φ ) δ sin( Ω t + φ )] Zde : Dynaia I,. přednáša Pohybová rovnice : Substituce : a a D i && + b & + Ω vlastní ruhová frevence netlueného itání [s- ] (v řešení není přío obsažena) b δ onstanta doznívání [s - ] Ω Ω δ vlastní ruhová frevence tlueného itání [s - ] b Ω δ B f T Ω π f π Ω vlastní frevence [Hz] počet itů za seundu perioda [s] doba jednoho itu

22 vlastní tluené itání D b B b v v, a δ t Řešení : e sin( Ω t + φ ) δ t v & e [ Ω cos( Ω t + φ ) δ sin( Ω t + φ )] Zde : Dynaia I,. přednáša Pohybová rovnice : Substituce : a a D i && + b & + Ω vlastní ruhová frevence netlueného itání [s- ] (v řešení není přío obsažena) b δ onstanta doznívání [s - ] Ω Ω δ vlastní ruhová frevence tlueného itání [s - ] b Ω δ Je zřejé, že hodnota Ω ůže být reálná (je-li Ω >δ) ale též iaginární (je-li Ω <δ). V první případě luvíe o tzv. podriticé tluení. Touto druhu itání bude věnován celý další výlad. Ve druhé případě luvíe o tzv. nadriticé tluení. V toto případě se vůbec nerozvine itání a pohyb se utluí dříve, než by nastal první celý it. B

23 vlastní tluené itání D b B b v v, a δ t Řešení : e sin( Ω t + φ ) δ t v & e [ Ω cos( Ω t + φ ) δ sin( Ω t + φ )] Dynaia I,. přednáša Pohybová rovnice : Substituce : a a D i && + b & + b Ω δ Konečně a φ jsou integrační onstanty, jejichž hodnotu určíe z počátečních podíne : t... -počáteční výchyla, vv -počáteční rychlost. de : Časovou závislost výchyly a rychlosti lze vyjádřit alternativně : e δ t v & e A [ A cos( Ω t) + B sin( Ω t) ] δ t [ ( B Ω A δ) cos( Ω t) ( B δ + A Ω) sin( Ω t) ] sin φ B cos φ A Integrační onstanty pa jsou : v + A B Ω δ sin ( φ ) v [ Ω cos( φ ) δ sin( φ )] v jsou alternativní integrační onstanty. B Ω A δ A + B φ arctan B A B

24 vlastní tluené itání T perioda e D b B b v δ t e sin( Ω t + φ ) δ t v, a Dynaia I,. přednáša Časový průběh výchyly je sinusova s eponenciálně lesající aplitudou. Na průběhu je bezprostředně vidět perioda T a fázový posuv φ. Naopa integrační onstanta na průběhu sinusovy patrná není. Kroě saotného průběhu výchyly (odrá sinusova) je zajíavý též průběh eponenciální obály e -δ t (červená). Δt φ /Ω t

25 vlastní tluené itání D Dynaia I,. přednáša e e b B b v δ t δ t v, a T tt t3 T t5 T 37% 5% δ časová onstanta tečna δ,; T δ,8; T,5 t 5 5 t t,7% alé tluení - poalý poles, velé tluení - rychlý poles. Kroě saotného průběhu výchyly (odrá sinusova) je zajíavý též průběh eponenciální obály e -δ t (červená). V čase t á hodnotu rovnou integrační onstantě. Konstanta doznívání δ určuje rychlost polesu eponenciály. Její převrácená hodnota je tzv. časová onstanta T/δ (neplésti si s periodou!). V čase rovné jedno, troj nebo pětinásobu časové onstanty lesá hodnota na 37%, 5% nebo,7% počáteční hodnoty. Pozor! Zde T je časová onstanta (ne perioda!)

26 sládání pružin Dynaia I,. přednáša V technicé prai se často setáe s obinování a různý sládání pružných členů. Proto je třeba uět správně stanovit výslednou tuhost pružného uložení. Uážee si dva záladní způsoby sládání pružných členů.

27 sládání pružin paralelní spojení (vedle sebe) D D Δl D D Δl Δl D + D Δl + Δl ( + ) Δl Δl + Dynaia I,. přednáša Δl Dvěa pružinai o tuhostech a je ráu vázána desa, na niž působí síla. Síla způsobí prodloužení obou pružin o shodnou délu Δl. V pružinách vzninou direční síly D a D. Jejich prostý součet usí být v rovnováze se silou. elová tuhost dvou paralelně spojených pružin je rovna prostéu součtu tuhostí obou pružin. paralelní spojení deforace Δl je pro obě pružiny společná, direční síly D a D se sčítají

28 sládání pružin sériové spojení deforace Δl se sčítají, direční síly obou pružin D a D jsou stejná Dynaia I,. přednáša sériové spojení (za sebou) Dvě pružiny o tuhostech a jsou spojeny ta, že druhá je připojena první, na druhou pa působí síla. Vlive této síly se obě pružiny prodlouží o deforaci Δl resp. Δl (aždá jina). V obou natažených pružinách l +Δl dále vzniají direční síly D a D. D Δl D Δl D Neboli : D D Δl Δl Z rovnováhy sil v bodě spojení obou pružin, D resp. v ístě působení síly, vyplývá : D D l +Δl elovou deforaci obou pružin D Δl Δl +Δl Δl ůžee vyjádřit jao součet : D D Δl Δl + Δl + Nebo po vyrácení D D : + Δl

29 sládání pružin sériové spojení (za sebou) D D D l +Δl l +Δl Δl Δl +Δl sériové spojení deforace Δl se sčítají, direční síly obou pružin D a D jsou stejná + Z výrazu lze saozřejě vyjádřit přío celovou tuhost. + + Nědy bývá zvye vyjadřovat poddajnost κ jao převrácenou Dynaia I,. přednáša Převrácená hodnota celové tuhosti dvou sériově spojených pružin je rovna prostéu součtu převrácených hodnot tuhostí obou pružin. hodnotu tuhosti. κ Pa platí že celová poddajnost dvou sériově spojených pružin je rovna prostéu součtu poddajností jednotlivých pružin. κ κ + κ Δl

30 sládání pružin paralelní spojení (vedle sebe) D D Δl D D Δl Δl D + D Δl + Δl ( + ) Δl Δl + Dynaia I,. přednáša Δl V lasifiaci spojení pružných členů, a následně ve výpočtu celové tuhosti, studenti často chybují. Spojení dle tohoto obrázu bývá občas, pouze pro svou vizuální podobnost, poládáno ylně za spojení sériové. Posoudíe-li vša podstatné rysy, snadno nahlédnee, že se jedná o spojení paralelní. paralelní spojení deforace Δl je pro obě pružiny společná, direční síly D a D se sčítají

31 ohybové itání R y 3 l 3 E J R ohyb ohyb ohyb 3 E J 3 l y Dynaia I,. přednáša V celé výladu jse za pružný člen, pružnou vazbu hotného objetu ráu, považovali vinutou spirálovou pružinu. To vša není zcela podínou. Pružný člene ůže být jaýoliv deforovatelný objet. Uvažuje nosní, na jedné straně doonale vetnutý, na druhé straně zatížený silou. Vlive síly se nosní prohne. Průhyb y je přío úěrný síle. Dále pa je : l - déla nosníu, E - odul pružnosti v tahu, J -průřezový oent setrvačnosti. Reací nosníu na prohnutí je síla R, stejně velá, opačně orientovaná než síla, tlačící onec nosníu vzhůru. Jde o analogii direční síly pružiny. Bude-li na onci nosníu hotný objet o hotnosti, bude se soustava chovat po všech stránách stejně jao na spirálové pružině. Vešerá uvedená odvození platí beze zěny.

32 ohybové itání Dynaia I,. přednáša Je-li pružný člene, pružnou vazbou hotného objetu ráu, ohýbaný nosní (libovolně uložený) hovoříe o ohybové itání. y R ohyb y R y 3 l 48 E J ohyb 48 E J 3 l

33 Dynaia I,. přednáša Obsah přednášy : tuhost pružiny, itání vlastní netluené a tluené, řazení pružin, ohybové itání