3.2.5 Pythagorova věta, Euklidovy věty I. α = = Předpoklady: 1107, 3204

Transkript

1 3..5 ythgoro ět, Euklidoy ěty I ředpokldy: 1107, 304 roúhlý trojúhelník = trojúhelník s nitřním úhlem 90 (s prým nitřním úhlem) prý úhel je z nitřníh úhlů nejětší (zýjíí d musí dát dohromdy tké 90 ) strn proti prému úhlu je nejdelší (přepon), zýjíí dě jsou krtší (oděsny) šehny proúhlé trojúhelníky s dlším úhlem α jsou si podoné (podle ěty uu) mjí stejný tr podle poměrů jejih strn zádíme goniometriké funke, které z úhlu tento poměr yprodukují řehled goniometrikýh funkí proúhlého trojúhelník: α γ. β protilehlá sinus: sin α = přepon = osinus: os přilehlá α = = přepon protilehlá tngens: tg α = přilehlá = kotngens: otg přilehlá α = = protilehlá ro strny proúhlého trojúhelník pltí: ythgoro ět: V kždém proúhlém trojúhelníku s přeponou oděsnmi, pltí zth mezi jejih elikostmi = + ltí i ět oráená: Vět oráená k ětě ythgoroě: okud trojúhelníku pltí pro délky strn zth trojúhelník proúhlý s přeponou. = +, je tento ř. 1: Urči strny nitřní úhly proúhlého trojúhelník s úhlem α = 3 přeponou = 1. je přepon γ = 90 β = 90 α = 90 3 = 58 1

2 sinα = = sinα = sin 3 1 = 6,36 osα = = osα = os 3 1 = 10,18 Oděsny trojúhelník mjí elikosti = 6,36 = 10,18, jeho nitřní úhly pk β = 58 γ = 90. ř. : V proúhlém trojúhelníku s přeponou = 3 pltí =. Urči zýjíí strnu nitřní úhly trojúhelník. je přepon, jde o nestndrdní situi rději si nkreslíme orázek = =3 Z orázku idíme, že pltí: = + = = 3 = 5 sin β = = β = osγ = = γ = Strn má elikost 5, nitřní úhly β = γ = ř. 3: Urči, která ze troji čísel určuje délky strn proúhlého trojúhelníku: ) 4,5,6 ) 5,1,13 ), 6,3 Dosdíme do ythrogoy ěty zjistíme zd yjde: ) 4,5, = = trojúhelník není proúhlý ) 5,1, = = 169 trojúhelník je proúhlý ), 6,3 ( ) + 6 = = 10 9 trojúhelník není proúhlý

3 ř. 4: Rozhodni, zd kždý trojúhelník o strnáh n, z uedenýh strn je jeho přeponou? n + 1, n 1 je proúhlý. Která Z n můžeme doszot pouze čísl ětší než 1 (y ýrz n 1 yl kldný) číslo n + 1 je nejětší určuje tedy délku přepony. Stejný postup jko předhozím přípdě, le doszujeme ýrzy místo konkrétníh čísel: ( n) + ( n 1) = ( n + 1) 4 4 4n + n n + 1 = n + n = 0 Kždý trojúhelník o strnáh n, n + 1, n 1, kde n je proúhlý. edgogiká poznámk: ředhozí příkldy jsou pouhým opkoáním. Jejih řešení je potřeu utnout tk, y n zytek hodiny zýlo minimálně 5 minut čsu. edgogiká poznámk: odonost trojúhelníků n následujííh orázíh jsme dokzoli předminulé hodině. Euklidou ětu o ýše odozuji sám, zýjíí dě neháám částečně n studenteh. V proúhlém trojúhelníku pltí i dlší zthy pro elikosti strn: Výšk (dále ji udeme znčit pouze ) rozdělí proúhlý trojúhelník n d dlší trojúhelníky. od rozdělil přeponu n d úseky, které znčíme podle přilehlé oděsny: = - úsek přepony přilehlý ke strně = - úsek přepony přilehlý ke strně (index u úseků přepony je znčen mlým písmenem týká se strny ne rholu) ltí α + β + 90 = 180 α = 90 β šehny tři nkreslené trojúhelníky jsou si podoné: Vyereme si ždy dojii trojúhelníků zkusíme pomoí podonosti ojeit nějké zthy mezi strnmi. 3

4 krtší oděsn = = delší oděsn = = - Euklido ět o ýše přepon = = krtší oděsn = = - Euklido ět o oděsně přepon = = delší oděsn = = - Euklido ět o oděsně V kždém proúhlém trojúhelníku s oděsnmi, přeponou pltí: =, =, =, kde je ýšk n přeponu, jsou úseky přepony přilehlé ke strnám,. 4

5 Kždou z předhozíh ět je možné ysloit i geometriky. Npříkld ět o ýše = : Osh čtere sestrojeného nd ýškou proúhlého trojúhelník se roná oshu odélníku sestrojeného z oou úseku přepony. ř. 5: Vypočítej zýjíí prky (,,,, α, β) proúhlém trojúhelníku γ = 90, je-li dáno: = 10, = 6. ( ) = = 10 6 = 60 = 15 = + = = 10 6 = 4 ( ) = = = 40 = 10 m = = 4 6 = 4 = 6 m 10 sinα = = α = 39 14' sin β = = β = 50 46' 10 edgogiká poznámk: U předhozího příkldu doporučuji studentům, y si nkreslili orázek postupně do něj dopisoli údje, které již znjí. Tímto způsoem pk snáze přijdou n to, jk spočítt údje, které ztím neznjí. ř. 6: Njdi způso, jk zkontrolot spránost ýsledků předhozího příkldu. Z orázku idíme: <, <, α < β Součet úhlů trojúhelníku musí ýt 180. α + β + γ = ' ' + 90 = = 180 ro elikosti strn musí pltit ythgoro ět: = + 10 = ( 10 ) + ( 15) 5

6 100 = = pltí edgogiká poznámk: Zdůrzňuji studentům, že při kreslení orázku je doré zhot podsttné rysy (prý úhel), přehánět rozdíly (elikosti ) nepřidát dlší lstnosti (hodně studentů, kreslí trojúhelníky zásdně pouze ronormenné). Z tkto nkresleného orázku je možné hodně yčíst, jk je ukázáno předhozím příkldě. ř. 7: Vypočítej zýjíí prky (,,,, α, β) proúhlém trojúhelníku γ = 90, je-li dáno: = 3, = 5. ( ) Zdání neumožňuje přímé doszení do žádného ze zorů. Nkreslíme si orázek: Z proúhlého trojúhelníku můžeme pomoí ythgoroy ěty spočítt úsek přepony. ( ) = = 3 5 = 4 = 3 9 = = = = 9 5 = + = = = = = = 5 3 sinα = = α = sin β = = β = ř. 8: etákoá: strn 87/ičení 37 Shrnutí: Z podonosti trojúhelníků, které ytoří ýšk proúhlém trojúhelníku, ododíme zore pro ýšku oděsny. 6