NÁHODNÁ VELIČINA
NÁHODNÁ VELIČINA Provedeme náhodný pokus (vybereme nějaké lidi, výrobky) A jejich výsledkem je nějaké reálné číslo (počet VŠ, počet vadných výrobků) Kdyţ je moţné přiřadit číslo můţeme zavést funkci Funkce se pak nazývá náhodná veličina Počet vadných výrobků, počet blbců na přednášce, velikost poprsí slečen v aule Náhodnou veličinu značíme X 1,X 2 (velikost poprsí slečen v aule) Konkrétní realizace 1, 2 poprsí A,B,C čísla (1,2,3, atd. ) Výběrový prostor (M) Mnoţina moţných hodnot náhodné veličiny X Výběrový prostor pro poprsí je (1-7 asi) M={;=1,2,3,4,5,6,7} Výběrový prostor pro poprsí v cm od 75-120cm Podle typu výběrového prostoru rozlišujeme dva základní druhy NV Diskrétní (nespojitou) náhodnou veličinu Spojitou náhodnou veličinu
Diskrétní (nespojitá) náhodná veličina Můţe nabývat pouze konečně nebo spočetně nekonečně mnoha hodnot Spojitá náhodná veličina Můţe nabývat všech hodnot z určitého konečného nebo nekonečného intervalu (1;8) nebo (- ; )
ROZDĚLENÍ NÁHODNÉ VELIČINY Známe náhodnou veličinu (velikost poprsí) Známe i výběrový prostor (M) (1,2 7) Ale pro úplné poznání třeba znát pravděpodobnosti moţných hodnot (3%slečen má 7-ky, 30% 2-ky atd.) Pokud známe uvedený vztah je dán zákon rozdělení náhodné veličiny Pravidlo, které kaţdé hodnotě z výběrového prostoru Přiřazuje pravděpodobnost, ţe náhodná veličina nabude této hodnoty (hodnoty z určitého intervalu) Nejjednodušší moţnost zadání zákona rozdělení nespojité náhodné veličiny: Řada rozdělení kaţdé hodnotě z VP přiřazuje pravděpodobnost i 1 n P( i ) P( 1 ) P( n ) 1 i 1 2 3 4 5 6 7 P( i ) 0,2 0,3 0,2 0,15 0,07 0,05 0,03 1
Distribuční funkce Další moţnost (základní) pro popis zákona rozdělení náhodné veličiny Distribuční funkce F() říká, s jakou pravděpodobností nabude NV Hodnoty menší-rovna neţ zvolené F()=P(X ) X velikost poprsí konkrétní hodnota (3-ky) F(3)=P(X poprsí 3) F() Základní vlastnosti: 0 F() 1 pro kaţdé F() je neklesající funkcí kdyţ 1 < 2, musí platit, ţe F( 1 ) F( 2 ) Jestliţe výběrový prostor náhodné veličiny X patří do intervalu (a,b) M(a,b) Pak F(a)=0, F(b)=1 Obecně F(- )=0, F( )=1 Graf distribuční funkce odpovídá grafu kumulativních četností
Důležité odvození To ţe náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovno 2, lze zapsat: F()=P(X ) počátek 1 2 konec Etrémně důležité Při sloţitějších tvarech distribučních funkcí Pravděpodobnost, ţe náhodná veličina leţí v určitém intervalu Najdu v tabulkách hodnoty F() pro daný interval a mám pravděpodobnost
Pravděpodobnostní funkce Další moţnost pro popis zákona rozdělení NESPOJITÉ náhodné veličiny P()=P(X=) Kaţdému (konkrétní velikost poprsí) přiřazuje pravděpodobnost Ţe náhodná veličina X(velikost poprsí obecně) nabude této konkrétní hodnoty Náhodně vyberu jednu slečnu v aule a mám 20% šanci, ţe bude mít 3-ky P()=1 Díky pravděpodobností funkci můţeme určit pravděpodobnost, ţe NV nabude hodnoty v konkrétním intervalu ( 1 ; 2 )
Kuba rád prsíčka a je indiferentní mezi velikosti 5-7 S jakou pravděpodobností při náhodném výběru v aule, najde takovou slečnu? =0,07+0,05+0,03=0,15 Kuba při náhodném výběru má 15% šanci, ţe si najde vysněnou slečnu Pozor na znaménko větší-rovno znamená, ţe daná hodnota patří do intervalu i 1 2 3 4 5 6 7 P( i ) 0,2 0,3 0,2 0,15 0,07 0,05 0,03 1
Zobrazení distribuční a pravděpodobností funkce pro diskrétní NV Pravděpodobnostní rozdělení DISKRÉTNÍ NV Najdeme všechny moţné hodnoty (velikost poprsí) a zjistíme pravděpodobnosti Můţeme sestrojit pravděpodobnostní i distribuční funkci Graf distribuční funkce odpovídá grafu kumulativních četností P()=P(X=) F() P 0,3 0,03 1 2 3 4 5 6 7 1 0,97 0,92 0,85 0,7 0,5 0,2 1 2 3 4 5 6 7 F()= 0 pro <1 0,2 pro 1 <2 0,5 pro 2 <3 0,7 pro 3 <4 0,85 pro 4 <5 0,92 pro 5 <6 0,97 pro 6 <7 1 pro 7 P(X 10)=1 i 1 2 3 4 5 6 7 P( i ) 0,2 0,3 0,2 0,15 0,07 0,05 0,03 1
Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce P(1)=0,2 P(2)=0,3 P(3)=0,2 P(4)=0,15 P(5)=0,07 P(6)=0,05 P(7)=0,03 Pro spojitou NV Nelze určit pravděpodobností funkci F(0)=0 F(1)=0,2 F(2)=0,5 F(3)=0,7 F(4)=0,85 F(5)=0,92 F(6)=0,97 F(7)=1 F(10)=1 P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4) P(X 5) P(X 6) P(X 7) P(X 10) P()=P(X=) i 1 2 3 4 5 6 7 P( i ) 0,2 0,3 0,2 0,15 0,07 0,05 0,03 1
Distribuční funkce a spojitá náhodná veličina Náhodná veličina můţe v daném intervalu nabývat libovolný počet hodnot Nelze přiřadit jednotlivé veličině pravděpodobnost ALE lze přiřadit pravděpodobnost libovolně malému intervalu Kde f(t) je hustota pravděpodobnosti a platí, ţe: Hustota pravděpodobnosti není pravděpodobnost toho, ţe X má hodnotu Můţe být větší neţ 1! Ale pomůţe nám k výpočtu F() f()
Vlastnosti distribuční funkce f() 0 Pro - << platí Jaká je pravděpodobnost, ţe NV padne do intervalu (0;5)? 1!! f() Pravděpodobnost, ţe NV padne do intervalu (;+Δ) je dána červenou plochou 0 +Δ 5
Jaká je pravděpodobnost, ţe náhodná veličina bude leţet v intervalu (1;2)? Jsme u spojité NV proto P(X=a)=0, nemusíme rozlišovat: f() 0 1 2 5
Známe hustotu pravděpodobnosti :f()=1/4. 1/2 Dále víme, ţe náhodná veličina můţe nabývat hodnot pouze (0;4) a) P(X>1)? b) Jak vypadá F()? f() 0,9 0,8 0,7 F() 1,2 1 F(4) 0,6 0,5 0,4 0,3 0,8 0,6 0,4 F(1) 0,5 0,2 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 5 0 0 2 4 6