Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Jan Kalendovský Sochasické procesy v kombinaci živoního pojišění a hypoečního úvěru Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Marin Rokovský, PhD. Sudijní program: Finanční a pojisná maemaika 2010
Děkuji RNDr. Marinu Rokovskému za vedení diplomové práce a za poskynuí programu na simulaci invesičního živoního pojišění a knihovně MFF UK za poskynuí výpočeního sofwaru Wolfram Mahemaica 6.0.1.0. Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samosaně a výhradně s použiím ciovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Jan Kalendovský 2
Obsah 1 Úvod 6 1.1 Moivace k nesandardnímu splácení hypoečního úvěru... 6 1.2 Kombinace hypoečního úvěru s invesicí do bezrizikového akiva................................ 8 2 Diskréní modely s jedním porfoliem 18 2.1 Binomické sromy........................ 22 2.2 Porfolio s logarimicko-normálním vývojem ceny:...... 30 2.3 Kombinace hypoečního úvěru a IŽP na rhu bez možnosi arbiráže na hladině 1 - α................... 35 2.4 Model s pevnou rizikovou přirážkou.............. 49 2.5 Kombinace hypoečního úvěru a IŽP s možnosí arbiráže na hladině 1 - α........................... 56 3 Spojié modely s jedním porfoliem 72 3.1 Wienerův proces a sochasický inegrál............ 72 3.2 Spojiá analogie modelu s logarimicko-normálním vývojem ceny............................... 79 4 Modely se smíšeným porfoliem 83 4.1 Diskréní opimalizační model s jedním rizikovým porfoliem 86 5 Modely s více rizikovými akivy 93 5.1 Diskréní model s pevným počem rizikových porfolií.... 93 5.2 Diskréní opimalizační model s více rizikovými akivy... 96 6 Simulace invesičního živoního pojišění 121 6.1 Simulační model......................... 123 6.2 Závěr............................... 130 3
Lieraura 133 4
Název práce: Sochasické procesy v kombinaci živoního pojišění a hypoečního úvěru Auor: Jan Kalendovský Kaedra úsav: Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Marin Rokovský, PhD. e-mail vedoucího: Marin.Rokovsky@uniqa.cz Absrak: Cílem diplomové práce je popsa sochasické procesy v kombinaci invesičního živoního pojišění a hypoečního úvěru a na jejich základě sesroji a analyzova vhodné maemaické modely. Podsaa kombinace invesičního živoního pojišění a hypoečního úvěru spočívá v om, že namíso aby klien posupně umořoval dluh plynoucí z hypoečního úvěru, splácí pouze úroky a souběžně invesuje v rámci invesičního živoního pojišění. Na konci doby rvání hypoečního úvěru klien jednorázově splaí jisinu z prosředků, keré invesoval v rámci invesičního živoního pojišění. Klíčová slova: hypoeční úvěr, invesiční živoní pojišění, rizikové porfolio Tile: Sochasic Processes in he Combinaion of Life Insurance and Morgage Auhor: Jan Kalendovský Deparmen: Deparmen of Probabiliy and Mahemaical Saisics Supervisor: RNDr. Marin Rokovský, PhD. Supervisor s e-mail address: Marin.Rokovsky@uniqa.cz Absrac: The goal of he diploma hesis is o describe sochasic processes in he combinaion of morgage loan and fund-linked life insurance, and o consruc and analyze suiable mahemaical models relaed o hem. The idea of he combinaion of morgage loan and fund-linked life insurance consiss in serving he deb via paying up he ineres only and invesing he res of he insalmen wihin a fund-linked life insurance, insead of amorizing he deb gradually. A he mauriy ime, he principal sum will be amorized a once, using asses which have been invesed wihin a fund-linked life insurance. Keywords: morgage loan, fund-linked life insurance, risk porfolio 5
Kapiola 1 Úvod Kombinace hypoečního úvěru a invesičního živoního pojišění je produk, jehož prosřednicvím banka ve spolupráci s živoní pojiš ovnou umožňuje klienovi namíso posupného umořování dluhu plynoucího z hypoečního úvěru spláce pouze úroky a souběžně invesova v rámci invesičního živoního pojišění ak, aby byl klien na konci smluvené doby splácení hypoečního úvěru schopen z invesovaných prosředků jednorázově splai jisinu. Předměem éo diplomové práce je konsrukce a analýza sochasických modelů v kombinaci hypoečního úvěru a invesičního živoního pojišění. 1.1 Moivace k nesandardnímu splácení hypoečního úvěru Na první pohled se jakýkoliv jiný způsob splácení hypoečního úvěru než posupné umořování dluhu zdá bý pro kliena nevýhodný. Žádná banka oiž nemůže klienovi jakožo rizikovému subjeku půjči za bezrizikovou úrokovou míru a pokud klien čás spláky, kerou by při sandardním splácení úvěru použil k umoření čási dluhu, invesuje do bezrizikového akiva např. do sání obligace, nikdy hodnoa jeho invesice nevzrose během následujícího období více, než o kolik navíc vzrose jeho dluh oproi omu, kdyby uéž čásku použil k jeho čásečnému umoření. 6
Označme K výši nesplaceného dluhu bezprosředně po započení úroku r v čase, c a výši spláky vzažené k okamžiku, δ inenziu úročení odvozenou od bezrizikové úrokové míry a ν inenziu úročení odvozenou od úrokové míry, za kerou půjčuje hypoeční banka. Kdyby klien v čase splail pouze úrok r a zbylou čásku c a r invesoval do bezrizikového akiva, v čase + 1 by výše jeho dluhu byla K r e ν a bezrizikové akivum, do kerého invesoval čásku c a r, by v čase + 1 mělo hodnou c a r e δ. Naproi omu kdyby klien použil celou čásku c a na splácení hypoečního úvěru, činil by v čase + 1 jeho dluh pouze K c a e ν. Rozdíl mezi výší dluhu po splacení celé čásky c a a po splacení pouze úroku r je K r e ν K c a e ν = c a r e ν. To je více, než na kolik by se během daného časového období zhodnoila čáska c a r invesovaná do bezrizikového akiva, proože ν > δ. Za podobných okolnosí by opravdu byla jakákoliv jiná forma splácení hypoečního úvěru než jeho posupné umořování pro kliena nevýhodná. Ve skuečnosi však vedle rozdílu mezi úrokovou mírou, za kerou banka poskyuje hypoeční úvěr, a bezrizikovou úrokovou mírou ovlivňuje výhodnos či nevýhodnos uvedených způsobů umořování dluhu i fak, že splácení úroků paří mezi daňově uznaelné náklady, zaímco splácení dluhu samoného čás spláky, kerá je použia k umoření čási dluhu nikoliv. Pokud by klien v čase přesal umořova dluh sandardním způsobem a rozhodl se počínaje splákou vzahující se k okamžiku přejí ke splácení pouze é čási spláky, kerá připadá na úrok, a k invesování zbylé čásky do bezrizikového akiva, na první spláce by se možnos odečení spláky úroků ze základu daně z příjmu nijak neprojevila. Již o jedno období později v čase + 1 by si však mohl odečís ze základu daně více, proože čás 7
druhé spláky připadající na úrok by byla věší. Jak již bylo zmíněno výše, při kombinaci splácení úroku s invesováním do bezrizikového akiva klien v čase splaí z celkového dluhu o c a r měné než při sandardním umořování dluhu, a proo je úrok připsaný k okamžiku + 1 o c a r expν 1 vyšší. Tuo čásku by si edy klien mohl při kombinovaném způsobu splácení hypoečního úvěru odečís ze základu daně z příjmu navíc oproi omu, kdyby v čase použil celou čásku c a ke splácení dluhu. Označíme-li τ sazbu daně z příjmu pro jednoduchos předpokládejme, že daň z příjmu je proporcionální, měl by edy o τc a r expν 1 více volných prosředků k invesování. Jak malý však musí bý rozdíl ν δ, aby prosředky, keré může klien ivnesova navíc v důsledku snížení základu daně z příjmu, vykompenzovaly úhrn úroků, kerý musí zaplai navíc oproi omu, kdyby dluh splácel sandardním způsobem? 1.2 Kombinace hypoečního úvěru s invesicí do bezrizikového akiva První úskalí, na keré v kombinaci hypoečního úvěru a souběžného invesování do bezrizikového akiva narazíme, je, že zaímco z pohledu splácení úvěru se spláky považují za polhůní, v případě invesování se jednolivé invesice považují za předlhůní. Abychom mohli porovna výhodnos obou dvou způsobů splácení hypoečního úvěru, je řeba porovnáva produky, jejichž spláky jsou časově harmonizované. Vzhledem k omu, že věšina exu diplomové práce je věnována analýze invesičního živoního pojišění, ve kerém jsou všechny plaby předlhůní, je žádoucí, aby doba rvání invesičního živoního pojišění byla vymezena časovým inervalem [0, T]. To znamená, že k invesicím při kombinovaném způsobu splácení úvěru dochází v okamžicích = 0, 1,...,T 1. Abychom neporušili požadavek na polhůnos plaeb připadajících na splácení úroků a v případě sandardního způsobu splácení i na umořování čási dluhu, předpokládejme, že k samonému poskynuí úvěru dojde 8
v čase 1 a že úvěr bude splácen T splákami v okamžicích = 0, 1,...,T 1. Jisinu, kerou banka klienovi v čase 1, půjčí, označme jako K exp ν důvod, proč jisina není označena pouze symbolem K, rovněž spočívá v om, že by se ím znepřehlednil zápis věšiny vzorců v pozdějších kapiolách diplomové práce. V okamžiku = 0 bezprosředně před uhrazením první spláky je bez ohledu na způsob, jakým klien splácí úvěr, výše dluhu rovna K 0 := K exp ν expν = K. Počínaje první splákou se však charakerisiky obou způsobů splácení podsaně liší. Sandardní způsob splácení: Při sandardním způsobu splácení klien plaí bance čásku v konsanní výši c a v každém z časových okamžiků = 0, 1,...,T 1. Výše spláky c a musí bý aková, aby současná hodnoa finančního oku vořeného splákami v éo výši, vzažená k okamžiku 1, byla při inenziě úročení ν rovna výši jisiny K exp ν. Tj. odkud plyne Ke ν = c a T =1 e ν ν 1 e νt = c a e 1 e, ν c a = K 1 e ν 1 e νt. Ješě před ím, než se začneme věnova popisu kombinovaného způsobu splácení, uved me, jak velké čási spláek c a připadají na splácení úroku a jak velké podíly spláek naopak připadají na umořování dluhu. Klienův dluh K 0 v čase 0 před uhrazením spláky vzažené k omuo okamžiku je roven K. Během následujícího období se zbyek dluhu po odečení spláky zúročí na K 1 = K c a expν. Podobně K 2 = K 1 c a expν = K c a expν c a expν ad. Obecně plaí K = Ke ν c a s=1 e νs = Ke ν c a e ν 1 eν 1 e ν. 9
Z hodnoy K 1 lze jednoduše vypočía výši úroku r k okamžiku pro = 1, 2,...,T 1, a sice připsaného r = K 1 c a e ν 1 = Ke ν 1 1 e ν c a e ν 1 1 e ν = Ke ν 1 e ν 1 c a e ν 1. Podíl úroku r na spláce uhrazené v okamžiku je r = Keν 1 e ν 1 e ν 1 c a c a = eν 1 e ν 11 e νt 1 e ν e ν 1 = e ν 1 e νt e ν 1 = 1 e νt. 1.1 Naopak podíl úmoru na c a v čase čás c a, kerou si klien nemůže odečís ze základu daně je exp νt. Kombinovaný způsob splácení: Aby bylo možno porovna výhodnos či nevýhodnos kombinace hypoečního úvěru s invesováním do bezrizikového akiva oproi splácení hypoečního úvěru sandardním způsobem, je řeba kombinovaný způsob splácení navrhnou ak, aby klien sejně jako v případě sandardního splácení úvěru zaplail v každém z okamžiků = 0, 1,...,T 1 celkovou čásku c a by čás z ní invesuje do bezrizikového akiva a aby v žádném jiném okamžiku neplail nic. Předpokládejme dále, že pořizovací a správní náklady spojené s invesováním do bezrizikového akiva jsou nulové. Půjčí-li si klien v čase 1 čásku K exp ν, jeho dluh v čase 0 činí K. Úrok vzniklý k okamžiku 0 je roven r 0 = K exp νexpν 1 = K1 exp ν < c a. Po splacení r 0 v čase 0 je výše dluhu v čase 1 rovna K 0 r 0 expν = K K1 exp ν expν = K exp ν expν = K. To znamená, že K 1 = K 0. Sejným způsobem lze ukáza, že kdykoliv klien splaí pouze úrok r, bude jeho dluh v čase + 1 sejný jako v čase, 10
a udíž K = K a r = K1 exp ν =: r pro každé = 0, 1,...,T 1. Jelikož i v okamžiku T 1 v okamžiku poslední spláky dojde pouze ke splacení úroku r, je i v čase T výše dluhu rovna K. Tuo čásku je řeba jednorázově uhradi z prosředků posupně invesovaných do bezrizikového akiva. To je hlavní důvod, proč byla výše jisiny dříve označena jako K exp ν, proože kdyby byla označena jako K, bud by bylo řeba nadále počía s požadavkem, aby hodnoa invesice do bezrizikového akiva v čase T musela bý rovna alespoň K expν, nebo bychom museli předpokláda, že klien splaí úrok i v čase T, čímž by byl porušen soulad časového rozvržení spláek v kombinovaném způsobu splácení s časovým rozvržením spláek při splácení sandardním způsobem. Pokud je konečná hodnoa invesice B T věší než K, je kombinace hypoečního úvěru s invesováním do bezrizikového akiva pro kliena ve srovnání s posupným umořováním dluhu výhodná, v opačném případě nikoliv. V každém z okamžiků = 0, 1,...,T 1 klien invesuje do bezrizikového akiva čásku, kerá zbude z konsanní spláky c a po zaplacení úroku r, a o c a r = K 1 e ν 1 e K 1 e ν = K 1 e ν 1 νt 1 e 1 νt = K 1 e ν e νt. 1.2 1 e νt Vedle oho však může invesova do bezrizikového akiva i čásku, o kerou se sníží jeho daňová záěž v důsledku oho, že posupně neumořuje dluh, a ak splácí vyšší úroky, než jaké by splácel při umořování dluhu sandardním způsobem. Rozdíl mezi výší úroku splaceného v čase při kombinovaném a při sandardním způsobu splácení je K1 exp ν c a 1 exp νt viz 1.1. To lze dále upravi na 11
K1 e ν c a 1 e νt = K1 e ν K 1 e ν 1 e νt 1 e νt = K1 e ν 1 e νt 1 1 e νt = K1 e ν e νt e νt 1 e νt. Z výrazu na pravé sraně výše uvedené rovnosi je ihned vidě, že s výjimkou první spláky v čase = 0, kdy zvolená meoda splácení úvěru nemá na základ daně vliv, je čás spláky, o kerou lze sníži základ daně, při kombinovaném způsobu splácení úvěru vyšší než při posupném umořování dluhu. Čáska, kerou má klien v čase v důsledku věšího snížení základu daně k dispozici navíc oproi omu, kdyby umořoval dluh posupně, je ak rovna τk1 e ν e νt e νt 1 e νt. 1.3 Souče výrazů 1.2 a 1.3 b := K 1 e ν e νt 1 e + τk1 νt e ν e νt e νt 1 e νt = K 1 e ν τe νt + 1 τe νt 1 e νt předsavuje čásku, kerou klien v rámci kombinovaného způsobu splácení hypoečního úvěru invesuje do bezrizikového akiva v čase. Konečná hodnoa invesice do bezrizikového akiva v čase T je rovna T 1 T 1 BT := b e δt = K 1 e ν τe νt + 1 τe νt e 1 e νt =0 =0 δ νt 1 e ν T 1 T 1 = Ke τ e ν δ + 1 τ e δ 1 e νt δ νt 1 e ν = Ke 1 e νt =0 =0 τ 1 eν δt + 1 τ 1 e δt 1 e ν δ 1 e δ, δt kde δ < ν je inenzia úročení, keré odpovídá jisý výnos z bezrizikového akiva. Nerovnos BT K plaí ehdy a jen ehdy, když 12
neboli když τ 1 eν δt + 1 τ 1 e δt ν δt 1 e νt e 1 e ν δ 1 e δ 1 e ν LT := τ 1 eν δt 1 e ν δ + 1 τ 1 e δt 1 e δ eν δt e δt 1 e ν 0. 1.4 Jak vysoká musí bý bezriziková inenzia úročení δ při daných ν, T a τ, aby výše uvedená nerovnos plaila, nelze vyjádři explicině. Co však explicině vyjádři lze, je limia LT pro T. Funkci LT lze vyjádři ve varu LT = γ + τ e ν δ 1 1 1 e ν 1 e ν δt + 1 e 1 τ e δt, ν 1 e δ kde γ = τ/1 expν δ+1 τ/1 exp δ je člen, kerý nezávisí na T. Vzhledem k omu, že ν > δ a δ > 0, je zmíněná limia určena znaménkem rozdílu τ/expν δ 1 1/1 exp ν. Plaí a proo τ e ν δ 1 1 1 e > 0 τ1 ν e ν > e ν δ 1 lim LT = T δ > ν ln τ1 e ν + 1, 0 < δ < ν ln τ1 e ν + 1, τ + 1 τ δ = ν ln τ1 e ν + 1, 1 e ν δ 1 e δ, ν ln τ1 e ν + 1 < δ < ν. Pro δ = ν ln τ1 e ν + 1 navíc plaí 13
1 L T = δ 1 e 1 τ e δt ν 1 e δ = δ 1 e δ 1 τ1 e ν 1 e ν 1 e δ e δt = δ 1 e ν τ1 e ν + 1 1 τ1 e ν e δt 1 e ν 1 e δ = δ τe 2ν 2e ν + 1 τ1 e ν 2 1 e ν 1 e δ e δt = δ 1 e ν 1 e δ e δt = δτ 1 e ν 1 e δ e δt < 0 pro každé T > 0. To znamená, že funkce LT je pro δ = ν ln τ1 exp ν + 1 klesající, a proože vždy plaí L0 = 0 což se snadno ověří dosazením 0 za T do předpisu 1.4 pro LT, je pro δ = ν ln τ1 e ν + 1 hodnoa LT záporná pro všechna T > 0. Podmínka 1.4 edy není splněna pro žádné T > 0 a δ = ν ln τ1 e ν + 1 = BT < 0 T > 0. 1.5 Z definice BT jakožo souču T 1 =0 b expδt, kde b jsou kladné hodnoy nezávislé na δ, plyne, že BT je rosoucí vzhledem k rosoucímu δ při neměnných osaních paramerech ν, τ, T a K. To v kombinaci s vlasnosí 1.5 znamená, že kombinace hypoečního úvěru s invesicí do bezrizikového akiva je bez ohledu na délku procesu invesování T pro kliena nevýhodná, kdykoliv δ ν ln τ1 exp ν + 1. Naopak pokud δ > ν ln τ1 exp ν + 1, je lim T LT =, a proo exisuje akové T 0, že pro všechna T > T 0 je LT > 0. Bez újmy na obecnosi můžeme položi T 0 = inf{t > 0;LT > 0 T > 0}, a proože LT je v proměnné T spojiá, je LT 0 = 0 Na následujících grafech je znázorněn průběh funkce LT, resp. BT pro pevné hodnoy τ = 0, 15,ν = 0, 05,K = 600000 a pro různé hodnoy δ a T. Z grafu 1.2 je vidě, že ačkoliv pro δ > ν ln τ1 e ν + 1 vždy exisuje akové T 0, že pro každé T > T 0 je BT > K, pokud je rozdíl 14
0.5 0,042 20 40 60 80 T 0,04271 0,04285 0.5 0,0435 Obrázek 1.1: Závislos LT na T pro různé hodnoy δ 0, 04271. = ν ln τ1 e ν + 1 620 000 610 000 590 000 580 000 20 40 60 80 T 0,042 0,04271 0,04285 0,0435 Obrázek 1.2: Závislos BT na T pro různé hodnoy δ mezi δ a ν ln τ1 e ν + 1 příliš malý, může bý příslušné T 0 hodně velké např. pro δ = 0, 04285 je T 0 > 60, což by v případě, že by časovou jednokou byl 1 rok, bylo více, než na jak dlouho je možné si vzí hypoeční úvěr. Na obrázku 1.3 je znázorněn fak, že čím kraší dobu klien splácí úroky a souběžně invesuje do bezrizikového akiva, ím vyšší je hranice, kerou musí přesáhnou bezriziková úroková míra, aby byla kombinace hypoečního úvěru a invesice do bezrizikového akiva výhodná. Kdykoliv se klienovi nabídne možnos spláce pouze úroky z hy- 15
625 000 620 000 615 000 T 5 610 000 T 10 605 000 595 000 0.043 0.044 0.045 T 20 T 30 590 000 Obrázek 1.3: Závislos BT na δ pro různé hodnoy T poečního úvěru a souběžně invesova do bezrizikového akiva podle schémau uvedeného v éo podkapiole ak, aby v čase T byla hodnoa invesice BT vyšší než hodnoa K předsavující jisinu navýšenou o úrok připsaný k okamžiku T, jedná se o bezrizikový zisk neboli arbiráž, proože souhrnná výše spláky úroku a vlasních prosředků invesovaných do bezrizikového akiva v čase bez prosředků nabyých na základě vyššího snížení základu daně z příjmu je pro každé = 0, 1,...,T 1 přesně rovna čásce c a, kerou by klien plail, kdyby hypoeční úvěr umořoval posupně. Lze proo očekáva, že inenzia úročení ν, za kerou půjčuje banka, bude dosaečně vysoká na o, aby klienovi neumožnila dosažení výše popsané arbiráže. Pokud by však klien při splácení úroků z hypoečního úvěru namíso do bezrizikového akiva invesoval do nějakého rizikového porfolia s vyšším sředním výnosem, mohla by v čase T hodnoa jeho invesice s určiou pravděpodobnosí přesáhnou K i při velké inenziě úročení ν v poměru k δ. Kombinace hypoečního úvěru a invesičního živoního pojišění předsavuje určiý kompromis mezi invesováním do bezrizikového akiva a invesováním do rizikového porfolia souběžně se splácením úroků z hypoečního úvěru. Živoní pojiš ovna sice v rámci invesičního živoního pojišění na počáku invesuje klienovy prosředky do rizikového porfolia, 16
ale v případě, že by cena příslušného porfolia klesla naolik, že další servání u invesování do rizikového porfoia by předsavovalo příliš velkou hrozbu, že by v čase T nemuselo bý dosaženo požadované hodnoy K, prodá rizikové porfolio a přejde k invesici do bezrizikového akiva. Důležiým jevem spojeným s invesičním živoním pojišěním je fak, že na rozdíl od invesičního rizika, keré nese pojisník, nese riziko úmrí kliena v průběhu rvání invesičního živoního pojišění pojiš ovna. Pro zjednodušení však uo skuečnos v rámci všech kapiol s výjimkou poslední kapioly věnované simulacím IŽP zanedbejme. Nejjednodušší siuace v kombinaci hypoečního úvěru s invesičním živoním pojišěním je aková, ve keré má klien možnos invesova bud vše do bezrizikového akiva, nebo vše do určiého předem daného porfolia. Nemá edy možnos kombinova nabízené porfolio s bezrizikovým akivem, voli mezi více rizikovými porfolii ani vyváře vlasní invesiční porfolia. U bezrizikového akiva B se předpokládá, že přináší jisý konsanní výnos odpovídající inenziě úročení δ > 0 j. B = B 0 expδ skoro jisě pro [0,T], a výnos z porfolia R se řídí nějakým nedegenerovaným náhodným procesem. V případě, že by hodnoa porfolia R v čase sledovala degenerovaný náhodný proces proces, pro kerý skoro jisě plaí R = f na [0,T], kde f je nějaká deerminisická funkce, exisovala by na rhu možnos arbiráže. 17
Kapiola 2 Diskréní modely s jedním porfoliem Uvažujme nejdříve zjednodušující předpoklad, že klien se může rozhodova, zda invesuje do bezrizikového akiva B nebo do rizikového porfolia R, pouze v diskréních časových okamžicích = 0, 1,...,T 1 neboli vždy na začáku časového inervalu ypu [, + 1, = 0, 1,...,T 1. V ěch samých okamžicích klien plaí běžné pojisné ve výši c. Předpokládejme nejdříve, že c, = 0, 1,...,T 1 je konsanní finanční ok j. c = c pro všechna = 0, 1,...,T 1 akový, aby v případě, že klien od začáku rvání pojišění invesuje pouze do bezrizikového akiva, byla konečná hodnoa éo invesive v čase T rovna K, j. aby plailo e δt = c T 1 c =0 T =1 e δ = ce δ 1 eδt 1 e δ = K. 2.1 Přesože byla v rámci úvodní kapioly jisina značena jako K exp ν a předsavovala skuečnou jisinu, kerou banka klienovi půjčila v čase 1, nebude-li výslovně uvedeno jinak, rozumějme pod pojmem jisina v rámci osaních kapiol diplomové práce skuečnou jisinu navýšenou o úrok připsaný k okamžiku T, j. čásku K. Z 2.1 ihned plyne, že c = K e δ 1 e δ 1 e = K e δ 1 δt e δ e δt 1. 2.2 18
Dalším posupným cílem je pro každý okamžik = 0,...,T 1 urči, jak vysoká musí bý hodnoa dosavadní invesice S před splacením c v čase, aby bylo zaručeno, že bude-li ao čáska i všechny budoucí plaby pojisného invesovány do bezrizikového akiva, bude v čase T dosaženo hodnoy K. Označíme-li FV konečnou hodnou spláek uskuečněných v okamžicích, + 1,...,T 1, máme T 1 T FV = c e δt s = c e δs δ 1 eδt = ce = K 1 eδt, 2.3 1 e δ 1 e δt s= s=1 přičemž poslední rovnos plyne přímo ze vzahu 2.2. Konečná hodnoa čásky S invesované v čase do bezrizikového akiva je expδt, což vede k požadavku na S v podobě nerovnosi 1 eδt K + S 1 e δt e δt K, odkud po jednoduchých algebraických úpravách dojdeme ke vzahu S K eδ 1 e δt 1 =: g. 2.4 Není nikerak překvapivé, že po dosazení 0, resp. T za dosaneme g 0 = 0 a g T = K. Hodnoa dolní meze g +1, příslušná bezprosředně následujícímu budoucímu okamžiku + 1, nám poskyuje informaci o om, zda v případě, že jsme od začáku rvání pojišění až do akuálního okamžiku invesovali do rizikového porfolia R, je pro nás pokračování v invesování do ohoo porfolia dosaečně bezpečné nebo zda bychom raději měli držené porfolio proda a veškeré finanční prosředky získané prodejem rizikového porfolia invesova do bezrizikového akiva. K posouzení míry bezpečnosi invesice do rizikového porfolia je řeba zná pravděpodobnosní rozdělení náhodné veličiny R +1, reprezenující hodnou porfolia R v čase + 1, za podmínky, že známe hodnou R. Invesici do rizikového porfolia uznáme za bezpečnou, pokud v případě, že všechny dosud nabyé prosředky včeně úhrady pojisného ve výši c splané 19
k okamžiku invesujeme do rizikového porfolia, bude pravděpodobnos, že hodnoa R +1 nebude nižší než hodnoa meze g +1, blízká 1. V opačném případě uznáme pokračování v invesování do rizikového porfolia za příliš riskanní a přejdeme k invesici do bezrizikového akiva. Obecné formální vyjádření podmínky pro bezpečnos invesice do rizikového porfolia je PR +1 g +1 R = S + c 1 α, kde α je velmi malé číslo např. 0,001, 0,0005 nebo 0,0001 a souče S + c předsavuje hodnou dosavadní invesice navýšenou o čásku c zaplacenou na počáku inervalu [, + 1, j. v okamžiku. Pro úplnos dodefinujme S 0 := 0. S využiím předpisu 2.2 pro c a 2.4 pro g lze uo pravděpodobnos upravi do varu P R +1 K eδ+1 1 e δt 1 R = S + K e δ 1. 2.5 e δ e δt 1 Předpokládejme dále, že pro každé r 1,r 2 > 0 akové, že r 1 < r 2, pro libovolné r > 0 a pro každé = 0, 1, 2,...,T 1 plaí PR +1 r R = r 1 PR +1 r R = r 2 2.6 a že pro každé α 0, 1 nabývá množina {r;pr +1 g +1 R = r 1 α} svého minima. Ačkoliv by se yo předpoklady mohly zdá nadbyečné, zdaleka u všech náhodných procesů nejsou splněny. Např. oscilující procesy ypu {R ;R 0 = 0;R N 0, 5R 1, 1, = 1, 2, 3,...} nesplňují první předpoklad 2.6. Podobně např. skokoviý proces {R ; = 0, 1, 2, 3,...}, pro kerý plaí R 0 = 10 a R NR 1, 1, pokud R 1 > 5, a R = 0 s. j., pokud R 1 5, nesplňuje druhý předpoklad, proože např. množina {r;pr +1 1 R = r 0, 95} svého minima nenabývá. Pro modelování vývoje hodnoy rizikového porfolia je však vhodné voli náhodné procesy, keré oba dva výše uvedené předpoklady splňují. Jsou-li 20
yo předpoklady splněny, lze definova bezpečnosní mez h pro hodnou invesice S předpisem h = arg min r 0 {PR +1 g +1 R = r + c 1 α}. Jakmile hodnoa invesice S klesne pod hodnou h, invesujeme celou sumu S a následně i všechny budoucí úhrady pojisného do bezrizikového akiva. Podmínku R = S + c chápeme ak, že v čase bezprosředně po uhrazení spláky ve výši c klien invesuje čásku S odpovídající hodnoě dosavadní invesice i spláku c do rizikového porfolia R, j. že nakoupí právě olik jednoek porfolia R, kolik lze pořídi za S + c. Je vhodné vyžadova, aby pravděpodobnosní rozdělení ceny rizikového porfolia R +1 v čase + 1 záleželo pouze na čásce, kerou jsme do ohoo porfolia invesovali v čase, a nikoliv na om, kolik jednoek rizikového porfolia R jsme v čase koupili. Jinými slovy požadujeme, aby pro libovolné a > 0, r 0 a x 0 plailo P ar +1 x R = r = P R +1 x R = ar. 2.7 Označme dále R cenu za jednoku rizikového porfolia R v čase. Na počáku rvání invesičního živoního pojišění v čase 0 klien zaplaí první spláku ve výši c, kerou za předpokladu, že c > h 0, invesuje do rizikového porfolia R. Jelikož cena za jednoku porfolia R v čase 0 je rovna R 0, za c nakoupí právě c/r 0 jednoek porfolia R. Do okamžiku 1 se cena za jednoku porfolia R změní na R 1, a hodnoa invesice je ak v čase 1 před uhrazením spláky připadající na počáek inervalu [1, 2 rovna S 1 = c R 0R 1. Pokud je S 1 h 1, podobně jako v čase 0 klien v čase 1 nakoupí c/r 1 jednoek porfolia za čásku c předsavující spláku příslušnou inervalu [1, 2. Celkem edy drží c/r 0 + c/r 1 jednoek porfolia R, keré mají na konci ohoo inervalu hodnou R 2. Obecně v čase bezprosředně před uhrazením spláky vzahující se k omuo okamžiku klien drží c 1 s=0 1/R s jednoek porfolia R v celkové hodnoě 21
S = cr 1 1 R s=0 s. 2.8 Abychom mohli urči hodnoy h, pořebujeme zná α-kvanily všech podmíněných rozdělení LR +1 R, = 0, 1,...,T 1. Neparamerické meody odhadu α-kvanilů v omo případě nejsou příliš vhodné, proože aby byl jejich odhad dosaečně spolehlivý, bud bychom pořebovali dosaek hisorických da pro všechny výchozí hodnoy R což je vzhledem k omu, že R může obecně nabýva nekonečně mnoha hodno, nerealisický požadavek, nebo bychom museli předpokláda, že např. rozdíly R +1 R nebo podíly R +1 /R jsou vesměs sejně rozdělené. Ani ak bychom však nemohli zaruči, že bude splněn předpoklad 2.6, a proo je vhodné předpokláda, že přírůsky R +1 R, popřípadě podíly R +1 /R, pocházejí z určié řídy pravděpodobnosních rozdělení. Na oázku, jaká řída rozdělení je k modelování změny hodnoy rizikového akiva během jednoho období vhodná a zda je vhodné předpokláda spíše sejné rozdělení přírůsků R +1 R nebo podílů R +1 /R, odpoví následující úvaha posavená na binomických sromech jedná se o uéž úvahu, jaká byla např. ve 2. kapiole publikace M. Baxer, A. Rennie: Financial Calculus [1] použia k odvození rozdělení cen akcií. 2.1 Binomické sromy Základním, avšak velice zjednodušujícím modelem pro vývoj ceny rizikového porfolia v diskréním čase v případě, že o něm nemáme žádné dodaečné informace jako např. že se jedná o porfolio vořené jediným rizikovým dluhopisem, jehož cena během následujícího období s pravděpodobnosí p 0, 1 mírně vzrose a s pravděpodobnosí 1 p klesne na 0 z důvodu defaulu emiena, je zv. binomický srom. Označíme-li R hodnou rizikového porfolia ve výchozím čase, bude jeho cena R +δ v čase + δ rovna bud R 1 +δ > R s pravděpodobnosí p 0, 1, nebo R 0 +δ < R s pravděpodobnosí 1 p. 22
Analogicky pokud R +δ = R 1 +δ, bude dále R +2δ nabýva hodnoy R 1,1 +2δ > R 1 +δ s pravděpodobnosí p 1 nebo hodnoy R 1,0 +2δ < R 1 +δ s pravděpodobnosí 1 p 1 a při R +δ = R 0 +δ bude R +2δ = R 0,1 +2δ > R0 +δ s pravděpodobnosí p 0 nebo R +2δ = R 0,0 +2δ < R0 +δ s pravděpodobnosí 1 p 0. Nech Z n je náhodná veličina reprezenující náhodný směr, kerým se hodnoa rizikového porfolia změní od okamžiku + nδ k okamžiku + n + 1δ přičemž Z n = 0, pokud klesne, a Z n = 1, pokud vzrose. Označíme-li dále w n cesu z 0,z 1,...,z n 1, kerou hodnoa rizikového porfolia prošla od času do času + nδ, lze podmíněnou pravděpodobnos, že R +2δ = R z 0,z 1 +2δ za podmínky R +δ = R z 0 +δ, přepsa jako pravděpodobnos, že Z 1 = z 1 za podmínky Z 0 = z 0. Výše uvedená definice cesy w n dává jednoznačný vzah mezi cesou, kerou hodnoa rizikového porfolia prošla od času do času +nδ, a uzlem, ve kerém se v čase + nδ nachází. Ke zpěnému dohledání cesy w n edy sačí zná pozici ceny R +nδ v binomickém sromu. Nesačí však zná pouze jsou ve všech uzlech určených jednolivými přípusnými cesami w n vesměs různé, a udíž je vhodné pro n 1 definova pravděpodobnos p wn předpisem hodnou R +nδ, proože pro n 2 není zaručeno, že hodnoy R wn +nδ p wn = PZ n = 1 Z 0 = z 0,Z 1 = z 1,...,Z n 1 = z n 1, 2.9 Pravděpodobnos, že se hodnoa rizikového porfolia v čase + nδ nachází v uzlu určeném cesou w n, je rovna pw n = PZ 0 = z 0,Z 1 = z 1,...,Z n 1 = z n 1. Dodefinujeme-li pro zjednodušení zápisu p w 0 = PZ 0 = 1 = p, lze pw n s využiím rozpisu pravděpodobnosi průniku pomocí podmíněných pravděpodobnosí vyjádři ve varu n 1 pw n = p wj z j 1 p wj 1 z j. j=0 Díky jednoznačnosi vzahu mezi cesou w n a výsledným uzlem v čase + nδ lze zjisi pravděpodobnos, že bude cena rizikového porfolia v čase + nδ rovna r, prosým sečením pravděpodobnosí pw n přes všechny akové cesy w n, keré vedou k hodnoě s, formálně 23
1 3 21 1 2 1 2 28 15 15 1 2 2 3 10 1 4 3 4 14 7 10 1 2 1 3 10 1 2 1 2 14 7 6 2 3 4 1 4 3 4 6 3 2 3 Obrázek 2.1: Binomický srom Příklad: PR +nδ = s = w n; R wn +nδ =s pw n. 2.10 Následující příklad znázorňuje siuaci, ve keré pw n PR +nδ = +nδ, poažmo pw n 1 PR +nδ = R w n 1,1 +nδ R +n 1δ = R w n 1 +n 1δ. R wn Z obrázku 2.1 je vidě, že k výsledku R +3δ = 14 lze dojí dvojím způsobem, a sice cesou 1, 0, 1 a cesou 0, 1, 1. Pro obě yo cesy však plaí R +2δ = 10. Tudíž je PR +3δ = 14,R +2δ = 10 = PR +3δ = 14 a o je podle vzorce 2.10 rovno 1/6. Dále PR +2δ = 10 = 1/2, odkud ihned plyne PR +3δ = 14 R +2δ = 10 = 1/3, což se však nerovná ani PZ 2 = 1 Z 0 = 1,Z 1 = 0 = 1/4, ani PZ 2 = 1 Z 0 = 0,Z 1 = 1 = 1/2. 24
Binomické sromy s propojenými věvemi: Speciálním případem binomického sromu je srom, ve kerém hodnoa R +nδ závisí pouze na poču vzesupů a poklesů ceny rizikového porfolia od času do času + nδ. Přesněji pro každé dvě cesy w n = z 0,...,z n 1 a w n = z 0,..., z n 1 sejné délky, pro keré plaí n 1 j=0 z j = n 1 j=0 z j, je R wn +nδ = R wn +nδ. Binomický srom s ouo vlasnosí lze graficky znázorni jako srom s propojenými věvemi. Předpisu binomického sromu s propojenými věvemi zřejmě vyhovuje srom, ve kerém plaí R +n+1δ = R +nδ + h,h > 0, pokud Z n = 1, a R +n+1δ = R +nδ + l,l < 0, pokud Z n = 0, pro všechna n N srom s arimeickým vývojem hodno. Dalším jednoduchým příkladem sromu s propojenými věvemi je srom s geomerickým vývojem hodno, ve kerém pro všechna n N plaí R +n+1δ = ur +nδ,u > 1, pokud Z n = 1, a R +n+1δ = dr +nδ, 0 < d < 1, pokud Z n = 0. R +nδ může v binomickém sromu s propojenými věvemi nabýva n+1 hodno n 1 j=0 z j {0, 1, 2,...,n}. Označme R n,k hodnou R +nδ při k vzesupech a n k poklesech ceny rizikového porfolia od času do + nδ. Za dodaečného předpokladu, že Z n,n N jsou nezávislé sejně rozdělené náhodné veličiny s alernaivním rozdělením s paramerem p, plaí n PR +nδ = R n,k = p k 1 p n k. k Konsrukce rozdělení R +1 při známém R pomocí binomických sromů: Nejhrubší aproximací pravděpodobnosního rozdělení hodnoy rizikového porfolia R +1 v čase +1 při známém kladném R je náhodná veličina R +1, 1 jejíž rozdělení je dáno riviálním binomickým sromem o délce 1 s kořenem v čase a dvěma lisy v čase + 1, kde PR 1 +1 = ur = 1/2 a PR 1 +1 = dr = 1/2 pro nějaké u > 1 a 0 < d < 1, resp. PR 1 +1/R = u = 1/2 a PR 1 +1/R = d = 1/2. Snadno se přesvědčíme, že aková aproximace vyhovuje předpokladu 2.7, proože 25
PaR 1 +1 x R = r = P R 1 +1 x R = r = 1 a 2 a 1 x {dr a} + 1 {ur x a} PR 1 +1 x R = ar = 1 1 1{adr x} + 1 {aur x} = 1 x 2 2 {dr a} + 1, {ur x a} kde 1 předsavuje indikáor množiny uvedené v dolním indexu. Přejdeme-li k logarimům ceny rizikového porfolia, je PlnR +1 ln 1 R = ln u = 1/2 a PlnR 1 +1 ln R = lnd = 1/2, přičemž lnu > 0 a lnd < 0. Zavedeme-li náhodnou veličinu Z 0 s alernaivním rozdělením s paramerem p = 1/2, lze vyjádři rozdíl lnr 1 +1 ln R jako ln R 1 +1 ln R = lnd 1 Z 0 + lnu Z 0 = lnd + lnu ln dz 0, přičemž Z 0 = 0, když lnr 1 +1 ln R = lnd, a Z 0 = 1, když lnr 1 +1 ln R = ln u. V akovém případě plaí a E ln R 1 +1 ln R = ln d + ln u ln d 1 2 = ln u + lnd 2 var ln R 1 +1 ln R = ln u ln d 2 1 lnu + ln d2 =. 4 4 Podobným způsobem definujme jemnější aproximaci R +1 při známém R prosřednicvím náhodné veličiny R +1, n jejíž rozdělení je dáno koncovými hodnoami v binomickém sromu o délce n, ve kerém pro uzly na všech úrovních k = 0, 1,...,n 1 po dodefinování R n = R plaí, že PR n +k+1/n = u nr n +k/n = 1/2 a PRn +k+1/n = d nr n +k/n = 1/2, a mezi paramery u n a u, resp. d n a d je vzah u n = u 1+ n 1 n 2n d 2n, d n = u 1 n 2n 26 d 1+ n 2n. 2.11
Podobně jako v případě rozdílu lnr +1 ln 1 R lze rozdíly ypu lnr n +k+1/n ln R n +k/n vyjádři pomocí náhodné veličiny Z n,k s alernaivním rozdělením s paramerem p = 1/2, a o ln R n ln R n + k+1 + k n n = lnd n 1 Z n,k + lnu n Z n,k = ln d n + lnd n ln u n Z n,k. Zřeězením výše uvedeného vzahu dosaneme dále n 1 ln R n +1 R = ln R n ln R n + k+1 + k n n k=0 n 1 = lnd n + lnd n ln u n Z n,k, 2.12 což lze za dodaečného předpokladu, že pro libovolné n N jsou náhodné veličiny Z n,k,k = 1, 2,...,n nezávislé, dále upravi o varu k=0 n 1 ln R +1 ln n R = n ln d n +lnd n ln u n Z n,k = n ln d n +lnd n ln u n K n, 2.13 kde K n je náhodná veličina s binomickým rozdělením s paramery n a p = 1/2. Ze zápisu rozdílu lnr n +1 ln R ve varu 2.13 lze s využiím oho, že pro náhodnou veličinu K n s binomickým rozdělením s paramery n a p obecně plaí EK n = np a vark n = np1 p viz sránka Binomial Disribuion na webu společnosi Wolfram Research, Inc. [15], ihned odvodi jeho sřední hodnou a rozpyl, a o k=0 E ln R n +1 ln R = n ln d n + ln u n ln d n n 2 = n 2 lnu n + lnd n = n 1 + n ln u + 1 n ln d 2 2n 2n + 1 n ln u + 1 + n ln d 2n 2n = n ln u 2 n + ln d ln u + ln d = n 2 27
a var ln R n +1 ln R = ln u n ln d n 2 n 4 = n 1 + n ln u + 1 n ln d 4 2n 2n = 1 n 2n lnu ln d2. 4 ln u 1 + n 2n Pro libovolné n edy plaí ElnR n +1 ln R = lnu + lnd/2 a varlnr n +1 ln R = ln u ln d 2 /4, j. aproximujeme-li rozdělení náhodné veličiny lnr +1 rozdělením náhodné veličiny lnr n +1 při známém R, bude mí ao aproximace vždy sejnou sřední hodnou a rozpyl bez ohledu na o, jak jemnou aproximaci jak velké n zvolíme. Označíme-li dále µ = lnu + lnd/2, σ = lnu ln d/2 a ln R n +1 ln R µ Y n :=, σ pak riviálně plaí lim n EY n = lim n µ µ/σ = 0 a lim n vary n = lim n σ 2 /σ 2 = 1 a k omu, abychom na posloupnos náhodných veličin {Y n } n=1 mohli použí Feller-Lindebergovu cenrální liminí věu viz P. Lachou [6], sr. 100, sačí ověři, že exisují akové nezávislé náhodné veličiny X n,k,n N,k {1, 2,...,n} s nulovými sředními hodnoami, že Y n = n k=1 X n,k a že pro každé ε > 0 je lim n n k=1 EX2 n,k 1 { X n,k ε}. Z 2.12 plyne, že ln d 2 Položíme-li Y n = = n 1 k=0 lnd n + lnd n ln u n Z k µ σ n 1 k=0 lnd n + lnd n ln u n Z n,k µ n. σ 28
X n,k = lnd n + lnd n ln u n Z n,k 1 µ n, σ je zřejmě Y n = n k=1 X n,k a X n,k,k = 1, 2,...,n jsou pro všechna n N nezávislé a sejně rozdělené, přičemž a P X n,k = ln d n µ n = 1 σ 2, P X n,k = ln u n µ n = 1 σ 2, ln d n+ln u n 2 µ n ln d+ln u 2n EX n,k = = σ σ Dosadíme-li z 2.11 za d n a u n, dosaneme µ n = µ n µ n σ = 0. ln d n µ n = 1 n ln u + 1 + n ln d µ 2n 2n n = 1 1 lnu + lnd + 2n 2 n lnd ln u µ n = µ n + 1 2 n lnd ln u µ n = 1 2 lnd ln u n a zcela analogicky ln u n µ n = 1 ln 2 n lnu ln d = d n µ. n To vzhledem k omu, že u > d, znamená, že lnu ln d P X n,k = 2σ = 1, n a proože lim n lnu ln d/2σ n = 0, exisuje pro každé ε > 0 akové n 0 N, že pro každé n n 0 je P X n,k ε = 0 pro všechna k = 1, 2,...,n, a udíž plaí n EXn,k1 2 { Xn,k ε} = 0 k=1 29
pro každé n n 0. Odsud ihned plyne, že lim n n EXn,k1 2 { Xn,k ε} = 0, k=1 čímž je splněn poslední z předpokladů Feller-Lindebergovy cenrální liminí věy a posloupnos náhodných veličin {Y n } n=1 konverguje v disribuci k náhodné veličině X s normovaným normálním rozdělením. Vzhledem k omu, že Y n = lnr n +1 ln R µ/σ a že rozdělní náhodné veličiny R n +1 předsavovalo aproximaci rozdělení R +1 při známém R, předpokládejme, že pro R +1 plaí rovnos neboli ln R +1 ln R µ σ ln R+1 R = X = µ + σx. Jelikož X má normované normální rozdělení, výraz µ + σx je náhodná veličina se sřední hodnoou µ a rozpylem σ 2. Předpokládejme proo nadále, že lnr +1 /R má pro každé = 0, 1,...,T 1 normální rozdělení s paramery µ a σ 2 a že náhodné veličiny lnr +1 /R a lnr u+1 /R u, u, jsou vzájemně nezávislé. 2.2 Porfolio s logarimicko-normálním vývojem ceny: Na základě úvahy posavené na binomických sromech byl odvozen jeden z možných modelů pro vývoj ceny rizikového porfolia, a o model vycházející z předpokladu, že logarimy podílů po sobě následujících cen porfolia lnr +1 /R mají normální rozdělení se sřední hodnoou µ a rozpylem σ 2 a že veličiny lnr +1 /R a lnr u+1 /R u, u, jsou vzájemně nezávislé. Zřejmě je R +1 > 0 skoro jisě, kdykoliv R > 0. Aby však v později odvozených vzorcích nedocházelo k formálním nesrovnalosem, předpokládejme dále, že R +1 = 0 s.j., pokud R = 0. 30
Alernaivně lze eno model popsa ak, že pro všechna = 0, 1,...,T 1 je R +1 = R expµ+σz, kde Z, = 0, 1,...,T 1 jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny s normovaným mormálním rozdělením. Z ohoo zápisu je rovněž parné, že {R } T =0 je markovský proces. Z alernaivní definice modelu je vidě, že PR +1 R expµ = 1/2. Předpokládejme proo v rámci celé éo kapioly, že µ δ, proože kdyby bylo µ < δ a kdybychom v čase invesovali do rizikového porfolia, s pravděpodobnosí 1/2 by hodnoa éo invesice v čase + 1 nedosáhla ani čásky, kerou bychom v čase +1 s jisoou měli, pokud bychom v čase invesovali do bezrizikového akiva. Za ěcho předpokladů je určení hodno h již jen předměem algebraických úprav výrazu 2.5. Je-li R > 0, plaí P R +1 K eδ+1 1 e δt 1 R = S + c = R+1 = P K e δ+1 1 R R e δt 1 R = S + c. Jelikož logarimická ransformace je rosoucí, je výše uvedený výraz dále roven = P P ln R+1 R ln R+1 R µ σ K e δ+1 1 ln R R e δt = S + c = 1 K e ln δ+1 1 R µ e δt 1 σ R = S + c. Náhodná veličina lnr +1 /R µ/σ má normované normální rozdělení. Po dosazení podmínky R = S + c dosaneme P ln R+1 R µ σ = 1 Φ ln ln K S +c K S +c e δ+1 1 e δt 1 σ e δ+1 1 e δt 1 µ = σ µ 1 α, 2.14 31
což je ekvivalenní nerovnosi ln Φ K S +c e δ+1 1 e δt 1 σ µ α, 2.15 kde Φ je disribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Zde je vidě, že porfolio s logarimicko-normálním vývojem ceny splňuje předpoklad 2.6, proože logarimus i Φ jsou rosoucí funkce a argumen logarimu je klesající vzhledem k S. Označíme-li dále α-kvanil normovaného normálního rozdělení jako u α, po aplikaci funkce Φ 1 na vzah 2.15 dosaneme ln K S +c e δ+1 1 µ e δt 1 σ u α K e δ+1 1 S + c e δt 1 eµ+σuα. Odsud již přímo plyne vyjádření dolního omezení pro hodnou invesice S v čase S K e δ+1 1 e µ+σuα e δt 1 c. Minimální hodnoa S vyhovující výše uvedené nerovnosi je rovna její pravé sraně, a proo h = K e δ+1 1 c. 2.16 e µ+σuα e δt 1 Pro úplnos zbývá se přesvědči, že pro model s logarimicko-normálním vývojem ceny rizikového porfolia je splněn předpoklad 2.7. Sejným způsobem, jakým jsme odvodili vyjádření PR +1 g R = S + c pomocí funkce Φ, lze dojí i k podobnému vyjádření pravděpodobnosí PR +1 x R = ar, resp. PaR +1 x R = r pro obecné x > 0, r > 0 a a > 0. Plaí PR +1 x R = ar = P ln R+1 R µ σ ln x ar µ = Φ σ 32 x ln R µ σ R = ar
a P ar +1 x R = r = P R +1 x R = r a = P ln R+1 x R µ ln ar µ σ σ R = r ln x ar µ = Φ σ a jelikož pravé srany dvou výše uvedených rovnosí se sobě rovnají, předpoklad 2.7 je splněn. Na následujícím grafu je znázorněn průběh hodno g a h v čase pro K = 600000, T = 20, δ = 0, 048, µ = 0, 1, σ = 0, 07 a α = 0, 001. 700 000 600 000 500 000 400 000 300 000 g h 200 000 100 000 5 10 15 20 Obrázek 2.2: Spojnice hodno g, = 0, 1, 2,...,T, a h, = 0, 1, 2,...,T Vzájemná poloha g a h : Na obrázku 2.2 leží křivka {h } T =0 hranice bezpečnosi invesice do rizikového porfolia celá nad křivkou {g } T =0 spojnicí bodů předsavujících minimální akuální hodnoy invesice S, při nichž je zajišěno, že v případě okamžiého přechodu k invesování do bezrizikového akiva bude konečná 33
hodnoa S T rovna alespoň výši jisiny K. Je omu ak vždycky a nebo vzájemná poloha {g } T =0 a {h } T =0 závisí na hodnoě paramerů δ,µ a σ? Odpověd na uo oázku je obsažena v následující úvaze. Leží-li {h } T =0 nad {g } T =0, zjisíme nejsnáze pomocí znaménka rozdílu h g. Dosadíme-li do h g z předpisů pro h 2.16 a g 2.4, máme h g = = = K e δ+1 1 e µ+σuα e δt 1 c K eδ 1 e δt 1 K e δ+1 1 K e µ+σuα e δt 1 e δ 1 e δ e δt 1 + K eδ 1 e δt 1 K e δ+1 1 e µ+σuα = K eδ+1 1 e δt 1 e δt 1 K e δ+1 1 e δ e δt 1 1 e 1 µ+σuα δ. 2.17 Jelikož + 1 > 0, je výraz Kexpδ + 1 1/expδT 1 kladný pro všechna = 0, 1,...,T 1, a znaménko rozdílu h g je udíž sejné jako znaménko rozdílu 1/ expδ 1/ expµ + σu α, kerý je kladný, právě když δ > µ+σu α, záporný, právě když δ < µ+σu α, a nulový pro δ = µ+σu α. Znaménko rozdílu h g je navíc sejné pro všechna = 0, 1,...,T 1, a proo křivka {h } T =0 leží celá nad {g } T =0 pro δ > µ + σu α nebo celá pod {g } T =0 pro δ < µ + σ α, případně s křivkou {g } T =0 splývá pokud δ = µ + σu α. Připoměňme si, že g 0 = 0. To znamená, že pokud h 0 > g 0 = 0, což plaí, právě když δ > µ + σu α, je S 0 = 0 < h 0 a k invesici do rizikového porfolia v čase 0 vůbec nedojde. Graf 2.2 znázorňuje siuaci, kdy δ > µ + σu α u 0,001 je rovno zhruba 3, 09023, a µ + σu α je ak menší než 0, 1, zaímco δ = 0, 048. Siuace, kdy δ > µ + σu α, se jeví jako přirozená. V opačném případě by oiž došlo k omu, že pokud by klien v čase invesoval S + c do rizikového porfolia, s pravděpodobnosí 1 α by v čase + 1 byla hodnoa jeho invesice vyšší než S +c expδ j. s pravděpodobnosí 1 α by dosáhl 34
vyššího výnosu, než jaký poskyuje bezrizikové akivum. O om se snadno přesvědčíme ak, že PR +1 S + ce δ R = S + c = = P ln R+1 R µ ln S+ce δ R µ σ σ R = S + c ln e δ µ δ µ = 1 Φ = 1 Φ. σ σ Pokud δ µ + σu α, pak δ µ/σ u α a PR +1 S + ce δ R = S + c 1 Φu α = 1 α. Pokud exisuje akové rizikové porfolio, pro keré by plailo µ+σu α δ pro nějaké velmi malé α, řekneme, že na rhu exisuje možnos arbiráže na hladině 1 α. Ve skuečnosi je však aková siuace prakicky nereálná už proo, že ani bezriziková akiva nejsou zcela bezriziková vždy exisuje velice malá, leč kladná pravděpodobnos, že např. sá, kerý emioval bezrizikový dluhopis, nebude schopen svůj dluh splai. Proo se nejdříve zabývejme kombinací hypoečního úvěru a invesičního živoního pojišění na rhu bez možnosi arbiráže na hladině 1 α. 2.3 Kombinace hypoečního úvěru a IŽP na rhu bez možnosi arbiráže na hladině 1 - α Předpokládejme v rámci éo podkapioly, že k berzirikovému akivu poskyujícímu konsanní inenziu úročení δ nelze sesavi žádné porfolio R s logarimicko-normálním vývojem ceny s akovými hodnoami paramerů µ a σ, aby při běžné míře averze k riziku např. α = 0, 001, α = 0, 0005 nebo α = 0, 0001 plaila nerovnos δ µ + σu α. 35
Jak již bylo zmíněno výše, pokud bychom v čase 0 invesovali pouze sumu ve výši c, byli bychom nuceni od začáku invesova do bezrizikového akiva, proože S 0 = 0 = g 0 < h 0. Proo nadále předpokládejme, že klien v čase 0 zaplaí mimořádné pojisné ve výši c + h 0 a v osaních okamžicích = 1, 2,...,T 1 již plaí sandardní pojisné ve výši c. Důležiým ukazaelem spojeným s kombinací hypoečního úvěru a IŽP je pravděpodobnos, že konečná hodnoa invesice S T v okamžiku T bude rovna alespoň K. Nejhrubší dolní odhad éo pravděpodobnosi vychází z faku, že v každém okamžiku je pravděpodobnos, že v čase + 1 bude hodnoa invesice věší než g +1, rovna alespoň 1 α. Pokud je oiž g S < h, invesujeme do bezrizikového akiva, a PS +1 g +1 g S < h je edy rovna 1, proože S +1 = e δ S + c e δ g + c = K eδ+1 e δ + K eδ 1 e δt 1 e δt 1 = K eδ+1 1 e δt 1 = g +1s.j. V případě, že S h, invesujeme S + c do rizikového porfolia R. Jelikož proces {R } T =0 splňuje předpoklad 2.6, je PR +1 g +1 R = S + c PS +1 g +1 R = h + c = 1 α. Podobný dolní odhad pro pravděpodobnos úspěšného přechodu od času do času + 1 plaí pro každé = 0, 1,...,T 1. Pokud by {S } T =0 byl markovský proces, byla by edy pravděpodobnos, že S T K, zdola omezena hodnoou 1 α T od času 0 do času T se uskueční celkem T přechodů, jejichž úspěšnosi by byly nezávislé, a každý přechod od k + 1 by byl úspěšný s pravděpodobnosí 1 α. Že je {S } T =0 skuečně markovský proces, lze dokáza prosřednicvím vyjádření S pomocí ceny R za jednoku rizikového porfolia R viz 2.8. Pokud je S < h, invesuje klien čásku S + c do bezrizikového akiva, a S +1 je ak degenerovaná náhodná veličina, čímž je markovská vlasnos riviálně splněna. Pro libovolné x < h oiž plaí PS +1 x S 1 = x 1,...,S = x = 1 {x x+ce δ }, 36
což nezávisí na x s,s = 1, 2,..., 1. Na první pohled však není zřejmé, zda rozdělení náhodné veličiny S +1 za podmínky S 1 = x 1,...,S = x závisí na hodnoách x 1,x 2...,x 1 či nikoliv, pokud x h. Vyjdeme-li z předpisu 2.8, máme PS +1 x S 1 = x 1,...,S = x = = P cr +1 1 1 x R s=0 s cr 1 = x R 0 1,...,cR = P R +1 x c R 1 = x 1,...,R = s=0 1 R s c 1 R 0 1 1 R s=0 s x c 1 s=0 = x 1 R s, 2.18 přičemž R 0 je konsana jejíž výše záleží na definici jednoky rizikového porfolia R, resp. na objemu jednolivých akiv, z nichž se jednoka porfolia R skládá. Souče s=0 1/R s lze rozrhnou na dílčí součy způsobem 1 R s=0 s = 1 s=0 1 + 1. R s R Díky podmínce R = x /c 1 s=0 1/R s je 1/R = c/x 1 s=0 1/R s, a ak 1 R s=0 s = 1 1 R s=0 s + c 1 x 1 R s=0 s = 1 + cx 1 1 R s=0 s Dále můžeme s využiím podmínky R 1 = x 1 /c 2 s=0 1/R s zcela idenickým způsobem vyjádři 1 s=0 1/R s pomocí 2 s=0 1/R s ad., až nakonec dosaneme 1 R s=0 s = s=1 1 + c 1. x s R 0 Analogicky i pro každé {1, 2,..., 1} plaí 1 R s=0 s = s=1 1 + c 1. x s R 0 37.
Využijeme-li ěcho vzahů, můžeme podmíněnou pravděpodobnos 2.18 vyjádři ve varu P R +1 c s=1 xr 0 1 + c x s R 1 = x 1R 0,...,R = c c 1 s=0 x R 0 1 + c x s 2.19 ve kerém se již na pravých sranách všech rovnosí vyskyují pouze deerminisické výrazy. Vzhledem k omu, že {R } T =0 je markovský proces, je pravděpodobnos 2.19 rovna pravděpodobnosi P R +1 c s=1 xr 0 1 + c x s R = c 1 s=0 x R 0 1 + c x s Nyní využijeme oho, že proces {R } T =0 má vlasnos 2.7, j. že P ar +1 x R = r = P R +1 x R = ar pro každé a > 0. Položímeli r = x a a = R 0/c 1 s=0 1 + c/x s, je P R +1 c s=1 R 0 xr 0 1 + c x s R = = P c R 1 s=0 1 + c +1 x s c = P R +1 x 1 + c x R = x. Celkem pro x h plaí s=1. x R 0 c = 1 s=0 1 + c x s R 0 x 1 + c R = x x s, PS +1 x S 1 = x 1,...,S = x = P R +1 x 1 + c x R = x, což nezávisí na hodnoách x 1,x 2,...,x 1, a proces {S } T =0 ak má markovskou vlasnos. Navíc 38
P R +1 x 1 + c x R = x = x R = P ln +1 1+ c x ln R R R = x x 1+ x ln c x µ = Φ σ = Φ ln x x +c µ, 2.20 σ což znamená, že S +1 má za podmínky S = x pro x h sejné rozdělení jako R +1 za podmínky R = x + c. Díky markovské vlasnosi procesu {S } T =0 je dolní odhad PS T K 1 α T korekní. Už z oho, že nezávisí na žádném parameru s výjimkou α, je však parné, že se jedná o odhad skuečně velmi hrubý. V příkladu ilusrovaném na grafu 2.2 je PS T 600000 0, 999 20 = 0, 98019. K = PS 20 Aby bylo možno vyjádři přesnou hodnou PS T K, je pořeba nejdříve vyjmenova všechny možné jevy, keré mohou při kombinaci hypoečního úvěru a invesičního živoního pojišění nasa. Jedním z možných jevů pochopielně je, že bude plai S h pro každé = 1, 2,...,T. V akovém případě klien po celou dobu rvání IŽP neupusí od invesice do rizikového porfolia a S T h T > g T = K. Označme eno jev jako A. Dalším možným jevem je, že S h pro = 1, 2,..., 1 a g S < h pro nějaké {1, 2,...,T }. Je-li = T, je S T g T = K. Oázkou však zůsává, zdali aáž nerovnos plaí, i pokud < T. Kdybychom předpokládali, že jakmile dojde k siuaci g S < h, budeme nadále invesova pouze do bezrizikového akiva bez ohledu na o, jaký bude vzah mezi hodnoami S a h pro >, zřejmě by nerovnos S T K plaila aké, proože 39
S T = S e δt + FV g e δt + FV = K eδt δt e + K eδt 1 = K eδt 1 e δt 1 e δt 1 e δt 1 = K. Ovšem pokud bychom připusili, že v případě, že by pro nějaké ˆ > opě plaila nerovnos Sˆ hˆ, přešli bychom v čase ˆ opě k invesici do rizikového porfolia, nerovnos S T K by obecně plai nemusela. Může však aková siuace, že by hodnoa invesice po invesování čásky S < h do bezrizikového akiva někdy v budoucnu v čase ˆ opě dosáhla meze hˆ, vůbec nasa? Předsavme si, že S = h a přeso se klien rozhodne invesova do bezrizikového akiva. V akovém případě by hodnoa jeho invesice v čase + 1 činila S +1 = h + ce δ = K e µ+σuα e δ+1 1 e δt 1 eδ = = = K e δ+2 1 e µ+σuα e δt 1 K e δ 1 e µ+σuα e δt 1 = K e δ+2 1 1 e µ+σuα e δt 1 c + c eδ K e δ+2 e δ e µ+σuα e δt 1 K e δ+2 1 e µ+σuα e µ+σuα e δt 1 c e δ e µ+σuα = h +1 + c 1 e δ µ σuα. 2.21 Poslední vyjádření S +1 se od předpisu pro h +1 liší pouze o člen c 1 e δ µ σuα. Vzhledem k omu, že c > 0, je eno člen kladný, pokud expδ µ σu α < 1, což plaí, právě když δ < µ + σu α. Podobně c 1 e δ µ σuα < 0, právě když δ > µ + σu α a c 1 e δ µ σuα = 0 pro δ = µ + σu α. Vzah mezi S +1 po invesici S = h do bezrizikového akiva a h +1 lze shrnou způsobem S +1 < h +1 δ > µ + σu α, S +1 = h +1 δ = µ + σu α, S +1 > h +1 δ < µ + σu α. 2.22 40
Vzhledem k omu, že ao podkapiola se zabývá pouze případem δ > µ + σu α, je zřejmé, že k siuaci, že by invesice čásky S < h do bezrizikového akiva předsavovala možnos se v nějakém budoucím okamžiku ˆ > opě dosa na úroveň nebo nad úroveň hˆ, dojí nemůže, a proo jakmile je klien jednou donucen invesova do bezrizikového akiva, musí u invesování do bezrizikového akiva serva až do konce rvání invesičního živoního pojišění. Odud mimo jiné vyplývá, že siuace, že klien bude muse kvůli omu, že g S < h, proda rizikové porfolio a invesova všechny dosud nabyé prosředky i budoucí spláky pojisného do bezrizikového akiva, může nasa nejvýše jednou. Označíme-li B jev, při kerém je S h pro všechna = 1, 2,..., 1 a g S < h, je navíc zřejmé, že jevy B 1,B 2,...,B T jsou disjunkní. Konečně poslední řídou jevů, ke kerým může dojí, je, že v nějakém okamžiku {1, 2,...,T } klesne hodnoa invesice S pod kriickou mez g označme eno jev jako C. V akovém případě je jisé, že v čase T bude hodnoa invesice menší než T, proože při S < g < h je klien odkázán na invesování do bezrizikového akiva až do konečného okamžiku T a g bylo definováno jako minimální hodnoa, keré musí S dosahova, aby po invesování S a všech dalších spláek pojisného do bezrizikového akiva bylo dosaženo konečné hodnoy invesice S T K. Jevy C, = 1, 2,...,T, jsou disjunkní k omu, že hodnoa invesice do rizikového porfolia mezi okamžiky 1 a klesne pod hranici g, může podobně jako k poklesu do pásma [g,h dojí nejvýše jednou. Navíc jsou disjunkní i množiny jevů {A}, {B 1,B 2,...,B T } a {C 1,C 2,...,C T }. Vzhledem k omu, že k žádnému jinému jevu dojí nemůže, je zřejmé, že během rvání invesičního živoního pojišění musí dojí k právě jednomu z jevů A,B 1,B 2,...,B T,C 1,C 2,...,C T. Všechny jevy A,B 1,B 2,...,B T vedou k S T K, podobně jevy C 1,C 2,...,C T předsavují konečný výsledek S T < K. Proo je pravděpodobnos, že na konci doby rvání invesičního živoního pojišění bude hodnoa invesice S T nižší než výše jisiny K, rovna 41