( ) ( ) Pythagorova věta, Euklidovy věty II. γ = 90, je-li dáno: c = 10, c = 6. Předpoklady: 3205

Transkript

1 3..6 Pythgoro ět, Euklidoy ěty II Předpokldy: 305 V kždém proúhlém trojúhelníku s oděsnmi, přeponou pltí: =, =, =, kde je ýšk n přeponu, jsou úseky přepony přilehlé ke strnám,. Kždou z předhozíh ět je možné ysloit i geometriky. Npříkld ět o ýše = : Osh čtere sestrojeného nd ýškou proúhlého trojúhelník se roná oshu odélníku sestrojeného z oou úseků přepony. Př. 1: Vypočítej zýjíí prky (,,,, α, β) proúhlém trojúhelníku γ = 90, je-li dáno: = 10, = 6. ( ) P = = 10 6 = 60 = 15 = + = = 10 6 = ( ) = = = 0 = 10 m = = 6 = = 6 m 10 sinα = = α = 39 1' sin β = = β = 50 6' 10 Pedgogiká poznámk: U předhozího příkldu doporučuji studentům, y si nkreslili orázek postupně do něj dopisoli údje, které již znjí. Tímto způsoem pk snáze přijdou n to, jk spočítt údje, které ztím neznjí. 1

2 Př. : Njdi způso, jk zkontrolot spránost ýsledků předhozího příkldu. P Z orázku idíme: <, <, α < β. Součet úhlů trojúhelníku musí ýt 180. α + β + γ = ' ' + 90 = = 180 Pro elikosti strn musí pltit Pythgoro ět: = + 10 = ( 10 ) + ( 15) 100 = = 100 pltí. Pedgogiká poznámk: Zdůrzňuji studentům, že při kreslení orázku je doré zhot podsttné rysy (prý úhel), přehánět rozdíly (elikosti ) nepřidát dlší lstnosti (hodně studentů, kreslí trojúhelníky zásdně pouze ronormenné). Z tkto nkresleného orázku je možné hodně yčíst, jk je ukázáno předhozím příkldě. Př. 3: Vypočítej zýjíí prky (,,,, α, β) proúhlém trojúhelníku γ = 90, je-li dáno: = 3, = 5. Goniometriké funke použíej pouze pro ( ) určoání elikostí nitřníh úhlů. Zdání neumožňuje přímé doszení do žádného ze zorů. Nkreslíme si orázek: P Z proúhlého trojúhelníku P můžeme pomoí Pythgoroy ěty spočítt úsek přepony. ( ) = = 3 5 = = 3 9 = = = = 9 5 = + = = =

3 9 5 3 = = = 5 3 sinα = = α = sin β = = β = Př. : V proúhlém trojúhelníku pltí β = 90. Nčrtni orázek tohoto trojúhelníku (četně yznčení ýšky úseků přepony) zpiš pro tento trojúhelník Pythgorou ětu Euklidoy ěty. Zpiš zthy pro goniometriké funke úhlů α γ. Orázek: P Pythgoro ět: = +. Euklidoy ěty: =, =, =. Goniometriké funke: sinα =, osα =, tgα = sin γ =, osγ =, tgγ =, otgγ =., otgα = Dodtek: Změnu oznčení, ke které došlo předhozím příkldu, popisují shémt pro yklikou záměnu:. V předhozím příkldu se z úhlu γ stl úhel β šehn oznčení strn, rholů i úhlů se posunulo dkrát e směru šipek (npříkld neo α γ ). Shémt umožňují proést záměnu zel mehniky, ezpečnější je šk rozhodně nkreslení orázku nímní zthů jko zthů mezi strnmi trojúhelník ne mezi písmeny. Pedgogiká poznámk: Půodně jsem zčínl ronou následujíím příkldem. ohužel se ukázlo, že záměn znčení není pro studenty ůe sndnou záležitostí (setkájí se s ním zřejmě popré) je nutné se nejdříe zýt pouze jí. Při diskusi nd příkldem je tře trt n tom, že šehny zore jsou zthy mezi strnmi trojúhelník, nejde o zthy mezi písmeny tudíž je skoro jedno, jká písmen si konkrétním přípdě yereme. 3

4 Př. 5: Vypočítej zýjíí prky (,,,, β, γ ) proúhlém trojúhelníku ( α = 90 ), je-li dáno: = 6 m, = 3. Pozor: nestndrdní znčení rholů nkreslíme orázek pro jednodušší zpsání změněnýh zorů: Spočteme úsek přepony: ( ) = = = = 3 = + = = 3 = 1 = = 3 1 = 3 6 = = 1 = sin γ = γ = 5 sin β = β = β = P Př. 6: Dokž Pythgorou ětu pomoí Euklidoýh ět. Pythgoro ět = + dosdíme: =, = = + = ( + ) = = Uedený postup můžeme i orátit dojít tk k Pythgoroě ětě Pythgoro ět pltí. Pedgogiká poznámk: Předhozí příkld slouží k zení ryhlejšíh studentů. Ti pomlejší ho přeskkují. Př. 7: V proúhlém trojúhelníku ( = 90 ) je dáno: t =, t = 19 délky strn trojúhelník. Nkreslíme orázek:. Urči

5 1 t t 1 Hledáme trojúhelníky, u kterýh známe d údje ( třetí můžeme zjistit), těžnie yházejí ze středů strn 1 t 0,5 t 1 0,5 Dkrát můžeme yužít Pythgorou ětu: trojúhelník 1 : t = + trojúhelník 1 : t = + získli jsme soustu dou roni o dou neznámýh ( 19 ) = + = + Sustitue: = x, = y y y x + = 19 x + = 19 y = 1 x 15 + y = 16 y = 5 Dosdíme do prní ronie ypočteme x: x + 1 = 19 x = 16 Nárt k půodní proměnné: = x = 16 = 16 = 5

6 = y = 1 = 1 = 3 Určíme strnu : ( ) = + = + 3 = 8 = 7 Trojúhelník má strny o délkáh = m, = 3 m, = 7 m. Pedgogiká poznámk: U předhozího příkldu studenti ětšinou nejdříe zkouší spočítt příkld dělením těžni n části. Hlním prolém při řešení příkldu je pro studenty fkt, že sestení jedné ronie pro jeden z proúhlýh trojúhelníků jim neumožní okoli dopočítt. Musí mít oě ronie njednou, le ětšin z nih příkld zdá e híli, kdy zjistí, že použít jeden z trojúhelníků k yřešení příkldu nestčí. Př. 8: Petákoá: strn 87/ičení 38 strn 87/ičení 0 strn 87/ičení 1 ) e) Shrnutí: Euklidoy ěty i Pythgorou ětu použíáme i u proúhlýh trojúhelníků s jiným oznčením rholů. Nezáleží n písmeneh e zoríh le n jejih ýznmu. 6