Charaktery a Diskrétní Fourierova transforace Nejd leºit j²í kvantový algorite je Diskrétní Fourierova transforace (DFT) D vody jsou dva: DFT je pro kvantové po íta e exponenciáln rychlej²í neº pro po íta e klasické; DFT uoº uje (io jiné) faktorizaci p irozených ísel Diskrétní Fourierova transforace se týká zobrazení z kone né koutativní grupy G do C Kaºdé takové zobrazení f lze chápat jako vektor (f(g ), f(g ),, f(g n )), kde n = G a g i jsou prvky G Mnoºina v²ech zobrazení tak tvo í vektorový prostor C n, p i eº bazí, ke které se uvedený zápis vztahuje, je báze charakteristických funkcí jednotlivých prvk, tedy funkcí b, b,, b n denovaných vztahe b i (g j ) = δ ij DFT je p echod od chronologického zápisu funkce v této bázi, k zápisu v bázi tzv charakter grupy G, které vyjad ují frekven ní rozklad funkce Pro porozu ní DFT je proto t eba nejprve pojednat o charakterech kone ných grup Nech (G, ) je koutativní grupa Kaºdý grupový hooorsus χ : (G, ) (C, ) se nazývá charakter grupy G Dále budee uvaºovat pouze kone né grupy G Charaktery tvo í také grupu, s násobení denovaný (χ χ )(g) = χ (g) χ (g) Jednotkový prvke této grupy charakter je identická jedni ka, kterou zna íe ε a nazýváe triviální charaktere V ta Nech je X grupa charakter kone né koutativní grupy G Pak X = G D kaz Protoºe je G kone ná, usejí se v²echny její prvky zobrazovat na jednotkovou kruºnici P esn ji, prvek g se usí zobrazovat na r-tou odocninu z, kde r je ád prvku g Máe tedy χ(g) = exp(πi k r ), pro n jaké k Z r Nech {h,, h } je n jaká iniální noºina generátor grupy G, kde prvek h j á ád r j Pak G = Z r Z r Z r a charakter χ je jednozna n ur en volbou (k,, k ) Z r Z r Z r tak, ºe ( χ(h j ) = exp πi k ) j r j Je snadné ov it, ºe zobrazení χ (k,, k ) dává poºadovaný isoorsus Vzhlede k tou, ºe se pohybujee na jednotkové kruºnici, platí χ (g) = χ(g) = χ(g)
Dále je uºite né si v²inout, ºe pro g, h Z r Z r Z r χ h (g) = χ g (h) Ob strany rovnosti se totiº rovnají ( ) kj l j ( ) exp πi, j= kde g = (k, k,, k ) a h = (l, l,, l ) Pro po ítání s charaktery je klí ové následující tvrzení r j platí Lea Pro libovolný netriviální charakter χ grupy G platí χ(g) = 0 D kaz Nech je χ netriviální, a zvole h G tak, ºe χ(h) Protoºe g hg je perutace grupy G, dostáváe χ(g), a tedy χ(g) = χ(hg) = χ(h) χ(g) = 0 Následující tvrzení ukazuje, ºe charaktery jsou ortogonální noºinou vzhlede ke standardníu skalárníu sou inu (pracujee tedy v Hilbertov prostoru H n, nikoli pouze v C n ) Lea Nech χ a χ jsou dva r zné charaktery grupy G Pak platí χ (g) χ (g) = 0 D kaz Protoºe χ χ, je χ χ = χ χ netriviální charakter, a tvrzení plyne z p edchozího leatu Nora kaºdého charakteru χ je χ(g) χ(g) = n Vidíe proto, ºe noºina ( n χ, n χ,, ) χ n n je ortonorální báze H n, které íkáe báze charakter Jak uº bylo e eno na za átku, Diskrétní Fourierova transforace je p evod zobrazení f : G C ze zápisu v bázi charakteristických funkcí do zápisu v bázi charakter Protoºe jsou ob báze ortonorální, jedná se o unitární zobrazení Matice DFT je tedy inverzní atice k atici p echodu od kanonické bázi k bázi charakter Protoºe inverzní atice unitární atice je atice adjungovaná, áe DFT] k,l = χ gk (g l ),
3 kde g, g,, g n je n jaké o íslování prvk grupy G Díky vý²e dokázané zá nnosti index jsou DFT a DFT koplexn sdruºené a pro zjednodu²ení zápisu se obvykle uvaºuje inverzní transforace IFT (u²et íe tí znaénka inus v exponentu) Kvantový rozklad Diskrétní Fourierovy transforace Kvantová ralizace Diskrétní Fourierovy transforace spo ívá v konstrukci obvodu, který po ítá operátor DFT, tedy v rozkladu DFT na alé operátory Vý²e jse denovali DFT pro obecnou grupu G Nejd leºit j²í a nejobvyklej²í je DFT pro cyklickou grupu (Z N, +) a není-li e eno výslovn jinak, rozuí se ozna ení DFT práv tento p ípad Pro ilustraci a procvi ení ov²e provedee nejprve DFT na grup (Z, +) Máe M = a k-tý bázový prvek H M budee jako obvykle zapisovat k = k k k, kde k k k je binární zápis k Budee také p irozen p edpokládat, ºe o íslování grupy Z touto zápisu odpovídá, ºe tedy k-tý prvek je práv (k, k,, k ) Podle ( ) pak áe k j l j DFT] k,l = exp πi j= = ( ) kjlj = ( ) k l j= To je ov²e atice, kterou znáe jiº z Deutschova-Jozsova algoritu; nad Z dostáváe snadný rozklad DFT = H Obra e se nyní k p ípadu (Z M, +) Vyuºijee poznáku na konci p edchozího oddílu a budee rozkládat IFT, kde IFT] k,l = exp πi kl ] M M Obvod je vºdy denován na bázových prvcích Chcee tedy sestrojit obvod, který vstup k = k k k zobrazí takto: k M exp πi kl ] l, M M coº po rozkladu dává k M l = l j, j= k M j= l j=0 l =0 l =0 l=0 l =0 j= l M = l j j j= exp πi k ] j l j l j Díky distributivit tensorového sou inu dostáváe rozklad exp πi k ] j l j l j = j= ( 0 + exp πi k ] ) j
4 Faktor u rozepí²ee: exp πi k ] ] ] t= j = exp πi t k t = exp πi ( t j) k t a z periodicity exponenciely dostáváe exp πi k ] j = exp πi j t= j+ t= ( t j) k t Pro názornost zápisu bude uºite né roz²í it binární zápis i za desetinnou, resp spí²e polovinnou árku a psát 0, a a = a j j j Pak lze IFT vyjád it takto: k 0 + exp πi(0, k )] 0 + exp πi(0, k k )] 0 + exp πi(0, k k k )] 0 + exp πi(0, k k k )] Zkonstruovat obvod, který IFT po ítá uº není t ºké V²in e si nejprve, ºe 0 + exp πi(0, a)] = H a, kde H je Hadaard v operátor Dále budee pot ebovat atice relativního fázového posunu ( ) 0 R t = 0 exp t, ] které budee aplikovat kontrolované bite na t-té pozici za desetinnou árkou Konstrukce j-tého kubitu výstupu vypadá nyní takto: k j+ k j+ k j+3 k k 0 H R j+ R j+3 R R Sta í tedy pouºít poocných kubit, na po átku ve stavu 0, jako výstupní registr transforace Je ov²e také oºné poocné kubity u²et it, pokud si v²inee, ºe první kubit vstupu je pot eba pouze pro výpo et n-tého kubitu výstupu, druhý kubit vstupu pouze pro výpo et posledních dvou kubit výstupu atd Díky tou ºee za ít
5 konstrukcí posledního kubitu výstupu v první kubitu vstupu, a takto postupn odzadu konstruovat v j-té vstupní kubitu j-tý výstupní po ítáno odzadu Dostanee tedy Fourierovu tranforaci vzh ru nohaa, coº jist není váºný problé Pokud bycho cht li i tuto nep esnost odstranit, sta í na za átku obrátit po adí vstupních kubit poocí transpozic Transpozice bázových kubit je saoz ej unitární (jako kaºdá perutace), zna í se a není t ºké ov it, ºe platí = Celková podoba obvodu IFT pro Z 4 je znázorn na na následující obrázku k H k H R k 3 H R R k 4 H R R R 3 Je z ejé, ºe sloºitost algoritu (po et hradel) je O( ) = O(log M) Nejrychlej²í klasický algoritus, tzv rychlá Fourierova transforace, á p ito sloºitost O(M log M) V toto p ípad p iná²ejí tedy kvantové po íta e exponenciální zrychlení