eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta 9. lektcké pole 9. lektcký náboj Každá látka je vytvoena z tzv. elementáních ástc, kteé vytváejí složtjší stuktuy. ástce na sebe vzájemn psobí slam, kteé mají znou podstatu. lektomagnetcké síly se pojevují mez tm ástcem, kteé nesou elektcký náboj. Podstatu elektckého náboje neznáme a jeho exstence je po nás základní expementální fakt. Vlastnost elektckého náboje, kteé se uplatují p vzájemné nteakc nabtých ástc a plynou z expementálního pozoování jsou:. Náboj je skalání velna, k jeho uení staí jedná eálná íselná hodnota. 2. Náboj nemže exstovat jako samostatná substance, je vždy vázán na hmotné ástce a chaaktezuje jejch elektomagnetcké slové psobení. Je možné jej zjstt jen postednctvím tohoto slového psobení. 3. xstují dva duhy náboje kladný a záponý. Náboje stejného duhu se vzájemn odpuzují, náboje opaného duhu se vzájemn ptahují. 4. Náboj nelze vytvot an znt. Celkové množství náboje v elektcky zolované soustav (tj. takové, jejíž hancí nemohou pocházet náboje) zstává stejné /zákon zachování náboje/. 5. Náboj se nemní p pohybu, je elatvstcky nvaantní. Velkost náboje je stejná ve všech vztažných soustavách /zákon nvaantnost náboje/. 6. Náboj je kvantován, nelze jej neomezen dlt. xstuje nejmenší dále nedltelný elementání náboj a všechny náboje kladné záponé jsou jeho celstvým násobky. lementání náboj oznaujeme symbolem e a platí: 9 e,6030 C V soustav SI je jednotkou náboje coulomb. Je to jednotka odvozená ze základní jednotky elektckého poudu ampéu. coulomb (C) je náboj penesený poudem ampéu za sekundu /zákon kvantování náboje/. P souasném psobení nkolka náboj je únek každého náboje týž, jako by náboj psobl sám /zákon supepozce/. Píoda jako celek je elektcky neutální. To znamená, že poet kladných a záponých elementáních náboj je v píod vyovnán. 9.2 Coulombv zákon Po kvanttatvní pops slového psobení mez makoskopckým nabtým tlesy je výhodné zavést pojem bodového náboje. Bodovým nábojem ozumíme utou abstakc, fyzkální model nabté ástce nebo tlesa, jehož ozmy jsou zanedbatelné ve sovnání se vzdáleností mez tlesy. Pouze v pípad bodových náboj má jednoznaný smysl pojem vzdálenost mez náboj a pouze v tom pípad mžeme zanedbat zpsob ozložení náboje na tlese. xpementální studum slového psobení mez dvma bodovým náboj povedl Ch.A. Coulomb. 785 a na základ jeho výsledk je možno fomulovat Coulombv zákon. Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta Nech jsou dány dva bodové náboje o velkost Q, Q 2, kteé jsou umístny ve vakuu v bodech o polohových vektoech, 2, a kteé jsou nehybné v dané necální soustav souadnc, vz ob 9.. Pak síla F 2, kteou na náboj Q psobí náboj Q 2 je dána vztahem Q Q2 F2 k 3 2 (9.) 2 Obácen sílu F 2, kteou psobí náboj Q na náboj x Q 2 dostaneme zámnou ndex a 2 ve vztahu Ob 9. (9.).Platí tedy F2 F2 v souladu s Newtonovým pncpem akce a eakce. Síly mez bodovým náboj psobí podél jejch spojnce - takové síly nazýváme centálním. Zmní-l se znaménko sounu Q Q 2, zmní se pouze sm síly a nkolv její velkost. Kladné znaménko tohoto sounu odpovídá ptom síle odpudvé, záponé znaménko síle ptažlvé. Velkost síly psobící mez dvojcí bodových náboj je ovna Q Q2 F F2 F2 k. (9.2) 2 2 Tato velkost klesá se tvecem vzdálenost obou náboj a nezávsí na smu v postou Síla tohoto duhu se nazývá zotopní. Konstanta k vystupující ve vztahu (9.) je závslá na volb jednotek a na vlastnostech postedí. Po vakuum je dána vztahem k (9.3) 4 Kde 0 je pemtvta vakua. 0 Pemtvta vakua je unvezální fyzkální konstanta. Její ozm lze ut z Coulombova zákona a její velkost je uena expementáln. 2 F 2 Q Q C m N 0 2 2 2 2, (9.4) 0 8,854 0 C m N. (9.5) astj se tato konstanta udává ve Fm -, kde faad (F) je jednotka kapacty (vz dále). Pak 9 9 k 8,9870 mf 90 mf Hodnota 0 (po vakuum) se vtšnou používá po vzduchové postedí. Relatvní chyba, kteé se dopouštíme je as 0,5%. Coulombv zákon fomulovaný po dva bodové náboje mžeme pomocí pncpu supepozce ozšít na soustavu bodových náboj ve vakuu. Pedpokládáme, že bodové náboje Q, Q 2, Q N jsou umístny v bodech o polohových vektoech, 2..., N. V bod o polohovém vektou je umístn bodový náboj Q. Pak expementální zkušenost ukazuje, že slové psobení mez danou dvojcí bodových náboj je na pítomnost ostatních náboj nezávslé. Podle pncpu supepozce platí, že výsledná síla p- z 0 2 Q 2 y -2 Q F 2 2 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta sobící na náboj Q je uena vektoovým soutem sl F, kde F, je síla, kteou -tý bodový náboj Q psobí na náboj Q, tj. N N Q Q F Q, Q, 3 F Q Q k (9.6) Platnost Coulombova zákona byla pokázána až do vzdálenost bodových náboj 0-7 m a není omezena an velkým vzdálenostm dostupným našemu pozoování. Q, Q Q, Q 9.3 Intenzta elektckého pole Podle souasných pedstav vytváejí elektcké náboje ve svém okolí elektcké pole, kteé zpostedkuje slové psobení mez elektckým náboj. Poto na slové únky dvou elektckých náboj lze pohlížet jako na slové únky náboje a elektckého pole vytvoeného duhým nábojem, nebo elektcké pole a elektcký náboj jsou dv zné fomy jedného jevu. Nejjednodušším typem elektckého pole je pole elektostatcké, kteé pochází od náboje, kteý je v kldu! Po vyjádení slových únk elektckého pole na náboj se zavádí vektoová velna ntenzta elektckého pole. Je defnována vztahem F (9.7) Q íseln se ovná podílu síly F, kteou psobí elektcké pole v daném míst na bodový náboj Q a tohoto náboje. Jednotka ntenzty elektckého pole vyplyne z defnního vztahu F Q N V m (9.8) C Jednotku newton na coulomb lze vyjádt vhodnj jako volt na met. lektcké pole lze názon zobazovat pomocí sloa. Sloáy jsou spojté kvky, v jejchž bodech má ntenzta elektckého pole sm teny k tmto kvkám. Dohodou bylo stanoveno, že sloáy vycházejí z kladného náboje, kteý je jejch zídlem a koní v záponém náboj, kteý je jejch popadem (noou). Ukázky vz ob. 9.2, 9.3. Intenztu elektckého pole s mžeme pedstavt jako hustotu sloa. Potože je ntenzta elektckého pole uena v daném míst jednoznan, nemohou se dv sloáy vzájemn potínat! Ob. 9.2 Ob. 9.3 3 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta Bodový náboj Q lokalzovaný v míst s polohovým vektoem vyvolá v míst s polohovým vektoem elektosta- tcké pole jehož ntenzta ( ) je dána vztahem Q k 3. (9.9) Velkost ntenzty ( ) je pímo úmná velkost náboje Q a nepímo úmná tvec vzdálenost od náboje. Vekto ntenzty míí od bodového náboje nebo k nmu. Takovéto pole nazýváme adální, vz ob. 9.2. Je-l elektostatcké pole vytvoeno N bodovým náboj Q, lokalzovaným v místech s polohovým vektoy uíme výslednou ntenztu ( ) v míst pomocí pncpu supepozce, jako vektoový souet ntenzt vytvoených v daném bod jednotlvým náboj: N N Q ( ) ( ) k 3. (9.0) x z 0 Ob. 9.4 Q y - 9.3a Gaussova vta elektostatky Tok vektou ntenzty elektostatckého pole uzavenou plochou S, tj. plochou uzavíající utý objem je dán vztahem (9. a) ds, (9.a) kde vekto plošky ds oentujeme ven z uzavené plochy S. Pedpokládejme, že se uvnt plochy S nachází el. náboj Q C. Pak platí ds Q C. (9.a2) 0 Vztah (9.a2) se nazývá Gaussova vta elektostatky a má následující znní. Tok vektou ntenzty elektostatckého pole ve vakuu lbovolnou uzavenou plochou je oven celkovému náboj Q C uzavenému uvnt této plochy dlenému pemtvtou vakua. Ptom platí: náboj Q C mže být tvoen jednak bodovým náboj, jednak náboj spojt ozloženým lbovolným zpsobem, náboje umístné vn uzavené plochy S tok vektou neovlvní, tok nezávsí na ozmech plochy S. Zvolená uzavená plocha S vystupující v Gaussov vt se nazývá Gaussovou plochou. Velký význam Gaussovy vty spoívá v tom, že v ad pípad, kdy exstují nkteé pvky symete v daném systému umožuje snadný výpoet ntenzty. 4 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta 9.4 Páce a potencální enege v elektostatckém pol Uvažujeme elektostatcké pole o ntenzt. Do tohoto pole do bodu (), jehož poloha je uena polohovým vektoem vložíme elektcký náboj Q. Pedpokládáme ptom, že se elektostatcké pole psobící na náboj Q njak nezmní. Na náboj Q psobí podle ovnce (9.7) síla F Q. Je-l náboj voln pohyblvý pak psobení elektostatckého pole vyovnáme psobíme-l na náboj stejn velkou slou opaného smu F F Q. Tím nasta- ne ovnováha sl a náboj se mže v elektostatckém pol voln pohybovat, bude-l ovnováha sl tvale udžována. P posunutí náboje Q o element dáhy d vykoná vnjší síla pác A F d Q d. (9.) P pemístní náboje Q z bodu () do bodu (f) po dáze C, kteá celá leží v elektostatckém pol vykoná vnjší síla pác, kteá je z defnce ovna kvkovému ntegálu f ( C ) ( C ) f A d FQ d. (9.2) Potože se elektostatcké pole v závslost na ase nemní, lze ukázat, že tato páce je výhadn závslá na poátení a koncové poloze náboje Q a nezávsí na dáze, po níž byl náboj mez obma body, pemístn, tj. na dáze C. f Z toho plyne d 0. (9.3) což mžeme slovn vyjádt takto: Pemsuje-l se elektcký náboj v elektostatckém pol po lbovolné uzavené dáze, ovná se celková páce k tomu vynaložená nebo získaná nule. Rovnce (9.3) dokazuje konzevatvnost elektostatckých sl a umožuje zavést v elektostatckém pol potencální eneg. Potože víme, že páce A nezávsí na nteganí cest, ale pouze na poloze poáteního () a koncového (f) bodu, je z matematky známo, že C d F je úplným dfeencálem njaké funkce, kteou oznaíme p, tj. dp d F, (9.4) a poto platí ( f ) dp p, f p,. (9.5) ( ) A Funkce p má význam potencální enege. Platí poto, že páce A vykonaná na náboj vnjší slou zvyšuje jeho potencální eneg z poátení hodnoty enege p, na konenou hodnotu p,f, kde p, f p, p, ( f ) A Q d ( ) (9.6) Potože jde pouze o zmnu enege, nemžeme stanovt její absolutní hodnotu, a poto udáváme potencální eneg vždy vzhledem k njakému vhodn zvolenému vztažnému místu. 5 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta Padíme-l pevn zvolené poloze (), tzv. vztažný (efeenní) bod, pevné (ale jnak lbovolné) eálné íslo K. tedy p, p ( ) K, (9.7) pak poloze (f) mžeme padt íslo p,f = K A. Každému bodu elektostatckého pole tedy lze, p zvolení efeenního bodu píst jednoznan hodnotu potencální enege. Poznámka: Potencální enege daného systému je obecn defnována jako fyzkální velna, jejíž zmna je dána pací vykonanou na systému vnjším slam p pemáhání vntních sl systému. V elektostatckém pol je potencální enege p, kteou má bodový elektcký náboj Q v bod (f) v bodu () ovna pác, kteou vykoná vnjší síla F pekonávající sílu elektostatc- kého pole p pemístní elektckého náboje Q z bodu () do bodu (f). 9.5. Potencál elektostatckého pole Potencál ( ) elektostatckého pole v bod je defnován jako podíl potencální enege náboje Q v tomto bod a tohoto náboje, tj. p ( ) ( ) z d ( ) Q, (9.9) z kde z ( z ) je hodnota potencálu v efeenním bod z. Potencál ( ) pedstavuje pác vykonanou vnjším slam p penesení náboje C z efeenního bodu z do uvažovaného bodu elektostatckého pole. Jednotkou potencálu elektostatckého pole v SI je volt (V). p J =V. (9.20) C Q Jeden volt je potencál takového bodu, kdy na penesení náboje C z efeenního bodu do tohoto bodu je teba vynaložt pác J. Poznámky: / Potencál ( ) mžeme vypoítat ze vztahu (9.9) známe-l vekto ntenzty elektostatckého pole ( ) v každém bod lbovolné spojnce efeenního bodu ( z ) a bodu.. 2/ Každému bodu elektostatckého pole, lze vz (9.9), p zvolené hodnot z potencálu v efeenním bod ( z ) padt jednoznan hodnotu potencálu. 3/ Spojením bod, kteé mají stejnou hodnotu potencálu, vznknou ekvpotencální plochy (hladny) tzv. ekvpotencály. 4/ Z jednoznanost potencálu plyne, že se hladny s zným hodnotam potencál nepotínají! 5/ P pemístní elektckého náboje po dáze ležící na ekvpotencální ploše není teba vynakládat pác. 6/ Po skládání potencál více polí je možno použít pncpu supepozce. 6 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta 9.6 Naptí v elektostatckém pol Pác, kteou vykoná elektostatcké pole p pemsování bodového jednotkového kladného náboje z bodu do bodu f nazýváme naptím mez tmto body, tj. U f ( f ) ( ) d Jednotkou naptí je volt (V), tj. [U] = V. Naptí je kladné, má-l výchozí bod vyšší potencál než bod koncový. Kladný elektcký náboj se psobením el. sl mže pohybovat smem od vyšších hladn potencálu k nžším. Platí, vz (9.2) a (9.5) ( f ) ( ) d Q p, f p, f f f kde f je ozdíl potencál mez koncovým a poátením bodem.. (9.22) íkáme poto, že naptí je ovno zápon vzatému ozdílu potencál. 9.7 Gadent pole Je-l dáno elektostatcké pole, najdeme jeho potencál z defnce podle vztahu (9.9) d tedy ntegací ntenzty z z Obácen z potencálu pole, elektostatckého pole. najdeme píslušnou ntenztu pole devováním. Nejpve uíme elementání pístek potencálu. P pemístní z místa do blízkého bodu d se zmní potencál pole o hodnotu d d. (9.23) Z matematcké analýzy je známo, že úplný (totální) dfeencál funkce tí pomnných x,y,z se vypoítá pomocí pacálních devací podle pedpsu: d dx dy dz gad d (9.24) x y z Symbol gad je defnován pedpsem gad, x y, (9.25) z Opeáto gad vytváí ze skalání funkce vektoové pole gad,, (9.26) x y z Ze vztahu (9.24) dostaneme 7 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta d gad d gad d cos (9.27) Odtud plyne, že pokud bude ve všech smech posun d stejný, naoste funkce nejvíce v tom smu, kde je cos, tedy ve smu gad. Sm vektou gad je poto uen smem nejychlejšího stu funkce. Dále platí, že pístek potencálu pole je z defnce oven zápon vzaté pác pole na jednotkovém náboj, tj. d d. (9.28) dn Sovnáním vztah (9.24) a (9.28), kteé musí platt po lbovolné elementání posunutí d 2, dostaneme vztah po výpoet ntenzty d d3 A pole ze známého potencálu d, d < 0 gad. (9.29) Výše uvedenou stuac s mžeme ukázat gafcky. Slové pole popsané potencálem je mapováno hladnam potencálu. Máme nalézt vekto ntenzty v každém bod postou, v nmž se pole ozpostíá. Tedy poetn máme skalání chaaktestku pole, vyjádenou v každém míst postou jednou íselnou hodnotou, nahadt vektoovou chaaktestkou, zahnující tí íselné údaje. Zkoumaným místem A na ob. 9.5 pochází hladna potencálu 0 konst., ke kteé z obou stan pléhající hladny, jmž písluší potencál lšící se od potencálu, o d, dtedy d, pemž podle 9.28 elementání pístek d d d cos, (9.30) kde úhel je úhel, kteý v píslušném míst svíá vekto posunutí d s vektoem ntenzty. Je oven nule, mají-l oba vektoy týž sm, a je oven mají-l navzájem opaný sm. Posune-l se zkušební náboj z místa A po hladn potencálu 0, kteá tímto místem pochází, nap. o d 3 na ob. 9.5, nezmní se ptom potencální enege náboje a píslušný elementání pístek d je oven nule. Podle (9.30) je poto oven nule skalání soun d3 (síla pole p posunutí zkušebního náboje po hladn potencálu nekoná žádnou pác), oba vektoy a d 3 jsou k sob kolmé, takže ntenzta je v míst A kolmá k hladn potencálu pocházející tímto místem (pesnj k tené ovn v míst A). P posunutí jného smu, nap. d a d 2 atd. na ob. 9.5 se dostane zkušební náboj na sousední hladny potencálu. P ostém úhlu, mez posunutím d a vektoem má skalání soun d, kladnou hodnotu, síla pole koná kladnou pác, pístek potencálu je podle (9.30) záponý, d < 0, potencál na píslušné hladn, na kteou se zkušební náboj dostal, je o gad Ob. 9.5 d menší. Je-l napot tomu tento úhel tupý ( 2 na ob. 9.5), je jeho kosnus záponý, páce síly pole p posunutí zkušebního náboje o d 2 je záponá a podle (9.30) je naopak pístek potencálu kladný, d > 0, potencál na této hladn je o d vtší. d 2 = 0 d, d > 0 8 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta Poto vekto ntenzty, kolmý k hladn potencálu ve zvoleném míst A, míí ve smu, v nmž potencál klesá. Jeho velkost je podle (9.30) dána vztahem d d d cos dn, (9.3) tedy podílem úbytku potencálu (záponým pístkem d ) p pechodu na sousední hladnu v bezpostedním okolí vyšetovaného místa A a pmtu dn píslušného posunutí d do smu nomály k hladn pocházející tímto místem. Podíl pístku skalání velny a vzdálenost, v níž tento pístek vznká, nazýváme stem skalání velny, a podíl úbytku velny a vzdálenost, v níž vznká tento úbytek nazýváme spádem skalání velny. Spád je tedy záponým stem. P stejn velkém pístku d nebo úbytku d je st d / d d / d píslušné velny zn vel- nebo spád ký, a to podle toho v jakém smu postupujeme z jedné hladny na duhou hladnu, l jak velká je vzdálenost d, v níž se z hodnoty dostaneme na hodnotu d (na ob. 9.5 nap. vzdálenost d a d 2 ). Jednoznaný význam mají st a spád, postupujeme-l ve smu kolmém k hladnám. V tomto smu je totž d dn nejkatší vzdálenost, v níž se z místa A dostaneme na hladnu, jíž písluší potencál lšící se od potencálu o elementání pístek d. Píslušný význaný st a spád mají pak ze všech ostatních možných st nebo spád z místa A nejvtší velkost ( d je stále stejné!), což zvlášt oznaíme: Maxmální st velny gadent velny pístek velny nejkatší vzdálenost, v níž pístek vznká Maxmální spád velny záponý gadent velny úbytek velny nejkatší vzdálenost, v níž úbytek vznká, znaka gad, znaka ( gad ) Gadent skalání velny má chaakte vektou, potože jen v jednom smu ležícím v nomále k hladn skalání velny v píslušném míst (nap. A) má st nebo spád maxmální velkost. V této nostelce leží také vekto ntenzty pole, jehož velkost (úbytek potencálu d dlený vzdáleností dn ) je shodný s velkostí maxmálního spádu potencálu v píslušném míst. Shnutí: Vekto ntenzty slového pole je v každém jeho míst co do velkost smu uen maxmálním spádem potencálu l záponým gadentem potenconálu, symbolcky: gad. Dsledek Potencály a, kde konst (9.32). uují totéž pole ntenzty. 9 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta 9.8 lektcký dpól lektcký dpól je tvoen dvojcí náboj stejné velkost Q, ale opané polaty, kteé jsou blízko sebe. Vlastnost dpólu jsou uující po výklad vlastností delektk. Mžeme-l vzdálenost náboj vzhledem ke vzdálenost pozoování považovat za zanedbatelnou, jak tomu v pípad dpól vytvoených v polazovaném delektku bývá, pak takovému dpólu íkáme elementání elektcký dpól. lementánímu dpólu pazujeme vektoovou velnu elektcký dpólový moment p, kteý má velkost sounu náboje Q a oentované vzdálenost 0 -Q Q mez náboj, kde vekto smuje od záponého náboje k náboj kladnému, vz. ob. 9.6. p Q (9.33) Ob. 9.6 p C m Potencál dpólu je pomocí dpólového momentu vyjáden vztahem pcos p0 2 2 4 4 0 0 V homogenním pol ntenzty psobí na oba náboje tvoící dpól síly F Q. Tyto síly mají stejnou velkost a vytváejí slovou dvojc s momentem M, kde M Q p (9.35) Moment M se snaží stot dpól do stablní polohy, kdy je elektcký dpólový moment p ovnobžný s vektoem ntenzty elektostatckého pole a oba vektoy mají stejnou oentac, vz. ob. 9.7 Hodnota potencální enege dpólu v elektostatckém pol je dána vztahem p p cos p Potencální enege závsí na úhlu, kteý svíají vektoy p a. Ob. 9.7 F (9.34) Q a (9.36) Stablní poloze, kdy je = 0, odpovídá mnmální hodnota potencální enege, kteou má dpól v elektostatckém pol. F - -Q Q P F M 9.9 lektostatcké pole v obecném postedí Dosud jsme uvažoval všechny vztahy po velny elektostatckého pole za pedpokladu, že postedím obklopujícím náboje je vakuum. Vložíme-l do elektostatckého pole látku, dojde v ní vlvem Coulombovských sl k pesunu náboj (zným mechansmy), a poto bude mít látka zptný vlv na pole. Z hledska pole budeme ozlšovat dva duhy látek: vode a delektka (zolanty). Delektkem myslíme deální delektkum, to je látku s nulovou vodvostí. Ve skutenost ostá 0 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta mez mez vod a delektky neexstuje, nebo každá eálná látka má utou nenulovou vodvost.. Vode v elektostatckém pol Vode mžeme zjednodušen chápat jako látky obsahující volné elektony. Volným elektonm ve vod íkáme elektonový plyn. Bez pítomnost vnjšího pole se vod jeví jako elektcky neutální. Vložíme-l zolovaný vod do elektostatckého pole s ntenztou 0 budou na jeho volné náboje psobt síly, kteé je peskupí ve smu tchto sl k povchu vod- e. Na jedné stan vode vznkne pebytek záponého náboje, na odvácené stan náboje kladného, vz ob. 9.8. Tento nov ozložený náboj vytvoí své vlastní elektostatcké pole s ntenztou, kteá bude psobt pot vnjšímu pol 0. Peskupování náboje ve vod ustane, bude-l v každém bod vode výsledná ntenzta pole nulová. tj. 0 0. (9.37) Na náboje pestanou psobt síly. Tomuto jevu peskupování náboje se íká elektostatcká ndukce a náboj, kteý se na povchu nashomáždí se íká ndukovaný náboj. 0 = - 0 Ob 9.8 Skutenost, že se náboj pevedený na vodvé tleso ozloží pouze na jeho povchu a nkolv uvnt, se dá dokázat pomoc Gaussovy vty. Ze vztahu gad vyplývá po vntek vode, kde je = 0, že = konstanta. Potencál = 0 ve všech vntních bodech vode je konstantní a Q = konst. povch je ekvpotencálou. Potože povch vodvého tlesa je ekvpotencálou, musí k nmu být sloáy kolmé. To znamená, že ntenzta elektostatckého pole má na povchu vode sm nomály, vz ob. 9.9. Je-l uvnt vodvého tlesa dutna, kteá neobsahuje náboj, je také v této dutn nulová ntenzta elektostatckého = konst. Ob. 9.9 pole a na hanní stn dutny nemohou být elektcké náboje. lektostatcké pole uvnt dutny ve vod je poto nulové bez ohledu na to, jakým zpsobem jsou ozloženy náboje. Na tomto pncpu jsou založena stínní pot elektostatckému pol. Dutý vod se chová tak, že stíní dutnu od vnjšího elektostatckého pole. Zaízení, kteé v pax tento efekt využívá se jmenuje Faadayova klec. Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta Umístíme-l do dutny, kteá je vytvoena vodem solovan elektcký náboj, elektostatcké pole uvnt dutny není nulové. Rozdlení náboje na povchu vode je obecn neovnomné. V okolí ostých han a hot je ntenzta elektostatckého pole mnohem vyšší než v blízkost ovnných nebo vydutých ástí povchu vode. 2. Delektkum v elektostatckém pol, polazace Na ozdíl od vod se v deálním delektku nachází pouze vázané náboje, kteé se nemohou látkou voln pohybovat. Mohou se pouze posunout ze své polohy v níž jsou dženy vazebním slam. Tomuto posunutí náboje, kteé vede k poušení elektcké ovnováhy tlesa, íkáme polazace delektka. xstuje ada mechanzm polazace, avšak z makoskopckého hledska není mechansmus polazace podstatný. Budeme pedpokládat, že každý objemový element V látky je složen z mnoha ástc (atom, molekul), z nchž každá vykazuje v elektostatckém pol svj dpólový moment. Po pops polazace látky s vybeeme takový malý objem V, aby se v nm navenek v nepítomnost vnjšího elektostatckého pole nepojevl pípadný atomání nebo molekulání elektcký dpólový moment, tj. v nmž platí p 0, kde V (9.38) P vložení látky do vnjšího elektostatckého pole nebude jž souet p nulový a lze defnovat vekto elektcké polazace delektka P, jako podíl soutu dpólových moment v objemu V tvoícím okolí bodu a tohoto objemu: dp P lm p V0 V (9.39) V dv Polazace P v uvažovaném míst delektka se ovná elektckému dpólovému momentu objemové jednotky delektka (objemová hustota dpólového momentu). Vekto polazace P pedstavuje velnu, kteá z makoskopckého hledska popsuje stav polazovaného tlesa v jeho lbovolném bod. xpementáln pozoovaný výsledný dpólový moment p V lbovolného objemu V delektka pak lze vyjádt vztahem pv dv P, V (9.40) kteý mže být považován za (mplctní) defnc vektou polazace. Stav daného objemu delektka je poto možno chaaktezovat výsledným elektckým dpólovým momentem, kteý mže být chápán jako stední hodnota vektoové sumy dpólových moment jednotlvých atom molekul. Dá se ukázat, že elektostatcké pole vytvoené koneným objemem V spojt ozložených elektckých dpól je ekvvalentní elektostatckému pol makoskopckých náboj ozložených na povchu tohoto objemu s plošnou hustotou závsí ptom pouze na pbhu vektou elektcké polazace nomály n na povchu objemu. p. Plošná hustota p P a smu jednotkového vektou 2 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
p P n eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta (9.4) Výše defnované makoskopcké náboje oznaujeme jako náboje polazaní. Polazaní náboje jsou náboje vázané, kteé nelze pemístt an oddlt, na ozdíl od náboj ndukovaných v elektckém pol na vodích. Kvanttatvn se pak polazace lší od ndukce v tom, že ndukovaným náboj se vnjší pole ve vod zcela uší, kdežto polazaním náboj se vnjší pole v delektku jen zeslabuje. Ve vod pesun volných elekton skoní, až pole v látce vymzí a elektcké síly pestanou na n psobt. V delektku se však posun vázaných ástc s náboj zastaví, jakmle se kvazelastcké síly vyvolané posunem vyovnají elektckým slám zeslabeného pole v látce. Ve velké vtšn delektk (tzv. mkká delektka) exstuje lneání závslost vektou polazace P, v daném bod na výsledné ntenzt pole v tomto bod. Po sotopní a homogenní postedí je možno tuto závslost zapsat ve tvau P. (9.42) 0 e kladná bezozmná velna (konstanta) e chaaktezuje vlastnost delektka a nazývá se jeho elektckou susceptbltou. Bžná delektka zstávají lneání, pokud se ntenzta pole pílš nezvtší. Vlv asových zmn pole zde neuvažujeme. Po pops delektka v elektckém pol je výhodné zavést vekto elektcké ndukce, kteý defnujeme vztahem D 0 P (9.43) 2 2 D Cm As m Zdojem vektou D je pouze volný náboj! Vztah (9.43) mez vektoem a D mžeme upavt pomoc (9.42), tj. D Kde 0 0 e 0 e 0 (9.44) je pomná (elatvní) pemtvta (9.44a) e 0 je pemtvta [F m - ]. (9.44b) Vlv delektka na elektcké pole jsme tak zahnul do konstanty. Je-l delektkum nehomogenní, je susceptblta funkcí souadnc a v dsledku toho je funkcí souadnc pemtvta. Pemtvtou vyjadujeme schopnost delektka polazovat se a vytváet nenulové hustoty vázaných náboj, a tak eagovat na pmání elektcké pole do nhož bylo delektkum vloženo. ím vtší je pomná pemtvta, tím víc je postedí pmáním polem polazováno, tím slnjší vlastní pole vytváí a tím více elatvn zeslabuje pmání pole 0. Polazací se tedy pole v delektku zeslabí v pomu 0 /, kteý udává pomná pemtvta, tj. 0 /. Potože po všechna delektka platí 0 e,, (9.45) 0 p D P delektkum ob. 9.0 3 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta dostáváme pavdlo: Vložením mkkého delektka do elektckého pole se pvodní pole v objemu delektka vždy zeslabí. V objemu tlesa je výsledné pole (9.46) 0 p a 0 P analýze elektostatckých polí používáme t vektoy: vekto ntenzty, vekto polazace P a vekto elektcké ndukce D. Shneme pazení tchto vekto ke zdojm nábojm. Uvedené vztahy znázouje ob. 9.0. Zdojem vektou je volný vázaný náboj. Zdojem vektou P je vázaný náboj. Zdojem vektou D je volný náboj. 9.0 Kapacta Uvažujme zolovaný vod, kteý nese náboj Q. Potencál vytvoený tímto vodem v okolním postou oznaíme. Lze ukázat, že platí vztah Q konst. (9.47) Pom mez velkostí náboje na uvažovaném vod a hodnotou potencálu v daném bod je funkcí pouze geometckých paamet tlesa a daného bodu. Specáln, oznaíme-l 0 hodnotu potencálu na povchu tlesa odpovídající náboj Q, mžeme psát Q C (9.48) 0 Velna C, kteá také závsí pouze na geometckých paametech daného zolovaného vode (jeho velkost a tvau), se nazývá jeho kapacta. Kapacta osamoceného vode poto vyjaduje jeho schopnost shomažovat elektcký náboj. Je tím vtší, ím vtší náboj se p daném potencálu mže na vod nashomáždt. Vod o menší kapact bude daným nábojem pveden na vyšší potencál než vod o vtší kapact. Jednotkou elektcké kapacty je faad (F), je to kapacta vode, kteý p potencálu V má náboj C. V pol nkolka nabtých vod je potencál v kteémkolv míst oven soutu potencál pekládajících se polí. To platí též o potencálech v místech tchto vod. Když se k vod s kladným nábojem a potencálem pblíží duhý vod s nábojem záponým, vzbudí v míst pvního vode záponý potencál 2 a jeho ptením k se potencál pvního zmenší. Obdobn se pblížením zmenší velkost záponého potencálu duhého vode, a potože se oba náboje ptom nemní, kapacta vod se zvtší. Velké kapacty lze dosáhnout tsným pblížením vod takového tvau, aby co možno celý ndukní tok vycházející z jednoho vode konl na duhém. Dvojce takto upavených vod se nazývá kondenzáto. Jednomu vod nebol elektod se pvádí náboj a jeho polem se na duhé elektod ndukuje opaný náboj, jenž má stejnou velkost za pedpokladu, že celý ndukní tok pvní elektody koní na duhé. S pesností s níž je tento pedpoklad splnn je kapacta kondenzátou uena vztahem Q Ck (9.49) U 2 4 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta Kde Q je náboj jedné z elektod a U 2 je její naptí v duhé (což lze fomulovat tak, že kapacta kondenzátou je defnována jako podíl kladného náboje Q a naptí U mez vod, tj. C k / U ). Standadním typem kondenzátou je kondenzáto deskový. Je tvoen dvma plochým elektodam o ploše S oddleným vstvou delektka o tloušce d. P malé tloušce vstvy lze pedpokládat mez elektodam homogenní pole o ntenzt Q / S, a tak po naptí platí U d Q d S 2 /. Dosazením do vztahu (9.49) dostaneme S Ck. (9.50) d Výaz (9.50) uuje kapactu deskového kondenzátou v závslost na jeho geometckých ozmech a pemtvt delektka. 9. Spojování kondenzáto A/ Séové (za sebou) P séovém zapojení kondenzáto platí:. Náboj je na všech kondenzátoech týž: Q Q Q 2 N 2. Výsledné naptí U na soustav kondenzáto se ovná soutu naptí U na jednotlvých kondenzátoech N U U (9.5) 3. Naptí se dlí na jednotlvé kondenzátoy v obáceném pomu ke kapactám, tj. Q U (9.52) C 4. Pevácená hodnota výsledné kapacty soustavy kondenzáto spojených séov se ovná soutu pevácených hodnot kapact jednotlvých kondenzáto. N C C B/ Paalelní (vedle sebe) P paalelním zapojení kondenzáto platí:. Naptí na všech kondenzátoech je stejné U U U 2 N 2. Výsledný náboj Q soustavy kondenzáto je oven soutu náboj Q na jednotlvých kondenzátoech N Q Q (9.54) 3. Náboje se ozdlí na jednotlvé kondenzátoy v pímém pomu k jejch kapactám Q (9.53) C U (9.55) A C C C 2 C 2 Ob. 9. B A Ob. 9.2 C N B C N 5 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta 4. Výsledná kapacta soustavy kondenzáto spojených paaleln se ovná soutu kapact jednotlvých kondenzáto N C C (9.56) 9.2 Potencální enege soustavy náboj v bodech až N Uvažujme soustavu N bodových nehybných náboj Q až Q N ozmístných ve vakuu. Tyto náboje na sebe psobí Coulombovým elektostatckým slam a mají-l zstat nehybné, musí být na svých místech njakým zpsobem udžovány. P vytváení dané soustavy náboj musí vnjší síly pekonávat síly Coulombovy a musí tedy konat pác. Páce vnjších sl (kteá je ovna zápon vzaté pác vykonané Coulombovým slam) odpovídá elektostatcké potencální eneg soustavy náboj. Po výše uvedenou soustavu N bodových náboj platí N j, (9.57) 0 j j W Q 2 8 Q Q kde sítáme pes všechna vzájemn zná a j, takže se každá dvojce náboj uvažuje dvakát, a poto je teba doplnt navíc ntel /2. Platí (9.58) j j j Získaná potencální enege chaaktezuje výsledný stav soustavy bodových náboj a mže být kladná, záponá nulová. Je-l náboj v objemu V ozložen spojt s hustotou nahadíme ve vztahu (9.57) náboj výazem dv a sumu ntegálem, pak W d V (9.59) 2 V 9.3 Staconání elektcké pole V elektostatce jsme se zabýval vlastnostm a vzájemným psobením elektckých náboj, kteé jsou v dané soustav souadnc v kldu. Nyní budeme popsovat jevy, kteé vznkají p makoskopckém pohybu elektckých náboj. Zkoumanou oblast omezíme na pípad, kdy píslušné makoskopcké velny nezávsí na ase. Tyto jevy budeme oznaovat jako staconání. S pohybem elektckých náboj je spojen vznk elektckého poudu. lektcký poud defnujeme jako uspoádaný pohyb elektckých náboj. Za kladný sm poudu považujeme sm uspoádaného pohybu kladných elektckých náboj. lektcký poud, kteý vytváí ustálený pohyb elektckých náboj se nazývá staconání. Staconání poudy jsou vytvoeny pouze pohybem volných elektckých náboj. Staconání poudy vytváí staconání elektcké pole a jsou povázeny ve svém okolí nepomnným (staconáním) magnetckým polem. Potože staconání magnetcké pole nevyvolává jev ndukce, neovlvuje elektcké pole. Poto mžeme ob tato pole zkoumat oddlen. 6 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta Poudní (uspoádaný pohyb) elektckého náboje popsujeme vektoem poudové hustoty j j. Absolutní hodnota j j tohoto vektou uuje množství elektckého náboje, kteé potee za jednotku asu jednotkovou plochou kolmou na sm j. Sm vektou poudové hustoty je shodný se smem pohybu nos kladného náboje v daném míst. Velna, di jds j ds (9.60) N uuje elektcký poud potékající plošným elementem ds. (Symbol j N oznauje vnjší nomálovou složku vektou poudové hustoty). lektcký poud plochou S je dán vztahem I ds j, (9.6) ds S tedy jako tok vektou poudové hustoty j danou plochou S, vz. ob. 9.3. Jednotkou elektckého poudu je ampé (A), jehož defnc zavedeme p studu slových únk magnetckého pole. Mez poudovou hustotou j a hustotou a ychlostí v elektckých náboj v daném míst platí vztah j v. (9.62) Ze vztahu (9.6) a z defnce poudové hustoty lze odvodt, že elektcký poud je dán hodnotou náboje, kteý pojde utou plochou S za jednotku asu, tj. dq I. (9.63) dt Poznámka: V pípad nestaconáních poud je vekto poudové hustoty závslý jak na souadncích tak na ase, tj. j j, t. S ds 9.3 j 9.4 Rovnce kontnuty elektckého poudu Zákon zachování elektckého náboje vyjaduje empckou zkušenost, že celkový elektcký náboj v uzavené soustav zstává nemnný. Uvažujme objem V ohanený plochou S, kteou potéká elektcký poud o hustot j, vz. ob. 9.4. Tok vektou j ploškou ds je j ds a celkový tok vektou j uzavenou plochou S je dán ntegálem. ds j. S Podle vztahu (9.6) je tento tok oven celkovému elektckému poudu I, kteý z plochy S vytéká, tj. I ds j S S V Ob. 9.4 ds ds j 7 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta Tento elektcký poud souvsí s nábojem, kteý objem V opouští. Potože náboj Q v objemu V uzaveném plochou S p kladné hodnot poudu klesá, je tato zmna vyjádena znaménkem mnus, tj. dq I ds j (9.64) dt S Je-l v uvažovaném objemu náboj Q ozložen s hustotou, lze pedchozí ovnc napsat ve tvau I... d ds j dv dt. (9.65) S S V Tato ovnce tzv. ovnce kontnuty je matematckou fomulací pncpu kontnuty elektckého poudu. Poud, kteý vytéká z uzavené plochy, je oven úbytku náboje uvnt této plochy za jednotku asu. V pípad stálého poudu, tj. poudu, kteý je asov nepomnný (staconání poud) nemže docházet k homadní volného náboje. Pokud by se s asem mnla objemová hustota náboje, nemohlo by se jednat o staconání jev. Poto v pol staconáního poudu musí platt, že poud, kteý do lbovolného objemu vtéká, musí opt ve stejné velkost z objemu vytékat, vz ob. 9.5. Ob. 9.5 Ve staconáním poudovém pol je tedy tok vektou poudové hustoty uzavenou plochou nulový, tj. ds j 0 (9.66) S Rovnce (9.66) se nkdy nazývá ovnce kontnuty staconáního poudu. Uvažujme pípad více vod spojených do jednoho bodu zvaného uzel. Volíme-l plochu S tak, aby uzel ležel uvnt této plochy dostáváme z (9.66) n ds j I 0 (9.67) S Rovnce n k k k Ik 0 (9.68) je matematckou fomulac. Kchhoffova zákona: algebacký souet poud v uzlu se ovná nule, tj. souet poud, kteé do jstého objemu (uzlu) ptékají, se ovná soutu poud, kteé z uzlu vytékají, vz. ob. 9.5. 9.5 Ohmv zákon Volné elektony v kovu vykonávají tepelný pohyb, kteý má chaotcký chaakte. Ve vnjším elektckém pol jsou navíc uychlovány psobením síly elektckého pole F e. 8 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta Je-l elektcké pole homogenní konst. je síla F konstantní. Podle Newtonova zákona síly platí (m = konst.) dv m F e, dt kde v je ychlost pohybu náboje. Poto e dv dt m a po ntegac obdžíme e v t v0 (9.69) m Pedpokládejme, že poátení ychlost v0 0. Pohyb elektonu je ovnomn zychlený až do okamžku jeho sážky. Mez dvma sážkam se zmní ychlost elektonu z hodnoty v 0 na hodnotu v max. Pmná ychlost elektonu mez dvma sážkam poto bude v 0 v max e v vmax t, (9.70) 2 2 2 m Kde t je stední doba mez dvma sážkam. Oznaíme-l koncentac volných elekton n, potom je hustota náboje e n Potože j v dostaneme Oznaíme 2 n e t. (9.7) e jne t 2 m 2 m 2 ne t, (9.72) 2 m kde koefcent se nazývá elektcká vodvost látky (konduktvta). Jednotkou je semens na met S m. Rovnce j, (9.73) kteá vyjaduje vztah mez vektoem poudové hustoty j a vektoem ntenzty elektckého pole v daném míst, je matematckým vyjádením Ohmova zákona v dfeencálním tvau. Ohmv zákon mžeme vyjádt také v ntegálním tvau. Uvažujme ást homogenního vode omezenou dvma ekvpotencálním plocham S a S 2, vzdáleným, mez nmž je naptí U. Pez vode je S, vz. ob. 9.6. Zvolíme-l nteganí dáhu podél slokvky S S Ob 9.6 S 2 9 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
je d d, a tak po naptí U platí j I U d d d d I d S S po I = konst. Integál oznaíme R d S eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta (9.74) (9.75) a defnujeme jej jako elektcký odpo vode. Vztah mez naptím U a poudem I pak mžeme vyjádt ve tvau U R I (9.76) což je matematckým vyjádením Ohmova zákona v ntegálním tvau. Je-l a S podél vode konstantní, bude odpo R dán vztahem kde R S S (9.77) (9.78) je ezstvta. Jednotkou odpou je ohm, U R V A I S. Jednotkou ezstvty je ohmmet R S m. m, 9.6 lektomotocké naptí Rovnce kontnuty po staconání (stálý, na ase nezávslý) poud má tva ds j 0, vz. (9.66). to znamená, že ve staconáním pípad nemá vekto j zídla. Poto, má-l poud exstovat, musí mít j víy (nenulové ckulace), a tak poudové áy staconáního poudu jsou vždy uzavené kvky. Nostelé náboje, kteí staconání poud ealzují se musí pohybovat po uzavených dahách! Tento pohyb a tedy an staconání poud nemže být vyvolán elektostatckým nebo staconáním elektckým polem, potože ob pole jsou potencální, tj. platí v nch vztah d 0. Peneseme-l náboj v elektostatckém (konsevatvním) pol po uzavené dáze, bude mít pole svou pvodní podobu. nege pole bude stejná, jako ped uskutenním pohybu náboje po uzavené dáze. To znamená, že pínou ustáleného poudu, kteý je výsledncí pohybu náboj, kteé se na svých dahách sážejí s ástcem látky a ásten tak mní svou 20 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta eneg v teplo, nemže být konsevatvní pole. Potože ze zkušenost víme, že staconání poud ve vod mže exstovat, musíme pedpokládat exstenc e S jných, a to nepotencálních slových polí, p- j sobících na nostele náboje. Nepotencální pole jsou A obecn neelektcké povahy! Uvažujme úzkou poudovou tubc pezu B S vedenou podél uzavené poudové áy, vz. ob. 9.7. Aby exstoval staconání poud musí nepotencální tzv. vtštné síly F psobt alespo na * A B ást uzavené poudové áy, kde penášejí náboje podél poudové áy mez dvma ekvpotencálním plocham A, B, a to pot elektostatckým slám * penesených náboj. Jsou tedy schopny džet ovnováhu elektckému pol tchto náboj v tzv. aktvní ást AB délky Ob. 9.7, vz. ob. 9.7. Psobení * vtštné síly F mžeme fomáln vyjádt tak, že v aktvní ást AB ppoítáme k pol náboj * ješt pídavné necoulombovské pole (tj. * * F Q ), jakoby zde platlo * j. (9.79) * Velna se nazývá vtštná (elektomotocká) ntenzta. V ostatní ást, oznaené AeB délky e exstuje jen pole vybuzené peneseným náboj. Podstatné je, že náboje na * hancích aktvní ást AB jsou slou F stále doplovány, takže pole poudová hustota j podél áy jsou tvalé. Poto mžeme síly epezentované polem * nazvat elektomotockým. Rovnc (9.79) platnou po aktvní ást AB pepíšeme do ntegálního tvau. Nejpve j skalán vynásobíme vektoem d, kteý volíme za pvek lne, esp. j a upavíme na tva j d d * d. (9.80) Tento výaz ntegujeme podél poudové áy mez ekvpotencálním plocham A, B. Dostaneme * d j d d. (9.8) l l l Poudovou hustotu na levé stan vyjádíme pomocí poudu I tekoucího poudovou tubcí. Tento poud je podél celé poudové áy konstantní, takže mžeme psát j j d d d I (9.8a) S l l l Velna d R (9.8b) S l 2 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta pedstavuje odpo R píslušného úseku poudové tubce. Dále zavedeme velnu * d, (9.8c) kteou nazveme elektomotockým naptím (emn). Vztah (9.8) tak mžeme pepsat do tvau I R d, (9.82) kteý vyjaduje závslost naptí mez ekvpotencálním plocham A, B na poudu. Pedpokládáme-l, že duhá ást AeB poudové tubce je tvoena homogenním vodem modeluje tento pípad tzv. elektcký obvod. ást AB, kde psobí vtštná síla, pak chápeme jako zdoj emn a ezy A, B pedstavují svoky tohoto zdoje. Rozdíl potencálu mez nm defnovaný vztahem U d (9.83) s le se oznauje jako svokové naptí, kteé je vždy kladnou velnou. Potože platí d d 0 le l je možné místo (9.82) psát - I R U. (9.84) s Svokové naptí je poto vždy menší než elektomotocké naptí. Pouze ve specální pípad nulového poudu platí mez nm ovnost. Rovnce (9.84) vyjaduje fyzkální stuac, kteá nastává ve zdoj emn. Vtštné síly, psobící uvnt zdoje, ozdlí volné nostele náboje tak, že mez svokam psobí elektcké pole. V pípad, kdy zdojem netee žádný poud, nastane ovnovážný (statcký) stav p ovnost emn a svokového naptí. Za tohoto stavu platí podle (9.79), takže na nostele * poudu uvnt zdoje jž další síly nepsobí. P odbu poudu jsou ze svoek odvádny náboje, ímž poklesne svokové naptí ntenzta pole uvnt zdoje. Psobení vtštných sl není pak zcela vykompenzováno a odvádné náboje mohou být neustále doplovány. Vyjádíme-l ve vztahu (9.84) svokové naptí ve tvau d US d I IRe, (9.85) S dostaneme le e le IR I R. (9.86) Vztah (9.86) vyjaduje souvslost mez emn a poudem v obvodu. Uzavenou poudovou tubc podle ob. 9.7 považujeme za uzavený elektcký obvod, jestlže pláš tubce souhlasí s povchem vod. Mžeme j pak zakeslt do schematckého tvau podle ob. 9.8, tzv. jednoduchý (neozvtvený) obvod. Znakou odpoy jednotlvých úsek vod. je epezentován zdoj emn a jednotlvým znakam 22 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta Potože emn je tvoeno jako kvkový ntegál po ást obvodu mžeme jednotlvá emn pítomná v témže obvodu sítat. Podobn mžeme sítat jednotlvé odpoy. Zobecnním ovnce (9.86) po lbovolnou smyku obvodu staconáního poudu, kteá je tvoena zdoj emn a odpoy mžeme fomulovat II. Kchhoffv zákon: Algebacký souet emn ve smyce je oven algebackému soutu úbytk naptí na všech odpoech ve smyce, tj. j j j IR (9.87) j kde smykou ozumíme ást sít tvoící uzavený neozvtvený obvod, vz. ob. 9.9. R R e Ob. 9.8 Poznámka lektomotocké naptí je neelektckou pínou tvalého potencálového ozdílu, tedy pínou naptí, fyzkální velna není poto dentcká s pojmem naptí! Poznámka Sí pedstavuje ozvtvený obvod, tj. obvod obsahující více smyek. U tchto typ obvod ozeznáváme uzly, vtve a smyky. Uzel je bod sít, ve kteém se stýkají více než dva pvky obvodu. Vtev je séová kombnace pvk mez dvma uzly. Smyka, vz. výše. smyka Ob 9.9 9.7 Spojování odpo Pavdla po skládání odpo v séovém a paalelním zapojení. a) Séové spojení N odpo R až R N. I R R 2 R N U Ob. 9.20 Podle ovnce kontnuty tee všem odpoy stejný poud I, výsledné naptí je dáno soutem naptí na jednotlvých odpoech. U U U U. (9.88) 2 N Podle Ohmova zákona U I R poto platí I R I R I R IR. (9.89) 2 N Výsledný odpo R séového spojení odpo R až R N je 23 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta R R R R. (9.90) 2 N Výsledný odpo R je oven soutu jednotlvých odpo. b) Paalelní spojení N odpo R až R N. R R 2 R N U I I 2 I N I Ob 9.2 V pípad paalelního spojení je výsledný poud podle I. Kchhoffova zákona oven soutu poud jednotlvým odpoy. Naptí U je na každém dílím odpou stejné, potože je dáno ozdílem potencálu mez stejným uzly. Po výsledný odpo R platí I I I I, (9.9) U R 2 N U R U R 2 U R N R N, (9.92). (9.93) R R R 2 Pevácená hodnota výsledného odpou je ovna soutu pevácených hodnot jednotlvých odpo. 9.8 Páce a výkon elektckého poudu Z makoskopckého pohledu uvádí elektcké pole náboje do uspoádaného pohybu ve smu ntenzty pole. Kdyby tomuto pohybu nekladlo postedí odpo, musely by stálým psobením pole náboje získávat stále vtší ychlost. To by znamenalo, ds že poud by ostl nade všechny meze. j Z mkoskopckého pohledu však víme, že dochází ke sážkám nos náboje s jným ástcem látky. Tímto mechansmem se enege pole tansfomuje do enege tepelné. Abychom toto teplo vypoetl, zvolme ve vod poudovou tubc o nfntesmálním pezu ds a omezme j dvma ovnam vzdáleným o d, kolmým k ose tubce, a tedy k vektou poudové hustoty j, vz ob. 9.22. Za dobu dt pojde pezem ds elektcký náboj Ob. 9.22 d 24 Jan Pet Fyzka, lektcké pole
eská zemdlská unvezta v Paze, Techncká fakulta dq j ds dt j ds dt (9.94) Intenzta elektckého pole v tomto míst bude psobt na náboj dq slou F dq. Páce vykonaná slou F elektckého pole p posunutí náboje dq o dáhu d je da F d Fd j ds d dt. (9.95) Bude-l délka d taková, že náboj dq uazí za dobu dt páv tuto dáhu, bude páce da mít velkost potebnou po udžení staconáního poudu ve zvoleném úseku poudové tubce. Z ovnce (9.95) mžeme stanovt výkon k tomu potebný, kteý ppadá na jednotku objemu. Platí dp da p j. (9.96) dv ds d dt Rovnce (9.96) pedstavuje Joulev zákon v dfeencálním tvau. Máme-l sotopní vod, pak mez vektoy a j platí j, a tak po výkon p dostaneme 2 p j 2 (9.97) Rovnce (9.96) a (9.97), udávají výkon, kteý se v jednotce objemu pemní ve vod v teplo. Výkon poudu vyjádíme ješt po homogenní a sotopní vod o délce na jehož koncích udžujeme naptí U, takže jím potéká poud I. Na pchod náboje dq takovým vodem musíme vynaložt pác da U dq. (9.98) Výkon, kteý musí dodávat zdoj bude da dq P U UI dt dt. (9.99) Po dosazení z Ohmova zákona U I R dostaneme 2 U 2 P I R. (9.00) R Rovnce (9.99 a 9.00) jsou ntegální fomulací Jouleova zákona a vyjadují výkon, kteý se pemní pí pchodu elektckého poudu vodem na teplo. Potéká-l vodem staconání poud po dobu t, má enege pemnná v teplo velkost U I t. (9.0) 25 Jan Pet Fyzka, lektcké pole