MATEMATIKA V MEDICÍNĚ

MATEMATIKA V MEDICÍNĚ Tomáš Oberhuber Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Matematika pro život TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉMATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 1 / 36

MAGNETICKÁ REZONANCE TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉMATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 2 / 36

MAGNETICKÁ REZONANCE - SRDCE TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉMATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 3 / 36

SEGMENTACE SRDEČNÍ KOMORY TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉMATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 4 / 36

EJEKČNÍ FRAKCE TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉMATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 5 / 36

EJEKČNÍ FRAKCE EF = EDO ESO EDO 130ml 50ml 130ml = 0.61 EF - ejekční frakce ESO - end-systolický objem EDO - end-diastolický objem u zdravého srdce je EF 50-70% hodnoty 40-50% mohou vést k srdečnímu selhání Naším cílem je vypočítat EF z dat z magnetické rezonance. TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉMATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 6 / 36

VÝPOČET EJEKČNÍ FRAKCE praxe ukazuje, že výpočet EF lze zjednodušit na zpracování jednoho řezu (snímku) srdce přístroj MR navíc sice umí provádět 3D, ale ne v plynulé animaci provedeme tzv. segmentaci levé komory v každém snímku animace spočítáme obsah odsegmentované oblasti v každém snímku za EDO dosadíme maximální hodnotu za ESO dosadíme minimální hodnotu TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉMATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 7 / 36

OBRAZOVÁ FUNKCE TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉMATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 8 / 36

OBRAZOVÁ FUNKCE TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉMATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 9 / 36

OBRAZOVÁ FUNKCE TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 10 / 36

NUMERICKÁ APROXIMACE tato funkce není dána pomocí analytických vzorečků je popsána funkční hodnotou v každém pixelu obrázku tj. 307 307 = 94249 hodnot jde o tzv. diskrétní nebo numerickou funkci při odvozování matematických modelů si ale představujeme, že tato funkce má nekonečně jemné rozlišení, tj. jako kdyby byla pořízena analogovým fotoaparátem dostaneme tak funkci I(x, y) : 0, 1 0, 1 R to nám pak umožní používat klasické nástroje jako derivace a integrály TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 11 / 36

SEGMENTACE OBRAZOVÝCH DAT jedna ze základních operací ve zpracování obrazových dat na počítači cílem je co nejpřesněji ohraničit určitý objekt(y) na obrázku nejjednodušší metodou je tzv. prahování TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 12 / 36

PRAHOVÁNÍ pokud má objekt, který nás zajímá, světlou barvu, mohu ho definovat např. jako O {(x, y) 0, 1 0, 1 I(x, y) > 0.4} TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 13 / 36

PRAHOVÁNÍ TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 14 / 36

SEGMENTACE POMOCÍ AKTIVNÍCH KŘIVEK TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 15 / 36

LEVEL-SET METODA TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 18 / 36

LEVEL-SET METODA má-li se křivka K pohybovat, její tvar se mění s časem t K(t) křivku K(t) vyjádříme takto K(t) {(x, y) 0, 1 0, 1 f(x, y, t) = 0} funkce f se také mění s časem t TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 19 / 36

DERIVACE chceme-li vyjádřit změnu funkce, použijeme k tomu derivaci pokud nás zajímá změna jen vůči jedné proměnné, jde o parciální derivaci f(x, y, t) =... t podobně i pro derivace podle x a y f(x, y, t) x f(x, y, t) y =... =... TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 20 / 36

DERIVACE - PŘÍKLAD f(x, y, t) = x 2 + y 2 t nulová vrstevnice je pak kružnice o poloměru t f(x, y, t) t f(x, y, t) x f(x, y, t) y = 1 = 2x = 2y TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 21 / 36

PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE k zadané funkci f(x, y, t) lze snadno dopočítat její parciální derivace bude nás zajímat opačná úloha tj. máme zadaný vztah mezi parciálními derivacemi a chceme najít f(x, y, t) takové, že zadání platí jde o řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR) většina fyzikálních zákonů je popsána pomocí PDR jejich řešení je velice obtížné TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 22 / 36

LEVEL-SET METODA Lze ukázat, že tato rovnice f(x, y, t) t ( f(x, ) y, t) 2 ( f(x, y, t) = V (x, y, t) + x y způsobuje změnu funkce f tak, že její nulová vrstevnice se pohybuje v každém bodě rychlostí V (x, y, t) v normálovém směru. rychlost V (x, y, t) můžeme předepsat podle našich potřeb budeme chtít, aby se křivka zmenšovala a zastavila se na hranici segmentovaného objektu musíme nějak poznat, kde tato hranice je ) 2 TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 23 / 36

DETEKCE HRAN Kasimir Malevich - Black square Objekty v obrázcích bývají často ohraničeny hranami, tj. výraznou změnou intenzity jasu. TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 24 / 36

DETEKCE HRAN úroveň změny intenzity nám odhalí opět derivace... I(x, y) x změna ve směru osy x I(x, y) y změna ve směru osy y nebo I(x, y) x + I(x, y) y pro velikost změny v ose x a y. TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 25 / 36

DETEKCE HRAN TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 26 / 36

LEVEL-SET ROVNICE My chceme, aby se pohyb křivky na hraně hodné zpomalil nebo téměř zastavil. Volíme proto: a tedy V (x, y, t) = I(x,y) x 1 + I(x,y) y f(x, y, t) t = I(x,y) x 1 + I(x,y) y ( f(x, ) y, t) 2 ( f(x, y, t) + x y ) 2 a jako počáteční křivku volíme kružnici o poloměru r a středu (s x, s y ): f(x, y, 0) = (x s x ) 2 + (y s y ) 2 r 2 TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 27 / 36

DISKRETIZACE tuto rovnici nelze řešit analyticky, tj. odvozením vzorečku pro řešení řešíme ji numericky na počítači provedeme diskretizaci tj. vrátíme se zpět k pixelům I(x, y) I ij f(x, y, t) f k ij TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 28 / 36

DISKRETIZACE Dostáváme tuto rovnici: f k+1 ij resp. f k+1 ij f k ij t = = fij+ k I i+1,j I ij x I i+1,j I ij x 1 + t + I i,j+1 I ij y I i,j+1 I ij y ( f k i+1,j f k ij x ( f k i+1,j f k ij x ) 2 + ) 2 + ( f k i,j+1 f k ij y ( f k i,j+1 f k ij kde indexy ij odpovídají jednotlivým pixelům. Napočítáním pro dost velké k získáme funkci f jejíž nulová vrstevnice segmentuje náš objekt. y ) 2 ) 2 TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 29 / 36

SEGMENTACE VIDEA při segmentaci sekvence snímků je výhodné zpracovávat všechny najednou a využít tak i informaci ze sousedních snímků poskládáme všechny snímky sekvence za sebe TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 30 / 36

SEGMENTACE VIDEA TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 31 / 36

SEGMENTACE VIDEA TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 32 / 36

SIMULACE PROUDĚNÍ KRVE Navierovy-Stokesovy rovnice ( ) v ϱ t + v v ( ) ϱ t + v ϱ = p + T + f, = ϱ v Rovnice jsou odvozeny ze zákonu zachování: hybnosti hmoty v rychlost, ϱ hustota, p tlak, T tenzor napětí, f objemová síla Rovnice se řeší metodou konečných objemů nebo konečných prvků. TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 33 / 36

SIMULACE PROUDĚNÍ KRVE Boltzmannova rovnice f t + p f f + F m p = ( ) f, t coll p - hybnost, m - hmotnost částic a F vnější síly. Rovnice se řeší lattice Boltzmannovou metodou. TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 34 / 36

PROUDĚNÍ KOLEM SRDEČNÍ CHLOPNĚ TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 35 / 36

PROUDĚNÍ KOLEM SRDEČNÍ CHLOPNĚ TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA ČESKÉ V MEDICÍNĚ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ MATEMATIKA V PRAZE) PRO ŽIVOT 36 / 36