Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te prostor elementárních jevù a jeho vlastnosti... Uveïte klasickou denici pravdìpodobnosti jako podílu poètu pøíznivých elementárních jevù ku poètu v¹ech elementárních jevù. Pou¾ití uka¾te na pøíkladech. Co je to geometrická pravdìpodobnost a jak se poèítá?.3. Vyslovte axiomatickou denici pravdìpodobnosti. Jak se poèítá pravdìpodobnost sjednocení náhodných jevù? Vypoètìte pravdìpodobnost jevu pøechodem k jeho doplòku a pravdìpodobnost prùniku nezávislých jevù..4. Denujte podmínìnou pravdìpodobnost. Co jsou to nezávislé jevy a jak souvisí nezávislost jevù s podmínìnou pravdìpodobností? Vypoètìte pravdìpodobnost prùniku jevù pomocí podmínìné pravdìpodobnosti..5. Co je to úplný systém jevù? Vyslovte vìtu o úplné pravdìpodobnosti a Bayesovu vìtu, vysvìtlete pou¾ití obou vìt na pøíkladech.. Náhodná velièina a její charakteristiky... Co je to diskrétní rozdìlení náhodné velièiny? Popi¹te alternativní, binomické, geometrické, hypergeometrické a Poissonovo rozdìlení. Pou¾ití tìchto rozdìlení ilustrujte na pøíkladech. Co je to spojité rozdìlení náhodné velièiny, jaké vlastnosti má hustota spojitého rozdìlení? Popi¹te rovnomìrné, exponenciální a normální rozdìlení... Denujte distribuèní funkci a uveïte její vlastnosti. Vysvìtlete, co jsou to kvantity, speciálnì medián a co je to modus..3. Jak se vypoète støední hodnota a rozptyl náhodné velièiny? Jaké mají tyto charakteristiky vlastnosti? Denuje obecné a centrální momenty a jejich výpoèet uka¾te na pøíkladech. Uka¾te na pøíkladech pou¾ití Èeby¹evovy nerovnosti..4. Jak se provádí transformace náhodných velièin? Odvoïte tvar hustoty transformované spojité náhodné velièiny. Vypoètìte støední hodnotu a rozptyl funkce náhodné velièiny, speciálnì charakteristickou funkci. Vypoètìte obecné momenty pomocí charakteristické funkce a odvoïte tvar charakteristické funkce souètu nezávislých náhodných velièin. 3.Náhodný vektor 3.. Popi¹te diskrétní a spojité rozdìlení náhodného vektoru. Co je to sdru¾ená pravdìpodobnost, jaké vlastnosti má sdru¾ená hustota? Denujte distribuèní funkci náhodného vektoru.

3.. Denujte vektor støedních hodnot náhodného vektoru. Jak se poèítají jednotlivé slo¾ky tohoto vektoru? Denujte kovarianci a korelaèní koecient. Na pøíkladech uka¾te výpoèet kovarianèní a korelaèní matice. 3.3. Co je to marginální rozdìlení? Jak se vypoèítá marginální rozdìlení ze sdru¾eného rozdìlení v diskrétním a spojitém pøípadì? Denujte nezávislé náhodné velièiny a vysvìtlete, jak souvisí nezávislost náhodných velièin s kovariancí a korelací. 3.4. Vysvìtlete pojem funkce náhodného vektoru. V jednoduchých pøípadech vypoètìte støední hodnotu a rozptyl konkrétní funkce, pøípadnì naleznìte její rozdìlení. 4. Základní pojmy z teorie náhodných procesù 4.. Denujte nekoneènou posloupnost náhodných velièin a uveïte zákony velkých èísel. Vyslovte Bernoulliovu vìtu, centrální limitní vìtu a uka¾te jejich pou¾ití na pøíkladech. Vyslovte Chinèinovu vìtu a pomocí ní uka¾te, jak lze nìkteré integrály poèítat metodou Monte Carlo. 4.. Denujte náhodnou posloupnost a náhodný proces. Vysvìtlete pojem silné a slabé stacionarity. Zaveïte pojem kovarianèní funkce a spektrální hustoty náhodné posloupnosti (náhodného procesu). Jaký je vztah mezi kovarianèní funkcí a spektrální hustotou? Úvod do matematické statistiky. 5. Náhodný výbìr, úloha statistické indukce. 5.. Co je to náhodný výbìr? Jak se urèí rozdìlení náhodného výbìru vdiskrétním a spojitém pøípadì? Jaký tvar má distribuèní funkce náhodného výbìru? Denujte uspoøádaný náhodný výbìr. 5.. Co je to realizace náhodného výbìru? Jak se sestrojí histogram a empirická distribuèní funkce? Uveïte výbìrové charakteristiky náhodného výbìru? výbìrový prùmìr, rozptyl, modus, medián, variaèní koecient a rozpìtí. Jak se tyto charakteristiky poèítají? Jak se provádí tøídìní dat? uka¾te na pøíkladech. 6. Základy teorie odhadu. 6.. Co jsou to bodové odhady parametrù, Jak se zjistí, ¾e pøíslu¹ný odhad je nestranný, konzistentní, vydatný? 6.. Vysvìtlete, co je podstatou metody maximální vìrohodnosti a na pøíkladech uka¾te pou¾ití této metody. Co je to momentová metoda a jak se provádí?

6.3. Popi¹te normální rozdìlení a rozdìlení od nìho odvozená. Co je to normované normální rozdìlení? 6.4. Co jsou to intervalové odhady? Jak se sestrojí intervaly spolehlivosti? oboustranné i jednostranné? spøedepsanou spolehlivostí? Pou¾ití dokumentujte na pøíkladech. 7. Základní pojmy teorie testování hypotéz. 7.. Co je to jednoduchá a slo¾ená hypotéza? Co je to testová statistika a kritický obor testu? Vysvìtlete, co je to chyba prvního, resp. druhého druhu. Co rozumíme po pojmy hladina a síla testu? 7.. Co jsou to parametrické testy? Za pøedpokladu výbìru znormálního rozdìlení testuje proti oboustranné i jednostranné alternativám a) hypotézu o støední hodnotì pøi známém i neznámém rozptylu, b) hypotézu o rozptylu pøi známé i neznámé støední hodnotì, c) hypotézu o rovnosti støedních hodnot dvou výbìrù pøi známých i neznámých rozptylech a hypotézu o rovnosti rozptylù. 7.3. Co jsou to neparametrické testy? Jak se provádí test dobré shody a s jakým rozdìlením je spojen? Uveïte dal¹í neparametrické testy ( znaménkový, Wilcoxonùv ) a jejich pou¾ití. 8. Pojem korelace a regrese. 8.. Jak se vypoète výbìrová kovariance a výbìrový korelaèní koecient? Popi¹te test hypotézy o nulovosti korelaèního koecientu. Jak se sestrojí intervalový odhad korelaèního koecientu a jaké statistiky se pøi tom pou- ¾ívá? Jak se testuje hypotéza H : q = r? Co jsou to koecienty mnohonásobné a parciální korelace a jak se vypoètou? 8.. Popi¹te regresní model. Napi¹te regresní funkce pro lineární, kvadratickou a hyperbolickou regresi. Jak se provádí odhad regresních koecientù. Vysvìtlete metodu nejmen¹ích ètvercù, uka¾te, jak získáme soustavu tzv. normálních rovnic. Pou¾ití uka¾te na pøíkladech. 3

. Pravdìpodobnostní míra, základní pojmy.. Vysvìtlete pojem náhody,náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno¾inovou interpretaci. Popi¹te prostor elementárních jevù a jeho vlastnosti.... Náhodný pokus spoèívá v hodu jednou hrací kostkou. Urèete a) kolik je elementárních jevù a popi¹te je, b)kolik je v¹ech jevù, c) jev A, spoèívající v tom, ¾e padne liché èíslo, d) jev B, spoèívající v tom, ¾e padne prvoèíslo, e) prùnik a sjednocení jevù A a B.... Náhodný pokus spoèívá v hodu nìkolika hracími kostkami souèasnì. Co jsou jednotlivé elementární jevy a kolik jich je v pøípadì, ¾e se jedná o hod a) dvìma kostkami, b) tøemi kostkami?..3. Kolik je elementárních jevù, vybíráme-li náhodnì a) tøi osoby ze sedmi bez ohledu na poøadí, b) tøi osoby ze sedmi s ohledem na poøadí, v kterém je vybíráme, c) sedm osob ze sedmi bez ohledu na poøadí, d) sedm osob ze sedmi s ohledem na poøadí, v kterém je vybíráme?..4. V osudí je ¹est koulí oèíslovaných,,3,4,5,6. Náhodný pokus spoèívá v tom, ¾e vytahuje postupnì bez vracení jednu kouli po druhé a zapisuje si jejich èísla tak dlouho, dokud nevytáhneme v¹echny koule. Napi¹te a) co jsou elementární jevy a kolik jich je, b) pomocí elementárních jevù jev A, spoèívající v tom, ¾e v prvních tøech tazích se èíslo tahu shoduje s èíslem vyta¾ené koule...5. Dva hráèi házejí støídavì mincí tak dlouho, dokud nìkomu z nich nepadne líc. Zapi¹te elementární jevy a rozhodnìte, zda jejich poèet je koneèný...6. Na úseèce délky jedna je náhodnì zvolena nìkolik bodù nezávisle na sobì. Jaký je prostor elementárních jevù, jedná-li se o a) jeden bod, b) dva body, c) tøi body. Je tento prostor koneèný?..7. Doka¾te, ¾e pro libovolné jevy A, B, C platí a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C)..8. Doka¾te, ¾e pro libovolné jevy A, B platí a) A B) C = A C B C b) A B) C = A C B C 4

.. Uveïte klasickou denici pravdìpodobnosti jako podílu poètu pøíznivých elementárních jevù ku poètu v¹ech elementárních jevù. Pou¾ití uka¾te na pøíkladech. Co je to geometrická pravdìpodobnost a jak se poèítá?... Ètverec je tøemi vodorovnými a tøemi svislými èarami rozdìlen na ¹achovnici 4 4. Do ka¾dého øádku je na jedno z jeho ètyø polí umístìn hrací kámen. Urèete pravdìpodobnost, ¾e v ka¾dém sloupci le¾í právì jeden kámen.... Na polièce je náhodnì rozestaveno 0 knih. Urèete pravdìpodobnost, ¾e urèité tøi knihy jsou v urèitém poøadí postaveny vedle sebe...3. Tøi mu¾i a tøi ¾eny obsadí náhodnì ¹est míst kolem stolu. Urèete pravdìpodobnost, ¾e sedí kolem stolu støídavì, to je, ¾e ¾ádné dvì ¾eny ani ¾ádní dva mu¾i nesedí vedle sebe...4. Øe¹te pøedcházející tøi úlohy obecnì: úlohu... pro ètverec n n, úlohu... pro n knih a úlohu..3. pro n ¾en a n mu¾ù...5. V urnì je 8 koulí s èísly,,...,8. Postupnì vytáhneme po jedné (bez vracení) v¹echny koule. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e v prvních tøech tazích bude poøadí tahu shodné s èíslem koule?..6. Na úseèce délky jsou náhodnì zvoleny dva body. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e jejich vzdálenost je a) men¹í ne¾ 3 b) vìt¹í ne¾ c) rovna 3 4?..7. Dva náhodnì zvolené body rozdìlí úseèku délky na tøi èásti. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e a) ¾ádná z tìchto èástí není del¹í ne¾ 5 b) v¹echny tyto èásti jsou del¹í ne¾ 4 c) z tìchto èástí lze sestavit trojúhelník?..8. Do kruhu o polomìru R je vepsán obrazec. Poté je do kruhu náhodnì vhozen bod. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e tento bod padne do vepsaného obrazce, je-li tímto obrazcem a) rovnostranný trojúhelník, b) ètverec?..9. Rovina je rozdìlena systémem rovnobì¾ek ve vzdálenosti 6 cm. Poté je na ni vhozen kruh. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e kruh neprotne ¾ádnou z rovnobì¾ek, je-li polomìr kruhu a) roven, b) roven?..0. Na kru¾nici o polomìru R jsou náhodnì zvoleny 3 body. Vypoètìte pravdìpodobnost, ¾e jimi vytvoøený trojúhelník je ostroúhlý. 5

.3. Vyslovte axiomatickou denici pravdìpodobnosti. Jak se poèítá pravdìpodobnost sjednocení náhodných jevù? Vypoètìte pravdìpodobnost jevu pøechodem k jeho doplòku a pravdìpodobnost prùniku nezávislých jevù..3.. Dva støelci støílejí nezávisle na cíl. Pøitom pravdìpodobnost zásahu cíle je u prvního støelce 0.7, u druhého 0.8. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e pøi souèasném výstøelu zasáhne cíl alespoò jeden støelec?.3.. Skokan do dálky má tøi nezávislé pokusy na to, aby se zlep¹il. Pøitom pravdìpodobnost zlep¹ení je v ka¾dém pokusu stejná a je rovna 3. Vypoètìte pravdìpodobnost, ¾e se skokan bìhem tøí pokusù zlep¹í..3.3. Systém se skládá ze tøí zaøízení, jejich¾ pravdìpodobnosti bezporuchového chodu jsou rovny postupnì 0.7, 0.8, 0.8. Urèete pravdìpodobnost bezporuchového systému, jsou-li zaøízení zapojena a) v sérii, b) paralelnì..3.4. Mezi 00 výrobky je 5 vadných. Náhodnì vybereme 5 výrobkù. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e ve výbìru bude alespoò jeden vadný výrobek?.3.5. Z dvanácti souèástek jsou bezvadných a vadných. Vypoètìte pravdìpodobnost, ¾e pøi souèasném vyta¾ení tøí souèástek bude mezi nimi alespoò 3 3 jedna vadná..3.6. Mu¾i A, B, C, D, E si po odchodu z místnosti náhodnì nasadí klobouky, které si pøed pøíchodem do místnosti odlo¾ili. Vypoètìte pravdìpodobnost, ¾e a) mu¾ A má svùj klobouk b) mu¾i B a C mají své klobouky, c) alespoò jeden mu¾ má svùj klobouk..3.7. V urnì jsou pouze èerné a bílé míèky. Dvì osoby vytahují støídavì bez vracení v¾dy po jednom míèku. Vyhrává ten, kdo vytáhne první bílý míèek. Vypoètìte pravdìpodobnost, ¾e vyhraje osoba, která zaèíná, jestli¾e v urnì jsou a) jeden bílý a ètyøi èerné míèky, b) dva bílé a ¹est èerných míèkù..3.8. Urna obsahuje 3 bílé, 5 èerných a èervené míèky. Dvì osoby vybírají bez vracení v¾dy po jednom míèku. Osoba, která první vytáhne bílý míèek, vyhrává. Pøi tahu èerného míèku konèí hra nerozhodnì. Vypoètìte pravdìpodobnost a) výhry osoby, která hru zaèíná, b) výhru osoby, která táhne míèek jako druhá, c) nerozhodného výsledku..3.9. Hráèi házejí postupnì mincí. Vyhrává ten, komu padne jako první líc. Urèete pravdìpodobnost výhry ka¾dého hráèe, hrají-li a) dva hráèi, b) tøi hráèi. 6

.4. Denujte podmínìnou pravdìpodobnost. Co jsou to nezávislé jevy a jak souvisí nezávislost jevù s podmínìnou pravdìpodobností? Vypoètìte pravdìpodobnost jevù pomocí podmínìné pravdìpodobnosti..4.. Uva¾ujme jevy A a B z pøíkladu... Dále uva¾ujme jev C, spoèívající v tom, ¾e nepadne èíslo vìt¹í ne¾ 4. Vypoètìte pøímo podmínìné pravdìpodobnosti P(A B), P(A C), P(B C)..4.. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e pøi hodu dvìma mincemi padly dva ruby, jestli¾e víme, ¾e padl alespoò jeden rub?.4.3. Ze spoleènosti deseti osob, mezi nimi¾ je 7 mu¾ù a 3 ¾eny vybíráme postupnì po jedné osobì. Vypoètìte pravdìpodobnost, ¾e a) druhá vybraná osoba je mu¾, je-li první vybraná ¾ena, b) tøetí vybraná osoba je mu¾, jsou-li první dvì vybrané ¾eny. Výpoèet proveïte jednak pøímo, jednak pomocí pravdìpodobnosti prùniku jevù..4.4. V urnì je 6 koulí, z toho jsou 4 koule bílé a èerné. Vytáhneme postupnì bez vracení 4 koule. Zaveïme jev A spoèívající v tom, ¾e právì jedna z prvních dvou ta¾ených koulí je bílá, jev B, ¾e ètvrtá ta¾ená koule je bílá jev C, ¾e ve výbìru 4 koulí jsou právì dvì bílé. Vypoètìte pøímo a) pravdìpodobnosti jevù A, B, C, b) pravdìpodobnosti prùnikù A B, B C.4.5. Souprava 3 karet obsahuje 4 esa. Ze soupravy vytahujeme postupnì bez vracení 3 karty. Vypoètìte pravdìpodobnost, ¾e a) tøetí vyta¾ená karta je eso, b) pouze tøetí vyta¾ená karta je eso, c) tøetí vyta¾ená karta je eso, jestli¾e první vyta¾ená karta je eso. d) tøetí vyta¾ená karta je eso, jestli¾e první dvì nejsou esa..4.6. V urnì jsou dvì koule - bílá a èerná. Postupnì vytahujeme po jedné kouli do té doby, ne¾ vytáhneme èernou. Pøitom kdykoli vytáhneme bílou kouli, vrátíme ji a s ní do urny pøidáme dal¹í dvì bílé koule. Urèete pravdìpodobnost, ¾e èerná koule nebude vyta¾ena a) v prvních dvou tazích, b) v prvních tøech tazích..4.7. Pøi hodu dvìma kostkami spoèívající jevy A, B a C postupnì v tom, ¾e souèet bodù na obou kostkách je dìlitelný dvìma, tøemi, pìti. Rozhodnìte, zda uvedené jevy jsou po dvou nezávislé..4.8. První stìna ètyøstìnu je obarvena modøe, druhá stìna èervenì, tøetí bíle. Na ètvrté stìnì jsou naneseny v¹echny tøi barvy. Náhodnì zvolíme jednu stìnu ètyøstìnu. Jevy A, B a C spoèívají postupnì v tom, ¾e na této stìnì vidíme modrou, èervenou nebo bílou barvu. Rozhodnìte, zda jevy A, B a C jsou a) po dvou nezávislé, b) sdru¾enì nezávislé. 7

.5. Co je to úplný systém jevù? Vyslovte vìtu o úplné pravdìpodobnosti a Bayesovu vìtu, vysvìtlete pou¾ití obou vìt na pøíkladech..5. Jev A spoèívá v tom, ¾e pøi hodu kostkou padne liché èíslo, jev B v tom, ¾e èíslo bude sudé. Tvoøí tyto jevy úplný systém jevù?.5.. Jsou-li A a B dva rùzné jevy, rozhodnìte, zda jevy A, B A, (A B) c tvoøí úplný systém jevù..5.3. V urnì je pìt koulí oèíslovaných èísly,,3,4,5., Vytáhneme jednu kouli. Je-li to koule s èíslem, vrátíme ji do urny. Je-li koule s jiným èíslem, do urny ji nevrátíme. Poté provedeme dal¹í tah za stejných podmínek. jaká je pravdìpodobnost, ¾e vytáhneme kouli s èíslem?.5.4. V urnì je 0 bílých a 5 èerných koulí. Jednu kouli z urny vytáhneme a opìt ji tam vrátíme. Spolu s pùvodní koulí do urny pøidáme dal¹ích 0 koulí té¾e barvy. Potom provedeme dal¹í tah. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e pøi tomto tahu vytáhneme bílou kouli..5.5. Partie domina obsahuje 8 kostek. Ka¾dá kostka je pùlená a v ka¾dé polovinì je 06 bodù. Postupnì táhneme dvì kostky. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e tyto kostky lze k sobì pøilo¾it..5.6. V urnì jsou tøi koule. Mezi nimi mohou být se stejnou pravdìpodobností buï 0,, nebo 3 bílé koule, ostatní budou èerné. Do urny pøidáme jednu 4 bílou kouli. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e po tomto pøidání vytáhneme z urny bílou kouli..5.7. Mìjte 0 stejných uren. V devíti z nich jsou v¾dy bílé a èerné koule. V desáté je 5 bílých a èerná koule. Z náhodnì zvolené urny byla vyta¾ena bílá koule. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e tato koule byla vyta¾ena z desáté urny?.5.8. První støelec zasáhne cíl s pravdìpodobností 4, druhý s pravdìpodobností 5 3 a tøetí s pravdìpodobností. Pøi souèasném výstøelu v¹ech tøí byl cíl zasa¾en 4 3 dvakrát. Vypoètìte pravdìpodobnost toho, ¾e terè nezasáhl tøetí støelec..5.9. V první partii výrobkù jsou výrobkù první a výrobkù druhé jakosti. 3 3 Druhá a tøetí partie obsahují pouze výrobky první jakosti. Z náhodnì zvolené partie byly postupnì vybrány dva výrobky tak, ¾e první byl po vybrání vrácen. oba tyto výrobky byly první jakosti. spoètìte pravdìpodobnost, ¾e výrobky byly vybrány z první partie..5.0. Mìjme tøi urny. V první jsou modré, 3 èervené a bílá koule, ve druhé modrá, èervená a bílé, ve tøetí 5 modrých, 3 èervené a 4 bílé. Náhodnì zvolíme jednu urnu a vytáhneme z ní dvì koule. Jedna z nich je bílá a druhá èervená. Jaká je pravdìpodobnost, ¾e koule pocházejí ze tøetí urny? 8

Výsledky a øe¹ení úloh :... a.) 6; }, },... 6}; b) 8 = 64; c)a =, 3, 5} ; d)b =, 3, 5} ; e)a B = 3, 5} ; A B =,, 3, 5} ;... a) uspoøádané dvojice [x, y], x, y,, 3, 4, 5, 6}; 6 = 36; uspoøádaná trojice [x, y, z], x, y, z,, 3, 4, 5, 6}; 6 9 = 6;..3. a) v¹echny permutace prvkù mno¾iny,, 3, 4, 5, 6}, 6! = 70; b) pouze ty permutace, kde na prvních tøech místech je trojice,, 3,.,.,.,.}, 3! = 6;..5. l}, R, L}, R, R, R, L},... ; nekoneèný ;..6. v¹echny body a) úseèky délky ; b) ètverce o stranì ; c) krychle o stranì ; ve v¹ech pøípadech nekoneèný (nespoèetný); 8.7! ;... p = = ; 0! p = n!n! 90 n(n ) (n)!... p = 44 4! = 3 3..4. postupnì: p = n! n ; p = n..6. a) p = 5; b) p = 3 9 4 ;..3. p =.9!9! 6! =, 0 ; 336 ; 6 ;..5. p = 5! 8! = ; c) p = 0;..7. a) p = ; b) p = 5 c) p = ;..8. a) p = 3 3. 4 4π = 0.43; b) p =. π = 0.637;..9. a) p = ; b) p =..0. p = ; 3 3 4.3.. p = 0.94;.3.. p = 9 ;.3.3. a) p = 0.448; b) p = 0.988; 7.3.4. p = 95.94.93.9.9. = 0.3;.3.5. p = 4;.3.6. a) p = ; 00.99.98.97.96 55 5 b) p = ; c) p = + + = 0.633;.3.7 a) p = 3; b) p = 4; 0! 3! 4! 5! 5 7.3.8. a) p = 89 49 ; b) p = ; c) p = ;.3.9. a) p 0 0 5 =, p 9 = ; b) 9 p = 4, p 7 =, p 7 3 = ; 7.4. P(A B) =, P(A C) =, P(B C) = ;.4.. p = ;.4.3. 3 3 a) p = 7; b) p = 7 6 ;.4.4. a) P(A) =, P(B) =, P(C) = ; b) 9 8 5 3 5 P(A B) = 4, P(A C) =, P(B C) =, P(A B C) = ; c) 5 5 5 5 P(A B) = 3, P(A C) =, P(B A) = 3, P(B C) =, P(C A) =, P(C B) = 5 3 4 3 ;.4.5. a)p = 69 ; b) p = ; c) p = 9 ; d)p = ;.4.6. a) 0 8 60 9 5 p = 3; b)p = 5 ;.4.7. Jevy A, B jsou nezávislé, jevy A, C i B, C jsou 8 6 po dvou závislé;.4.8. a)ano; b)ne;.5.. ano;.5.. ano;.5.3. p = 6 ;.5.4. p = ;.5.5. 5 3 p = 7 ;.5.6. p = 5;.5.7. p = 5 ;.5.8. p = 6 ;.5.9. 8 8 3 3 p = 5 ;.5.0. p = ; 59 9

.Náhodná velièina a její charakteristiky... Co je to diskrétní rozdìlení náhodné velièiny? Popi¹te alternativní, binomické, geometrické, hypergeometrické a Poissonovo rozdìlení. Pou¾ití tìchto rozdìlení ilustruje na pøíkladech. Co je to spojité rozdìlení náhodné velièiny, jaké vlastnosti má hustota spojitého rozdìlení? Popi¹te rovnomìrné, exponenciální a normální rozdìlení.... Krychle, která má v¹echny stìny obarveny, je rozøezána na 000 krychlièek o stejných rozmìrech. Ty jsou vlo¾eny do urny, kde jsou promíchány. Náhodnì je vyta¾ena jedna krychlièka. Náhodná velièina X udává, kolik obarvených stìn má vyta¾ená krychlièka. Najdìte rozdìlení náhodné velièiny X.... Pøi hodu nìkolika kostkami urèuje náhodná velièina X souèet bodù na v¹ech hozených kostkách. Najdìte rozdìlení náhodné velièiny X, házíme-li a) dvìma kostkami, b) tøemi kostkami?..3. V osudí je pìt koulí oznaèených èísly,,3,4,5. Postupnì vytáhneme tøi koule. Náhodná velièina X udává maximum z èísel oznaèujících ta¾ené koule, byly-li koule vyta¾eny bez vracení. Náhodná velièina Y udává toto maximum, byla-li ka¾dá koule ihned po vyta¾ení vrácena zpìt. Najdìte rozdìlení náhodných velièin X a Y...4. Ze spoleènosti 0 osob, kterou tvoøí 7 mu¾ù a 3 ¾eny, vybereme náhodnì tøi osoby. Náhodná velièina X udává poèet ¾en ve výbìru. Najdìte rozdìlení náhodné velièiny X a udejte o jaké rozdìlení se jedná...5. Je pravdìpodobnìj¹í, ¾e padnou a) 3 líce pøi hodu 4 mincemi, nebo 5 lícù pøi hodu 8 mincemi? b) alespoò 3 líce pøi hodu 4 mincemi, nebo alespoò 5 lícù pøi hodu 8 mincemi?..6. Automobil postupnì projí¾dí køi¾ovatkami se semafory tak dlouho, dokud ho nìkterý ze semaforù nezastaví. Pøitom ka¾dý ze semaforù ho zastaví s pravdìpodobností, nezastaví s pravdìpodobností. Náhodná velièina X udává, 3 3 kolik køi¾ovatek automobil projede, ne¾ bude zastaven. Najdìte její rozdìlení a udejte, o jaké rozdìlení pravdìpodobnosti se jedná...7. Napi¹te hustotu náhodné velièiny X, øídící se rovnomìrným rozdìlením pravdìpodobnosti na intervalu,...8. Napi¹te tvar hustoty exponenciálního rozdìlení, je-li λ = 3...9. Náhodná velièina X má rozdìlení pravdìpodobnosti s hustotou Najdìte konstantu c. f(x) = c, x (, ). + x..0. Napi¹te tvar hustoty normálního rozdìlení N(µ, σ ), je-li a) µ = 0, σ =, b) µ =, σ = 4. 0

. Denujte funkci a veïte její vlastnosti. Vysvìtlete co jsou to kvantily, speciálnì medián a co je to modus.... Najdìte distribuèní funkci náhodné velièiny X, její¾ rozdìlení je dáno tabulkou : x i 0 p i... Najdìte distribuèní funkci F(x) náhodné velièiny X z pøíkladu..3...3. Náhodná velièina X má rovnomìrné rozdìlení pravdìpodobnosti na intervalu,. Vypoètìte distribuèní funkci F(x) a medián...4. Distribuèní funkce F(x) náhodné velièiny X je dána vztahem F(x) = α + β. arctan( x ), x (, ). Urèete konstanty α, β a vypoètìte hustotu f(x)...5. Náhodná velièina X má distribuèní funkci 0, x, F(x) = + arcsin x π, < x <,, x. Vypoètìte a) pravdìpodobnost P( X ), b) hustou f(x), c) horní kvartil (75% kvantil) x 0.75..6. Náhodná velièina X má hustotu e f(x) = x, x 0, 0, x < 0. Vypoètìte a) distribuèní funkci F(x), b) modus x mod, c) medián x 0.5, d) P(X < 3)...7. V pøíkladu.. urèete modus x mod...8. Náhodná velièina X má hustotu xe f(x) = x, x 0, 0, x < 0. Vypoètìte distribuèní funkci F(x) a modus x mod. 4 4

.3. Jak se vypoète støední hodnota a rozptyl náhodné velièiny? Jaké mají tyto charakteristiky vlastnosti? Denujte obecné a centrální momenty a jejich výpoèet uka¾te na pøíkladech. Uka¾te na pøíkladì pou¾ití Èeby¹ovy nerovnosti..3.. Najdìte støední hodnotu a rozptyl náhodné velièiny X z pøíkladu....3.. Najdìte støední hodnotu a rozptyl náhodné velièiny X z pøíkladu..3..3.3. Vypoètìte støední hodnotu a rozptyl následujících diskrétních rozdìlení a) binomického s parametry n, p, b) Poissonova s parametrem λ, c) geometrického s parametrem p..3.4. Najdìte støední hodnotu a rozptyl náhodné velièiny Z, její¾ hustota je z, 0 z, f(z) = y, z, 0, jinde..3.5. Vypoètìte støední hodnotu a rozptyl následujících spojitých rozdìlení a) rovnomìrného intervalu < 0, >, b) exponenciálního s parametrem λ, c) normálního s parametry µ, σ..3.6. Uva¾ujte náhodnou velièinu X z pøíkladu... Vypoètìte obecné momenty µ 3, µ 4 a centrální momenty µ 3, µ 4..3.7. Uva¾ujte náhodnou velièinu X s hustotou e f(x) = x, x 0, 0, x < 0. Vypoètìte k-tý obecný moment µ k (pou¾ijte gama funkci). O jaké rozdìlení se jedná?.3.8. Vyjádøete tøetí, resp. ètvrtý centrální moment µ 3, resp. µ 4 pomocí obecných momentù nejvý¹e tøetího, resp. ètvrtého øádu. Výsledek pou¾ijte pro kontrolu øe¹ení pøíkladu.3.6..3.9. Vyu¾itím Èeby¹evovy nerovnosti odhadnìte pravdìpodobnost p = P( X E(X) < 0.3) jestli¾e víte, ¾e pro rozptyl platí D(X) = 0.009..3.0. Náhodná velièina X udává poèet lícù pøi 00 hodech symetrickou mincí (pravdìpodobnost líce v ka¾dém hodu je ). Pomocí Èeby¹evovy nerovnosti doka¾te a) P(90 < X < 0), b) P(80 < X < 0) 7. 8 Jaká má náhodná velièina X rozdìlení?

.4. Jak se provádí transformace náhodných velièin? Odvoïte tvar hustoty transformované spojité náhodné velièiny. Vypoètìte støední hodnotu a rozptyl funkce náhodné velièiny, speciálnì charakteristické funkce. Vypoètìte obecné momenty pomocí charakteristické funkce a odvoïte tvar charakteristické funkce souètu náhodných velièin..4.. Uva¾ujme náhodnou velièinu X z pøíkladu... Zaveïme náhodné velièiny Y = (X ), Z = X 3 3X +X +. najdìte rozdìlení náhodných velièin Y a Z..4.. Náhodná velièina X má rovnomìrné rozdìlení na intervalu π, π s hustotou f(x) = π, x π, π, 0, jinde. Vypoètìte hustotu g(y) náhodné velièiny Y = sin X..4.3. Náhodná velièina X má normální rozdìlení pravdìpodobnosti s hustotou e f(x) = x, x 0, 0, x < 0. Vypoètìte hustotu g(y) náhodné velièiny Y = X..4.4. Náhodná velièina X má normální rozdìlení pravdìpodobnosti s hustotou f(x) = e, x (, ). π x Najdìte hustotu náhodné velièiny Y = µ + σx a urèete její rozdìlení..4.5. Náhodná velièina X má hustotu rozdìlení f(x) = x e x, x 0, 0, x < 0. Pro náhodné velièiny Y a Z platí: Y = X, Z = e X. Vypoètìte (pomocí funkce gama) støední hodnotu a rozptyl náhodných velièin Y, Z, ani¾ byste hledali hustoty tìchto velièin..4.6. Vypoètìte støední hodnotu a rozptyl náhodné velièiny Y z pøíkladu.4.. bez vyu¾ití znalosti hustoty g(y)..4.7. Vypoètìte charakteristickou funkci náhodné velièiny X z pøíkladu... a pomocí ní vypoètìte støední hodnotu a rozptyl této velièiny..4.8. Vypoètìte charakteristickou funkci náhodné velièiny X s diskrétním rozdìlením daném tabulkou (Uvìdomte si, proè je tato funkce reálná!) a) X - p 0.5 0.5, b) X - 0 p 4 4 3

.4.9. Vypoètìte charakteristickou funkci náhodné velièiny X, která má hustotu f(x) = e x, x (, )..4.0. Vypoètìte charakteristickou funkci následujících rozdìlení a) alternativního s parametrem p, b) binomického s parametry n, p, c) Poissonova s parametrem λ, d) normálního s parametry µ = 0, σ =..4.. Na základì výsledkù pøíkladu.4.8. odvoïte a) v¹echny obecné momenty alternativního rozdìlení, b) støední hodnotu binomického rozdìlení, c) støední hodnotu a rozptyl Poissonova rozdìlení, d) charakteristickou funkci normálního rozdìlení N(µ, σ ) (vyu¾ijte pøíkladu.4.4). Výsledky a øe¹ení úloh:...... a) b)..3. a)..4. X 0 3 p 5 000 384 000 96 000 8 000 X 3 4 5 6 7 8 9 0 p 36 36 3 36 4 36 5 36 ; 6 36 5 36 4 36 3 36 X 3 4 5 6 7 8 9 0 p 6 3 6 6 6 0 6 5 6 6 5 6 7 6 X 3 4 5 6 7 8 p 7 6 5 6 X 3 4 5 p 0 3 0 6 6 0 5 6 ; b) X 0 3 p 9 000 55 000 75 000 8 000 0 6 6 6 3 6 6 36 ; 36 Y 3 4 5 p 5 7 5 9 5 37 5 6 5 ; hypergeometrické rozdìlení ;..5. a) 3 líce; b) alespoò 5 lícù; binomické rozdìlení;..6. p(i) =.( 3 3 )i, i = 0,,,... ; geometrické rozdìlení;..7. g(x) =, x ; ; g(x) = 0 jinde; 3..8. f(x) = 3e 3x, x 0; f(x) = 0, x < 0;..9. c = ; π..0. a) f(x) = π e x, x (, ); b) f(x) = π e 8 (x ), x ( ; ); ; ; 4

0, x ( ; ), 0, x ( ; 3),, x 0; ),, x 3; 4), 0... F(x) =... F(x) = 3, x ; ),, x 4; 5), 4 5, x ; );, x 5; ); 0, x <, x+..3. F(x) =, x ; ), x 0.5 = 0;..4. α =, β = ; π, x. f(x) = π 4+x, x ( ; );..5. a) P( X ) = ; 3 b) f(x) = (4 π x ), x ( ; ); f(x) = 0 jinde; c) x 0.75 = ;..6. a) F(x) = e x ; b) x mod = 0; c) x 0.5 = ln(); d) P(X < 3) = e 3 ;..7. a) x mod = 7; b) x mod = 0; ;..8. x mod = ; F(x) = 0, x < 0; F(x) = e x xe x, x 0;.3.. E(X) = 3 ; D(X) = ;.3.. E(X) = 9; D(X) = 9 ; 4 6 0.3.3. a) E(X) = np; D(X) = np( p); b) E(X) = D(X) = λ; c) E(X) = p p p ; D(X) = ;.3.4. E(Z) = ; D(Z) = ; p.p 6.3.5. a) E(X) = ; D(X) = ; b) E(X) = ; D(X) = λ λ ; c) E(X) = µ; D(X) = σ ;.3.6. µ 3 =.5; µ. 4 = 4.5; µ 3 = 0.85;. µ 4 = 0.77;.3.7. µ k = (k + ) = k!; exponenciální rozdìlení (λ = );.3.8. µ 3 = µ 3 3µ µ + (µ ) 3 µ 4 µ 4 4µ 3µ + 6µ (µ ) 3(µ ) 4 ;.3.9. p 0.9;.3.0. binomické rozdìlení; n = 00, p = 0.5;.4. Y 0 p 4.4.. g(y) = 3 4 ; P(Z = ) = ; (4 π y ), y ( ; ) ye y, y 0 ;.4.3. g(y) = 0, jinde 0, y < 0 ;.4.4. g(y) = σ exp( π σ (y µ) ), y R; normální rozdìlení N(0, );.4.5. E(Y ) = ; D(Y ) = 6; E(Z) = ; D(Z) =. = 0.0; 8 7 64.4.6. E( Y ) = 4 ; π D( Y ) = 4( 4π );.4.7. ϕ(t) = + 4 (eit + e it ); E(X) = 3 ; D(X) = ;.4.8. a) ϕ(t) cos t; b) ϕ(t) = 4 6 cos t;.4.9. ϕ(t) = ( + t ) ;.4.0 a) ϕ(t) = e it p + p; b) ϕ(t) = (e it p + p) n ; c) ϕ(t) = exp(λ(e it )); d) ϕ(t) = exp( t );.4.. a) µ = k p, k =,,... ; b) E(X) = µ = np; c) E(X) = µ = λ, D(X) = µ (µ ) = λ; d) ϕ(t) = exp(iµt σ t ). 5

3. Náhodný vektor. 3. Popi¹te diskrétní a spojité rozdìlení náhodného vektoru. Co je to sdru¾ená pravdìpodobnost, jaké vlastnosti má sdru¾ená hustota? Denujte distribuèní funkci náhodného vektoru. 3... Náhodný vektor Z = (X, Y ) má diskrétní rozdìlení dané následující tabulkou: 3 X = 0 8 X = 8 Y = Y = Pøesvìdète se, ¾e se skuteènì jedná o rozdìlení pravdìpodobnosti a vypoètìte a) P(X = Y ), b) P(Y > X). 3... Náhodný vektor Z = (X, Y ) má diskrétní rozdìlení dané následující tabulkou: 3 X = 0 8 X = 8 4 4 Y = 0 Y = Y = 3 6 6 3 6 6 Vypoètìte a) P(X = Y ), b) P(XY > 0), c) P( X Y ). 3..3. V osudí je pìt koulí oznaèených èísly,,3,4,5. Vytáhneme najednou tøi koule. Náhodná velièina X udává minimum, náhodná velièina Y maximum z èísel vyta¾ených koulí. Najdìte rozdìlení náhodného vektoru Z = (X, Y ). 3..4. Náhodný vektor Z = (X, Y ) má spojité rozdìlení a) na ètverci, s hustotou c, 0 x, 0 y, f(x, y) = 0, jinde b) na trojúhelníku, s hustotou c, 0 x y, f(x, y) = 0, jinde Vypoètìte v obou pøípadech konstantu c a P(Y X). 3..5. Náhodný vektor Z = (X, Y ) má hustotu c(x f(x, y) = + y ), x + y, 0, jinde. Vypoètìte konstantu c a P(X + Y 4 ). 6

3..6. Náhodný vektor Z = (X, Y ) má hustotu c( f(x, y) = x + y ), 0 x, 0 y 3, 3 0, jinde. Vypoètìte konstantu c a P(0 X, Y 3). 3..7. Náhodný vektor Z = (X, Y ) má distribuèní funkci sin(x) sin(y), 0 x π F(x, y) =, 0 y π, 0, jinde. Pøesvìdète se, ¾e se jedná opravdu o distribuèní funkci a vypoètìte sdru¾enou hustotu náhodného vektoru Z. 3..8. Náhodný vektor Z = (X, Y ) má distribuèní funkci F(x, y) = (sin(x) + sin(z) sin(x + y)), 0 x π, 0 y π. Vypoètìte a) sdru¾enou hustotu f(x,y), b) P(0 x π 6, 0 y π 6 ). 3..9. Náhodný vektor V = (X, Y, Z) má hustotu c(x + y + z), 0 x, 0 y y, 0 z, f(x, y, z) = 0, jinde. Vypoètìte konstantu c a P(0 X, 0 Y, 0 Z ). 7

3.. Denujte vektor støedních hodnot náhodného vektoru. Jak se poèítají jednotlivé slo¾ky tohoto vektoru? Denujte kovariaci a koleraèní koecient. Na pøíkladech uka¾te výpoèet kovariaèní a korelaèní matice. 3.. Uva¾ujme náhodný vektor Z = (X, Y ) z pøíkladu 3... Vypoètìte a) E(X), E(Y ), b) D(X), D(Y ), c) kovarianci d(x, Y ). 3... Uva¾ujme náhodný vektor Z = (X, Y ) z pøíkladu 3... Vypoètìte a) kovarianci d(x, Y ), b) korelaci r(x, Y ). 3..3. Uva¾ujme náhodný vektor Z = (X, Y ) z pøíkladu 3..5. Vypoètìte kovariaèní matici. 3..4. Uva¾ujme náhodný vektor Z = (X, Y ) z pøíkladu 3..6. Vypoètìte a) kovarianèní matici, b) koleraèní koecient ρ(x, Y ). 3..5. Vypoètìte kovarianèní matici náhodného vektoru Z = (X, Y ) s hustotu, x 0, y 0, x + y f(x, y) = 0, jinde. 3..6. Náhodný vektor U = (X, Y, Z) má hustotu x + z, 0 x, 0 y, 0 z f(x, y, z) = 0, jinde. Vypoètìte a) E(X), E(Y ), E(Z), b) kovariaèní matici. 3..7. Najdìte korelaèní matici R náhodného vektoru U = (X, Y, Z) s kovarianèní matici = 4 49. 6 4 36 3..8. Náhodná velièina X má rovnomìrné rozdìlení na intervalu 0, π. Zaveïme náhodnou velièinu Y = sin(x). Vypoètìte kovarianci d(x, Y ). 3..9. Uva¾ujme náhodnou velièinu X s alternativním rozdìlením daným pøedpisem: P(X = 0) = 3, P(X = ) = 3. Zaveïme náhodné velièiny Y = X 3, Z = X 5. Vypoètìte korelaèní koecient ρ(y, Z) a výsledek zdùvodnìte! 3..0. Nech» náhodná velièina X má exponenciální rozdìlení s parametrem λ =. Zaveïme náhodné velièiny Y = X, Z = X 3. Vypoètìte (pomocí funkce gama) korelaèní matici R náhodného vektoru U = (X, Y, Z). 8

3.3. Co je to marginální rozdìlení? Jak se vypoèítá marginální rozdìlení ze sdru¾eného rozdìlení v diskrétním a spojitém pøípadì? Denujte nezávislé náhodné velièiny a vysvìtlete, jak souvisí nezávislost náhodných velièin s kovariancí a korelací. 3.3.. Uva¾ujte náhodný vektor Z = (X, Y ) z pøíkladu 3... Vypoètìte marginální rozdìlení náhodných velièin X, Y a rozhodnìte, zda jsou velièiny X a Y nezávislé. Srovnejte s výsledkem pøíkladu 3... c)! 3.3.. Uva¾ujte náhodný vektor Z = (X, Y ) z pøíkladu 3... Vypoètìte marginální rozdìlení náhodných velièin X, Y a rozhodnìte, zda jsou velièiny X a Y nezávislé. Je tento závìr mo¾né udìlat té¾ na základì výsledkù pøíkladu 3..? 3.3.3. Uva¾ujte náhodný vektor Z = (X, Y ) z pøíkladu 3..4. Vypoètìte marginální rozdìlení náhodných velièin X, Y. Jsou velièiny X a Y nezávislé? 3.3.4. Náhodný vektor Z = (X, Y ) má rovnomìrné rozdìlení na kruhu s hustotou f(x, y) = π, x + y, 0, jinde. Vypoètìte a) marginální hustoty f x (x), f y (y) náhodných velièin X, Y a doka¾te, ¾e tyto náhodné velièiny jsou závislé, b) kovarianci d(x, Y ). 3.3.5. Uva¾ujte náhodný vektor Z = (X, Y ) z pøíkladu 3..6. Vypoètìte marginální hustoty f x (x), f y (y) náhodných velièin X, Y. 3.3.6. Uva¾ujte náhodný vektor Z = (X, Y ) z pøíkladu 3..8. Vypoètìte kovarianci d(x, Y ) a na základì výsledku doka¾te, ¾e náhodné velièiny X a Y jsou závislé. 3.3.7. Náhodný vektor Z = (X, Y ) má hustotu f(x, y) = c, x (, ), y (, ). (8 + x )(5 + y ) Vypoètìte konstantu c a marginální hustoty f x (x), f y (y) a rozhodnìte, zda jsou náhodné velièiny X a Y závislé. 3.3.8. Náhodný vektor Z = (X, Y ) má hustotu cxye f(x, y) = x y, x 0, y 0, 0, jinde. Vypoètìte konstantu c, marginální hustoty f x (x), f y (y) a rozhodnìte, zda jsou náhodné velièiny X a Y nezávislé. 3.3.9. Uva¾ujte náhodný vektor U = (X, Y, Z) z pøíkladu 3..6. Vypoètìte marginální hustoty a) náhodných velièin X, Y, Z, b) náhodných vektorù (X, Y ), (X, Z), (Y, Z). Jsou náhodné velièiny X, Y, Z sdru¾enì, nebo alespoò po dvou nezávislé? 9

3.4. Vysvìtlete pojem funkce náhodného vektoru. V jednoduchých pøípadech vypoètìte støední hodnotu a rozptyl konkrétní funkce, popøípadì naleznìte její rozdìlení. 3.4.. Náhodný vektor Z = (X, Y ) má diskrétní rozdìlení dané tabulkou: Y = 0 Y = 6 X = 0 0.3 0.4 X = 8 0. 0. Zaveïme náhodnou velièinu U = X + Y. Vypoètìte E(U), D(U) a najdìte rozdìlení náhodné velièiny U. 3.4. Náhodný vektor Z = (X, Y ) má spojité rozdìlení na ètverci (viz pøíklad 3.3.4. a)) s hustotou, 0 x, 0 y, f(x, y) = 0, jinde. Vypoètìte støední hodnotu a rozptyl náhodné velièiny U = X Y. 3.4.3 Náhodný vektor Z = (X, Y ) má dvojrozmìrné normální rozdìlení s hustotou f(x, y) = x + y π e( ), x (, ), y (, ). Vypoètìte støední hodnotu a rozptyl náhodné velièiny U = X + Y. K výpoètu pou¾ijte substituce do polárních souøadnic. 3.4.4. Náhodný vektor U = (X, Y, Z) má rovnomìrné rozdìlení na kouli s hustotou 3 f(x, y, z) = 4π, x + y + z, 0, jinde. Vypoètìte støední hodnotu a rozptyl náhodné velièiny T = X + Z + Y. K výpoètu pou¾ijte sférických souøadnic. 3.4.5. Uva¾ujte náhodný vektor U = (X, Y, Z) z pøíkladu 3..6. Vypoètìte støední hodnotu a rozptyl náhodných velièin S = XY Z, T = XY Z 3. ( ) 3.4.6. Náhodný vektor Z = (X, Y ) má kovarianèní matici =. 4 Víte-li, ¾e E(X) = a E(Y) =, vypoètìte a) støední hodnotu a rozptyl náhodné velièiny U = X + Y, b) kovarianèní matici náhodného vektoru T = (X + Y, X Y ). 3.4.7. Náhodný vektor U = (X, Y, Z) má nulový vektor støedních hodnot a 6 3 0 kovarianèní matici = 3 5. Vypoètìte 0 5 4 a) E(X + Y + 3Z ), b) D(3X + Y Z), c) kovarianci d(s, T), kde S = X + Y Z, T = X + Z. 0

3.4.8. Nech» X a Y jsou nezávislé náhodné velièiny, pøièem¾ a) X ι(n, p), Y ι(n, p) (binomické rozdìlení), b) X ρσ(λ ), Y ρσ(λ ) (Poissonovo rozdìlení), c) X N(µ, σ ), Y N(µ, σ ) (normální rozdìlení). Pomocí charakteristických funkcí najdìte rozdìlení náhodné velièiny Z = X +Y. 3.4.9. Nech» X, X,..., X n jsou nezávislé náhodné velièiny s alternativním rozdìlením s parametrem p. Pomocí charakteristických funkcí doka¾te, ¾e náhodná velièina Z = X + X + + X n má binomické rozdìlení ι(n, p). 3.4.0. Nech» X a Y jsou nezávislé náhodné velièiny s rovnomìrným rozdìlením na intervalu 0,. Zaveïme náhodnou velièinu Z = X + Y. Pomocí charakteristických funkcí doka¾te, ¾e náhodná velièina Z je velièina z pøíkladu.3.4. Výsledky a øe¹ení úloh: 3... a) P(X = Y ) = ; b) P(Y > X) = 7 3... a) P(X = 8 8 Y ) = 7 9 ; c) P( X Y ) = 6 8 6 Y = 3 Y = 4 Y = 5 X = 0. 0. 0.3 X = 0 0. 0. ; 3..4. a) c = ; P(Y X) = ; 4 X = 3 0 0 0. b) c = ; P(Y X) = ; 3..5. c = ; π P(X + Y ) = 4 6 3..6. c = 3 ; P(0 X, Y 3) = ; 3..7. f(x, y) = 6 7 cos(x) cos(y), 0 x π ; f(x, y) = 0 jinde; 3..8. a) f(x, y) = sin(x, y), 0 x π, 0 y π, f(x, y) = 0 jinde; b) P(0 x π, 0 y π ) = 3; 6 6 4 3..9. c = ; P(0 X, 0 Y, 0 Z ) = 3 6 3... a) E(X) = 3, E(Y ) = 3 5 ; b) D(X) = 6 64 4 d(x, ( Y ) = ; 3... a) d(x, Y ) = 0; b) r(x, Y ) = 0; 3..3. 6 ) ( /3 0 ) = ; 3..4. a) = 36 4 0 /9 ; b) ρ(x, Y ) = ( 4 6 ) 3..5. = 9 9 ; 3..6. a) E(X) = E(Y ) = E(Z) 7 9 9 = ; 3..7. = ; 44 3..8. d(x, Y ) = 4 π π 3..9. ρ(y, Z) = ; v obou pøípadech se jedná o náhodnou 0, 894 0, 688 velièinu X; 3..0. R = 0, 894 0, 93 0, 688 0, 93

0 3.3.. X : 5/8 3/8 ; Y : / / ; závislé; 3.3.. X : 0 3/4 /4 ; Y : 0, 0 x / /4 /4 ; nezávislé; není to mo¾né; 3.3.3. a) f x(x) = ; f y (y) = 0, jinde, 0 y x, 0 x ( y), 0 y ; nezávislé; b) f x (x) = ; f y (y) = ; 0, jinde ; 0, jinde 0, jinde závislé; 3.3.4.

4. Základní pojmy z teorie náhodných proccesù. 4.. Denujte nekoneènou posloupnost náhodných velièin a uveïte zákony velkých èísel. Vyslovte Bernoulliovu vìtu a centrální limitní vìtu a uka¾te jejich pou¾ití na pøíkladech. Vyslovte Chinèinovu vìtu a pomocí ní uka¾te, jak lze nìkteré integrály poèítat metodu Monte Carlo. 4... Pravdìpodobnost výskytu jevu pøi jednom pokusu je 0,3. S jakou pravdìpodobností lze tvrdit, ¾e relativní èetnost výskytu tohoto jevu ve 00 pokusech bude v mezích od 0, do 0,4? (Pou¾ijte centrální limitní vìtu.) 4... Pravdìpodobnost toho, ¾e se za dobu T porouchá jeden pøístroj, je rovna 0,. U¾itím centrální limitní vìty urèete pravdìpodobnost toho, ¾e se za dobu T ze sto pøístrojù porouchá a) alespoò 0, b) ménì ne¾ 8, c) 4 a¾ 6. 4..3. Pravdìpodobnost výskytu jevu v jednom pokusu je rovna 0,6. Bude provedeno 60 pokusù. Jaká je pravdìpodobnost toho, ¾e se tento jev vyskytne ve vìt¹inì z nich? 4..4. Pøi jednom pokusu získáme kladný výsledek s pravdìpodobností 0,05. Kolik je tøeba provést pokusù, abychom s pravdìpodobností 0,8 získali alespoò pìtkrát kladný výsledek? 4..5. Vybereme nezávisle na sobì náhodných èísel z intervalu (0; ). Vypoètìte pravdìpodobnost, ¾e jejich souèet padne do intervalu a) (5; 7), b) (4; 8), c) (5; 0). 4..6. Kolikrát je tøeba zmìøit jistou velièinu, její¾ pøesná hodnota je m, aby bylo mo¾né s pravdìpodobností 0,98 tvrdit, ¾e absolutní hodnota aritmetického prùmìru tìchto mìøení se od m li¹í o ménì ne¾, je-li smìrodatná odchylka rovna ètyøem? Øe¹te pomocí a) Èeby¹ovovy nerovnosti, b) centrální limitní vìty. 4..7. Urna obsahuje 0 míèkù s èísly 0,,..., 9. Vytáhneme postupnì n míèkù tak, ¾e vyta¾ený míèek v¾dy vracíme zpìt. Kolik míèkù je tøeba vytáhnout, aby relativní èetnost vyta¾ení míèkù s èíslem 6 byla s pravdìpodobností alespoò 0,95 v intervalu (0, 09; 0, )? Øe¹te pomocí a) Èeby¹ovovy nerovnosti, b) centrální limitní vìty. 4..8. Výpoèet integrálu J = 0 x dx je proveden metodou Monte Carlo na základì 000, nezávislých pokusù. Vypoètìte pravdìpodobnost toho, ¾e absolutní chyba pøi urèení velièiny J nepøekroèí 0,0. 4..9. Kolik pokusù musíme provést pøi výpoètu integrálu J = π/ sin(x)dx o metodou Monte Carlo, chceme-li, aby absolutní chyb vypoèteného integrálu nepøekroèila 0, 00.J s pravdìpodobností P 0, 99? 4..0. Vypoètìte dvojný integrál J = x.sin(πxy)dxdy. Dále tento integrál vypoètìte pomocí metody Monte Carlo na poèítaèi (volte 500 generovaných 0 hodnot) a oba výsledky porovnejte. 0 3

4.. Denujte náhodnou posloupnost a náhodný proces. Vysvìtlete pojem silné a slabé stacionarity. Zaveïte pojem kovarianèní funkce a spektrální hustoty náhodné posloupnosti (náhodného procesu). Jaký je vztah mezi kovarianèní funkcí a spektrální hustotou? Úlohy (V pøíkladech 4.. - 4..4. je Y t } posloupnost nekorelovaných náhodných velièin s nulovou støední hodnotou a jednotkovým rozptylem): 4... Náhodná posloupnost X t } je dána pøedpisem X t = Y t Y t. Doka¾te, ¾e tato schopnost je stacionární a vypoètìte kovarianèní funkci B(t). 4... Náhodná posloupnost X t } je dána pøedpisem X t = Y t + Y t 3Y t. Doka¾te, ¾e tato posloupnost je stacionární a vypoètìte kovarianèní funkci B(t). 4..3. Náhodná posloupnost X t } je dána pøedpisem X t ax t = Y t, kde a <. Vypoètìte kovarianèní funkci B(t) a spektrální husotu f(λ) posloupnosti X t }. 4..4. Náhodná posloupnost X t } je dána pøedpisem X t ax t + a X t = Y t, kde a. Vypoètìte kovarianèní funkci B(t) a spektrální hustotu f(λ) posloupnosti X t }. 4..5. Náhodná velièina Y má rovnomìrné rozdìlení na intervalu (0; π). Doka¾te, ¾e náhodný proces X t = sin(t + Y ) je stacionární a vypoètìte jeho kovarianèní funkci B(t). 4..6. Je-li X t stacionární proces s kovarianèní funkcí a) B(t) = e t, b) B(t) = e t cos(t), vypoètìte jeho spektrální hustotu f(λ). 4..7. Je-li X t stacionární proces s kovarianèní funkcí t, t B(t) =, 0, t vypoètìte jeho spektrální hustotu f(λ). 4..8. Je-li X t stacionární proces se spektrální hustotou vypoètìte jeho kovarianèní funkci B(t). f(λ) = π (λ + ), 4

Výsledky a øe¹ení úloh: 4... p =. 0, 97; 4... a) p =. 0, 5; b) p =. 0, 977; c) p =. 0, 866; 4..3. p =. 0.943; 4..4. 44; 4..5. a) p =. 0, 683; b) p =. 0, 955; c) p =. 0, 84; 4..6. a) n = 00; b) n = 7; 4..7. a) n = 800; b) n = 59; 4..8. p =. 0, 7; 4..9. n =., 55.0 6 ; 4..0. J = ; π 4, t = 0 5, t = 0 4, t ; } 4... B(t) =, t ; } 4... B(t) = 3, t ; } 0, t > 0, t 4..3. B(t) = a a t, f(λ) = π. ( a cos λ+a ) ; 4..4. B(t) = ( a ) 3 [( + a ) + (a ) t ]a t ; f(λ) = π. (a cos λ+a ) ; 4..5. B(t) = cost; 4..6. a) f(λ) = π 4..8. B(t) = 4 e t ( + t ). +λ ; b) f(λ) = π λ + λ4 +4 ; 4..7. f(λ) = cos λ πλ ; 5

5. Výbìr, úloha statistické indukce. 5.. Co je to náhodný výbìr? Jak se urèí rozdìlení náhodného výbìru v diskrétním a spojitém pøípadì? Jaký tvar má distribuèní funkce náhodného výbìru? Denujte uspoøádaný náhodný výbìr. 5... Vyjádøete sdru¾enou pravdìpodobnost P(X = x, X = x,..., X n = x n ), je-li (X, X,..., X n ) prostý náhodný výbìr a) z alternativního rozdìlení s parametrem p. b) z binomického rozdìlení s parametry m a p. c) z Poissonova rozdìlení s parametrem λ. d) z diskrétního rovnomìrného rozdìlení v rozsahu N. 5... Nech» (X, X,..., X n ) je prostý náhodný výbìr ze spojitého rovnomìrného rozdìlení na intervalu (0; ). Vypoètìte sdru¾enou distribuèní funkci F(x, x,..., x n ). 5..3. Nech» (X, X,..., X n ) je prostý náhodný výbìr z exponenciálního rozdìlení s hustotou λe f(x) = λx, x 0, 0, x < 0. Jaký tvar má sdru¾ená hustota f(x, x,..., x n ) a sdru¾ená distribuèní funkce F(x, x,..., x n )? 5..4. Nech» (X, X,..., X n ) je prostý náhodný výbìr z normálního rozdìlení N(µ, σ ). najdìte tvar sdru¾ené hustoty f(x, x,..., x n ). 5..5. Nech» (X, X,..., X n ) je prostý náhodný výbìr z rozdìlení s hustotou f(x) a distribuèní funkcí F(x). Uva¾ujme pøíslu¹ný uspoøádaný náhodný výbìr (X (), X (),..., X (n) ). Odvoïte a) obecnì distribuèní funkci a hustotu náhodných velièin X (), X (n), b) distribuèní funkci a hustotu náhodných velièin X (), X (n) v pøípadì, ¾e (X, X,..., X n ) je výbìr ze spojitého rovnomìrného rozdìlení na intervalu (0;). 6

5.. Co je to realizace náhodného výbìru? Jak se sestrojí histogram a empirická distribuèní funkce? Uveïte výbìrové charakteristiky náhodného výbìru - výbìrový prùmìr, rozptyl, modus, medián, variaèní koecient a rozpìtí. Jak se tyto charakteristiky poèítají? Jak se provádí tøídìní dat - uka¾te na pøíkladech. 5... Vypoètìte empirickou distribuèní funkci, modus, medián, variaèní rozpìtí V, výbìrový prùmìr x a rozptyl s, jestli¾e jsme pøi náhodném výbìru získali následující realizace a) 0, 0,,,, 0,, 0,,, 0. b),,,, 3, 3, 4, 5, 7. c) 6, 7, 9,, 8, 9, 0,, 0,, 8. 5... Pøi dvou náhodných výbìrech (n = n = 5) jsme získali následující realizace: X i :, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 0, Y i : 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 9, 9, 0. Vypoètìte a) modus, medián a variaèní rozpìtí v obou výbìrech, b) x, y, s x, s x y, c) v první slo¾ce proveïte tøídìní do 4 tøíd, ve druhé slo¾ce do 3 tøíd. 5..3. V pøedchozí úloze 5.. uva¾ujte vektor realizací (X i, Y i ), i =,,..., 5. Sestavte tabulku absolutních èetností a) jednotlivých dvojic. b) pøi tøídìní do 3 tøíd v první slo¾ce, do 4 tøíd ve druhé slo¾ce. 5..4. Pøi mìøení 00 novorozencù byla mìøena délka tìla X a odvod hlavy Y. jako realizace vektoru (X, Y ) byla získána následující data: X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 5 36 48 34 50 34 5 34 47 35 5 35 5 36 49 34 5 37 5 36 50 35 50 34 43 34 49 34 48 34 49 34 50 33 48 34 5 36 54 38 49 34 49 33 49 33 49 33 50 34 50 33 49 35 5 35 53 35 48 3 48 33 5 35 5 34 49 34 5 36 5 34 50 35 47 35 49 34 5 35 5 37 50 35 56 39 5 34 47 34 53 36 49 34 48 33 5 36 53 33 5 36 49 34 5 35 50 34 49 35 50 33 49 34 50 34 48 34 47 35 50 35 53 36 5 36 47 33 48 33 48 33 50 36 49 3 49 35 48 34 50 34 50 35 48 34 50 35 49 33 50 3 54 37 50 35 5 34 53 38 5 36 53 37 48 34 48 33 50 35 50 35 50 34 53 39 48 33 5 34 50 33 5 35 5 36 49 33 50 34 49 35 5 36 49 35 49 34 5 35 Sestavte tabulku absolutních èetností a) jednotlivých dvojic. b) pøi tøídìní do 5 tøíd pro první souøadnici, do 4 tøíd pro druhou souøadnici. 7

Výsledky a øe¹ení úloh: 5... a) P(X = x, X = x,..., X n = x n = p P n i= Xi ( p) n P n i= Xi ; b) P(X = x, X = x,..., X n = x n ) = ( m m ) ( x)( x... m ) P n x n p i= X ( p) mn P n i= Xi ; e c) P(X = x, X = x,..., X n = x n ) = nλ x!x!...x λp n i= X n! ; d) P(X = x, X = x..., X n = x n ) = ( N )n ; 5... F(x, x,..., x n ) = x x... x n ; 5..3. f(x, x,..., x n ) = λ n exp( λ n i= i), F(x, x,..., x n ) = ( e λx )( e λx )... ( e λxn ); 5..4. f(x, x,..., x n ) = (πσ ) n exp( σ n (X i= i µ) ); 5..5. a) F () (x) = ( F(x)) n, f () (x) = nf(x)( F(x)) n ; F (n) (x) = (F(x)) n, f (n) (x) = nf(x)(f(x)) n ; 5... a) 0, x < 0, 5 F(x) = x 0; );, x mod = x 0,5 = V =, x = 6 s = 0, 73; b) x >, x < < ; ) < ; 3) < 3; 4) < 4; 5) < 5; 7) > 7, x F(x) 0 /3 4/9 /3 7/9 8/9 mod =, x 0,5 = 3, V = 6, x = 3, s = 4, 5,.. 3, 807; c) x = 9, 73; s = 5... a) x mod = 6; x 0,5 = 5; V = 8; y mod = 6, y 0,5 = 6, V = 6; b) x = 5; s x = 3, 57; y = 6; s y =, 857; c) X,0-3,9 4,0-5,9 6,0-7,9 8,0-0 n 3 6 5 ; Y 4,0-5,9 6,0-7,9 8,0-0 n 7 5 3 ; Y : 4 5 6 9 0 3 5..3. a) 4 3 5 6 3 0 Y : 3 33 34 35 36 37 38 39 47 3 48 6 7 49 5 0 5 50 4 9 9 5..4. a) X:5 3 6 4 5 3 7 53 54 55 56 Y : 3,5-33,5 33,5-35,5 35,5-37,5 37,5-39,5 46,5-48,5 8 b) 48,5-50,5 33 X: 50,5-5,5 3 3 5,5-54,5 4 3 54,5-56,5 8

6. Teorie odhadu. 6.. Co jsou bodové odhady parametrù? Jak se zajistí, ¾e pøíslu¹ný odhad je nestranný, konzistentní, vydatný? 6... Uva¾ujme prostý náhodný výbìr X, X,..., X n z libovolného rozdìlení se støední hodnotou µ a rozptylem σ. Doka¾te, ¾e výbìrový prùmìr x je a) nestranným b) konzistentním odhadem støední hodnoty µ (v pøípadì b) pou¾ijte Èeby¹eovovu nerovnost). Je statistika X+X nestranným èi konzistentním odhadem µ? 6... Mìjte prostý náhodný výbìr X, X,..., X n z libovolného rozdìlení se støední hodnotou µ a rozptylem σ. Uva¾ujme následující odhadové statistiky pro rozptyl σ : a) V = n n (X i= i µ), c) V 3 = n (X n i= i X), b) V = n n (X i= i X), d) V 4 = n n (X Zjistìte, které z nich jsou nestranné èi i= ix i+ ). konzistentní. 6..3. Nech» X, X,..., X n je prostý náhodný výbìr z alternativního rozdìlení s parametrem p. Doka¾te, ¾e a) X n n X i= i je nestranný odhad parametru p, b) P n i= Xi(P n i= Xi ) je nestranným odhadem p. n(n ) (Návod: uvìdomte si, ¾e n X i= i má binomické rozdìlení s parametry n a p - viz pøíklad 3.4.9.) 6..4. Nech» X, X,..., X n je prostý náhodný výbìr z Poissonova rozdìlení. Doka¾te, ¾e a) X = n n X i= i je nestranným konzistentním odhadem parametru λ, b) T = ( n n )P n i= Xi je nestranným a konzistentním odhadem e λ. a vypoètìte rozptyl odhadu uvedeného v b). 6..5. Nech» X, X,..., X n je prostý náhodný výbìr z rozdìlení s hustotou f(x) = α exp( x α ), x 0 (α > 0),. 0, x < 0. Doka¾te, ¾e X je nestranný, konzistentní a ecientní odhad parametru α. 6..6. Uva¾ujme prostý náhodný výbìr X, X,..., X n z rozdìlení s hustotou f(x) = π θ exp( x θ ), x 0 (θ > 0),. 0, x < 0. Doka¾te, ¾e X není nestranným odhadem parametru θ a najdìte konstantu c tak, aby c. X byl nestranným odhadem parametru θ. 6..7. Uva¾ujme prostý náhodný výbìr X, X,..., X n z rovnomìrného rozdìlení na intervalu (0; θ) s hustotou f(x) = θ, x (0; θ),. 0, jinde 9

Nech» nyní X (), X (),..., X (n) je uspoøádaný náhodný výbìr. Vypoètìte (s pomocí výsledku pøíkladu 5..8.) støední hodnotu E(X ( n)) a na základì výsledku tohoto výpoètu rozhodnìte, zda je X (n) nestranným nebo konzistentním odhadem parametru θ. 6.. Vysvìtlete, co je podstatou metody maximální vìrohodnosti a na pøíkladech uka¾te pou¾ití této metody. Co je to momentová metoda a jak se provádí? 6... Uva¾ujme prostý náhodný výbìr X, X,..., X n z alternativního rozdìlení s parametrem p. Odhadnìte parametr p a) metodou maximální vìrohodnosti (pou¾ijte výsledku pøíkladu 5...), b) momentovou metodou a oba výsledky porovnejte s výsledkem pøíkladu 6..3.a). 6... Uva¾ujme prostý náhodný výbìr X, X,..., X n z binomického rozdìlení s parametry m, p, kde m je známé èíslo. Odhadnìte parametr p metodou maximální vìrohodnosti. K výpoètu pou¾ijte výsledku pøíkladu 5... 6..3. Uva¾ujme prostý náhodný výbìr X, X,..., X n z binomického rozdìlení s parametry m, p. Odhadnìte metodou momentù a) parametr p, je-li m známé (porovnejte s výsledkem pøíkladu 6...) b) parametry m, p (oba jsou neznámé). 6..4. Uva¾ujme prostý náhodný výbìr X, X,..., X n z Poissonova rozdìlení s parametrem λ. Odhadnìte parametr λ a) metodou maximální vìrohodnosti (pou¾ijte výsledku pøíkladu 5..3.). b) momentovou metodou a oba výsledky porovnejte. 6..5. Na základì výsledku pøedchozího pøíkladu odhadnìte parametr λ, jeli dána tabulka èetností realizace náhodné velièiny X, u ní¾ pøedpokládáme Poissonovo rozdìlení. X i 0 3 4 n i 09 65 3 6..6. nech» X, X,..., X n je prostý náhodný výbìr z diskrétního rozdìlení, v nìm¾ P(X i = x i ) =.x i! (eλ.λ xi + e λ.λ xi ), x i = 0,,,..., 0 < λ < λ. Odhadnìte parametry λ, λ momentovou metodou. 30

6..7. Uva¾ujme prostý náhodný výbìr X, X,..., X n z normálního rozdìlení N(µ, σ ). Odhadnìte metodou maximální vìrohodnosti i momentovou metodou a) parametr µ, b) parametr σ pøi známém µ, c) parametr σ pøi neznámém µ. Pøi pou¾ití metody maximální vìrohodnosti vyu¾ijte výsledku pøíkladu 5..7. Výsledky v b), c) porovnejte s odhady V, V z pøíkladu 6... 6..8. Uva¾ujme prostý náhodný výbìr X, X,..., X n z exponenciálního rozdìlení s parametrem λ. Odhadnìte parametr λ metodou maximální vìrohodnosti i momentovou metodou a oba výsledky porovnejte. Pøi pou¾ití metody maximální vìrohodnosti vyu¾ijte výsledku ulohy 5..6. 6..9. Metodou maximální vìrohodnosti odhadnìte parametr λ, jedná-li se o prostý náhodný výbìr X, X,..., X n z rozdìlení s hustotou λ a) f(x) = xe λx, x 0, (λ > 0), 0, x < 0, λ b) f(x) = 3 x e λx, x 0, (λ > 0), 0, x < 0. 6.3. Popi¹te normální rozdìlení a rozdìlení od nìho odvozené. Co je to normované normální rozdìlení? 6.3.. Nech» X je náhodná velièina s normálním rozdìlením N(µ, σ ). Pomocí hodnot distribuèní funkce (x) rozdìlení N(0, ) stanovte následující pravdìpodobnosti: a) P(µσ X µ + σ), d) P(µ, 96σ X µ +, 96σ), b) P(µσ X µ + σ), e) P(µ, 58σ X µ +, 58σ), c) P(µ3σ X µ + 3σ), f) P(µ3, 9σ X µ + 3, 9σ). Pøi výpoètu vyu¾ijte rovnost ( x) = (x), x R, kterou zároveò doka¾te. 6.3.. Nech» X je náhodná velièina s normálním rozdìlením N(µ, σ ), kde µ = 0, 8, σ = 4. Vypoètìte následující pravdìpodobnosti: a) P(X, 44), d) P(X ), b) P(X, 6), e) P(X, 9), c) P(X, 93), f) P( X 0). K výpoètu pou¾ijte hodnot distribuèní funkce rozdìlení N(0, ). 6.3.3. Nech» X, X,..., X n je prostý náhodný výbìr z rozdìlení N(µ, σ ). Vypoètìte støední hodnotu a rozptyl výbìrového prùmìru X a pomocí pøíkladu 3.4.8.c) doka¾te, ¾e X má rozdìlení N(µ, σ n ). 3