Text pro učitele Téma: Geometrické modelování Pořadí zařazení námětu: 3. Název: Jak lze v geometrii uplatnit modelínu a špejle Autor: Marie Kupčáková V úvodu do stereometrie může být velkým pomocníkem modelína. Umožňuje učitelům, žákům a studentům zprostředkovat různé i netriviální geometrické pojmy s minimálními finančními nároky. Dokonalý obrázek, ani virtuální model, nenahradí hroudu tvárné hmoty. Pracovali jsme s ní ve vyučovacích hodinách od prvé třídy základní školy, přes všechny ročníky druhého stupně, v prvém ročníku gymnázia a ve studiu učitelství všech stupňů škol na PdF Univerzity Hradec Králové. Většinou jsme zaznamenávali spontánní radost, zvídavost a živou soutěživost. Řešitelé mnohdy získávali prostorové geometrické zkušenosti nutné pro rozvoj geometrické představivosti tímto přirozeným způsobem poprvé. V dalším textu popíšeme náměty práce se studenty na hodinách geometrie. Metodickou posloupnost modelování prostorových útvarů lze brát jako inspiraci a podle potřeby obměňovat. Činnosti lze navíc spojovat s kresbou podle modelu ve volné perspektivě tedy podle taktiky kresli, co vidíš. Upozorňujeme průběžně na vlastnosti lidského vidění, které neodpovídá konvenčnímu rovnoběžnému (technickému) způsobu zobrazování prostoru, ale středovému promítání. K řízené činnosti potřebujeme modelínu JOVI (není lepivá), oboustranně zahrocená párátka, plíšek na řezání a podložku. Seznamte se s modelínou Z hroudy modelujte kouli, válec, dlouhý váleček, rovnou čáru, křivou rovinnou čáru, psací písmeno t, křivou prostorovou čáru, uzavřenou prostorovou čáru atp. Pomocí malých kuliček (ø cca 7mm) a špejlí (oboustranně zahrocených párátek) modelujte úsečku, rovinnou lomenou čáru, souhvězdí Kasiopei, čtverec, kosočtverec, prostorový čtyřúhelník apod. 1
Vymodelujte větší kouli Z koule vyřežte krychli (hexaedr) Pomocí malých kuliček a párátek -vymodelujte žebrový neboli hranový model krychle. Proměňte model v rovnoběžnostěn Vytvořte velký plný model krychle a odřežte vrcholy tak, aby ve všech stěnách zůstaly pravidelné osmiúhelníky Pokračujte v tomtéž modelu - veďte řezy tak, aby ve stěnách zůstaly čtverce Vymodelujte novou krychli a rozřežte ji na tři shodné jehlany Prvé dva úkoly směřují k vyvození pojmu polopravidelné mnohostěny, speciálně archimédovské mnohostěny, které vznikly ořezáním vrcholů a hran pravidelných mnohostěnů. Prvému říkáme ořezaná krychle (někdy v literatuře otupená krychle), druhému kuboktadr (protože jsme jej mohli získat jednak ořezáním krychle - kubu, nebo ořezáním pravidelného osmistěnu oktaedru a můžeme jej také takto vymodelovat). 2
Úkol o řezání krychle na tři navzájem shodné jehlany není triviální. Často trvá i dvacet minut, než se objeví prvá řešení. Práci můžeme zadat jako domácí úlohu. Připravujeme důkaz vzorce pro výpočet objemu jehlanu. Vymodelujte pravidelný čtyřstěn tetraedr Odřežte jeho vrcholy tak, aby ve stěnách zůstaly pravidelné šestiúhelníky Vytvořte hranový model tetraedru a porovnejte jeho pevnost s pevností hranového modelu krychle Úkol vymodelovat čtyřstěn patří k téměř jistým chytákům. Často se totiž jako řešení objeví pravidelný čtyřboký jehlan. A když už je jasné, co se má modelovat, stejně dá žákům dost přemýšlení, jak získat plný model čtyřstěnu. Také vytvoření ořezaného tetraedru leckoho potrápí. Připravte si dvě kruhové destičky jako nízké válce s průměrem asi 3 cm a vymodelujte plášť rotačního válce jako přímkovou plochu, připravené destičky budou podstavami válce. Položte dlaň na horní podstavu a šikmo ji posuňte. Jak se bude jmenovat nový útvar? Rotační válec můžeme nazývat kolmý kruhový válec. Odpověď na otázku pak zní vymodelovali jsme šikmý kruhový válec (v deskriptivní geometrii jej často zobrazujeme). 3
Vraťte podstavu zpět a otáčejte ji kolem osy tělesa. Jaký útvar vzniká? Útvar bývá spontánně nazýván Temelín. Vcelku výstižné označení, protože chladicí věže atomových elektráren skutečně mají podobu jednodílného rotačního hyperboloidu. Elektrárna Temelín má čtyři chladicí věže typu Iterson vysoké 154,8 m. Jejich průměr u paty je 130,7 m, povrch vnější stěny činí 44 000 m2. Maximální průtok vody je 17,4 m3.s-1. Chladicí věže elektrárny tvoří dominantu celého okolí a jsou vidět ze vzdálenosti 30 km, pára nad nimi až ze 70 km. Vymodelujte plný rotační válec Řežte jej dvěma rovnoběžnými šikmými řezy (jako veku). Řezné plochy jsou podstavami tělesa. Je to stejný typ válce, jako v předcházející úloze? Vyřežte z válečku pravidelný čtyřboký hranol Vyřežte z něho pravidelný osmiboký hranol Málo studentů se dosud setkalo s jiným, než rotačním válcem. Ten námi vymodelovaný je šikmý eliptický válec. Jeho podstavami jsou elipsy, kdežto v předcházející úloze to byly kruhy. 4
Vymodelujte rotační kužel Řežte jej tak, aby byla v řezu elipsa (kružnice), parabola, hyperbola. Co je to komolý kužel? Pro většinu studentů je pojem kuželosečka spojen buďto s rovnicí, nebo definicí kuželosečky jako množiny bodů jistých vlastností. Je proto vhodné předvést kuželosečky také jako skutečné řezy na kuželu. Vymodelujte plný komolý pravidelný čtyřboký jehlan. Je dobré se zastavit u pozapomenutého původu slova komolý. Podle Etymologického slovníku jazyka českého 1 to znamená kusý, bezrohý dokonce jako gomol a byla označována bezrohá kráva. Modelujeme tedy jehlan bez rohu. V geometrii se roh už dávno nepoužívá, musíme říci, že odřízneme vrchol jehlanu rovinou rovnoběžnou s rovinou podstavy. Vytvořte hranový model pravidelného pětibokého jehlanu. A co ze shodných špejlí pravidelný šestiboký jehlan? (Pouze přemýšlejte!) Je zajímavé, že jen málo studentů dokáže pouze z představy rozhodnout o existenci či neexistenci pravidelného šestibokého jehlanu, který by měl všechny hrany stejně dlouhé. Mnohostěny, jejichž povrch tvoří pouze rovnostranné trojúhelníky, se nazývají deltastěny. Doplníme hranové modely čtyřstěnu, čtyřbokého jehlanu a pětibokého jehlanu tak, abychom dostali konvexní deltastěny. 1 Machek, V.: Etymologický slovník jazyka českého, Praha 1971 5
Jakou valenci mají vrcholy těchto deltastěnů? Doplníme hrany a vrcholy a dostaneme trojici nových mnohostěnů. Všímáme si, že jedině v pravidelném osmistěnu (oktaedru) se v každém vrcholu sbíhá stejný počet hran (vrcholy mají stejnou valenci). U delta šestistěnu a delta desetistěnu tomu tak není. Pro žáky bývá překvapením, že existuje i jiný šestistěn, než krychle. Desetistěn pak spontánně vyvolává touhu najít jeho papírový model a vyrobit si ozdobu. (Říká se mu také siamský delta-desetistěn jako by vznikl ze dvou srostlých pětibokých jehlanů.) Vymodelujte pravidelný pětiboký hranol Vymodelujete čtyřboký antihranol Vymodelujete pětiboký antihranol Uvažujme n boký hranol se stejnými délkami hran. Je konvexní, všechny jeho stěny jsou pravidelné mnohoúhelníky (2 pravidelné n úhelníky a n čtverců) stýkající se v každém vrcholu stejným způsobem. Takové hranoly (prizma) patří mezi polopravidelné mnohostěny a je jich nekonečně mnoho. Čtyřboký hranol s těmito vlastnostmi máme již vymodelovaný (krychle). 6
180 Pootočením jedné podstavy hranolu o kolem osy hranolu a doplněním pláště tak, aby n jej tvořily rovnostranné trojúhelníky, dostaneme n boký antihranol (antiprizma). Všechny takové antihranoly (a bude jich opět nekonečně mnoho) jsou polopravidelnými mnohostěny. Jejich povrch tvoří 2 pravidelné n úhelníky a 2n rovnostranných trojúhelníků. Podívejte se ještě jednou pozorně na ležící osmistěn V tomto novém úhlu pohledu uvidíte oktaedr jako trojboký antihranol. Doplňte čtyřboký antihranol tak, abyste dostali konvexní deltastěn. Ve třídě se mohou objevit tři různá řešení a je dobře, když se najdou. Spočítáme stěny a pojmenujeme tři nové mnohostěny jako delta dvanáctistěn, delta čtrnáctistěn a delta šestnáctistěn. 7
Čtyři deltastěny jsme měli dřív; delta čtyřstěn, delta šestistěn, delta osmistěn a delta desetistěn. Konvexních deltastěnů je právě osm Který schází? Vymodelujte jej. Schází deltastěn, který dostaneme doplněním pětibokého antihranolu. Je to poslední konvexní dvaceti deltastěn, který však častěji nazýváme pravidelný dvacetistěn neboli ikosaedr. Konvexní a nekonvexní dvacetistěn Během řešení předcházejících úloh jsme vymodelovali čtyři konvexní mnohostěny, které patří mezi platónské, tedy pravidelné mnohostěny. Chybí pátý pravidelný mnohostěn. Který to je? Jaké má stěny? Vytvořte jeho hranový model. Jaké vlastnosti má každý pravidelný mnohostěn? Formulujme definici pravidelného mnohostěnu. Zopakujme, že jsme modelovali tetraedr, hexaedr, oktaedr, ikosaedr a chybí pravidelný dvanáctistěn dodekaedr. Jeho stěny jsou navzájem shodné pravidelné pětiúhelníky, stýkající se po třech v každém vrcholu. 8
Definice: Platónské těleso je konvexní mnohostěn, jehož všechny stěny jsou navzájem shodné pravidelné mnohoúhelníky a v každém vrcholu se jich stýká stejný počet. Těmto mnohostěnům říkáme také pravidelné mnohostěny. Vraťte se k pravidelnému osmistěnu. Připojte nad každou jeho stěnu pravidelný čtyřstěn. Na nové vrcholy použijte modelínu jiné barvy. Vymodelovali jsme nekonvexní útvar tzv. Keplerovu stellu octangulu hvězdu osmicípou. Jaký tvar by měla krabička, do které bychom ji mohli zabalit? Postavíme nyní všechny vymodelované hvězdy vedle sebe a na sebe. Zdá se, že vyplňují prostor, ale zůstala mezi nimi prázdná místa. Jaký tvar mají mezihvězdné prostory? Každou stellu octangulu (vytvořenou z jednoho osmistěnu a osmi čtyřstěnů) bychom mohli vepsat do krychle, ty pak lze v prostoru řadit vedle sebe i nad sebe. Uvnitř zůstávají konvexní mnohostěny, které mají 12 shodných hran a 6 vrcholů jsou to osmistěny. Ačkoliv celý prostor nelze vyplnit pouze pravidelnými čtyřstěny, ani pouze pravidelnými osmistěny, jejich kombinací ano. Popsaná metodická řada modelování, pomocí plastilíny JOVI a oboustranně zahrocených párátek, byla již mnohokrát ověřována, publikována v časopise Učitel matematiky 1, vyzkoušena jako dílna v rámci Dvou dnů s didaktikou matematiky 2003 v Praze 2 a stala se součástí skript pro studenty učitelství 1. stupně Geometrie ve světě dětí i dospělých 3. Jak uvádí Kalhous, pedagogický konstruktivismus lze chápat jako snahu o překonání transmisivního vyučování, jež je předáváním definitivních vzdělávacích obsahů žákům, kteří jsou odsouzeni do pasivní role příjemců. Výstavba poznání je procesem aktivním (činnostním), žák musí dostat příležitost s učivem pracovat. Činnosti (aktivity) bývají zprvu fyzické (např. manipulace s objekty), později, když už má žák představu probíhají v mysli (mentální operace). 4 1 Kupčáková, M.: Modelování těles návrhy úloh pro geometrické praktikum (1), Učitel matematiky, č. 3 (31), roč. 7, 1999, s. 160 167 + příloha 2 Kupčáková, M.: Modelína a geometrické zkušenosti, in sborník Dva dny s didaktikou matematiky 2003, UK Praha 2003, str. 84 90, ISBN 80 7290 143 5 3 Kupčáková, M.: Geometrie ve světě dětí i dospělých (skripta UHK), Gaudeamus, 2001, ISBN 80 7041 493 6 (109 stran) 4 Kalhous, Z., Obst, O.: Školní didaktika, Portál, Praha 2002 9