Téma 6 Rovinné nosníkové soustavy

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Téma 6 Rovinné nosníkové soustavy Spojitý nosník s vloženými klouby Trojkloubový rám a oblouk Trojkloubový rám a oblouk s táhlem Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Zajištění nehybnosti rovinné kloubové prutové soustavy Viz téma č.3. b + 3. p = a 1 +. a + 3. a3 +.. k n n= 3,4... ( n 1) počet statických podmínek rovnováhy, počet stupňů volnosti n v počet vnějších a vnitřních vazeb v = v e + v i b... počet hmotných bodů p... počet tuhých prutů (desek) n v = v n v <v kinematicky určitá soustava kinematicky přeurčitá soustava a 1... počet jednonásobných vazeb n v >v a... počet dvojnásobných vazeb (i vnitřní kloub spojující tuhé pruty - desky) a 3... počet trojnásobných vazeb k n... počet vnitřních kloubů, spojujících n > tuhých prutů (desek) kinematicky neurčitá soustava Pojem rovinné nosníkové soustavy / 90

Základní typy nosníkových soustav v rovině xz a) Spojitý nosník s vloženými klouby (tzv. Gerberův nosník) Viz téma č.3 Heinrich Gerber (183-191) významný německý konstruktér ocelových mostů (a) b) Trojkloubový rám nebo oblouk (b) Pojem rovinné nosníkové soustavy Základní typy kinematicky určitých rovinných kloubových soustav Obr. 6.. / str. 87 3 / 90

Vlastnosti spojitého nosníku s vloženými klouby R ax a b v e = 4 + 1 = 5 c d R az R bz R cz R dz Statické schéma spojitého nosníku 3 polích (4 podporách) Konstrukce staticky neurčitá Pouze 1 vazba proti vodorovnému posunutí, více než svislé podpory Podpory krajní a vnitřní Pole část nosníku mezi sousedními podporami (krajní a vnitřní) Spojitý nosník s vloženými klouby (a) (b) (c) Příklady spojitých nosníků Obr. 9.1. / str. 145 4 / 90

Rozklad spojitého nosníku v rovinné úloze Osová úloha 1 vazba proti vodorovnému posunutí a vodorovné zatížení, staticky určitá úloha, vložením kloubů se nemění. Příčná úloha více než svislé vazby, zatížení příčné, staticky neurčitá úloha. Kompenzace vložením kloubů: n k = v e - Do staticky neurčitého spojitého nosníku je nutno vložit tolik kloubů, kolik činí počet vnitřních podpor nosníku zvětšený o jedničku za každé případné vetknutí konce. Spojitý nosník s vloženými klouby (a) (b) (c) (d) n k = 1 n k = 3 n k = 5 Rozklad spojitého nosníku v rovinné úloze na úlohu osovou a příčnou Obr. 9.. / str. 146 5 / 90

Správné rozvržení kloubů na spojitého nosníku Platí následující pravidla: a) v krajním poli s kloubově podepřeným nebo převislým koncem smí být nejvýše 1 kloub a k 1 b c k d b) v krajním poli s vetknutým koncem musí být alespoň 1 a smí být nejvýše klouby a k 1 k k 3 d b c a k 1 k k 3 d b c Spojitý nosník s vloženými klouby 6 / 90

Správné rozvržení kloubů na spojitého nosníku c) ve vnitřním poli smí být nejvýše klouby a k 1 b k c d d) ve dvojici sousedních polí musí být alespoň 1 kloub (nesmí sousedit pole bez vložených kloubů) a k 1 b c k d e) ve dvojici sousedních polí, z nichž jedno je krajní s vetknutým koncem, musí být alespoň klouby a k 1 k k 3 d b c a k 1 k k 3 d b c Spojitý nosník s vloženými klouby 7 / 90

Pohyblivý mechanismus výjimkové případy Na nosníku nesmí vzniknout nestabilní část pohyblivý mechanismus. Vzniká v důsledku nedodržení předchozích pravidel. a k 1 k b c d a b k 1 k k 3 c d a b c k 1 k 3 k d Pohyblivý mechanizmus Obr. 9.3. / str. 146 Spojitý nosník s vloženými klouby 8 / 90

Typické způsoby rozvržení kloubů v konstrukci a) krajní pole bez kloubů, vnitřní pole s klouby a b k 1 k c d b) krajní pole s 1 kloubem, vnitřní bez kloubů a k 1 b c k d c) první (krajní) pole bez kloubu, v ostatních polích po 1 kloubu a k 1 b c k d Nosníky nesoucí (červená tlustá čára) a nesené (černá tenká čára). Spojitý nosník s vloženými klouby 9 / 90

Typické způsoby rozvržení kloubů v konstrukci Nesoucí nosníky (červená tlustá čára) dostatečně podepřeny vnějšími vazbami, nosná funkce zachována i při odstranění nesených nosníků. Nesené nosníky (černá tenká čára) podepřeny také konci nosníků nesoucích, bez nich není nosná funkce zaručena. Případ (c) nedoporučuje, při vyřazení jediného nesoucího nosníku hrozí řetězové zhroucení celé konstrukce. (a) (b) (c) Spojitý nosník s vloženými klouby Tři typické způsoby rozvržení vložených kloubů ve spojitém nosníku Obr. 9.4. / str. 147 10 / 90

Postup při řešení spojitého nosníku s vloženými klouby a) V místě vložených kloubů zrušit vnitřní vazbu proti svislému posunutí (rozdělení spojitého nosníku na nosníky nesoucí a nesené). b) Zavedení svislých silových interakcí R na neseném nosníku reakce (zdola nahoru), na nesoucím akce (shora dolů). c) Ve vnějších vazbách svislé reakce R (zdola nahoru), ve vetknutí momentová reakce. d) Z momentových podmínek rovnováhy k podporovým bodům určit reakce neseného nosníku e) Každý nesoucí nosník zatížit akcemi nesených nosníků, z podmínek rovnováhy určit reakce ve vnějších vazbách (a) (b) Spojitý nosník s vloženými klouby Rozklad spojitého nosníku s klouby na nosníky nesoucí a nesené Obr. 9.5. / str. 147 11 / 90

Postup při řešení spojitého nosníku s vloženými klouby Př.1 F 1 F F 3 R ax a e f d b c R az R bz R cz R dz a) Počáteční analýza: 3. p = a +. a 1 = 9 p=3, a 1 =3, a =3 b) Rozklad na úlohu osovou (v e =1, vodorovné zatížení přebírá R ax ) a příčnou (v e =4, n k =) F 1z F z F 3z a e f d b c R a R b Příčná úloha R c R d Spojitý nosník s vloženými klouby 1 / 90

Postup při řešení spojitého nosníku s vloženými klouby c) Rozklad na nosníky nesené a nesoucí, určení reakcí z podmínek rovnováhy R e e F z nesený f R f 1. Σ M f = 0. Σ M e = 0 R e R f kontrola R z = 0 a F 1z e f F 3z d nesoucí b R e R f c nesoucí R a R b R c R d 3. 4. R b Σ M a = 0 5. Σ M c = 0 R d Σ M b = 0 R a 6. Σ M d = 0 kontrola R z = 0 kontrola R z = 0 R c Spojitý nosník s vloženými klouby 13 / 90

Postup při řešení spojitého nosníku s vloženými klouby Př. a F 1 a F b d F 3 e F 4 c R cx M cy R az R bz R cz a) Počáteční analýza: 3. p = a +. a + 3. a3 1 = 9 p=3, a 1 =, a =, a 3 =1 b) Rozklad na úlohu osovou (v e =1, vodorovné zatížení přebírá R cx ) a příčnou (v e =4, n k =) F 1z F z a a b F 3z F 4z d e c M c R a R b Příčná úloha R c Spojitý nosník s vloženými klouby 14 / 90

Postup při řešení spojitého nosníku s vloženými klouby c) Rozklad na nosníky nesené a nesoucí, určení reakcí z podmínek rovnováhy F 3z 1. Σ M e = 0 R d d e. Σ M d = 0 R e kontrola R z = 0 F 1z F z d R d R e e F 4z c M c a a b R d R e R a R b R c 3. 4. R b Σ M a = 0 5. Σ M c = 0 M c Σ M b = 0 R a 6. Σ M e = 0 kontrola R z = 0 kontrola R z = 0 R c Spojitý nosník s vloženými klouby 15 / 90

Příklad 6.1 reakce a interakce Obdobně: (a) (b) (c) Spojitý nosník s vloženými klouby Zadání příkladu 6.1 a výpočet reakcí Obr. 9.6. / str. 149 16 / 90

Příklad 6.1 průběh vnitřních sil Průběhy vnitřních sil nesené a nesoucí nosníky již působí jako celek. (a) (d) M ve vložených kloubech nulový. (e) Spojitý nosník s vloženými klouby Zadání a řešení příkladu 6.1 Obr. 9.6. / str. 149 17 / 90

Umístění vložených kloubů uvnitř pole spojitého nosníku Snaha o vyrovnané extrémy ohybových momentů: M = max M min Pro případ stejně dlouhých polí se střídavě vloženými klouby tak, že pole s klouby sousedí s polem bez kloubů, a s plným rovnoměrným zatížením: M 1 8 ( l c) max =. q.. 1 M min =. q. ( l. c)c. γ = c l M M 1 8 ( 4. γ + 4 γ ) max =. q. l.1. 1 min =. q. l. ( γ γ ) M max = M min 8. γ 8. γ + 1 = 0 Řešení: γ =& 0,146 1 7 Závěr: nejúčinnější umístění kloubů v sedminách rozpětí pole od nejbližší podpory Spojitý nosník s vloženými klouby Optimální umístění kloubů Obr. 9.7. / str. 150 18 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes železniční trať z r.1980, Ostrava Svinov, délka 130 m, hmotnost.840 t Spojitý nosník s vloženými klouby 19 / 90

Schéma statického systému mostu a k 1 k d R ax b c R az R bz R cz R dz a Příklad poklesu vlivem poddolování k 1 k d R ax R az b c R cz R dz R bz Spojitý nosník s vloženými klouby 0 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes železniční trať z r.1980, Ostrava Svinov, délka 130 m, hmotnost.840 t Spojitý nosník s vloženými klouby 1 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes železniční trať z r.1980, Ostrava Svinov, délka 130 m, hmotnost.840 t Spojitý nosník s vloženými klouby / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes železniční trať z r.1980, Ostrava Svinov, délka 130 m, hmotnost.840 t Spojitý nosník s vloženými klouby 3 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes železniční trať z r.1980, Ostrava Svinov, délka 130 m, hmotnost.840 t Spojitý nosník s vloženými klouby 4 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Ocelový most přes řeku Odru z r.1980, délka 130 m, hmotnost.840 t, Ostrava - Svinov Spojitý nosník s vloženými klouby 5 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Ocelový most přes řeku Odru z r.1980, délka 130 m, hmotnost.840 t, Ostrava - Svinov Spojitý nosník s vloženými klouby 6 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Ocelový most přes řeku Odru z r.1980, délka 130 m, hmotnost.840 t, Ostrava - Svinov Spojitý nosník s vloženými klouby 7 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes řeku Ostravici, pole, 1 vnitřní kloub, oboustranný převislý konec, Černá louka, Ostrava Spojitý nosník s vloženými klouby 8 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes řeku Ostravici, pole, 1 vnitřní kloub, oboustranný převislý konec, Černá louka, Ostrava Spojitý nosník s vloženými klouby 9 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes řeku Ostravici, pole, 1 vnitřní kloub, oboustranný převislý konec, Černá louka, Ostrava Spojitý nosník s vloženými klouby 30 / 90

Schéma statického systému mostu k 1 R ax a b c R az R bz R cz Příklad poklesu vlivem poddolování k 1 R ax a c R az b R cz R bz Spojitý nosník s vloženými klouby 31 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes řeku Ostravici, pole, 1 vnitřní kloub, oboustranný převislý konec, Černá louka, Ostrava Spojitý nosník s vloženými klouby 3 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes řeku Ostravici, 3 pole, vnitřní klouby, Černá louka, Ostrava Spojitý nosník s vloženými klouby 33 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes řeku Ostravici, 3 pole, vnitřní klouby, Černá louka, Ostrava Spojitý nosník s vloženými klouby 34 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes řeku Ostravici, 3 pole, vnitřní klouby, Černá louka, Ostrava Spojitý nosník s vloženými klouby 35 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes řeku Ostravici, 3 pole, vnitřní klouby, Černá louka, Ostrava Spojitý nosník s vloženými klouby 36 / 90

Ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes řeku Ostravici, detail uložení, Černá louka, Ostrava Spojitý nosník s vloženými klouby 37 / 90

Vlastnosti trojkloubového rámu a oblouku Trojkloubový rám (oblouk) : a) dva rovinně lomené (zakřivené) nosníky v rovinné úloze s kloubovým spojením a podepřením dvěma kloubovými vodorovně i svisle neposuvnými podporami b) rovinně lomený (zakřivený) nosník v rovinné úloze se dvěma kloubovými vodorovně i svisle neposuvnými podporami dvojkloubový rám (oblouk), je kinematicky přeurčitý a 1x staticky neurčitý. Vložením 1 kloubu vznikne soustava kinematicky i staticky určitá. Trojkloubový rám a oblouk (a) (b) Trojkloubový rám a oblouk Obr. 9.8. / str. 151 38 / 90

Vlastnosti trojkloubového rámu a oblouku Počáteční analýza: F F 3 F 1 c 3. p =. a = 6 p=, a =3 R ax a b R bx R az Body a, b, c nesmí být v jedné přímce! R bz Trojkloubový rám a oblouk 39 / 90

Postup při výpočtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku L P Výpočet čtyř složek reakcí: 3 podmínky rovnováhy + podmínka M c = M = 0 Postup: 1. M = 0. 3. 4. a P M c = 0 M b L M c = 0 = 0 R bx, R bz R ax, R az Kontrola: 5. = 0 6. R x R z = 0 Složky interakce ve vnitřních vazbách kloubu z podmínek na levé nebo pravé části rámu (oblouku). c (a) Trojkloubový rám a oblouk (b) Složky reakcí a interakce trojkloubového rámu Obr. 9.9. / str. 151 40 / 90

Příklad 6. Zadání: Trojkloubový rám o nestejné výškové úrovni podpor Předmět výpočtu: Složky reakcí a interakce v kloubu rámu, průběh vnitřních sil (a) (b) Trojkloubový rám a oblouk Zadání příkladu 6. a vypočtené reakce Obr. 9.10. / str. 153 41 / 90

Příklad 6. (a) (b) (c) (d) Trojkloubový rám a oblouk Řešení příkladu 6. Obr. 9.11. / str. 153 4 / 90

Příklad 6.3 Zadání: Parabolický trojkloubový oblouk Předmět výpočtu: Složky reakcí a interakce v kloubu oblouku, průběh vnitřních sil (a) (b) (c) Trojkloubový rám a oblouk Zadání a řešení příkladu 6.3 Obr. 9.1. / str. 154 43 / 90

Příklad výpočtu trojkloubového oblouku Výpočet s pomocí tabulkového procesoru q = 3kN / m +x +z x f = 4m ψ R ax R bx R az l = 10m R bz ( x) k.x z = tgψ = dz dx = [ k. x ] =. k. x Trojkloubový rám a oblouk 44 / 90

Příklad - tvar, tečna Tabulkový výpočet (Excel) Vzepětí 0,00,00 4,00 6,00 ( x) k.x z = tg ψ =.k.x cosψ = sinψ = -5,00 4,00 3,4-4,00-3,00 1+ tg ψ -,00-1,00 Rozpětí 0,00 1,00,00,56 1,96 1,44 1,00 0,64 0,36 0,16 0,04 0,00 0,04 0,16 0,36 0,64 1,00 1,44 1,96,56 Geometrie oblouku Trojkloubový rám a oblouk 1 tgψ 1+ tg ψ 3,00 4,00 5,00 3,4 4,00 x z tg ψ ψ [rad] ψ [deg] cos ψ sin ψ -5,00 4,00-1,600000-1,01197-57,994617 0,59999-0,847998-4,50 3,4-1,440000-0,963809-55,169 0,570396-0,81370-4,00,56-1,80000-0,907593-5,00168 0,615644-0,78804-3,50 1,96-1,10000-0,84194-48,39700 0,666016-0,745938-3,00 1,44-0,960000-0,764993-43,830861 0,71387-0,6953 -,50 1,00-0,800000-0,674741-38,659808 0,780869-0,64695 -,00 0,64-0,640000-0,569313-3,61943 0,8471-0,539054-1,50 0,36-0,480000-0,44750-5,641006 0,90153-0,43731-1,00 0,16-0,30000-0,309703-17,74467 0,9544-0,304776-0,50 0,04-0,160000-0,158655-9,09077 0,987441-0,157991 0,00 0,00 0,000000 0,000000 0,000000 1,000000 0,000000 0,50 0,04 0,160000 0,158655 9,09077 0,987441 0,157991 1,00 0,16 0,30000 0,309703 17,74467 0,9544 0,304776 1,50 0,36 0,480000 0,44750 5,641006 0,90153 0,43731,00 0,64 0,640000 0,569313 3,61943 0,8471 0,539054,50 1,00 0,800000 0,674741 38,659808 0,780869 0,64695 3,00 1,44 0,960000 0,764993 43,830861 0,71387 0,6953 3,50 1,96 1,10000 0,84194 48,39700 0,666016 0,745938 4,00,56 1,80000 0,907593 5,00168 0,615644 0,78804 4,50 3,4 1,440000 0,963809 55,169 0,570396 0,81370 5,00 4,00 1,600000 1,01197 57,994617 0,59999 0,847998 45 / 90

Příklad výpočtu trojkloubového oblouku Výpočet složek reakcí pomocí podmínek rovnováhy 1.. 3. 4. R x = 0 q. f R ax R = 0 Σ M a = 0 R q. f bz = R z = 0 + R q. f. l. l = = 0,40kN Trojkloubový rám a oblouk bz bx R ax, R bx R bz R az Σ M b = 0 q. f R az = =,40kN. l R az + R bz = 0 ( ) ( ) Kontrola R az q R ax l R bx R bz Podpory ve stejné výšce představují jednodušší výpočet! f 46 / 90

Příklad výpočtu trojkloubového oblouku Výpočet složek reakcí pomocí podmínek rovnováhy Levá část oblouku Pravá část oblouku R cx R cz R cx R cz R ax R bx R az R bz L Rx L Rz = 0 = 0 L M a = 0 Složky interakcí 6 stupňů volnosti 6 neznámých 6 podmínek rovnováhy P Rx P Rz = 0 = 0 P M b = 0 Trojkloubový rám a oblouk 47 / 90

Příklad výpočtu trojkloubového oblouku Výpočet složek reakcí pomocí podmínek rovnováhy Výhodnější způsob: Levá část oblouku 1. M b R az = 0 =,40kN( ) celý oblouk R cz R cx. L M c R R ax ax = 0 l. f Raz. = 9,00kN q. f ( ) = 0 levá část R az R ax 3. L Rx = 0 R cx = q f R = 3,00kN. ax ( ) 4. = 0 =,40kN( ) L R z R cz Trojkloubový rám a oblouk 48 / 90

Příklad výpočtu trojkloubového oblouku Výpočet složek reakcí pomocí podmínek rovnováhy Výhodnější způsob: 1. M a R bz = 0 =,40kN( ) celý oblouk R cx Pravá část oblouku R cz. P M c = 0 pravá část l Rbx. f + Rbz. = 0 R = 3,00kN bx ( ) R bx R bz 3. P Rx = 0 R cx = R bx = 3,00kN ( ) 4. = 0 = =,40kN( ) P R z R cz R bz Trojkloubový rám a oblouk 49 / 90

Příklad normálové a posouvající síly Rozklad sil na složky rovnoběžné a kolmé k tečně Téma č.5 H N M x S V S V + M N H ψ střednice nosníku N V tg ψ =.k.x = H.cosψ + S.sinψ = H.sinψ + S.cosψ cosψ = sinψ = 1 1+ tg ψ tgψ 1+ tg ψ Trojkloubový rám a oblouk 50 / 90

Příklad normálové a posouvající síly H = H = R R ax ax S = R q az R ax R az ( f z) q. levá polovina q. f = 0 pravá polovina N = H.cosψ + S.sinψ V = H.sinψ + S.cosψ Trojkloubový rám a oblouk l R bx R bz f H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] 9,000000 -,400000 6,805186-6,359987 6,70000 -,400000 5,804348-4,150656 4,680000 -,400000 4,77473 -,10408,880000 -,400000 3,708376-0,549863 1,30000 -,400000,614308 0,817188 0,000000 -,400000 1,49968 1,874085-1,080000 -,400000 0,384076,60369-1,90000 -,400000-0,69370,994499 -,50000 -,400000-1,668647 3,053853 -,880000 -,400000 -,46465,84870-3,000000 -,400000-3,000000,400000-3,000000 -,400000-3,341499 1,895886-3,000000 -,400000-3,588734 1,371491-3,000000 -,400000-3,74314 0,86546-3,000000 -,400000-3,80543 0,40490-3,000000 -,400000-3,841875 0,000000-3,000000 -,400000-3,8638-0,34666-3,000000 -,400000-3,78898-0,639375-3,000000 -,400000-3,738191-0,88657-3,000000 -,400000-3,68475-1,095160-3,000000 -,400000-3,65193-1,71997 51 / 90

Příklad normálové a posouvající síly Normálová síla 10,00 0,00-10,00-5,00-4,00-3,00 Normálová síla -,00-1,00 0,00 6,81 5,80 4,77 3,71,61 1,50 0,38-0,69-1,67 -,46-3,00-3,34-3,59-3,74-3,8-3,84-3,83-3,79-3,74-3,68-3,63-5,00 1,00-6,36-4,00-3,00 Trojkloubový rám a oblouk 1,00 Posouvající síla -,00-1,00 0,00,00 3,00 Rozpětí 4,00 5,00-4,15 -,1-0,55 0,8 1,87,60,99 3,05,8,40 1,90 1,37 0,87 0,40 0,00-0,35-0,64-0,89-1,10-1,7 1,00,00 3,00 4,00 5,00 H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] 9,000000 -,400000 6,805186-6,359987 6,70000 -,400000 5,804348-4,150656 4,680000 -,400000 4,77473 -,10408,880000 -,400000 3,708376-0,549863 1,30000 -,400000,614308 0,817188 0,000000 -,400000 1,49968 1,874085-1,080000 -,400000 0,384076,60369-1,90000 -,400000-0,69370,994499 -,50000 -,400000-1,668647 3,053853 -,880000 -,400000 -,46465,84870-3,000000 -,400000-3,000000,400000-3,000000 -,400000-3,341499 1,895886-3,000000 -,400000-3,588734 1,371491-3,000000 -,400000-3,74314 0,86546-3,000000 -,400000-3,80543 0,40490-3,000000 -,400000-3,841875 0,000000-3,000000 -,400000-3,8638-0,34666-3,000000 -,400000-3,78898-0,639375-3,000000 -,400000-3,738191-0,88657-3,000000 -,400000-3,68475-1,095160-3,000000 -,400000-3,65193-1,71997 5 / 90

Příklad ohybové momenty M = R M = R Ohybový moment ax ax ( f z). R az Trojkloubový rám a oblouk ( f z) l q.. + x l f + pravá polovina ( f z) R. + x q. f. z. az Ohybový moment levá polovina 0,00 4,77 7,45 8,5 8,41 7,50 6,11 4,49,84 1,3 0,00-1,08-1,9 -,5 -,88-3,00 -,88 -,5-1,9-1,08 0,00-5,00-4,50-4,00-3,50-3,00 -,50 -,00-1,50-1,00-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 -R az.(l/+x) +R ax.(f-z) -q/.(f-z) M [knm] 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000-1,00000 6,840000-0,866400 4,773600 -,400000 1,960000-3,110400 7,449600-3,600000 18,360000-6,4400 8,517600-4,800000 3,040000-9,830400 8,409600-6,000000 7,000000-13,500000 7,500000-7,00000 30,40000-16,934400 6,105600-8,400000 3,760000-19,874400 4,485600-9,600000 34,560000 -,118400,841600-10,800000 35,640000-3,5400 1,317600-1,000000 36,000000-4,000000 0,000000-13,00000 35,640000-3,50000-1,080000-14,400000 34,560000 -,080000-1,90000-15,600000 3,760000-19,680000 -,50000-16,800000 30,40000-16,30000 -,880000-18,000000 7,000000-1,000000-3,000000-19,00000 3,040000-6,70000 -,880000-0,400000 18,360000-0,480000 -,50000-1,600000 1,960000 6,70000-1,90000 -,800000 6,840000 14,880000-1,080000-4,000000 0,000000 4,000000 0,000000 -q.f.(f/-z) 53 / 90

Klenbový účinek v trojkloubovém oblouku K jakémukoliv svislému zatížení působícímu na oblouk lze teoreticky najít takový tvar střednice oblouku, při němž zatížení vyvolá v oblouku jen tlakové normálové síly, zatímco ohybové momenty a posouvající síly jsou v celém oblouku rovny nule. Výhoda: menší rozměry průřezu Klenbový účinek ve trojkloubovém oblouku vznikne tehdy, je-li střednice oblouku geometricky podobná křivce popisující průběh ohybových momentů na prostém nosníku, který je vodorovným průmětem oblouku a je zatížen týmž svislým zatížením (udaným na jednotku délky vodorovného průmětu) jako oblouk. Trojkloubový rám a oblouk (a) (b) (c) (d) (e) Vznik klenbového účinku Obr. 9.13. / str. 155 54 / 90

Klenbový účinek v historických objektech Viadukt u Filisur, výstavba 1901, délka 14 m, rozpětí klenby 0 m, výška 65 m, Švýcarsko Trojkloubový rám a oblouk 55 / 90

Klenbový účinek v historických objektech Trojkloubový rám a oblouk Kamenný klenbový most 56 / 90

Klenbový účinek v historických objektech Trojkloubový rám a oblouk Kamenný klenbový most 57 / 90

Klenbový účinek v historických objektech Trojkloubový rám a oblouk Kamenné klenbové mosty 58 / 90

Příklad - klenbový účinek v trojkloubovém oblouku Výpočet s pomocí tabulkového procesoru q = 3kN / m +x +z x f = 4m ψ R ax R bx R az l =10m R bz ( x) k.x z = tgψ = dz dx = [ k. x ] =. k. x cosψ = 1 1+ tg ψ sinψ = tgψ 1+ tg ψ Trojkloubový rám a oblouk 59 / 90

Příklad - klenbový účinek v trojkloubovém oblouku Výpočet složek reakcí pomocí podmínek rovnováhy Výhodnější způsob: 1. M b R az = 0 q.l = = 15,0kN ( ) celý oblouk Levá část oblouku R cz q R cx. L M c = 0 l Rax. f + Raz. R = 9,38kN ax ( ) q. ( l ) levá část = 0 R ax R az 3. L Rx = 0 R cx = R ax = 9,38kN ( ) 4. L Rz = 0 R cz = R az q. l = 0 Trojkloubový rám a oblouk 60 / 90

Příklad - klenbový účinek a výpočet N a V R ax R az H = R S = R Trojkloubový rám a oblouk az ax l ( x + ) q. l Normálová síla -5,00-4,50-4,00-3,50-3,00 -,50 -,00-1,50-1,00-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00-17,69-16,44-15,3-14,08-13,00-1,01-11,13-10,40-9,84-9,49-9,38-9,49-9,84-10,40-11,13-1,01-13,00-14,08-15,3-16,44-17,69 q f Rozpětí H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] -9,375000 15,000000-17,688715 0,000000-9,375000 13,500000-16,435955 0,000000-9,375000 1,000000-15,7955 0,000000-9,375000 10,500000-14,07643 0,000000-9,375000 9,000000-1,995793 0,000000-9,375000 7,500000-1,005858 0,000000-9,375000 6,000000-11,130617 0,000000-9,375000 4,500000-10,399068 0,000000-9,375000 3,000000-9,843304 0,000000-9,375000 1,500000-9,4944 0,000000-9,375000 0,000000-9,375000 0,000000-9,375000-1,500000-9,4944 0,000000-9,375000-3,000000-9,843304 0,000000-9,375000-4,500000-10,399068 0,000000-9,375000-6,000000-11,130617 0,000000-9,375000-7,500000-1,005858 0,000000-9,375000-9,000000-1,995793 0,000000-9,375000-10,500000-14,07643 0,000000-9,375000-1,000000-15,7955 0,000000-9,375000-13,500000-16,435955 0,000000-9,375000-15,000000-17,688715 0,000000 61 / 90

Příklad - klenbový účinek a výpočet N a V R az.(l/+x) -R ax.(f-z) -q/.(x+l/) M [knm] R ax R az M = R az ( x + l ) Rax. ( f z). l q. q ( x + l ) f 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 7,500000-7,15000-0,375000 0,000000 15,000000-13,500000-1,500000 0,000000,500000-19,15000-3,375000 0,000000 30,000000-4,000000-6,000000 0,000000 37,500000-8,15000-9,375000 0,000000 45,000000-31,500000-13,500000 0,000000 5,500000-34,15000-18,375000 0,000000 60,000000-36,000000-4,000000 0,000000 67,500000-37,15000-30,375000 0,000000 75,000000-37,500000-37,500000 0,000000 8,500000-37,15000-45,375000 0,000000 90,000000-36,000000-54,000000 0,000000 97,500000-34,15000-63,375000 0,000000 105,000000-31,500000-73,500000 0,000000 11,500000-8,15000-84,375000 0,000000 10,000000-4,000000-96,000000 0,000000 17,500000-19,15000-108,375000 0,000000 135,000000-13,500000-11,500000 0,000000 14,500000-7,15000-135,375000 0,000000 150,000000 0,000000-150,000000 0,000000 Trojkloubový rám a oblouk 6 / 90

Ukázky trojkloubového oblouku Maloměřický most z roku 198, 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m, mezilehlá mostovka, Brno Trojkloubový rám a oblouk 63 / 90

Ukázky trojkloubového oblouku Maloměřický most z roku 198, 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m, mezilehlá mostovka, Brno Trojkloubový rám a oblouk 64 / 90

Ukázky trojkloubového oblouku Maloměřický most z roku 198, 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m, mezilehlá mostovka, Brno Trojkloubový rám a oblouk 65 / 90

Ukázky trojkloubového oblouku Maloměřický most z roku 198, 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m, mezilehlá mostovka, Brno Trojkloubový rám a oblouk 66 / 90

Ukázky trojkloubového oblouku Maloměřický most z roku 198, 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m, mezilehlá mostovka, Brno Trojkloubový rám a oblouk 67 / 90

Ukázky trojkloubového oblouku Most z lepeného lamelového dřeva Wennerbruecke přes řeku Mur, St. Georgen, Murau, Rakousko, 4 parabolické trojkloubové oblouky o rozpětí 45 m a vzepětí 1,5 m, foto Ing. Antonín Lokaj, Ph.D. Trojkloubový rám a oblouk 68 / 90

Ukázky trojkloubového oblouku Most z lepeného lamelového dřeva Wennerbruecke přes řeku Mur, St. Georgen, Murau, Rakousko, 4 parabolické trojkloubové oblouky o rozpětí 45 m a vzepětí 1,5 m, foto Ing. Antonín Lokaj, Ph.D. Trojkloubový rám a oblouk 69 / 90

Ukázky trojkloubového oblouku Most z lepeného lamelového dřeva Wennerbruecke přes řeku Mur, St. Georgen, Murau, Rakousko, 4 parabolické trojkloubové oblouky o rozpětí 45 m a vzepětí 1,5 m, foto Ing. Antonín Lokaj, Ph.D. Trojkloubový rám a oblouk 70 / 90

Trojkloubový rám a oblouk s táhlem U trojkloubového rámu nebo oblouku vznikají vodorovné složky reakcí (jsou větší čím menší je převýšení kloubu oproti spojnici podporových bodů). Zachycení je někdy obtížné oblouk uložen na zdech nebo štíhlých sloupech. (a) (b) (c) Řešení: použití táhla Trojkloubový rám a oblouk s táhlem Trojkloubový rám a oblouk s táhlem Obr. 9.14. / str. 156 71 / 90

Trojkloubový rám a oblouk s táhlem Počáteční analýza: F F 3 F 1 c 3. p = a +. a 1 = 6 p=, a 1 =, a = R ax a kyvný prut - táhlo b R az R bz Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 7 / 90

Příklad 6.4 Zadání: Parabolický trojkloubový oblouk s táhlem Předmět výpočtu: Složky reakcí a interakce v kloubu oblouku, síla v táhle, průběh vnitřních sil (a) (b) Trojkloubový rám a oblouk s táhlem Zadání a výsledky příkladu 6.4 Obr. 9.15. / str. 157 73 / 90

Příklad výpočtu trojkloubového oblouku s táhlem Výpočet s pomocí tabulkového procesoru +x x ψ +z ( x) k.x z = tgψ = dz dx = [ k. x ] =. k. x Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 74 / 90

Příklad - tvar, tečna 3,00 Tabulkový výpočet (Excel) ( x) k.x z = tg ψ =.k.x cosψ = sinψ = 1+ tg ψ Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 1 tgψ 1+ tg ψ -6,0-5,4-4,8-4, -3,6-3,0 -,4-1,8-1, -0,6 0,0 0,6 1, 1,8,4 3,0 3,6 4, 4,8 5,4 6,0,43 1,9 1,47 1,08 0,75 0,48 0,7 0,1 0,03 0,00 0,03 0,1 0,7 0,48 0,75 1,08 1,47 1,9,43 Vzepětí Rozpětí Geometrie oblouku 3,00 x z tg ψ ψ [rad] ψ [deg] cos ψ sin ψ -6,00 3,00-1,000000-0,785398-45,000000 0,707107-0,707107-5,40,43-0,900000-0,73815-41,9871 0,74394-0,668965-4,80 1,9-0,800000-0,674741-38,659808 0,780869-0,64695-4,0 1,47-0,700000-0,61076-34,9900 0,8193-0,57346-3,60 1,08-0,600000-0,54040-30,963757 0,857493-0,514496-3,00 0,75-0,500000-0,463648-6,565051 0,89447-0,44714 -,40 0,48-0,400000-0,380506-1,801409 0,98477-0,371391-1,80 0,7-0,300000-0,91457-16,69944 0,95786-0,87348-1,0 0,1-0,00000-0,197396-11,30993 0,980581-0,196116-0,60 0,03-0,100000-0,099669-5,710593 0,995037-0,099504 0,00 0,00 0,000000 0,000000 0,000000 1,000000 0,000000 0,60 0,03 0,100000 0,099669 5,710593 0,995037 0,099504 1,0 0,1 0,00000 0,197396 11,30993 0,980581 0,196116 1,80 0,7 0,300000 0,91457 16,69944 0,95786 0,87348,40 0,48 0,400000 0,380506 1,801409 0,98477 0,371391 3,00 0,75 0,500000 0,463648 6,565051 0,89447 0,44714 3,60 1,08 0,600000 0,54040 30,963757 0,857493 0,514496 4,0 1,47 0,700000 0,61076 34,9900 0,8193 0,57346 4,80 1,9 0,800000 0,674741 38,659808 0,780869 0,64695 5,40,43 0,900000 0,73815 41,9871 0,74394 0,668965 6,00 3,00 1,000000 0,785398 45,000000 0,707107 0,707107 75 / 90

Příklad výpočtu trojkloubového oblouku s táhlem Výpočet složek reakcí pomocí podmínek rovnováhy 1. R x = 0 R ax R ax = 0kN. Σ M a = 0 ( l ) q. 1 Rbz =. l M + R = 0 ( + 1 M. q. l ) = 6,5kN( ) 8 bz. l R bz R az N t N t R bz 3. Σ M b = 0 R az R az ( 3. q. l M ) = 17,5 ( ) 1 =. kn l 8 4. R z = 0 Kontrola R az + R =. l bz q = 4kN Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 76 / 90

Příklad výpočtu trojkloubového oblouku s táhlem Výpočet složek reakcí pomocí podmínek rovnováhy Levá část oblouku Pravá část oblouku q R cx R cz R cx R cz M N t N t R az R bz L Rx = 0 P Rx = 0 L Rz = 0 L M a = 0 Složky interakcí 6 stupňů volnosti 6 neznámých 6 podmínek rovnováhy P Rz = 0 P M b = 0 Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 77 / 90

Příklad výpočtu trojkloubového oblouku s táhlem Výpočet složek reakcí pomocí podmínek rovnováhy Výhodnější způsob: Levá část oblouku 1.. M b R az L M c R N az t. l N. f t = = 17,5kN( ) = 0 = 0 1. f q. ( l ) ( 1 R. l az. q. l ) = 11,0kN( tah) 8 celý oblouk = 0 levá část q R az N t R cz R cx 3. L Rx = 0 R cx = N R = 11,0kN t cx ( ) 4. L Rz = 0 R cz = q. l R = 6,5kN az ( ) Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 78 / 90

Příklad výpočtu trojkloubového oblouku s táhlem Výpočet složek reakcí pomocí podmínek rovnováhy Výhodnější způsob: Pravá část oblouku 1. M a = 0 celý oblouk R bz = 6,5kN( ) R cx R cz M. P M c = 0 pravá část N t l Nt. f + Rbz. M N = 11,0kN tah t ( ) = 0 R bz 3. P Rx = 0 R cx = N t = 11,0kN ( ) 4. R cz = R bz = 6,5kN( ) P Rz = 0 Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 79 / 90

Příklad normálové a posouvající síly R az H = N S = S = R R az az t q. ( x + l ) q. l N = H.cosψ + S.sinψ V = H.sinψ + S.cosψ levá polovina pravá polovina N t N t R bz H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] -11,000000 17,500000-0,15543-4,596194-11,000000 15,100000-18,77603-3,865130-11,000000 1,700000-16,53184-3,045388-11,000000 10,300000-14,91813 -,130003-11,000000 7,900000-13,496939-1,114741-11,000000 5,500000-1,98374 0,000000-11,000000 3,100000-11,364555 1,0700-11,000000 0,700000-10,73733,490348-11,000000-1,700000-10,45990 3,8465-11,000000-4,100000-10,537444 5,174193-11,000000-6,500000-11,000000 6,500000-11,000000-6,500000-11,59183 5,37301-11,000000-6,500000-1,06114 4,16497-11,000000-6,500000-1,403850 3,065044-11,000000-6,500000-1,6783 1,949801-11,000000-6,500000-1,745587 0,89447-11,000000-6,500000-1,776645-0,085749-11,000000-6,500000-1,739056-0,983078-11,000000-6,500000-1,650075-1,795998-11,000000-6,500000-1,54506 -,5700-11,000000-6,500000-1,374369-3,181981 Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 80 / 90

Příklad normálové a posouvající síly -6,00 10,0 0,0-10,0-6,00-4,80-4,80-3,60-3,60 -,40 Posouvající síla -4,60-3,87-3,05 -,13-1,11 0,00 1,1,49 3,8 5,17 6,50 5,37 4, 3,07 1,95 0,89-0,09-0,98-1,80 -,53-3,18 Trojkloubový rám a oblouk s táhlem -,40 Normálová síla -1,0-1,0 0,00-0,15-18,8-16,5-14,9-13,50-1,30-11,36-10,74-10,45-10,54-11,00-11,59-1,06-1,40-1,63-1,75-1,78-1,74-1,65-1,5-1,37 0,00 1,0 1,0,40,40 3,60 3,60 Rozpětí 4,80 4,80 6,00 6,00 H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] -11,000000 17,500000-0,15543-4,596194-11,000000 15,100000-18,77603-3,865130-11,000000 1,700000-16,53184-3,045388-11,000000 10,300000-14,91813 -,130003-11,000000 7,900000-13,496939-1,114741-11,000000 5,500000-1,98374 0,000000-11,000000 3,100000-11,364555 1,0700-11,000000 0,700000-10,73733,490348-11,000000-1,700000-10,45990 3,8465-11,000000-4,100000-10,537444 5,174193-11,000000-6,500000-11,000000 6,500000-11,000000-6,500000-11,59183 5,37301-11,000000-6,500000-1,06114 4,16497-11,000000-6,500000-1,403850 3,065044-11,000000-6,500000-1,6783 1,949801-11,000000-6,500000-1,745587 0,89447-11,000000-6,500000-1,776645-0,085749-11,000000-6,500000-1,739056-0,983078-11,000000-6,500000-1,650075-1,795998-11,000000-6,500000-1,54506 -,5700-11,000000-6,500000-1,374369-3,181981 81 / 90

Příklad ohybové momenty M M = = R R az az l. + x Nt. l. + x Nt. ( f z) levá polovina q. ( l + x) q. l ( f z).( l + x) 4 pravá polovina R az.(l/+x) -N t.(f-z) -q/.(l/+x) M [knm] 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 10,500000-6,70000-0,70000 3,510000 1,000000-11,880000 -,880000 6,40000 31,500000-16,830000-6,480000 8,190000 4,000000-1,10000-11,50000 9,360000 5,500000-4,750000-18,000000 9,750000 63,000000-7,70000-5,90000 9,360000 73,500000-30,030000-35,80000 8,190000 84,000000-31,680000-46,080000 6,40000 Ohybový moment 94,500000-3,670000-58,30000 3,510000 105,000000-33,000000-7,000000 0,000000 115,500000-3,670000-86,400000-3,570000-3,57-6,48-8,73-10,3-11,5-11,5-11,13-10,08-8,37-6,00 16,000000-31,680000-100,800000-6,480000 136,500000-30,030000-115,00000-8,730000 147,000000-7,70000-19,600000-10,30000 157,500000-4,750000-144,000000-11,50000 0,00 0,00 168,000000-1,10000-158,400000-11,50000 3,51 6,4 8,19 9,36 9,75 9,36 8,19 6,4 3,51 178,500000-16,830000-17,800000-11,130000 189,000000-11,880000-187,00000-10,080000 199,500000-6,70000-01,600000-8,370000-6,0-5,4-4,8-4, -3,6-3,0 -,4-1,8-1, -0,6 0,0 0,6 1, 1,8,4 3,0 3,6 4, 4,8 5,4 6,0 10,000000 0,000000-16,000000-6,000000 -q.l/.(l/4+x) Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 8 / 90

Ukázky oblouku s táhlem Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 83 / 90

Ukázky oblouku s táhlem Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 84 / 90

Ukázky oblouku s táhlem Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 85 / 90

Ukázky oblouku s táhlem Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 86 / 90

Ukázky oblouku s táhlem Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, Pavilon G1, Brněnské výstaviště Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 87 / 90

Ukázky oblouku s táhlem Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, Pavilon G1, Brněnské výstaviště Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 88 / 90

Ukázky oblouku s táhlem Kloubové připojení táhla k tuhému oblouku, Pavilon G1, Brněnské výstaviště Trojkloubový rám a oblouk s táhlem 89 / 90

Okruhy problémů k ústní části zkoušky 1. Podmínka statické určitosti spojitého nosníku s vloženými klouby. Způsoby rozvržení vložených kloubů ve spojitém nosníku 3. Výpočet spojitého nosníku s vloženými klouby 4. Výpočet trojkloubového rámu a oblouku 5. Výpočet trojkloubového rámu s táhlem a oblouku s táhlem 90 / 90