Obsah 1 Viskoelasticita 2 1.1 Modely viskoelastického materiálu...................... 2 1.1.1 Maxwell v model............................ 4 1.1.2 Kelvin v model............................. 5 1.1.3 Maxwell v-kelvin v model...................... 6 1.1.4 Model standardní pevné látky..................... 7 1.1.5 Model s mocninným vztahem..................... 8 1.1.6 Model Pronyho ady.......................... 8 1.1.7 Zobecn ný Kelvin v model....................... 8 1.1.8 Model s nelineárním mocninným vztahem.............. 8 1.1.9 Lineární viskoelastický materiál.................... 9 1.1.1 Princip korespondence......................... 1 1.2 T írozm rný problém.............................. 1 Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz. 1
Kapitola 1 Viskoelasticita Model viskoelastického materiálu kombinuje vlastnosti model elastického a viskózního materiálu. P i zatíºení elastického materiálu se jako odezva okamºit objeví deformace. Pokud je zatíºení nem nné, deformace z stává také nem nná. Po úplném odleh ení deformace zcela vymizí. Elastická deformace je tedy vratnou deformací. P i jednoosém zatíºení m ºeme zapsat vztah mezi deformací a nap tím " = D (1.1) resp. mezi nap tím a deformací = E" ; (1.2) kde D p edstavuje poddajnost a E modul pruºnosti. Mezi t mito veli inami je z ejm vztah D = 1 E : (1.3) Viskózní materiál te e p i konstantním zatíºení konstantní rychlostí deformace _" V = ; (1.4) kde je Newtonova viskozita, kterou m ºeme denovat = E : (1.5) p edstavuje asovou konstantu materiálu a E je po áte ní modul materiálu. Akumulovaná viskózní deformace " V = _" V dt není p i odleh ení vratná. Jak jiº bylo e eno, viskoelastický materiál kombinuje chování elastického a viskózního materiálu. Odezva takového materiálu na zatíºení je v²ak komplexn j²í, neº jen p idání viskózní deformace k elastické deformaci. 1.1 Modely viskoelastického materiálu Níºe uvedené materiálové modely p edstavují p ijatelnou aproximaci experimentáln pozorovaného chování materiál vykazujících viskózní chování. B ºnými experimenty pro ur ení materiálových dat jsou 2
creepový test. Je udrºováno konstantní nap tí a m ena zv t²ující se deformace. Pom r m ené deformace a aplikovaného nap tí je creepová poddajnost D(t) = "(t) : (1.6) relaxa ní test. Je udrºována konstantní deformace " a m eno nap tí nutné k udrºení této deformace. Pom r m eného nap tí a aplikované deformace je relaxa ní modul E(t) = (t) " : (1.7) P i skokovém zatíºení se objeví okamºit deformace odpovídající elastické deformaci. S rostoucím asem se deformace zv t²uje kombinací vratného a nevratného viskózního te ení. Pouze ideální krystalické materiály jsou elastické. V t²ina materiál vykazuje viskoelastické chování, pokud je pozorování uskute ováno po dostate n dlouhý asový úsek i p i dostate n vysoké teplot. Pro elastické materiály je poddajnost D konstantou a lze ji vyjád it inverzí modulu pruºnosti E dle rovnice (1.3). Platí proto vztah D E = 1 : (1.8) Pro viskoelastické materiály je creepová poddajnost D(t) funkcí asu stejn jako relaxa ní modul E(t). Relaxa ní modul se zavádí namísto modulu pruºnosti E. Jak bude ukázáno v podsekci 1.1.1, platí obdoba vztahu (1.8) i pro creepovou poddajnost a relaxa ní modul v Laplaceov oblasti. K tomu, abychom toho dosáhly, vyuºijeme Laplaceovu transformaci. Vztah mezi D a E je s 2 D(s)E(s) = 1 : (1.9) Protoºe D(s) i E(s) jsou algebraické funkce s, je moºné na vztahu (1.9) algebraicky operovat a získat 1 E(s) = s : (1.1) 2 D(s) Relaxa ní modul E(t) v asové domén je inverzí Laplaceovy transformace vztahu (1.1) E(t) = L 1 [E(s)] : (1.11) Podobn lze získat creepovou poddajnost D(t) z relaxa ního modulu E(t) " # D(t) = L 1 1 ; (1.12) s 2 L [E(t)] kde L [ ] p edstavuje Laplaceovu transformaci a L 1 [ ] inverzní Laplaceovu transformaci. Materiály s nevratnou viskózní deformací se obvykle nazývají tekutinami, s vratnou viskózní deformací pak pevnými látkami. Ilustrují to na p íklady materiálových model kombinujících Hook v elastický a Newton v viskózní len. 3
1.1.1 Maxwell v model Obrázek 1.1: Maxwell v model. Je tvo en sériovým spojením elastického a viskózního lenu (obr. 1.1). Rychlost deformace vyjad uje rovnice _" = _" V + _" E ; (1.13) po dosazení _" = (t) E + _ E : (1.14) D sledkem zatíºení je vratná elastická deformace a nevratná viskózní deformace. Creep. Je udrºováno nap tí = konst: Integrováním vztahu 1.14 vzhledem k asu obdrºíme ˆ "(t) = 1 t dt + : (1.15) E E Nap tí v pruºin i tlumi i je stejné, tudíº Z tohoto vztahu lze vyjád it creepovou poddajnost "(t) = E t + E : (1.16) D(t) = "(t) = 1 E + 1 E t : (1.17) Relaxace. K odvození relaxa ního modulu E(t) je vhodné vyuºít Laplaceovu transformaci vztahu (1.17) D(s) = 1 + 1 s = + 1 : (1.18) se s 2 E s 2 E Relaxa ní modul E(s) je dle vztahu (1.1) E(s) = 1 s 2 D(s) = E s + 1 : (1.19) 4
Relaxa ní modul v ase je dán inverzí Laplaceovy transformace E(t) = E e t : (1.2) Pro as t = je E() = E po áte ní elastický modul materiálu. Pro as t = je E( ) = ; 368E, proto je ozna ováno jako asová konstanta materiálu. 1.1.2 Kelvin v model Obrázek 1.2: Kelvin v model. Vznikne paralelní kombinací elastického a viskózního lenu (obr. 1.2). Nap tí získáme z rovnice (t) = V (t) + E (t) ; (1.21) po vyjád ení nap tí v jednotlivých v tvích modelu (t) = E _"(t) + E"(t) : (1.22) Deformace Kelvinova modelu je vratnou deformací. K vymizení deformace p i odleh ení v²ak nedochází okamºit. Creep. rovnice P i konstantním nap tí = se z rovnice (1.22) stává oby ejná diferenciální = E _"(t) + E"(t) ; (1.23) jejímº e²ením je Creepová poddajnost je tedy "(t) = E D(t) = "(t) h i 1 e t = 1 E h i 1 e t : (1.24) : (1.25) 5
Relaxace. U Kelvinova modelu materiálu je moºný jen creepový test. Relaxa ní test by vyºadoval nekone n velké nap tí, aby byl tlumi ihned nataºen na hodnotu konstantní deformace. Relaxa ní modul lze odvodit pomocí Laplaceovy transformace z creepové poddajnosti, nikoliv p ímo. S vyuºitím vztahu (1.1) a jeho inverzní Laplaceovy transformace lze p i zavedení Heavisideovy funkce H a Diracovy funkce získat relaxa ní modul Heavisideova funkce je denována Diracova funkce je denována E(t) = EH(t) + E(t) : (1.26) H (t t ) = : : : t < t ; H (t t ) = 1 : : : t t : (1.27) (t t ) = 1 : : : t = t ; (t t ) = : : : t 6= t : (1.28) 1.1.3 Maxwell v-kelvin v model Obrázek 1.3: Maxwell v-kelvin v model. Tento model je tvo en sériovým spojením Maxwellova a Kelvinova modelu (obr. 1.3). Creep. modelu Creepovou poddajnost získáme se tením poddajnosti Maxwellova a Kelvinova D(t) = 1 E + 1 1 E t + 1 E 2 1 e t 2 : (1.29) 6
Relaxace. E(t) = Relaxa ní modul lze odvodit ve tvaru " 1 2! E 2 t 1 exp T 1 T 1 P 2 1 4P 2 1 2 1 1 2! E 2 exp T 2 t # T 2 ; (1.3) kde T 1 = 1 2P 2 P 1 + P 1 = P 1 + qp 21 4P 2 E 1 = E 1 ; 2 = E 2 ; qp 21 4P 2 ; T 2 = 1 P 1 2P 2 ; T 2 = 1 2P 2 P 1 qp 21 4P 2 ; qp 21 4P 2 : 1.1.4 Model standardní pevné látky Obrázek 1.4: Model standardní pevné látky. Tento model je tvo en sériovým spojením Hookova a Kelvinova modelu (obr. 1.4). Creepovou poddajnost získáme se tením poddajnosti Hookova a Kelvinova mo- Creep. delu D(t) = 1 E + 1 E 2 1 e t 2 : (1.31) Relaxace. Relaxa ní modul lze získat ve tvaru kde E1 = E(t) = E1 + (E E1) e t(e +E 2 ) 2 E 2 ; (1.32) E 1 + E 1 1 2 je rovnováºný modul v ase jdoucím k nekone nu. 7
1.1.5 Model s mocninným vztahem Bývá uºíván k popisu relativn krátkodobých deformací polymer. Relaxace. Relaxa ní modul je zaveden ve tvaru E(t) = At n : (1.33) Creep. Creepová poddajnost je ur ena pomocí Laplaceovy transformace D(t) = 1 E + D C (t) ; (1.34) kde D C (t) = [A (1 n) (1 + n)] sloºku. 1 t n a je Gamma funkce. Index C zna í creepovou 1.1.6 Model Pronyho ady Pro popis dlouhodob j²ího creepu a relaxace polymer je vhodn j²í následující model E(t) = E1 + X i E i e t i ; (1.35) kde i jsou asové konstanty, E i relaxa ní moduly a E1 je rovnováºný modul (pokud existuje). Tento model aproximuje dob e chování materiálu, pokud má ada dostate n velký po et len. 1.1.7 Zobecn ný Kelvin v model P edstavuje alternativu k Pronyho ad z hlediska po tu parametr. Creepová poddajnost je vyjád ena vztahem majícím ty i parametry D(t) = D + D 1 1 e ( t ) m : (1.36) 1.1.8 Model s nelineárním mocninným vztahem Doposud uvedené modely p edstavují lineární viskoelastický materiálový model. To znamená, ºe parametry modelu D (t) a E (t) nejsou funkcí nap tí. Deformace ve zvoleném ase je lineárn závislá na nap tí. Pokud je jakýkoliv parametr funkcí nap tí, materiál je nelineárn viskoelastický. Takovým modelem je nap íklad nelineární mocninný vztah ve tvaru _" = AT B D : (1.37) 8
1.1.9 Lineární viskoelastický materiál Viskoelastický materiál je lineární, pokud je moºná superpozice. Historie zatíºení je dána nap tím (t) = 1 (t) + 2 (t) : (1.38) Pokud deformace " 1 resp. " 1 odpovídá zatíºení 1 resp. 2, pak platí " (t) = " 1 (t) + " 2 (t) : (1.39) V p ípad lineární viskoelasticity jsou creepová poddajnost (1.6) a relaxa ní modul (1.7) nezávislé na nap tí. Pro nelineární materiály je creepová poddajnost funkcí nap tí D (t; ) a relaxa ní modul funkcí deformace E (t; "). Pokud je lineární materiál zatíºen v ase t = konstantním nap tím, pak deformace " (t) = D (t; ) pro t > : (1.4) Pokud bude nap tí postupn nar stat, pak podle Boltzmannova postulátu platí d " (t) = D (t; ) + D (t; ) d = D (t; ) + D (t; ) d : (1.41) d p edstavuje asovou historii, poddajnost D (t; ) je tedy funkcí aktuálního asu t a celé asové historie p edstavované. P edstavme si dv závislosti deformace na ase. První závislost je pro zatíºení v ase t = 1, druhá pro zatíºení v ase t = 2 ( 2 > 1 ). Pokud jsou ob závislosti stejné a jenom v i sob posunuté o asový úsek 2 1, pak lze konstatovat, ºe D (t; ) = D (t ) : (1.42) Tento vztah p edstavuje denici nestárnoucího materiálu. Vyjad uje nezávislost k ivky deformace- as na dob, která je spojitou funkcí < t zaznamenávající as kaºdého zatíºení. Nezáleºí tedy na tom, jak je materiál starý, ale na tom, jak dlouho trvá zatíºení ( asový úsek t ). Creepová poddajnost je odezva materiálu na zatíºení (nap tí) za ínající v okamºiku aplikace zatíºení. Pokud je zm na zatíºení postupná, pak platí ze vztahu (1.41) " (t) = Analogicky pro nap tí s vyuºitím relaxa ního modulu platí (t) = D (t ) _ () d : (1.43) E (t ) _" () d : (1.44) 9
1.1.1 Princip korespondence Laplaceova transformace funkce f (t) transformuje funkci z asové oblasti do Laplaceovy oblasti jako f (s). Je denována jako L [f (t)] = f (s) = Laplaceova transformace vztah (1.43) a (1.44) vede ke vztah m ˆ1 exp ( s t) f (t) dt : (1.45) L [" (t)] = " (s) = L [D (t)] L [ _ (t)] = s D (s) (s) ; (1.46) L [ (t)] = (s) = L [E (t)] L [ _" (t)] = s E (s) " (s) : (1.47) Vynásobením rovnice (1.46) rovnicí (1.47) obdrºíme s 2 D (s) E (s) = 1 (1.48) nebo po úprav s D (s) = [s E (s)] 1 : (1.49) s D (s) je tedy inverzí s E (s). Tento vztah je analogií rovnice platné v elasticit (1.3). Z toho vychází princip korespondence, který íká, ºe v²echny rovnice elasticity dostupné pro elastický materiál jsou platné i pro lineární viskoelastické materiály v Laplaceov oblasti po p enásobení pat i ných len s. 1.2 T írozm rný problém Pro e²ení t írozm rného problému lineární viskoelasticity lze vyuºít princip korespondence. Pro elastický isotropní materiál platí Hook v zákon kde = E (1+)(1 2), = G = E 2(1+). ij = 2" ij + " kk ij ; (1.5) Pro lineární viskoelastický isotropní materiál lze vyjád it konstitutivní vztah pomocí Lamého funkcí a ij (t) = 2(t ) _" ij d + (t ) _" kk ij d : (1.51) Pomocí konvolu ního teorému je Laplaceova transformace vztahu (1.51) ij (s) = s2(s)" ij (s) + s(s)" kk ij : (1.52) 1
Literatura [1] Barbero, E. J.: Finite Element Analysis of Composite Materials CRC Press, 28 [2] Dunne, F., Petrinic, N.: Introduction to Computational Plasticity, Oxford University Press, 25 [3] Koji, M., Bathe, K.-J.: Inelastic Analysis of Solids and Structures, Springer-Verlag, 25 [4] Lubliner, J.: Plasticity Theory, Dover Publications, 28 11