DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI HODINA Podívej se na následující obrázek: Na obrázku je rovnobžník s vyznaeným pravým úhlem. Odpovídej na otázky:? Jaká je velikost vnitního úhlu pi vrcholu C? Je rovna 90, protože podle jedné z vlastnosti rovnobžníku platí, že velikosti úhl u protilehlých vrchol rovnobžníku jsou shodné? Jaká je velikost vnitních úhl pi vrcholech B, D? Opt 90, protože podle další vlastnosti rovnobžníku platí, že souet dvou sousedních vnitních úhl je 80, proto napíklad úhel pi vrcholu B má velikost 80 80 90 90 Shrnutí: Je-li jeden z vnitních úhl rovnobžníku pravý, pak jsou pravé všechny vnitní úhly rovnobžníku. Jsou-li všechny vnitní úhly rovnobžníku pravé, nazývá se rovnobžník PRAVOÚHELNÍK
Není-li žádný z vnitních úhl rovnobžníku pravý, nazývá se rovnobžník KOSOÚHELNÍK 90; 90; 90; 90 P R A V O Ú H E L N Í K - je to rovnobžník, jehož sousední strany jsou na sebe kolmé (všechny vnitní úhly mají velikost 90 ) - pravoúhelník, jehož sousední strany jsou stejn dlouhé, se nazývá tverec - pravoúhelník, jehož sousední strany nejsou stejn dlouhé, se nazývá obdélník TVEREC
Zakresli si na tverekovaný papír tverec o stran mající nap. délku pti stran tverek na tverekovaném papíe (viz. obr.) nebo lépe vtší. Vyzna si na obrázku také úhlopíky tverce a prseík S úhlopíek.? Zm si velikosti obou úhlopíek a porovnej jejich velikosti. Co jsi zjistil? Úhlopíky mají stejnou velikost? Zm si úhel, který úhlopíky svírají a rozhodni, jakou vlastnost vi úhlopíkám má bod S? Úhlopíky spolu svírají pravý úhel, v bod S se úhlopíky vzájemn plí? Na jaké rovinné útvary nám nap. úhlopíka AC rozdlí tverec? Na dva shodné pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky ABC a ADC se spolenou základnou AC? Na jaké rovinné útvary nám tverec rozdlí ob úhlopíky? Na tyi shodné pravoúhlé rovnoramenné trojúhelníky s pravým úhlem u vrcholu S? Je tverec stedov soumrný útvar (existuje ve tverci njaký bod, pomocí nhož se tverec ve stedové soumrnosti s tímto bodem zobrazí sám na sebe)? Ano, tverec je stedov soumrný útvar se stedem soumrnosti S, platí totiž: : A C ve stedové soumrnosti se stedem S se bod A zobrazí do bodu C; AS : B D : X Y S S : S S sa mod ružný bod (bod, který se zobrazí sám na sebe) SC
? Je tverec osov soumrný útvar (existuje njaká osa, pomocí které se tverec zobrazí sám na sebe? Ano, tverec je osov soumrný útvar, existují tyi osy soumrnosti (viz obr.) o ) : A C o ) : B B sa mod ružný bod o ) : K L; kolmá (nejkratší) vzdálenost bod K, L od osy o je stejná OBDÉLNÍK
Zakresli si na tverekovaný papír obdélník o stranách majících nap. délku pti a tí stran tverek na tverekovaném papíe (viz. obr.) nebo lépe vtší. Vyzna si na obrázku také úhlopíky tverce a prseík S úhlopíek.? Zm si velikosti obou úhlopíek a porovnej jejich velikosti. Co jsi zjistil? Úhlopíky mají stejnou velikost? Zm si úhel, který spolu úhlopíky svírají a rozhodni, jakou vlastnost vi úhlopíkám má bod S? Úhlopíky spolu nesvírají pravý úhel, ale úhel ostrý (úhel BSC) nebo tupý (úhel ASB), v bod S se úhlopíky vzájemn plí podobn jako u tverce? Na jaké rovinné útvary nám nap. úhlopíka AC rozdlí obdélník? Na dva shodné rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky ABC a ADC se spolenou základnou AC? Na jaké rovinné útvary nám obdélník rozdlí ob úhlopíky? Na dv dvojice shodných rovnoramenných trojúhelník (ABS a CDS; BSC a DSA) se základnami na obvodu obdélníku (AB a CD; BC a DA). Trojúhelníky jsou shodné nap. podle vty sss.
? Je obdélník stedov soumrný útvar (existuje v obdélníku njaký bod, pomocí nhož se obdélník ve stedové soumrnosti s tímto bodem zobrazí sám na sebe)? Ano, obdélník je stedov soumrný útvar se stedem soumrnosti S, platí totiž: : A C : B D : X Y S S : S S ve stedové soumrnosti se stedem S se bod A zobrazí do bodu C; AS sa mod ružný bod (bod, který se zobrazí sám na sebe) SC? Je obdélník osov soumrný útvar (existuje njaká osa, pomocí které se tverec zobrazí sám na sebe? Ano, obdélník je osov soumrný útvar, existují dv osy soumrnosti (viz obr.) o ) : A D o ) : B D sa mod ružný bod o ) : K L kolmá (nejkratší) vzdálenost bod K, L od osy o o ) : X X sa mod ružný bod je stejná
K O S O Ú H E L N Í K - je to rovnobžník, jehož vnitní úhly nejsou pravé, dva vnitní úhly jsou ostré a dva vnitní úhly jsou tupé - kosoúhelník, jehož sousední strany jsou stejn dlouhé, se nazývá kosotverec - kosoúhelník, jehož sousední strany nejsou stejn dlouhé, se nazývá kosodélník KOSOTVEREC Nakresli si libovolný kosotverec dle následujícího postupu:. Narýsuj si libovolný rovnoramenný trojúhelník ABD se základnou AD a rameny AB, BD. Nech tento trojúhelník není pravoúhlý. 2. Sestroj sted S strany BD 3. : A C - ve stedové soumrnosti se stedem S sestroj bod C jako obraz bodu A 4. Mením ov, zda jsi dostal kosotverec ABCD Jaký rovinný útvar by jsi dostal, kdyby byl trojúhelník ABD pravoúhlý rovnoramenný? Dostali bychom tverec ABCD Píklad kosotverce vidíš na obrázku:
? Zm si velikosti obou úhlopíek a porovnej jejich velikosti. Co jsi zjistil? Úhlopíky mají rznou velikost vlastnost, která platí pro kosodélníky? Zm si úhel, který spolu úhlopíky svírají a rozhodni, jakou vlastnost vi úhlopíkám má bod S? Úhlopíky spolu svírají pravý úhel, v bod S se úhlopíky vzájemn (stejn jako u tverce) plí? Na jaké rovinné útvary nám nap. úhlopíka AC rozdlí kosotverec? Na dva shodné rovnoramenné trojúhelníky ABC a ADC se spolenou základnou AC? Na jaké rovinné útvary nám kosotverec rozdlí ob úhlopíky? Na tyi shodné trojúhelníky ABS; BSC; CSD; DSA (podle vty sss)? Co mžeš íci o velikostech vnitních úhl DAS a BAS? Jsou shodné, protože také trojúhelníky DAS a BAS jsou shodné? Jaký existuje vztah mezi úhlopíkou AS a vnitním úhlem DAS? Úhlopíka AS je osou vnitního úhlu pi vrcholu A (kterého ješt?), plí jej tedy na poloviny? Je kosotverec stedov soumrný útvar? Ano, kosotverec je stedov soumrný útvar se stedem soumrnosti S, platí totiž: : A C ve stedové soumrnosti se stedem S se bod A zobrazí do bodu C; AS : B D : X Y - platí totiž XS SY S S : S S sa mod ružný bod (bod, který se zobrazí sám na sebe) SC
? Je kosotverec osov soumrný útvar? Kosotverec je osov soumrný útvar. Existují dv osy soumrnosti Úkol: Na obrázku máš nkolik os. Ukaž, které osy jsou a které nejsou osou soumrnosti kosotverce: ešení: - osy o, o 2 nejsou osy soumrnosti kosotverce, protože nap: o o : X Y bod Y ale neleží na obvodu kosotverce( viz. obr.) - osy o 3, o 4 (úhlopíky kosotverce) jsou osami soumrnosti kosotverce
KOSODÉLNÍK Nakresli si libovolný kosodélník dle následujícího postupu:. Narýsuj si libovolný napíklad ostroúhlý trojúhelník ABD. Nech má trojúhelník rzné délky stran (není rovnoramenný). 2. Sestroj sted S strany BD 3. : A C - ve stedové soumrnosti se stedem S sestroj bod C jako obraz bodu A 4. Mením ov, zda jsi dostal kosodélník ABCD
? Jaký rovinný útvar by jsi dostal, kdyby byl trojúhelník ABD pravoúhlý s pravým úhlem pi vrcholu A? Dostali bychom obdélník ABCD? Jaký rovinný útvar by jsi dostal, kdyby byl trojúhelník ABD rovnoramenný s rameny AB a AD? Dostali bychom kosotverec ABCD? Zm si velikosti obou úhlopíek a porovnej jejich velikosti. Co jsi zjistil? Úhlopíky mají rznou velikost vlastnost, která platí také pro kosotverec? Zm si úhel, který spolu úhlopíky svírají a rozhodni, jakou vlastnost vi úhlopíkám má bod S? Úhlopíky spolu nesvírají pravý úhel, ale úhel ostrý (úhel BSC) nebo tupý (úhel ASB) stejn jako u obdélníku, v bod S se úhlopíky vzájemn plí podobn jako u jiných rovnobžník? Plí úhlopíky vnitní úhly u vrchol podobn jako nap. u kosotverce? Neplí. Aby úhlopíky plily nap. vnitní úhel u vrcholu A, museli by být trojúhelníky ASB a ASD shodné. Nejsou však, liší se velikostí stran AD a AB (na rozdíl od kosotverce)? Je kosodélník stedov soumrný útvar? Ano, kosodélník je stedov soumrný útvar se stedem soumrnosti S? Je kosodélník osov soumrný útvar? Není osov soumrný útvar (porovnej s kotvercem) Úkol: Kosotverec má dv osy soumrnosti (jsou to úhlopíky kosotverce). Ukaž, že tyto úhlopíky nejsou osami soumrnosti kosodélníku ABCD
ešení: Na obrázku je na kosotverci vyznaen bod X a jeho Y obraz v osové soumrnosti podle osy (úhlopíky) AC. Vidíš, že obraz Y neleží na kosodélníku ABCD, proto kosotverec není osov soumrný podle úhlopíky AC. Podobn se eší i pro úhlopíku BD a další osy soumrnosti. Z Á V R E N É S H R N U T Í DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI R O V N O B Ž N Í K Y tverec Obdélník Kosotverec Kosodélník Všechny strany jsou stejn dlouhé (rovnostranný rovnobžník) Sousední strany mají rzné délky (rznostranný rovnobžník) Všechny strany jsou stejn dlouhé (rovnostranný rovnobžník) Sousední strany mají rzné délky (rznostranný rovnobžník) Všechny vnitní úhly jsou pravé (pravoúhelníky) Žádný vnitní úhel není pravý (kosoúhelníky) Úhlopíky se navzájem plí Úhlopíky mají stejnou délku Úhlopíky nemají stejnou délku Úhlopíky jsou k sob kolmé Úhlopíky k sob nejsou kolmé Úhlopíky jsou k sob kolmé Úhlopíky k sob nejsou kolmé Stedov soumrné útvary Osov soumrný (tyi osy soumrnosti) Osov soumrný (dv osy soumrnosti) Osov soumrný (dv osy soumrnosti) Není osov soumrný