4. lekce Měření npjosi n povrcu ěles Tenkosěnná rubk zížená kruem vniřním přelkem Obs: 4.1 Úvod 4. Kru enkosěnné válcové rubk 4.3 Tenkosěnná lková válcová nádob 3 4.4 Dvouosá npjos Morov kružnice 4 4.5 Deformce při dvouosé npjosi Hookův zákon 6 srn 1 z 6
4.1 Úvod V předcozíc lekcíc jsme ukázli n možnos měření jednoosé npjosi v dlouýc enkýc pruec nmánýc em, lkem obem. V éo lekci si ukážeme zákldní pojm pořebné pro měření rovinné npjosi n povrcu enkosěnné rubk nmáné kruem vniřním přelkem. Je vodné zdůrzni, že mnoé dále uvedené pojm vz mjí obecnou plnos nevzují se pouze n enkosěnnou rubku. 4. Kru enkosěnné válcové rubk N obrázku 4.1 je uveden enkosěnná rubk nmáná krouícím momenem M k (N.m).Teno orzní momen je vvolán dvojicí sil F. perimenálně je prokázáno že řez kolmé k podélné ose rubk zůsávjí kolmými i po zížení rubk. Řez se vlivem deformce rubk pouze vzájemně nočí. Vniřní síl v řezu vedou ke vzniku smkovýc npěí τ. Pro enkosěnnou rubku lze psá následující rovnici rovnová vniřníc vnějšíc krouicíc momenů. r s r + =, kde r s je sřední poloměr. π rτ r = M (4.1) Odud obdržíme vz mezi vnějším krouícím momenem M K smkovým npěím: s s K rs K M τ = (4.1b) π Krouící momen vvolává zkroucení rubk, přičemž povrcová přímk se po deformci změní ve šroubovici. Z obrázku je prný vz mezi nočením φ průřezu nočením γ povrcové přímk. j. γ l = ϕ r Odud (4.) γ r = ϕ l F elemen plášě F Obr 4.1 srn z 6
Nočení povrcové přímk vlivem zížení rubk krouícím momenem je oznčováno jko zkos. Vz mezi smkovým npěím zkosem pro lineární elsické ěleso je dán Hookovým zákonem pro smk. j. τ = G γ (4.3) Veličin G v předcozím vzu je modul pružnosi ve smku má rozměr npěí, j. MP. V 1. lekci bl pro lineární elsické ěleso zveden dvě meriálové konsn, o Youngův modul pružnosi Poissonovo číslo υ. Lze ukáz, že modul pružnosi ve smku je možné vjádři prosřednicvím modulu pružnosi Poissonov čísl υ, o následujícím vzem : G (4.4) = 1+υ ( ) Vjměme z rubk elemen, kerý je n obrázku 4.1 všrfován. U momenové podmínk rovnová ooo elemenu vplývá zv. prvidlo o sdruženýc smkovýc npěí, keré ukzuje, že smková npěí n dvou vzájemně kolmýc ploškác jsou sejně velká, le opčnéo znménk (obr. 4.). τ τ τ τ = τ = τ τ Obr. 4. 4.3 Tenkosěnná lková válcová nádob N obrázku 4.3 je scemick uveden enkosěnná lková nádob nmáná vniřním přelkem p. Při rozboru npjosi se omezíme n mís plášě dosečně vzdálená od čel nádob. A B d p R p elemen A B ) b) p c) Obr. 4.3 srn 3 z 6
Rovnice rovnová, oddělíme-li čási nádob (obr. 4.3b), je následující : Odud π R p πr p R = Rovnice rovnová rozříznuéo prsýnku šířk d (obr 4.3c) je Odud 0 = (4.5) d = p R d p R 4.4 Dvouosá npjos Morov kružnice = (4.6) Příkldem dvouosé npjosi je npjos enkosěnné rubk nmáné vniřním přelkem resp. kruem. Tkováo npjos se vskuje i u dlšíc srojníc součásí, jko jsou desk řídele. Dvouosá npjos je zvlášním přípdem rovinné npjosi. Rovinnou npjosí se budeme podrobněji zbýv v 5-é lekci. N elemenu enkosěnné nádob jsme oznčili normálové npěí ve směru os indeem (iální směr). V obvodovém směru bl uži inde (ngenciální směr). Oznčme pro věší obecnos směr jko směr. Obdobně oznčme směr jko směr. lemen vjmuý z plášě nádob je s novým oznčením směrů normálovýc npěí uveden n obr.4.4. Poznmenejme, že inde ukzuje směr normál k rovině řezu pq, druý inde u smkovéo npěí ukzuje směr jeo působení. p n θ ξ θ η τ ηξ ξ q ξ τ ηξ η Obr. 4.4 ) b) c) Určeme nní normálové npěí ξ ečné npěí n ploše řezu pq (obr. 4.4 b). Z rovnic rovnová rojúelníkovéo elemenu (viz. obr.4.4b) po úprvě obdržíme následující vz: 1 1 ξ ( + ) + ( ) cosθ =, (4.7) 1 ( )sin θ =. (4.8) srn 4 z 6
Změníme-li ve vzzíc (4.) úel θ z θ + π/, dosneme npěí η, τ ηξ působící n ploškác s normálou η (obr.4.4c). Plí Souče rovnic (4.7) (4.9) dává vz 1 1 η ( + ) ( ) cosθ =. (4.9) τ 1 ηξ ( )sin θ =. (4.10) ξ η = + +, (4.11) podle keréo je souče normálnýc npěí n dvou vzájemně kolmýc ploškác konsnní. Z rovnic (4.8) (4.10) dosneme vz τ =, (4.1) ξη τ ηξ kerý ukzuje, že smková npěí n dvou vzájemně kolmýc ploškác jsou sejně velká, le opčnéo znménk (prvidlo sdruženýc smkovýc npěí). Smková npěí jsou nulová, je-li θ = 0 mimální, je-li θ = π/4. V om přípdě je τ m 1 = ( ). (4.13) Npěí, jsou zv. lvní normálná npěí, zprvidl oznčovná 1,. Jk je zřejmé z obr. 4.4, n ploškác, kde působí npěí, se nevskují smková npěí. Jsou-li sejná, nebude se vskov smkové npěí n žádné ploše elemenu. Morov kružnice pro dvouosou npjos Oznčme ve vzzíc 4.7 ž 4.10 1 s = ( + ) (4.14) Uvážíme-li vz (4.13), pk vz (4.7) (4.8) lze přeps do vru = ξ τ cos m θ s (4.15) τ ξη τ sin m θ = (4.15b) srn 5 z 6
Vloučíme-li z předcozíc vzů prmer θ obdržíme rovnici kružnice s nezávislými proměnnými ξ. To kružnice je znázorněn n obrázku (4.5). τ ξ B D = ξ µ θ = B C θ D = 1 A D F ) ½ ( + ) b) 1 = Obr. 4.5 4.5 Deformce při dvouosé npjosi Hookův zákon Vrťme se k npjosi enkosěnné nádob zížené vniřním přelkem p. Deformce v iálním směru ε závisí zřejmě n obou složkác npěí,. Působí-li kždé z ěco npěí zvlášť, bude iální deformce ε dán superpozicí jejic účinků. Obdobně oo vrzení plí pro obvodovou (ngenciální) deformci ε. j. ε ε [ υ ] = 1, (4.16) [ υ ] Poměrná změn loušťk sěn nádob je pk dán vzem = 1. (4.16b) υ ε + [ ] r =. (4.16c) Z rovnic (4.16) (4.16b) lze vjádři npěí, prosřednicvím deformcí ε, ε. j. 1 υ = 1 υ = ( ε + υ ε ) ( ε + υ ε ), (4.17). (4.17b) srn 6 z 6