4. 5. Pythgoro ět Pythgoro ět - úod Pythgoro ět popisuje zth, který pltí mezi délkmi strn proúhlém trojúhelníku. Vět zní: Geometrická definice: Obsh čterce sestrojeného nd přeponou (nejdelší strnou) proúhlého roinného trojúhelníku je roen součtu obshů čterců nd jeho oděsnmi (děm krtšími strnmi). Formálně Pythgorou ětu yjdřuje ronice c b, kde c oznčuje délku přepony proúhlého trojúhelník délky oděsen jsou oznčeny b. Pythgoro ět umožňuje dopočítt délku třetí strny trojúhelník, jestliže jsou známé délky dou zbýjících strn: - - - Výpočet délky přepony c: Výpočet délky oděsny : Výpočet délky oděsny b: c b c b c b c b b c b c Algebrická definice: V kždém proúhlém trojúhelníku je druhá mocnin délky přepony ron součtu druhých mocnin délek obou oděsen. - 1 -
1. Je dán proúhlý trojúhelník KLM se strnmi délek k = 4 cm, l = 5 cm, m = 3 cm. Oěřte pltnost Pythgoroy ěty. Přepon je nejdelší strn, proto musí pltit: l m k. Dosdíme číselné hodnoty: 5 3 4 5 9 16 5 5 Pythgoro ět pltí. Pythgorou ětu lze použít i obráceně ke zjištění, zd je dný trojúhelník proúhlý. Obrácená Pythgoro ět zní: Jestliže trojúhelníku pltí, že součet obshů čterců sestrojených nd krtšími strnmi je roen obshu čterce sestrojeného nd nejdelší strnou, potom je tento trojúhelník proúhlý.. Rozhodni, zd dné úsečky jsou strnmi proúhlého trojúhelníku: ) 4,5 cm, b 6 cm, c 7,5 cm b) m 0,6 cm, n 9 mm, p 0,11 dm ) b 4,5 6 0, 5 36 56, 5 c 7,5 56, 5 Pltí Pythgoro ět: c b, úsečky jsou strnmi proúhlého trojúhelníku. b) m n 6 9 36 81 117 c 7,5 56, 5 Nepltí Pythgoro ět: p m + n,úsečky nejsou strnmi proúhlého trojúhelníku. Důkz Pythgoroy ěty: Důkzů je několik, nejnázornější je důkz pomocí obshů. Vezměme d shodné čterce, které mjí stejný obsh. Jejich strn má délku b. Čterec n prním obrázku je rozdělen n čtyři shodné proúhlé trojúhelníky s oděsnmi, b (sětle šedé) n d čterce s obshy b (tmě šedé). Druhý čterec je rozdělen n čtyři shodné proúhlé trojúhelníky s oděsnmi délek (sětle šedé) n čterec se strnou délky c, jehož obsh je c (tmě šedý). Šedé trojúhelníky jsou nzájem shodné, proto jsou si obshy zbylých částí (tmě šedé) rony. Proto pltí: c b. - -
N dlším obrázku idíme, že pokud čterce nd oděsnmi (ronormenný proúhlý trojúhelník) rozdělíme n trojúhelníky, lze z nich ytořit čterec nd přeponou s délkou strny ronjící se délce přepony zákldního trojúhelníku. Historie Pythgoro ět byl pojmenoán podle Pythgor ze Smu (si 580 ž 500 př. nším letopočtem, řecký filozof, ědec politik), který zřejmě jko prní tuto ětu dokázl. Vět byl prděpodobně znám i jiných stroěkých ciilizcích dáno před stroěkým Řeckem. V Číně částečně i Egyptě. Pythgorejská čísl jejich ýpočet Pythgorejská čísl jsou tořen trojicí přirozených čísel, b, c, pro které pltí c b. Jsou to tedy přirozená čísl yhoující Pythgoroě ětě. Pythgorejská čísl lze ytořit podle následující ěty: Čísl, b, c jsou pythgorejská práě tehdy, jestliže je lze yjádřit e tru p q, b pq, c p q pro liboolná přirozená čísl p, q, pro která pltí p q. Npř. pro p = 1 q = dostneme trojici = 3, b = 4, c = 5; pro p = q = 5 dostneme trojici = 0, b = 1, c = 9. Hperdonpté npínči ln e stroěkém Egyptě Před íce než 4 000 lety při stbách egyptských chrámů pyrmid ytyčoli prý úhel npínči ln. N proze uázli 13 uzlů stejně od sebe zdálených. Prní uzel spojili s třináctým proz npnuli do trojúhelníku se strnmi 3, 4, 5 dílů. Z obr. Je zřejmé, že prý úhel leží proti nejdelší strně. - 3 -
3. Zjistěte, zd trojúhelník dný těmito strnmi je proúhlý: ) 5 cm, 7 cm, 8 cm b) 0 cm, 4,8 dm, 0,5 m Aby byl trojúhelník proúhlý, musí pro délky jeho strn pltit Pythgoro ět. Přeponou je nejdelší strn. ) = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm c b 8 5 7 64 5 49 64 74 Trojúhelník není proúhlý, nepltí Pythgoro ět. b) = 0 cm, b = 4,8 dm = 48 cm, c = 0,5 m = 5 cm c b 5 0 48 704 400 304 704 704 Trojúhelník je proúhlý, Pythgoro ět pltí. 4. Vypočítejte délku přepony proúhlého trojúhelníku, jestliže délky oděsen jsou: ) 6 cm, 8 cm b) 15 mm, cm ) = 6 cm, b = 8 cm, c =? c b c b c c c 6 8 36 64 100 c 10 cm Délk přepony je 10 cm. b) = 15 mm, b = cm = 0 mm, c =? c b c b c c c 15 0 5 400 65 c 5 cm Délk přepony je 5 cm. - 4 -
5. Vypočítejte délku oděsny proúhlém trojúhelníku, jestliže: ) = dm, c = 5, dm b) = 0,16 m, c = 3,4 dm ) = dm, c = 5, dm, b =? b c b c b b 5, 3,04 b 4,8 dm Délk oděsny je 4,8 dm. b) = 0,16 m = 1,6 dm, c = 3,4 dm, b =? b c b c b b 3,4 1,6 9 b 3 dm Délk oděsny je 3 dm. 6. Vypočítejte délku úhlopříčky obdélníku ABCD, jestliže délky strn AB BC jsou: ) 16 cm, 1 cm b) 4 mm, 0,45 dm ) Úhlopříčk obdélník rozdělí n d proúhlé trojúhelníky. = 16 cm, b = 1 cm, u =? - 5 -
u b u b u u 16 1 400 u 0 cm Délk úhlopříčky obdélníku je 0 cm. b) = 4 mm =,4 cm, b = 0,45 dm = 4,5 cm, u =? u b u b u u, 4 4,5 6,01 u 5,1 cm Délk úhlopříčky obdélníku je 5,1 cm. 7. Vypočítejte délku úhlopříčky čterce: ) jehož obod je 8 m b) jehož obsh je 5 dm ) Úhlopříčk čterec rozdělí n d proúhlé trojúhelníky. o = 8 m, =?, u =? o 4 o:4 8 : 4 o cm u u u u u 8 u,83 cm Délk úhlopříčky čterce je,83 cm - 6 -
b) S = 5 dm, =?, u =? S u S 5 u u 5 cm u 5 u 50 u 7,1 dm Délk úhlopříčky čterce je 7,1 dm 8. Vypočítejte délku strny čterce, jehož úhlopříčk má délku 18 cm. u = 18 cm, =? Délk strny čterce je 1,7 cm. 9. Vypočítejte ýšku ronormenného trojúhelníku, jestliže má zákldn délku 4 cm rmen mjí délku 15 cm. u u u u 18 16 1,7 cm AB = z = 4 cm, AC = BC = r = 15 cm, =? - 7 -
Výšk půlí zákldnu rozdělí ronormenný trojúhelník n d shodné proúhlé trojúhelníky. V trojúhelníku ASC pltí: AS = 4 : = 1 cm, AC = 15 cm AC AS AC AS 15 1 81 AC AS 9 cm Výšk ronormenného trojúhelníku má délku 9 cm. 10. Vypočítejte ýšku ronostrnného trojúhelníku, jehož obod je 15 cm. Výšk ronostrnného trojúhelníku půlí strnu ke které je kolmá rozdělí trojúhelník n d shodné proúhlé trojúhelníky. o = 15 cm, =?, =? Výpočet strny : o 3 o 3 15 3 o 5 cm Výpočet ýšky : AC AS AC AS 5,5 AC AS 18,75 4,3 cm Výšk ronostrnného trojúhelníku má délku 4,3 cm. - 8 -
11. Vypočítej obod obsh obdélníkoé zhrdy, jestliže úhlopříčk měří,6 m jedn strn 1,5 m. = 1,5 m, u =,6 m, b =?, o =?, S =? u b b u b u b, 6 1,5 b,1 m Obod obdélníkoé zhrdy je 7, 4 m obsh je 3,18 m. o b o 1,5,1 o 7,4 m S b S 1,5,1 S 3,18 m 1. Okolo obdélníkoého les 10 m dlouhého 50 m širokého je ozoá cest. O kolik metrů si zkrátí chodec chůzi pěšinou po úhlopříčce tohoto les? Potřebujeme se dostt z bodu A do bodu C. = 10 m, b = 50 m, u =? chůze po úhlopříčce: u b 10 50 130 m chůze okolo: + b = 10 + 50 = 170 m rozdíl: 170 130 = 40 m Chodec si zkrátí chůzi pěšinou po úhlopříčce o 40 m. - 9 -
13. Deět metrů ysoký strom se bouři přelomil tk, že jeho rcholek se dotýká země 3 m od pty stromu. V jké ýšce se zlomil? ýšk stromu... 9 m zdálenost od pty stromu... 3 m ýšk zlomu... x zniklý trojúhelník nákresu je proúhlý, proto pltí Pythgoro ět: 9 x x 3 8118x x x 9 18x 7 x 4 m Strom se zlomil e ýšce 4 m. 14. Žebřík dlouhý 9 m je spodním koncem opřen 1,75 m od zdi. Do jké ýšky doshuje n zdi horní konec žebříku? délk žebříku... 9 m zdálenost od zdi... 1,75 m ýšk n zdi... x - 10 -
x 1,75 9 x 813, 065 x 77,9375 x 8,8 m Horní konec žebříku doshuje n zdi do ýšky 8,8 m. 15. Pn Dořák lstní pozemek e tru ronormenného trojúhelníku se strnmi 50 m, 50 m, 60 m. Pn Noák lstní pozemek, který má tr ronostrnného trojúhelníku se strnmi délky 55 m. Kdo z nich má pozemek o ětší rozloze? pn Dořák... ronormenný trojúhelník: 50 m, 50 m, 60 m pn Noák... ronostrnný trojúhelník: = 55 m rozloh pozemku p. Dořák... S 1 rozloh pozemku p. Noák... S ronormenný trojúhelník ronostrnný trojúhelník 1 1 50 30 900 1 30 m z1 S1 6030 S1 S 900 m 1 55 7,5 68, 75 47,63 m z S 5547,63 S S 1309,8 m Větší pozemek má pn Noák. - 11 -
16. Do jké ýšky shá dojitý žebřík 6 m dlouhý, jsou-li jeho dolní konce od sebe zdáleny 5 m? dojitý žebřík je ronormenným trojúhelníkem jeho ýšk je ýškou žebříku 6,5 9,75 5,5 m Dojitý žebřík doshuje do ýšky 5,5 m. 17. Vypočtěte délku strny čterce jeho obsh, jestliže jeho úhlopříčk má délku 5 cm. u 5 cm, =?, S =? Pltí Pythgoro ět: - 1 -
u u u u 5 50 5 5 cm Délk strny čterce je 5 cm. S S 5 S 5 cm Obsh čterce je 5 cm. 18. N těleso působí témže bodě dě síly F 1 = 160 N F = 40 N, které sírjí úhel elikosti 90 0. Určete elikost ýslednice těchto sil. F 1 = 160 N, F = 40 N, F =? F F F F F F F 1 160 40 5600 1600 700 164,9 N Velikost ýslednice těchto sil je 164,9 N. 19. Nrýsujte úsečku CD, jejíž délk je 10 cm. Sestrojíme proúhlý trojúhelník ABC s prým úhlem při rcholu B, oděsn AB bude mít délku 3 j. d. (jednotkoé délky, npř. 3 cm), oděsn BC bude mít délku 1 j. d. - 13 -
(jednotkoou délku, npř. 1 cm), délk přepony AC je potom AC 3 1 10. 10 cm. 0. Krbice tru krychle má obsh 384 cm. Určete délku její: ) hrny b) stěnoé úhlopříčky c) tělesoé úhlopříčky ) S 384 cm,? S 6 S 6 S 6 384 6 64 8 cm Délk hrny krychle je 8 cm. - 14 -
b) S 384 cm, 8 cm, u? u u t t u u u t t t t 8 18 u 11,3 cm t Délk stěnoé úhlopříčky krychle je 11 3 cm. c) S 384 cm, 8 cm, u 11,3 cm, u? u u t u u u u t 11,3 8 191, 69 u 13,8 cm t Délk tělesoé úhlopříčky krychle je 13,8 cm. 1. Vejde se hůl o délce 70 cm do kufru o délce 60 cm, šířce 40 cm ýšce 0 cm? = 60 cm, b = 40 cm, c = 0 cm, u =? (stěnoá úhlopříčk dolní podsty) u b u b u 60 40 u 500 u 7,1 cm Hůl o délce 70 cm se ejde do kufru, protože délk úhlopříčky dolní podsty je 7,1 cm. - 15 -
. Vodoroná zdálenost dou míst je podle plánu 300 m, ýškoý rozdíl činí m. Jká je skutečná zdálenost těchto míst? V proúhlém trojúhelníku pltí Pythgoro ět: x 300 0 x x 90000 400 90400 x 300,7 m Skutečná zdálenost míst je 300,7 m. 3. Kosočterec má úhlopříčky délky u 1 = 1 cm, u = 16 cm. Vypočítejte: ) délku strny kosočterce b) jeho obsh ) u 1 = 1 cm, u = 16 cm, =? Pro ýpočet délky strny kosočterce yužijeme lstnosti úhlopříček kosočterce, které jsou k sobě kolmé nzájem se půlí. V proúhlém trojúhelníku ASB pltí Pythgoro ět: - 16 -
u1 u u1 u 1 16 100 10 cm Délk strny kosočterce je 10 cm. b) u 1 = 1 cm, u = 16 cm, S =? Úhlopříčky rozdělí kosočterec n 4 shodné proúhlé trojúhelníky. Délky jejich oděsen jsou. Obsh jednoho proúhlého trojúhelníku je u1 u u1 u u1 u 4 u1 u S. Obsh 4 shodných proúhlých trojúhelníků je 8 u1 u u1 u S 4. Obsh čtyřúhelníku lze pomocí úhlopříček ypočítt užitím 8 u1 u 116 zorce S 96 cm. Obsh kosočterce je 96 cm. 4. Vypočítejte obsh pridelného šestiúhelníku s délkou strny = 6 cm. = 6 cm, S =? Obsh pridelného šestiúhelníku ypočítáme jko obsh šesti shodných ronostrnných trojúhelníků, které nám zniknou při sestrojení úhlopříček tohoto šestiúhelníku. Délk strny tohoto ronostrnného trojúhelníku je 6 cm. - 17 -
Nejdříe musíme ypočítt ýšku ronostrnného trojúhelníku. Tu ypočítáme pomocí Pythgoroy ěty z proúhlého trojúhelníku BOS, který znikl sestrojením ýšky ronostrnném trojúhelníku ABS. BS BS 6 3 7 5, cm S 6 3 365, 93,6 cm Obsh šestiúhelníku je 93,6 cm. - 18 -
Užití Pythgoroy ěty plnimetrii stereometrii 1. Vypočítejte délku úhlopříčky obdélníku ABCD o strnách = 70 cm, b = 40 cm. Úhlopříčk obdélník je přeponou proúhlém trojúhelníku s oděsnmi u b u u u 70 40 6500 80,6 cm. Úhlopříčk má délku přibližně 80,6 cm. b.. Vypočítejte délku úhlopříčky čterce o strně: ) = 5 cm b) = 1 m. ) Úhlopříčk čterce je přeponou proúhlém trojúhelníku s oděsnmi. u u u u 5 5 50 7,1 cm. Úhlopříčk má délku přibližně 7,1 cm. b) u u u 1 1 1,4 m. Úhlopříčk má délku přibližně 1,4 m. - 19 -
3. Vypočítej ýšku ronostrnného trojúhelníku o strně = 10 dm. Hledná ýšk je oděsnou proúhlém trojúhelníku, jehož druhá oděsn má délku přepon délku. 10 5 75 8,7 dm. Výšk měří přibližně 8,7 dm. 4. Vypočítej obsh ronostrnného trojúhelníku o strně = 10,4 cm. Nejdří ypočteme ýšku ronostrnného trojúhelníku pomocí Pythgoroy ěty.. S 10,4. 9 10,4 5, S 81,1 S 46,8 cm. 9 cm. Obsh trojúhelníku je 46,8 cm. 5. Mostní kruhoý oblouk má rozpětí 4 m ýšku 8 m. Vypočítejte poloměr kružnice, jejíž částí je kruhoý oblouk? AB 4 m XB 1 m XY 8 m SX r 8 r SB SY? r r 8 1 r r r 16 64 144 16r 08 r 13 Poloměr kružnice, jejíž částí je mostní oblouk, je 13 metrů. - 0 -
6. Král smrků prlese Boubín (před sým pádem prosinci 1970) rostl šikmo. Vychýlení rcholu od sislé osy činilo 11 m, doshol ýšky 45,9 m. Jká byl délk jeho kmene? délk kmene je přeponou proúhlého trojúhelníku x x x x x 11 45,9 11106,81 7,81 7,81 47, m Délk kmene byl přibližně 47, m. 7. Jké rozměry má obrzok teleizoru o úhlopříčce 60 cm šířce 45 cm? ýšk obrzoky je oděsnou proúhlého trojúhelníku x x 60 45 40 cm Rozměry obrzoky jsou 45 cm x 40 cm. 8. Noákoi si koupili teleizor s plochou obrzokou o úhlopříčce 55 cm. Určete délku šířku obrzoky, íte-li, že jsou poměru 4 : 3? délk šířk obrzoky mjí obecně délky 4 x 3 x jsou oděsnmi proúhlého trojúhelníku s přeponou délky 55 cm x x 55 4 3 3 05 5x x x x 11 3 05 5 11 Rozměry obrzoky budou 4.11 44 cm, b 3.11 33 cm. - 1 -
9. Obdélníkoý obrázek má strny poměru 4 : 3, jeho úhlopříčk má délku 0 cm. Určete jeho rozměry. strny obrázku mjí obecně délky 4 x 3 x jsou oděsnmi proúhlého trojúhelníku s přeponou délky 0 cm x x 0 4 3 400 5x x x x 4 400 5 16 Délky strn obdélník budou 4.4 16 cm, b 3.4 1 cm. 10. Kosočterec má úhlopříčky 4 cm 10 cm. Urči délku jeho strny. Úhlopříčky kosočterci jsou n sebe kolmé nzájem se půlí. Z proúhlého trojúhelníku s oděsnmi 1 cm 5 cm pk určíme délku jeho přepony, která je strnou dného kosočterce. c 1 5 c c c 13 144 5 169 Strn kosočterce má délku 13 cm. - -
11. Obod kosočterce je 60 cm. Vypočti délku jeho úhlopříček, jsou-li poměru 3 : 4. Délk strny kosočterce je 60: 4 15 cm. Úhlopříčky kosočterci jsou n sebe kolmé zájemně se půlí. Z Pythgoroy ěty pro proúhlý trojúhelník s oděsnmi 3x 4x, přeponou délky 15 cm určíme neznámou x. 15 3x 4x 9x 16x 5 4 4 5x 5 4 900 5x x x 6 900 5 Úhlopříčky kosočterce mjí délky u 1= 36 =18 cm, u = 4 6 =4 cm. - 3 -
1. Nádob tru hrnolu s podstou tru kosočterce má jednu úhlopříčku podsty 0 cm hrnu podsty 6 cm. Hrn podsty je k ýšce hrnolu poměru : 3. Vypočtěte, kolik litrů ody se ejde do nádoby? Úhlopříčky kosočterci jsou n sebe kolmé nzájem se půlí. Z Pythgoroy ěty pro u1 u proúhlý trojúhelník s oděsnmi =10 cm, přeponou délky 6 cm určíme délku úhlopříčky u 1. u1 u u u 48 cm 1 6 10 1 6 Pomocí délek úhlopříček ypočteme obsh podsty hrnolu: S S S p p p u 1.u 0.48 480 cm Z poměru určíme ýšku hrnolu: 6 : = : 3 = 39 cm Určíme objem nádoby: V = S. p V = 480. 39 V = 18 70 cm 3 18,7 l Do nádoby se ejde 18,7 litrů ody - 4 -
13. Stožár je uchycen pomocí 4 stejných ln. Vypočtěte, jké ýšce je lno uchyceno, je-li délk ln 7 m zdálenost kolíku ln od pty stožáru je 4 m? Ukotení ln toří proúhlý trojúhelník KPV podle nákresu x 9 5 x x x 815 56 7,48 m Lno je ukoteno přibližně e ýšce 7,5 m. 14. Vypočtěte délku žebříku opřeného o zeď domu e zdálenosti 3,5 m e ýšce 7 m od země. Délk žebříku je přeponou proúhlého trojúhelníku s oděsnmi délek 3,5 7. c 3,5 7 c c c 1, 5 49 61,5 7,8 m Žebřík měří přibližně 7,8 metru. 15. Rozhodněte, zd dosáhne žebřík dlouhý 3 metry n zeď ysokou,8 m, musí-li být kůli stbilitě jeho spodní konec 70 cm od zdi? Pro délku žebříku musí pltit 3 x, kde x je přeponou proúhlého trojúhelníku z nákresu x,8 0, 7 x x x 7,84 0, 49 8,33,89 m Žebřík bude opřen o hrnu zdi bude nd zeď přečnít. - 5 -
16. Průměr kmene stromu je 30 cm. Lze z něj yříznout trám s příčným řezem e tru čterce o strně 0 cm? Hrn čtercoého trámu je oděsnou ronormenného proúhlého trojúhelníku s přeponou délky 30 cm podle nákresu 900 450 30 1, cm Můžeme yříznout čtercoý trám s hrnou ž 1 cm. 17. Cheopso pyrmid Egyptě má čtercoou podstu o hrně si 7 m ýšku přibližně 140 m. Vypočítejte: ) délku úhlopříčky její podsty b) délku boční hrny pyrmidy ) Úhlopříčk podsty pyrmidy je přeponou ronormenného proúhlého u trojúhelníku se strnou délky 7 m. 7 7 u u u 51 59 51 59 103 058 31 m Úhlopříčk podsty pyrmidy měří 31 m. b) Hrn pyrmidy je přeponou proúhlého trojúhelníku s oděsnmi 140 m (ýšk pyrmidy) 160,5 m (poloin úhlopříčky podstě pyrmidy) h 140 160,5 h 19 600 5 760,5 h 45 360,5 h 13 m Hrn pyrmidy má délku přibližně 13 m. - 6 -
18. Podstou pridelného trojbokého hrnolu je ronostrnný trojúhelník se strnou délky 6 cm. Vypočítejte porch objem tohoto hrnolu, jestliže jeho ýšk je 16 cm. pomocné ýpočty: - ýšk podsty hrnolu je oděsnou proúhlého trojúhelníku podle nákresu 6 3 p 7 p p p p 5, cm - obsh podsty hrnolu (obsh trojúhelníku) S S.p 6. 5, 15,6 cm p Porch hrnolu: S =.S strnmi 6 cm 16 cm) S =. 15,6 + 3. 6. 16 S = 319, cm p S (plášť hrnolu toří 3 obdélníky se pl Objem hrnolu: V = S., kde = 16 cm (ýšk hrnolu) V = 15,6. 16 V = 49,6 cm 3 p 3 Porch hrnolu je 319, cm objem hrnolu je 49,6 cm. - 7 -
19. V ronormenném lichoběžníku ABCD se zákldnmi AB CD, je = 80 mm, b = 5 mm, c = 40 mm. Určete ýšku lichoběžník ypočtěte jeho obsh. V ronormenném lichoběžníku pltí: x c : x 80 40 : 0 V proúhlém trojúhelníku AD D podle Pythgoroy ěty pltí: d x d x 5 0 304 48 Výšk lichoběžník je 48 mm. Výpočet obshu lichoběžník: c S 80 40 S 48 S 880 mm Obsh lichoběžník je 880 mm. 0. Vypočítejte, jk dleko jsou od sebe hroty ručiček hodin 15:00? (Hrot hodinoé ručičky je od středu ciferníku zdálen 8 cm hrot minutoé ručičky 11 cm.) podle Pythgoroy ěty pltí: x m h x 11 8 x 185 x 13,6 cm Vzdálenost hrotů ručiček je přibližně 13,6 cm. - 8 -
1. V kružnici ks ; 8,4cm je těti AB zdálen od středu S 1, cm. Vypočítej elikost této tětiy. podle Pythgoroy ěty pro SS B ( BS = 8,4, BS = x, SS = 1,) pltí: 8,4 1, x x x 70,56 1, 44 69,1 8,3 cm x AB. x 16,6 cm Velikost tětiy AB je přibližně 16,6 cm.. Je dán kružnice ks ; 1,6 cm její dě nzájem ronoběžné tětiy AB CD, AB 19, cm, CD 8,4 cm. Vypočítej zdálenost těti. 1.. podle Pythgoroy ěty pro CS S ( CS =1,6, CS = CD :, SS = x ) pltí: 1,6 4, 1 1 1 1 1 1 podle Pythgoroy ěty pro AS S ( AS =1,6, AS = AB :, SS = x ) pltí: 1,6 9,6 x x 158, 76 17, 64 x1 141,1 x 11,9 cm x x x x 158, 76 9,16 66,6 8, cm 1 1.řešení: S S x x 1 1.řešení: S S x x 1 1 0,1 cm 3,7 cm - 9 -
3. Vypočítejte ýměru čtercoého pozemku hektrech, má-li chodník spojující npříč pozemkem jeho protější rohy délku 00 metrů? podle Pythgoroy ěty pro trojúhelník z náčrtku pltí: 00 x x 40 000 x / : x x 0 000 141,4 m S x x. 141,4 19 994 m. (Ale pozor při ýpočtu druhé odmocniny jsme délku strny pozemku zokrouhloli!) Je hodné pro ýpočet použít délku strny e tru odmocniny: S x. x 0 000 0 000 m h Skutečná ýměr pozemku je h. - 30 -
4. Jký musí být nejmenší průměr kruhu, by se z něj dl uříznout pridelná šestiúhelníkoá podložk, která má zdálenost ronoběžných strn 10 cm? Pridelný šestiúhelník lze rozdělit n 6 shodných ronostrnných trojúhelníků (iz. náčrtek) podle Pythgoroy ěty pro trojúhelník z náčrtku pltí: r r 5 r r r 5 / - 4 4 3r 4 5 / 4 3 100 r 3 r r 100 3 5,8 cm d 11,6 cm Průměr kruhu musí být přibližně 11,6 cm. - 31 -
5. Vypočítejte obsh pridelného šestiúhelníku epsného do kružnice, která má průměr 11,6 cm. Obsh pridelného šestiúhelník lze rozdělit n 6 shodných ronostrnných trojúhelníků (iz. náčrtek), kde pro ABS pltí: BS d : 5,8 cm, BS BS :,9 cm, SS je ýškou ABS. 1 1 Podle Pythgoroy ěty pro trojúhelník z náčrtku pltí: 5,8,9 / -,9 33,64 8,41 5,3 5 cm Obsh pridelného šestiúhelník ypočteme: S 6.S, kde S 5,8 5 S 6 S 87 cm AB. Obsh pridelného šestiúhelník je 87 cm. 6. Ppíroý drk je upoután n proze o délce 50 metrů znáší se nd místem zdáleném 1 m. Vypočítejte, jké ýšce se drk znáší? Výšk, e které se drk znáší je oděsnou proúhlého trojúhelníku z nákresu. Podle Pyth.ěty pltí: 1 50 500 144 356 48,5 m Drk se znáší e ýšce 48,5 m. - 3 -
7. Vypočítejte obsh proúhlého trojúhelník, jestliže jeho krtší oděsn měří 7 cm poloměr kružnice opsné tomuto trojúhelníku je 5 cm. Z nákresu je zřejmé, že střed kružnice opsné proúhlému trojúhelníku leží e středu jeho přepony, proto přepon má délku c 10 cm. Podle Pyth.ěty pltí: 7 b 10 b b b 100 49 51 7,14 cm 77,14 S S 4,99 cm Obsh dného trojúhelník je přobližně 5 cm. Pythgoro ět cičení I 1. Vypočítejte k následujícím dojicím čísel, b tkoé číslo c, že pltí ) 6, 8 b) 1, 16 c) 16, 30 d) 14, 48 ) c 6 8 36 64 100 c = 10 b) c 1 16 144 56 400 c = 0 c) c 16 30 56 900 1156 c = 34 d) c 14 48 196 304 500 c = 50 c b : - 33 -
. Sestrojte k uedeným trojicím čísel, b, c trojúhelníky o strnách délky, b, c změřte kždém z nich úhel proti strně c. (délky strn jsou dány milimetrech) : Podle ěty sss sestrojíme trojúhelníky. Trojúhelníky ), b) jsou proúhlé, le c) není proúhlý. ) b) c) 3. Rozhodněte, zd je trojúhelník proúhlý, mjí-li jeho strny délky milimetrech: ) 4,, 3 b) 4, 3, 5 c) 4, 5, 6 d) 4, 11, 1 e) 5, 1, 13 f) 6, 13, 14 g) 4, 6, 8 h) 5, 7, 9 i) 6, 8, 10 ) + b = 3 =13 c 4 16 trojúhelník není proúhlý + b c b) + b = 3 4 =5 c 5 5 trojúhelník je proúhlý + b c c) + b = 4 5 =41 c 6 36 trojúhelník není proúhlý + b c - 34 -
d) + b = 4 11 =137 c 1 144 trojúhelník není proúhlý + b c e) + b = 5 1 =169 c 13 169 trojúhelník je proúhlý + b c f) + b = 6 13 =05 c 14 196 trojúhelník není proúhlý + b c g) + b = 4 6 =5 c 8 64 trojúhelník není proúhlý + b c h) + b = 5 7 =74 c 9 81 trojúhelník není proúhlý + b c i) + b = 6 8 =100 c 10 100 trojúhelník je proúhlý + b c 4. Rozhodněte, je-li trojúhelník proúhlý, jestliže jeho strny mjí délky: ) 80 mm, 100 mm, 160 mm b) 80 cm, 150 cm, 170 cm c) 50 m, 40 m, 30 m d) 50 cm, 40 cm, 60 cm Řešení ) + b = 80 100 =16400 c 160 5600 trojúhelník není proúhlý + b c b) + b = 80 150 =8900 c 170 8900 trojúhelník je proúhlý + b c c) + b = 30 40 =500 c 50 500 trojúhelník je proúhlý + b c d) + b = 50 40 =4100 c 60 3600 trojúhelník není proúhlý + b c - 35 -
5. Rozhodněte, zd jsou trojúhelníky se strnmi těchto délek proúhlé: ) 4,8 cm; 9 cm; 10,4 cm b) 3,5 cm; 84 mm; 9,1 cm c) 1,3 dm; 1 cm; 50 mm d),4 m; 10 dm; 60 cm e) 0,1 m; 8 cm; 60 mm f) 1 m; 3 dm; 40 cm ) + b = 4,8 9 =104,04 c 10, 4 108,16 trojúhelník není proúhlý + b c POZOR: Délky strn musíme nejpre přeést n stejné jednotky! b) 3,5 cm; 8,4 cm; 9,1 cm + b = 3,5 8,4 = 8,81 c 9,1 8,81 trojúhelník je proúhlý + b c c) 13 cm; 1 cm; 5 cm + b = 1 5 = 169 c 13 169 trojúhelník je proúhlý + b c d) 4 dm; 10 dm; 6 dm + b = 4 10 = 676 c 6 676 trojúhelník je proúhlý + b c e) 10 cm; 8 cm; 6 cm + b = 8 6 = 100 c 10 100 trojúhelník je proúhlý + b c f) 10 dm; 3 dm; 4 dm + b = 10 3 = 69 c 4 576 trojúhelník není proúhlý + b c 6. Zjisti, zd PQR: p = 13 cm, q = 14 cm, r = 19 cm je proúhlý. p + q = 13 14 =365 r 19 361 Trojúhelník PQR není proúhlý. - 36 -
7. Zjisti, zd MNO: m = 1 cm, n = 16 cm, o = 0 cm je proúhlý. m + n = 1 16 =400 o 0 400 Trojúhelník MNO je proúhlý. 8. Vypočítejte délku přepony proúhlého trojúhelníku, jsou-li dány jeho oděsny: ) 9 cm 56 mm b) 18 cm 0,8 m ) + b = c c = 9 5,6 c c 11,36 11,36 c 10,6 cm. Délk přepony je 10,6 cm. b) + b = c c = 18 80 c c 674 674 c 8 cm. Délk přepony je 8 cm. 9. Vypočítejte délku druhé oděsny proúhlém trojúhelníku, znáte-li délku přepony délku jedné oděsny: ) 6 cm 10 cm b) 18,5 mm 14,8 mm ) + b = c b = c b = 6 10 b b 576 576 b 4 cm. Délk druhé oděsny je 4 cm. - 37 -
b) + b = c b = c b = 18,5 14,8 b 13, 1 b 13, 1 b 11,1 mm. Délk druhé oděsny je 11,1 mm. 10. Vypočítejte délku přepony proúhlého trojúhelníku ABC, jsou-li dány jeho oděsny: ) b11 cm; c6, cm b),5 m; b1, m ) b + c = POZOR: strn je přeponou trojúhelníku! = 11 6, 159, 44 159, 44 1,6 cm. Délk přepony je přibližně 1,6 cm. b) + b = c c =,5 1, c 6,505 c 6,505 c,55 m. Délk přepony je,55 m. 11. Vypočítejte délku oděsny proúhlém trojúhelníku s přeponou c: ) c165 cm; 1 cm b) b16, 4 m; c4,5 m ) + b = c b = c b = 165 1 b 1341 b 1341 b 111,1 cm. Délk druhé oděsny je přibližně 111,1 cm. - 38 -
b) + b = c = c b = 4,5 16,4 331, 9 331, 9 18, m. Délk druhé oděsny je přibližně18, m. 1. Je dán proúhlý trojúhelník ABC s prým úhlem u rcholu C. Vypočítejte délku chybějící strny, je-li: ) 3 cm; b4,5 cm b),5 cm; c 7,5 cm c) 0,8 cm; b,5 cm d) b 34,5 cm; c 50,5 cm ) + b = c c = 3 4,5 c 9,5 c 9,5 c 5,4 cm. Délk přepony je přibližně 5,4 cm. b) + b = c b = c b = 7,5,5 b 51,1875 b 51,1875 b 7, cm. Délk druhé oděsny je přibližně 7, cm. c) + b = c c = 0,8,5 c 6,89 c 6,89 c,6 cm. Délk přepony je přibližně,6 cm. d) + b = c = c b = 50,5 34,5 1360 1360 36,9 m. Délk druhé oděsny je přibližně 36,9 m. - 39 -
13. Sestrojte prý úhel, máte-li k použití proázek, který je rozdělen uzlíky n 30 stejných dílů Proúhlý trojúhelník se strnmi 5, 1, 13 dílů Pythgoro ět cičení II 1. Oěřte, zd může mít obdélník: ) délky strn 8 cm, 15 cm délku úhlopříčky 17 cm; b) délky strn 36 mm, 38 mm délku úhlopříčky 40 mm; c) délky strn 8 dm, 6 dm délku úhlopříčky 1 m; d) délky strn 1,1 cm,,4 cm délku úhlopříčky,7 cm e) délky strn,4 dm, 3,4 dm délku úhlopříčky 4,4 dm f) délky strn 0,15 dm, 0 mm délku úhlopříčky,5 cm Sousední strny obdélník b toří spolu s úhlopříčkou u proúhlý trojúhelník, proto musejí splňot Pythgorou ětu: + b = u. ) + b = 8 15 = 64 + 5 = 89 u 17 89 + b u jedná se o obdélník b) + b = 36 38 = 196 + 1444 = 740 u 40 1600 + b u není splněn podmínk pro obdélník c) nejpre šechny délky přeedeme n decimetry + b = 8 6 = 64 + 36 = 100 u 10 100 + b u jedná se o obdélník d) + b = 1,1,4 = 1,1 + 5,76 = 6,97 u,7 7,9 + b u není splněn podmínk pro obdélník e) + b =,4 3,4 = 5,76 +11,56 =17,3 u 4, 4 19,36 + b u není splněn podmínk pro obdélník f) nejpre šechny délky přeedeme n centimetry + b = 1,5 =,5 + 4 = 6,5 u,5 6, 5 + b u jedná se o obdélník - 40 -
. Rozhodněte podle Pythgoroy ěty, který z trojúhelníků zdných délkmi strn je proúhlý: ) 3 ; 4 ; 5 b) ; 4 ; 6 c) 3 ; ; 5 d) 3 ; 4 ; 5 7 7 7 e) 7 ; 7 ; 7 f) 3 4 5 15 0 5 ; ; 7 7 7 g) x; 4x; 6x h) 3x; 4x; 5x i) 4x; 5x; 6x j) 1 ; 1 ; k) ; ; 3 l) ; ; 8 m) 0,6; 0,8; 1 n) 3 ; 4 ; 1 5 5 o) 0,5; 1,; 1,3 5 5 trojúhelník není proúhlý + ) + b = 3 4 = 3 + 4 = 7 c b c b 6 6 trojúhelník je proúhlý + b) + = 4 = + 4 = 6 c b c 5 5 trojúhelník není proúhlý + c) + b = 3 = 3 + 4 = 7 c b c d) + b = = + = 3 4 9 16 5 7 7 49 49 49 5 5 c trojúhelník je proúhlý + b c 7 49-41 -
e) Pozor, přeponou c je prní z čísel. 7 7 49 49 49. 5+16 49.41 009 9 + b = = + = 5 4 5 16 5 400 400 400 400 7 49 4 c 5 trojúhelník není proúhlý + b c 3 9 9 f) + b = = + = 15 0 5 400 65 7 7 49 49 49 5 65 c trojúhelník je proúhlý + b c 7 49 g) + b = x 4 x = 4 x + 16 x = 0x 6 36 trojúhelník není proúhlý + c x x b c h) + b = 3x 4 x = 9 x + 16 x = 5x 5 5 trojúhelník je proúhlý + c x x b c i) + b = 4x 5 x = 16 x + 5 x = 41x 6 36 trojúhelník není proúhlý + c x x b c j) + b = 1 1 = trojúhelník je proúhlý + c b c k) + b = = 4 + 4 = 8 3 3 trojúhelník není proúhlý + c b c l) + b = = 4 + 4 = 8 8 8 trojúhelník je proúhlý + c b c m) + b = 0,6 0,8 = 0,36 + 0,64 = 1 c 1 1 trojúhelník je proúhlý + b c 3 4 9 16 5 n) + b = = + = 1 5 5 5 5 5 c 1 1 trojúhelník je proúhlý + b c o) + b = 0,5 1, = 0,5 + 1,44 = 1,69 c 1,3 1, 69 trojúhelník je proúhlý + b c - 4 -
3. Jk dlouhá je úhlopříčk obdélníku, který má délky strn: ) 8 cm; 1,5 dm b) 1,5 cm; 36 mm c) 33 mm; 0,56 dm d) 15 mm; 3 cm e) 96 cm; 11 dm f) 1,8 m; 7 dm Sousední strny obdélník b toří spolu s úhlopříčkou u proúhlý trojúhelník, proto musejí splňot Pythgorou ětu: + b = u. Nejdří přeedeme obě délky n stejné jednotky pk ypočteme délku přepony proúhlého trojúhelník. ) 8 cm, b15 cm u + b u + b u u u 64 5 89 17 cm b) 15 mm, b 36 mm u + b u + b u u u 5 196 151 39 mm c) 3,3 cm, b5, 6 cm u + b u + b u u 10,89 31,36 4,5 u 6,5 cm - 43 -
d) 1,5 cm, b3 cm u + b u + b u 46, 5 104 u 1486, 5 u 38,55 cm e) 96 cm, b 110 cm u + b u + b u 916 1100 u u 1316 146 cm f) 18 dm, b7 dm u + b u + b u 34 79 u 1053 u 3,45 cm 4. Vypočítejte délku druhé strny obdélník, je-li dán jeho strn délk úhlopříčky: ) 1,7 dm; 15 cm b) 34 cm; 3 dm c) 15 cm;,5 dm d) 0,56 m; 6,5 dm e) 11 cm; 146 mm f) 15 mm; 39 mm Sousední strny obdélník b toří spolu s úhlopříčkou u proúhlý trojúhelník, proto musejí splňot Pythgorou ětu: + b = u. Nejdří přeedeme obě délky n stejné jednotky pk ypočteme délku oděsny proúhlého trojúhelník. - 44 -
) 15 cm, u 17 cm u + b b u b 89 5 b b 64 8 cm b) 30 cm, u 34 cm u + b b u b 1156 900 b b 56 16 cm c) 15 cm, u 5 cm u + b b u b 65 5 b b 400 0 cm d) 5,6 dm, u 6,5 dm u + b b u b 4, 5 31,36 b b 10,89 3,3 dm e) 110 mm, u 146 mm u + b b u b 1316 1100 b 916 b 96 mm - 45 -
f) 15 mm, u 39 mm u + b b u b 1515 b b 196 36 mm 5. Vypočítejte délku úhlopříčky čterce, je-li délk strny: ) 4 cm b) 3,6 dm c) 400 mm d) 70 cm e) x cm f) x cm Strny čterce spolu s úhlopříčkou u toří proúhlý trojúhelník, proto musejí splňot Pythgorou ětu: + = u. Po úprě ýrzu dostneme: u, u ) 4 cm u u u.4 3 5,7 cm b) 3,6 dm u u u. 3,6 5,9 5,1 dm c) 400 mm = 4 dm Přeedeme n hodnější jednotku! u u u.4 3 5,7 dm d) 70 cm = 7 dm Přeedeme n hodnější jednotku! u u u.7 98 9,9 dm - 46 -
e) x cm u. x u x cm f) x cm u u u. x. 4x 8x u x 8 cm = x cm Po částečném odmocnění 6. Vypočítejte elikost ýšky ronostrnném trojúhelníku se strnou délky: ) 4 cm; b) 60 mm; c) 0,08 m; d) 10 cm; e) 1, dm; f) 0 cm ) 4 cm 4 1 3,46 cm Výšk ronostrnného trojúhelníku je oděsnou proúhlého trojúhelníku podle nákresu b) 60 mm = 6 cm 6 3 7 5, cm - 47 -
c) 0,08 m = 8 cm 8 4 48 6,93 cm d) 10 cm 10 5 75 8,66 cm e) 1, dm = 1 cm 1 6 108 10,39 cm f) 0 cm 0 10 300 17,3 cm 7. Vypočítejte délku strny ronostrnného trojúhelníku, má-li jeho ýšk délku: ) 4 cm; b) 60 mm; c) 0,08 m; d) 10 cm; e) 1, dm; f) 0 cm - 48 -
Po doszení: ) = 4 cm Výšk ronostrnného trojúhelníku je oděsnou proúhlého trojúhelníku podle nákresu. Strnu určíme pomocí Pythgoroy ěty pro tento trojúhelník. / 4 4 3 4 / 4 3 4 / 3 4 3 4 4 4 4,6 cm 3 3 b) = 60 mm = 6 cm 4 4 6 6,9 cm 3 3 c) = 0,08 m = 8 cm 4 4 8 3 3 9, cm d) = 10 cm 4 4 10 11,5 cm 3 3 e) = 1, dm = 1 cm 4 4 1 13,9 cm 3 3 = 0 cm 4 4 0 3,1 cm 3 3-49 -
8. Vypočítejte poloměr kružnice opsné obdélníku o rozměrech: ) 6 cm 3 cm b) 45 dm 3 m c) 6 cm 11 mm d) 1,3 dm 37 cm e) x cm 3x cm Hledný poloměr kružnice je poloinou úhlopříčky obdélník, kterou ypočítáme pomocí Pythgoroy ěty podle obrázku. u b u b Potom poloměr kružnice r = u : ) 3 cm, b6 cm u 3 6 45 r 45 : 3,4 cm b) 3 m = 30 dm, b45 dm (Rozměry obdélník přeedeme n stejné jednotky.) u 30 45 95 r 95 : 7 dm c) 11 mm, b6 cm = 60 mm (Rozměry obdélník přeedeme n stejné jednotky.) u 11 60 371 r 371 : = 30,5 mm d) 1,3 dm = 13 cm, b37 cm (Rozměry obdélník přeedeme n stejné jednotky.) u 13 37 1538 r 1538 : 39, cm e) x cm, b 3 x cm u x 3x 4x 9x 13 x x. 13 r ( x. 13 ): 1,8 x cm - 50 -
9. Vypočítejte poloměr kružnice opsné čterci se strnou délky: ) 10 cm b) 0,04 m c) 3,6 dm d) 70 mm e) x cm f) x cm ) 10 cm u r.10 00 00 : 7,07 cm b) 0,04 m = 4 cm u r.4 3 3 :,83 cm c) 3,6 dm = 36 cm u r.36 59 59 : 5,46 cm d) 70 mm = 7 cm u r e) x cm.7 98 98 : 4,95 cm u x x.. Hledný poloměr kružnice je poloinou úhlopříčky čterce, kterou ypočítáme pomocí Pythgoroy ěty podle obrázku. u u r ( x. ) : = x 0,71 x cm f) x cm u. x.4x x. r ( x. ) : = x. 1,41 x cm Potom poloměr kružnice r = u : - 51 -
10. Ronostrnného ABC je epsný do kružnice o průměru 1 cm. Vypočtěte: ) délku jeho strny b) obsh tohoto trojúhelníku Výšk = AP je ronostrnném trojúhelníku roněž i těžnicí, proto pltí: AS AP. 3 Je-li AS = 6 cm, pk AP = 9 cm = Délku strny lze určit pomocí Pythgoroy ěty z proúhlého APB: / 4 4 3 4 / 4 3 4 / 3 4 3 Po doszení: 4 9 108 10,4 cm 3 Obsh ABC ypočteme: S 10,4 9 Po doszení: S 46,8 cm - 5 -
Pythgoro ět cičení III 1. Z kmene stromu je ytesán trám obdélníkoého průřezu o rozměrech 50 mm 10 mm. Jký nejmenší průměr musel mít kmen? = 50 mm = 5 cm, b = 10 mm = 1 cm, d =? Nejmenší průměr kmenu je délkou úhlopříčky obdélníku: d b Nejmenší průměr kmenu je 13 cm.. Z kmenů boroic byly yřezány trámy, které měly n příčném řezu tr čterce se strnou dlouhou 17 cm. Jké nejmenší průměry musely mít kmeny boroic? = 17 cm, d =? Nejmenší průměr kmenu je délkou úhlopříčky čterce: d Kmeny boroic musely mít nejmenší průměr 4 cm. - 53 -
3. Čterci o strně 5 cm je opsán epsán kružnice. Urči poloměry obou kružnic. = 5 cm, r 1 = poloměr kružnice epsné,r = x poloměr kružnice opsné Poloměr kružnice opsné je roen poloině délky strny čterce: r 1 =,5 cm. Poloměr kružnice epsné je roen poloině délky úhlopříčky čterce: S x,5 cm.,5 cm Poloměr kružnice opsné je 3,54 cm poloměr kružnice epsné je,5 cm. 4. Automobil jel z bodu A 0 km seerním potom 30 km ýchodním směrem. Zstil se bodě B. Jká je přímá zdálenost bodů A B? Vzdálenost bodů AB je 36,06 km. - 54 -
5. Vypočítejte obsh ronostrnného trojúhelníku s délkou strny 6 cm. 6 cm S x cm Obsh ronostrnného trojúhelníku: S C Výpočet ýšky ronostrnného trojúhelník: A S / B Obsh ronostrnného trojúhelníku je 15,6 cm. 6. Vypočítejte obsh ronormenného trojúhelníku s délkou zákldny 6 cm délkou rmene 8 cm. Obsh trojúhelníku: S z z Výpočet ýšky ronormenného trojúhelník: z z r Obsh ronormenného trojúhelníku je, cm. - 55 -
7. Určete délku tělesoé úhlopříčky krychle o hrně 10 cm. = 10 cm u 1 =? ( stěnoá úhlopříčk) u =? ( tělesoá úhlopříčk) u 1 = + u 1 = u 1 = u 1 = u 1 = u 11 = 14,14 cm u = u 1 + u = u = u = u = 17,3 cm Délk tělesoé úhlopříčky krychle je 17,3 cm. 8. V kádru je délk tělesoé úhlopříčky 60 cm ýšk kádru 0 cm. Určete délku úhlopříčky podsty. u = 60 cm = 0 cm x =? Úhlopříčk podsty x je oděsnou proúhlého trojúhelníku pltí: Úhlopříčk podsty má délku 56,57 cm. - 56 -
9. V proúhlém trojúhelníku ABC je součet délky oděsny přepony 19, cm délk druhé oděsny je 1,6 cm. Vypočítejte délky zbýjících strn. b = 1,6 cm + c = 19, cm =? c =? Pltí Pythgoro ět: Zbýjící strny mjí délky 5,5 cm, c 13,7 cm. 10. Vypočítejte obod ronormenného lichoběžníku ABCD, je-li D c C d b o b c d A x X Y x B o 1 3,6 8 3,6 Obod lichoběžníku je 7, cm. - 57 -
11. Vypočítejte obsh ronormenného lichoběžníku ABCD, je-li AB 1 cm CD 8 cm BC 3,6 cm D c C d b A x X Y x B Obsh lichoběžníku je 30 cm. - 58 -
1. Vypočítejte obsh štítu domu tru ronormenného trojúhelníku, je-li: AB 9,6 m, AC 5,6 m.. S Výšk trojúhelníku rozdělí ronormenný trojúhelník n d shodné proúhlé trojúhelníky. Z proúhlého trojúhelníku BSC yjádříme ýšku pomocí Pythgoroy ěty: C 31,36 3,04 8,3,88 m A S B. S 9, 6.,88 S S 13,8 m Obsh štítu domu je si 13,8 m. - 59 -
13. Vypočítejte obsh kosočterce ABCD, je-li AC e 9 cm, AB 5 cm. e = 9 cm = 5 cm S =? Využijeme lstnosti úhlopříček kosočterce, které jsou k sobě kolmé nzájem se půlí. V proúhlém trojúhelníku ASB pltí Pythgoro ět: D f e C e f e f 9 f 5 A e/ S f/ B 9 5 f f,18 cm f 4,36 cm e f S 94,36 S 19,6 cm Obsh kosočterce je 19,6 cm. - 60 -
14. Do kružnice k o poloměru r = 6,5 cm je epsán obdélník ABCD s krtší strnou b = 4 cm. Určete délku delší strny. Velikost delší strny ypočítáme pomocí Pythgoroy ěty z proúhlého trojúhelník ABC s přeponou elikosti r D k C 169 16 b S A B Delší strn obdélníku má délku 1,37 cm. 15. Jk dleko jsou od sebe zdáleny konce písmene L, jestliže odoroná úsečk je dlouhá 8 mm kolmá úsečk 1,5 cm? Vzdálnost konců písmen je přepon proúhlého trojúhelník, jhož oděsny toří odoroná kolmá úsečk, tořící písmeno L Pltí Pythgoro ět: Konce písmene L jsou od sebe zdáleny 17 mm. - 61 -
16. Hlní stožár cirkusoého stnu je upoután n smém rcholu oceloým lnem dlouhým 39 m, jež je připeněno k zemi e zdálenosti 15 m od pty stožáru. Jk ysoký je hlní stožár stnu? Výšk stožáru je oděsnou proúhlého trojúhelník 39 m 15 m Hlní stožár stnu je ysoký 36 m. 17. Jk dlouhou kládu potřebují dobytelé hrdu, by ji mohli opřít o rchol hrdeb? Hrdby jsou ysoké 8 m jsou obehnány odním příkopem širokým 6 m. Délk klády je přeponou proúhlého trojúhelník: = 8 m d =? p = 6 m Dobytelé potřebují kládu dlouhou minimálně 10 m. - 6 -
Goniometrické funkce ostrého úhlu V proúhlém trojúhelníku ABC popisujeme jednotlié strny zhledem k dnému úhlu následujícím způsobem: AB - přepon nejdelší strn BC- protilehlá oděsn zhledem k úhlu AC přilehlá oděsn zhledem k úhlu Poznámk: názy strn se mění podle toho, ke kterému z úhlů oděsny zthujeme. AB - přepon nejdelší strn BC- přilehlá oděsn zhledem k úhlu AC protilehlá oděsn zhledem k úhlu Pro ýpočty proúhlém trojúhelníku kromě Pythgoroy ěty použíáme mimo jiné i goniometrické funkce ostrého úhlu proúhlém trojúhelníku sinus úhlu kosinus úhlu tngens úhlu Kotngens úhlu sin c b cos c tg b b cotg protilehlá oděsn sin přepon přilehlá oděsn cos přepon protilehlá oděsn tg přilehlá oděsn přilehlá oděsn cotg protilehlá oděsn Poměr elikosti oděsny protilehlé k úhlu přepony Poměr elikosti oděsny přilehlé k úhlu přepony Poměr elikosti oděsny protilehlé k úhlu oděsny přilehlé k úhlu Poměr elikosti oděsny přilehlé k úhlu oděsny protilehlé k úhlu Protože se le mění názy úhlů i strn proúhlém trojúhelníku, je nutné si pmtot třetí sloupec tbulky, nikoli zorce z druhého sloupce. - 63 -
Hodnoty goniometrických funkcí ostrého úhlu hledáme n klkulčce. npř: sin 300,5 cos150,9659 tg00,3639 Jedná se o čísl reálná, proto je třeb při ýpočtech zolit hodné zokrouhlení těchto čísel. Hledáme-li nopk úhel k hodnotě goniometrické funkce, použíáme tktéž klkulčku, musíme šk zolit hodný přepínč ( SHIFT, ndf ) npř: sin 0,4987 = 9,914 = 9 54 cos 0,8795 = 8,418 = 8; 5 tg 1,485 = 56,047 = 56 Funkce kotngens n klkulčce není, protože lze změnit z přerácenou hodnotu funkce tngens. cičení: 1. Vypočítej: ) sin 35 f) tg 8 40 b) sin 75 15 g) sin 78 1 c) cos 45 h) cos 6 44 d) cos 68 30 i) tg 56 56 e) tg 60 j) sin 1 58 ) sin 35 = 0,5736 f) tg 8 40 = 0,5467 b) sin 75 15 = 0,9670 g) sin 78 1 = 0,9789 c) cos 45 = 0,7071 h) cos 6 44 = 0,4581 d) cos 68 30 = 0,3665 i) tg 56 56 = 1,5359 e) tg 60 = 1,7305 j) sin 1 58 = 0,44-64 -
. Urči úhel, pro který pltí: ) sin = 0,453 f) tg = 0,7833 b) sin = 0,9785 g) sin = 0,4471 c) cos = 0,445 h) cos = 0,5 d) cos = 0,8457 i) tg =,3154 e) tg = 5,341 j) sin = 0,999 ) sin = 0,453 = 6 53 f) tg = 0,7833 =38 4 b) sin = 0,9785 = 78 5 g) sin = 0,4471 = 6 33 c) cos = 0,445 = 63 33 h) cos = 0,5 = 60 d) cos = 0,8457 =3 15 i) tg =,3154 = 66 38 e) tg = 5,341 =79 11 j) sin = 0,999 = 87 6 3. Urči sin, cos, tg pro úhel ) = 5 15 b) = 35 15 c) = 78 5 d) = 9 11 e) = 89 59 Řešení ) = 5 15 sin = 0,466 cos = 0,9045 tg = 0,4716 b) = 35 15 sin = 0,5771 cos = 0,8166 tg = 0,7067 c) = 78 5 sin = 0,981 cos = 0,1931 tg = 5,0814 d) = 9 11 sin = 0,1596 cos = 0,987 tg = 0,1617-65 -
e) = 79 59 sin = 0,9848 cos = 0,1739 tg = 5,6617 4. Je dáno: sin = 0,5443, cos = 0,81. Vypočítej: ) cos f) sin ( - ) b) sin ( + ) g) tg ( + ) c) tg d) cos e) cos ( + ) h) tg i) sin j) cos sin = 0,5443 = 3 58 cos = 0,81 = 35 41 ) cos 3 58 = 0,8390 b) sin (3 58 + 35 41 ) =sin 68 39 = 0,8961 c) tg = tg 71 = 4,678 d) cos = cos 65 56 = 0,4078 e) cos ( + ) = cos 68 39 =0,3641 f) sin ( - ) g) tg ( + ) h) tg = tg 16 9 = 0,959 i) sin = sin 17 50 = 0,306 j) cos = cos 16 9 = 0,9590-66 -
Geometrické úlohy řešené pomocí goniometrických funkcí 1. Vypočítej délku přepony proúhlém Δ ABC je-li dáno: = 6 cm, = 30. A b c C B sin c c sin 6 c sin 30 c 1 cm Přepon má délku 1 cm.. Vypočítej elikost strny b proúhlém Δ ABC, je-li dáno: = 6 cm, = 30. A b c C B tg b b tg 6 b tg30 b 10,34 cm Strn b má délku 10,34 cm. - 67 -
3. Vypočítej délku strny proúhlém Δ ABC, je-li dáno: c = 6 cm, = 60. C sin c csin b 6sin 60 5, cm A c B Strn má délku 5, cm. 4. Vypočítej délku strny b proúhlém Δ ABC, je-li dáno: c = 9 cm, = 6 30. C b cos c bccos b b 9cos630 b 4,16 cm A c B Strn b má délku 4,16 cm. 5. Vypočítej elikost úhlu proúhlém Δ ABC, je-li dáno = 8 cm, b = 5 cm. b C tg b 8 tg 5 58 A Úhel má elikost 58. c B - 68 -
6. Vypočítej elikost úhlu proúhlém Δ ABC, je-li dáno = 6 cm, b = 1 cm. A b c C B b tg 1 tg 6 636 Úhel má elikost 63 6. 7. Vypočítej elikost úhlu proúhlém Δ ABC, je-li dáno = 8,4 cm, c = 11, cm. A b c C B sin c 8,4 sin 11, 4835 Úhel má elikost 48 35. 8. Vypočítej elikost úhlu proúhlém Δ ABC, je-li dáno: b = 0,7 dm, c = 16 cm. C b 0,7 dm 7, cm b cos c b 7, cos 16 6315 A c B Úhel má elikost 63 15. - 69 -
9. Vypočítej délku ýšky k přeponě proúhlém Δ ABC, je-li dáno: = 60, b = 5 cm. sin C b bsin bsin 60 b 4,33 cm A c B Výšk k přeponě má délku 4,33 cm. 10. Vypočítej délku ýšky k přeponě proúhlém Δ ABC, je-li dáno: β = 60, c = 15 cm. A b c C B cos c ccos 15cos30 13 cm sin sin 13sin 30 6,5 cm Výšk k přeponě má délku 6,5 cm. - 70 -
11. Vypočítej elikost zákldny ronormenném Δ ABC, je.li dáno. =1 cm, = 38. C tg c c tg c tg b c 1 tg38 c 18,75 cm A c S B Zákldn ronormenného Δ ABC má délku 18,75 cm. 1. Vypočítej elikost úhlu při zákldně rr Δ ABC, je-li dáno c = 6 cm, = 8 cm. b C tg c 8 tg 3 696 A c S B Velikost je 69 6. - 71 -
13. Vypočítej elikost úhlu při hlním rcholu rr Δ ABC, je-li dáno: c = 6 cm, = 8 cm. C c tg 3 tg 8 b 033 416 A c S B Úhel má elikost 41 6. 14. V ronormenném Δ ABC je dán ýšk k zákldně = 10, cm úhel při hlním rcholu je = 40. Vypočítej délku rmene tohoto trojúhelník. b C cos b b 10, b cos 0 b 10,85 cm A c S B Délk rmene ronormenného Δ ABC je 10,85 cm. - 7 -
15. V ronormenném Δ ABC je dán ýšk k zákldně = 10, cm úhel při hlním rcholu je = 40. Vypočítej délku zákldny tohoto trojúhelník. b C c tg c tg c 10, tg0 c 7, 4 cm A c S B Zákldn ronormenném Δ ABC má délku 7,4 cm. 16. Obdélník má strny =10 cm, b = 6 cm. Vypočítej odchylku jeho úhlopříček. D A S e Odchylk úhlopříček je 61 56. C b B b tg e 3 tg 5 308 6156-73 -
17. Úhlopříčky obdélníku o délce 1 cm sírjí úhel = 60. Vypočítej obod obdélníku. D A S e Obod obdélník je 3,8 cm. C b B b e sin besin b 1sin 30 b 6 cm cos e ecos 1cos30 10, 4 cm o b 16, 4 3,8 cm 18. Vypočítej obsh obdélníku je-li dáno b = 8 cm, úhel BSC = 80, S je průsečík úhlopříček. D S e C b b tg b tg A B b tg 8 tg40 9,53 cm S b 9,538 76, cm Obsh obdélníku je 76, cm. - 74 -
19. V obdélníku KLMN známe úhel KML o elikosti 30 strně LM o elikosti 4 cm. Je jeho obsh ětší než 7 cm? N M k tg l k ltg k 4 tg30 k 1,66 cm K k L Obsh obdélníku je menší než 7 cm. S k l 1,66 4 6,64 cm 0. Obdélník ABCD má obsh 64 cm. Vypočítej délku jeho strn, sírjí-li jeho úhlopříčky úhel 45. D A S e C b B S b 64 b 64 b b tg b tg 64 tg,5 64 tg,5 1, 43 cm 64 b 5,14 cm 1, 43 Strny mjí délky 1,43 cm 5,14 cm. - 75 -
1. V kosočterci ABCD známe délky úhlopříček e = 10 cm, f = 8 cm. Vypočítej elikost nitřních úhlů. A D S e f B Vnitřní úhly kosočterce mjí elikost 106 40. C f tg e 4 tg 5 3640 730 180 730 10640. V kosočterci ABCD známe úhlopříčku e 16,7cm, elikost úhlu DAB 68. Vypočítej délku druhé úhlopříčky. A D S e f B C f tg e f e tg f e tg f f 16, 7 tg34 11, 6 cm Druhá úhlopříčk kosočterce má délku 11,6 cm. - 76 -
3. Vypočítej obod kosočterce s úhlopříčkou e = AC = 18 cm, je-li elikost úhlu ABC 10. A D S e f B C 180 90 30 sin e e sin esin 18sin 30 9 cm e sin e sin 9 sin 60 10,4 cm S 10,49 93,6 cm Obsh kosočterce je 93,6 cm. - 77 -
4. Lnok spojuje místo A, které je e ýšce 63 m nd mořem s místem B, jehož ndmořská ýšk je 113 m. Jk dlouhá bude trs lnoé dráhy spojující obě míst, jestliže její trs sírá s odoronou roinou úhel 5. A C P SP 113 63 500 m BP sin AB BP AB sin 500 AB sin 5 AB 1183,15 m Trs lnoé dráhy má délku 1183,15 m. 5. Jk ysoký je sloup nesoucí dráty elektrického edení, jestliže jej e zdálenosti 50 m idíme pod úhlem 6 50. V AP 50 m 650 tg VP AP VP AP tg A P VP VP 50tg650 6 m Výšk sloupu je 6 m. - 78 -
5. Jestliže bychom k hrdní zdi opřeli pod úhlem 35 žebřík dlouhý 11 m, bude ho n rcholu zdi půl metru přečnít. ) Jk ysoká je hrdní zeď? b)pod jkým úhlem musíme tento žebřík umístit, by se horní konec dotkl okrje zdi? ) Jk ysoká je hrdní zeď? A Hrdní zeď má ýšku 6,0 m. B P Q 35 AP AQ 0,5 10,5 m BP sin AP BP AP sin BP 10,5sin BP 6,0 m b) Pod jkým úhlem musíme tento žebřík umístit, by se horní konec dotkl okrje zdi? P Q BQ sin AQ 6,0 sin 11 3310 A B Žebřík musíme opřít pod úhlem 33 10. - 79 -
6. Tečny edené z bodu A ke kružnici k o středu S sírjí úhel 60. Úsečk SA protíná kružnici k bodě B tk, že pltí AB = 4 cm. Vypočítej poloměr kružnice k. T k X S B A BX sin BA BX BA sin BX 4sin 30 BX BA AS cm BX ST 4 r 4 r 4r r 4 r 4 cm Poloměr kružnice je 4 cm. - 80 -
7. Kružnice opsná proúhlému trojúhelníku má poloměr 13 cm. Jedn oděsn měří 1 cm. Vypočtěte elikosti nitřních úhlů tohoto trojúhelníku. A C S B AB r 6 cm AC 1 cm 1 cos 6 630 730 Vnitřní úhly mjí elikosti 6 30. 8. Určete obsh ronoběžníku, jestliže strny o elikostech 8 cm 10 cm sírjí úhel 50. A b D B C 10 cm b 8 cm 50 sin AD AD sin 8sin 50 6,18 cm S 106,18 61,8 cm Obsh ronoběžníku je 61,8 cm. - 81 -
9. Těžnice ýšk n strnu c rozdělí trojúhelník ABC n tři trojúhelníky, jejichž obshy oznčíme S 1, S, S 3. Vypočtěte tyto obshy, je-li SC = t = 4,1 cm; = 80, = 35, = 10. C S1 S S3 t A P S B AP S1 PS S BS S3 sin t sin 80 4,1 sin 80 4,1 4 cm 180 180 10 35 43 AP : tg 1 1 1 1 : AP AP tg AP tg43 AP 4, 9 cm S S S S AP 4, 9 4 8,58 cm PS : PS cos t PS cos t PS cos80 4,1 PS 0,71 cm S S S S : PS 0,714 1, 4 cm Protože bod S je středem úsečky AB pltí: SB AP PS SB 4, 9 0,71 SB 5 cm S S S S 3 3 3 3 : BS 54 10 cm Obsh S 1 je 8,58 cm, obsh S je 1,4 cm S 3 je 10 cm. Protože SB = AP + PS ýšk je společná pro trojúhelník ASC trojúhelník SBC, musí pltit, že obshy troj- - 8 -
úhelníků ASC SBC jsou si rony. Tohoto lze yužít ke kontrole spránosti. Obsh trojúhelník ASC je roen součtu obshů trojúhelníků APC PSC, tedy: S 1 + S = (8,58 + 1,4) =10 cm. Obsh trojúhelníku SBC je roněž 10 cm. 30. Vypočtěte délku tětiy příslušné středoému úhlu 65 30, je-li poloměr kružnice 9 cm. k B SB r 9 cm 6530 S O OA sin SB OA SB sin A OA OA AB 9sin 345 4,87 cm OA 4,87 9,74 cm Délk tětiy je 9,7 cm. 31. V kružnici k (S, r = 6 cm) je těti dlouhá 4,9 cm. Vypočtěte elikost středoého úhlu příslušného k tětiě. S k B O A SB r 6 cm 4,9 AB 4,9 cm OA OA sin SB,45 sin 6 46 481 Středoý úhel má elikost 48 1. - 83 -
3. Jký je poloměr kružnice, jestliže středoému úhlu 75 30 přísluší těti dlouhá 18,4 cm? k B AB 18,4 cm AO 9, cm 7530 S O A AO sin r AO r sin 9, r sin 3745 r 15,03 cm Poloměr kružnice je 15,08 cm. 33. Rotční kužel má průměr podstného kruhu 0 cm jeho strn sírá s roinou podsty úhel 5. Jký je objem rotčního kužele? Výsledek zokrouhlete n 1 desetinné místo. V S B AB 0 cm AS 10 cm 5 VS VS tg AS VS AS tg VS 10 tg5 VS 4,66 cm A 1 V r 3 1 V 10 4, 66 488 cm 3 3 Objem kužele je přibližně 488 cm 3. - 84 -
34. Objem rotčního kužele je 9,4 cm, ýšk = 10 cm. Jký úhel sírá strn kužele s roinou podsty? V B 1 3 3V r 39,4 r 10 r 0,95 cm V r S A V tg r 10 tg 0,95 8435 A r S Strn kužele sírá s roinou podsty úhel 84 35. - 85 -
35. Hromd písku má tr rotčního kužele o průměru m. Jk elká je strn této hromdy, jestliže sírá s ýškou úhel = 1 50. Výsledky zokrouhlete n 1 desetinné místo. V B AB m AS 1 m AS sin AV AS AV sin AV 1 sin 150 AV,7 m A S Strn hromdy má délku,7 m. 36. Vypočítej odchylku tělesoé úhlopříčky krychle od roiny podsty H G DH E D e u F C DB tg 1 tg 3516 A B Odchylk tělesoé úhlopříčky od roiny podsty je 35 16. - 86 -
37. Je dán pridelná čtyřboký hrnol ABCDEFGH, e kterém AB = 3 cm, elikost úhlu BAC = 69 30. Určete objem porch hrnolu. Výsledky zokrouhlete n jedno desetinné místo. E A H D F c B b G C BAC 59 BEF d 6930 AB 3 cm c tg ctg c 3 tg6930 c 8,0 cm b tg btg b 3 tg59 b 4,99 cm V bc V 38,04,99 10 cm S b c bc S 38,0 3 4,99 4,998,0 158 cm Objem hrnolu je 10 cm 3, porch 158 cm. - 87 -
38. Je dán pridelný čtyřboký jehln ABCDV se čtercoou podstou = 4 cm. Určete jeho porch objem, jestliže úhel V KV má elikost 69 10, kde K je střed strny BC V je střed čterce ABCD. Výsledky zokrouhlete n 1 desetinné místo. A D V V B k C 6910 VK tg tg tg6910 5, 5 cm V 1 1 16 5, 5 8 cm 3 3 3 Objem jehlnu je 8 cm 3. 39. Vypočítej odchylku tělesoých úhlopříček krychle. H G DF BH 3 E F S D C A B - 88 -
- 89 - B F O S 3 34 33 47 16 3 1 sin 3 sin 3 sin Odchylk úhlopříček je 33 34.
4. Pythgoro ět... 1 Pythgoro ět - úod... 1 Užití Pythgoroy ěty plnimetrii stereometrii... 19 Pythgoro ět cičení I... 33 Pythgoro ět cičení II... 40 Pythgoro ět cičení III... 53 Goniometrické funkce ostrého úhlu... 63 Geometrické úlohy řešené pomocí goniometrických funkcí... 67-90 -