Sbírka p íklad z Fyziky I. Jana Jire²ová a kol.

Sbírka p íklad z Fyziky I Jana Jire²ová a kol.

Obsah 1 Vektorová algebra 3 2 Kinematika hmotného bodu 8 2.1 Poloha, rychlost, zrychlení........................ 8 2.2 P ímo arý rovnom rn zrychlený pohyb................ 14 3 Dynamika hmotného bodu a soustavy hmotných bod 18 3.1 Pohyb v homogenním tíhovém poli................... 18 3.2 Pohyb s uváºením t ení.......................... 24 3.3 Pohyb vlivem taºných sil záv su..................... 27 3.4 Pohyb po kruºnici............................. 29 3.5 Práce, výkon, mechanická energie.................... 31 3.6 Hybnost a zákon zachování hybnosti.................. 37 3.7 Jednorozm rné dokonale pruºné a nepruºné sráºky.......... 38 3.8 Dvourozm rné dokonale pruºné sráºky................. 40 4 Mechanika tuhého t lesa 42 4.1 Kinematika rota ního pohybu...................... 42 4.2 Dynamika rota ního pohybu tuhého t lesa............... 46 4.2.1 Moment setrva nosti, kinetická energie............. 46 4.2.2 Moment síly, rovinná rotace tuhého t lesa, práce, výkon, v ta o kinetické energii......................... 51 4.2.3 Moment hybnosti, zákon zachování momentu hybnosti.... 55 4.2.4 Valení t les............................ 59 4.3 Podmínky rovnováhy........................... 62 5 Mechanika kontinua 63 5.1 Deformace pevných t les......................... 63 5.2 Mechanika tekutin............................ 65 5.2.1 Hydrostatický tlak........................ 65 5.2.2 Vztlaková síla........................... 68 5.2.3 Proud ní ideální kapaliny.................... 72 6 Kmity 83 6.1 Netlumené kmity............................. 83 6.2 Tlumené kmity.............................. 90 6.3 Skládání kmit.............................. 92 7 Vln ní 97 7.1 Vln ní................................... 97 1

OBSAH 2 8 Optika 103 8.1 Vlnová optika............................... 103 8.1.1 Snell v zákon, úplný odraz.................... 103 8.1.2 Interference na tenké vrstv................... 107 8.1.3 Interference ze dvou ²t rbin................... 110 8.1.4 Interference na m íºce...................... 112 8.1.5 Ohyb na ²terbin......................... 117 8.2 Geometrická optika............................ 119 9 Elektrostatické pole 123 9.1 Coulomb v zákon............................. 123 9.2 Intenzita a potenciál........................... 125 9.3 Elektrický dipól.............................. 129 9.4 Kondenzátory, polarizace dielektrika................... 133 9.5 Pohyb elektrického náboje v homogenním elektrickém poli...... 135 10 Stejnosm rné obvody 138 10.1 Ohm v zákon, elektrický odpor..................... 138 10.2 Elektromotorické nap tí, reálný zdroj nap tí.............. 142 10.3 Výkon, Joule v zákon.......................... 144 11 Magnetické pole 147 11.1 Magnetická indukce, síla na pohybující se náboj............ 147 11.2 Proudovodi a proudová smy ka v magnetickém poli.......... 152 11.3 Magnetické pole v okolí vodi...................... 157 12 Elektromagnetické pole 164 12.1 Elektromagnetická indukce........................ 164 12.1.1 Elektromagnetická indukce v nepohyblivém vodi i....... 164 12.1.2 Elektromagnetická indukce v pohyblivém vodi i........ 167 12.1.3 Vlastní indukce.......................... 172 13 Obvody st ídavého proudu 174 13.1 Odpor, cívka a kondenzátor ve st ídavých obvodech.......... 174 13.2 Výkon a energie st ídavého proudu................... 181 14 Základní pojmy moderní fyziky 184 14.1 Zá ení erného t lesa, fotony....................... 184 14.2 Fotoelektrický jev............................. 187 14.3 Rentgenové zá ení............................. 191

1 Vektorová algebra 1/1 Jsou dány dva vektory a a b, které mají y velikost a = 5 a b = 3. a) Nalezn te sloºkové vyjád ení vektor a a b. b) Ur ete vektor c = a + b a jeho velikost c = a + b. c) Ur ete skalární sou in vektor d = a b. b 30 z a x e²ení: a) V kartézském sou adnicovém systému zapí²eme vektor a ve sloºkách jako a = a x i + a y j + a z k. Ze zadání plyne a x = 5, a y = 0 a a z = 0, tudíº zápis vektoru bude a = 5 i. Podobn vektor b má sloºky Zápis ve sloºkách bude b) Pro vektor c platí b x = b cos ϕ = 3 cos 120 = 1,5 b y = b cos 30 = 3 cos 30 = 2,6 b z = 0. b = 1,5 i + 2,6 j. c = a + b = (a x + b x ) i + (a y + b y ) j + (a z + b z ) k = Velikost vektoru c je = [5 + ( 1,5)] i + (0 + 2,6) j = 3,5 i + 2,6 j. c = a + b = c 2 x + c 2 y + c 2 z = 3,5 2 + 2,6 2 = 19. c) Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor je skalár. Ve sloºkovém vyjád ení platí d = a b = a x b x + a y b y + a z b z = 5 ( 1,5) + 0 2,6 + 0 0 = 7,5. 3

KAPITOLA 1. VEKTOROVÁ ALGEBRA 4 Skalární sou in m ºeme ur it také výpo tem z velikostí vektor a úhlu jimi sev eného d = a b = a b cos ϕ = 5 3 cos 120 = 7,5. 1/2 Jsou dány dva vektory a = i 2 j + 3 k a b = 3 i + 4 k. Ur ete: a) velikost b vektoru b, b) sm rový vektor b 0 vektoru b, c) vektorový sou in d = a b a jeho velikost d. e²ení: a) Velikost vektoru b je b = b = b 2 x + b 2 y + b 2 z = 3 2 + 4 2 = 5. b) Kaºdý nenulový vektor b lze zapsat jako sou in jeho velikosti b a jeho sm rového vektoru b 0 jako b = b b 0. Vyjád íme sm rový (jednotkový) vektor b 0 = b b = 3 i + 4 k 5 = 3 5 i + 4 5 k. c) Výsledkem vektorového sou inu dvou vektor je vektor (vektorový sou in není komutativní) d = a b = (a y b z a z b y ) i + (a z b x a x b z ) j + (a x b y a y b x ) k = = ( 2 4 3 0) i + (3 3 1 4) j + ([1 0 ( 2) 3]) k = = 8 i + 5 j + 6 k. Sm r výsledného vektoru d je kolmý na rovinu ur enou vektory a, b a tvo í s nimi pravoto ivý trojhran. Velikost vektoru d ur íme ze vztahu d = d = ( 8) 2 + 5 2 + 6 2 = 125, anebo ze vztahu d = a b = a b sin ϕ, kde ϕ je úhel mezi vektory.

KAPITOLA 1. VEKTOROVÁ ALGEBRA 5 1/3 Jsou dány vektory a = 3 3 i + 3 j a vektor b leºící v rovin yz, který svírá s kladnou poloosou y (vektorem j) úhel β = 60 a s kladnou poloosou z (vektorem k) úhel γ = 30. Velikost vektoru b je b = 4. a) Nalezn te vyjád ení vektoru b ve sloºkách. b) Ur ete skalární sou in a b obou vektor. c) Ur ete úhel ϕ, který svírají oba vektory. a) b = 2 j + 2 3 k b) a b = 6 c) ϕ = 75,5 1/4 Jsou dány dva vektory a = i + 2 j + 2 k a b = i 2 j 2 k. Ur ete: a) velikost vektor a, b, b) skalární sou in a b a úhel ϕ mezi vektory a a b, c) vektorový sou in a b. a) a = 3, b = 3 b) a b = 9, ϕ = π c) a b = 0 1/5 Vektor má p sobi²t v bod A o sou adnicích A (2, 1,3) a koncový bod v bod B (3,2, 4). a) Vyjád ete vektor AB ve sloºkách. b) Nalezn te vzdálenost mezi body A a B. c) Vyjád ete sm rový vektor AB 0. a) AB = i + 3 j 7 k b) AB = ( 59 0 c) AB = 1 59 i + 3 j 7 ) k 1/6 Nakreslete do obrázku sm r vektoru c = a b pro následující situace (vektory znázorn né orientovanou úse kou leºí v rovin nákresny). a a a b b b a) b) c)

KAPITOLA 1. VEKTOROVÁ ALGEBRA 6 1/7 Je dán sou et dvou vektor a + b = 4 i + 2 j + k a jejich rozdíl a b = 2 i + 3 j + k. Ur ete: a) vektor a ve sloºkovém vyjád ení, b) vektor b ve sloºkovém vyjád ení, ( c) úhel ϕ mezi vektory a a a + ) b. a) a = 3 i + 2,5 j + k b) b = i 0,5 j c) ϕ = 13 1/8 Pro daný vektor a = 4 i + 2 j 4 k ur ete: a) velikost a vektoru a, b) sm rový vektor a 0, c) úhel γ, který svírá vektor a s kladnou poloosou z kartézského sou- adnicového systému. a) a = 6 b) a 0 = 2 3 i + 1 3 j 2 3 k c) γ = 131,8 1/9 Pro kvádr na obrázku o hranách (2, 3, 1) m ur ete: a) vektory OA, GD, CA, AF, OF a GA ve sloºkovém zápisu, b) metodou vektorové algebry úhly ϕ 1, ϕ 2 a ϕ 3 mezi t lesovými úhlop í kami kvádru, c) metodou vektorové algebry objem kvádru V. ) ) a) OA = (2 i m GD = ( 3 j m ( ) ( CA = 2 i 3 j m AF = 3 j ) k m ( OF = 2 i + 3 j ) k m GA = (2 i 3 j + ) k m ( ) b) ϕ 1 = 31, ϕ 2 = 65, ϕ 3 = 73 c) V = a b c = 6 m 3 z y C O G D 2 A B 1 F x 3 E

KAPITOLA 1. VEKTOROVÁ ALGEBRA 7 1/10 Je dán vektor a = 16 i + 4 j 7 k a vektor b = 3 i 9 j 4 k. Ur ete: a) skalární sou in a b, b) vektorový sou in a b, c) vektorový sou in b a. a) a b = 40 b) a b = 79 i + 43 j 156 k c) b a = 79 i 43 j + 156 k

2 Kinematika hmotného bodu 2.1 Poloha, rychlost, zrychlení 2/1 Pohyb t lesa je popsán pohybovými funkcemi: x (t) = 20t, y (t) = 5t 2 + 5t + 10, z (t) = 0. Vzdálenosti jsou uvedeny v metrech, as v sekundách. Ur ete: a) polohový vektor t lesa r 1 v ase t 1 = 2 s, b) vektor rychlosti v 1 a jeho velikost v 1 v ase t 1 = 2 s, c) vektor zrychlení a 1 a jeho velikost a 1 v ase t 1 = 2 s. e²ení: a) Polohový vektor r(t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, jehoº sou adnice jsou zadané pohybové funkce, má po dosazení tvar a v ase t 1 = 2 s r(t) = 20t i + ( 5t 2 + 5t + 10 ) j + 0 k r 1 = 20 2 i + ( 5 2 2 + 5 2 + 10 ) j = 40 i m. b) Vektor rychlosti je ur en zm nou polohového vektoru za jednotku asu v = d r dt = dx dt i + dy dt j + dz dt k. Po provedení nazna ených operací dostaneme Dosazením t 1 = 2 s bude v(t) = 20 i + ( 10t + 5) j. v 1 = 20 i + ( 10 2 + 5) j = ( ) 20 i 15 j m s 1. Velikost rychlosti v 1 v ase t 1 = 2 s je v 1 = v 1 = 20 2 + ( 15) 2 = 25 m s 1. 8

KAPITOLA 2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 9 c) Vektor okamºitého zrychlení je druhou derivací polohového vektoru podle asu nebo první derivací vektoru rychlosti a = d v dt = 10 j m s 2. Z uvedeného plyne, ºe zrychlení je v daném p íklad na ase nezávislé, tudíº a 1 = 10 j m s 2 a jeho velikost je a 1 = ( 10) 2 = 10 m s 2. 2/2 Hmotný bod se pohybuje ve sm ru osy x a jeho pohyb je popsán funkcí x(t) = 2t 3t 2 +4t 3. ƒas t je v sekundách, sou adnice x v metrech. Ur ete: a) vektor rychlosti v (t) a vektor zrychlení a (t) v obecném ase, b) velikost rychlosti v a velikost zrychlení a v ase t = 2 s, c) dráhu s, kterou urazí hmotný bod za dv sekundy od za átku pohybu. a) v(t) = (2 6t + 12t 2 ) i m s 1, a(t) = ( 6 + 24t) i m s 2 b) v (2) = 38 m s 1, a (2) = 42 m s 2 c) s = 24 m 2/3 Pracovník m hv zdárny se poda ilo z fotograí letu padajícího meteoritu ur it jeho trajektorii vzhledem ke zvolenému kartézskému systému sou adnic, v jehoº po átku je hv zdárna. Osa Sever y x mí í k východu, osa y na sever a osa z vzh ru kolmo k povrchu Zem. ƒas t je po ítán od okamºiku vzplanutí, x tj. od okamºiku, kdy meteorit vlet l do atmosféry. Pro sou adnice meteoritu platí: z x (t) = t 2 + 18t 48, y (t) = 60 9t + 0,5t 2, z (t) = t 3 + 9t 2 51t + 155. ƒas t je udán v sekundách, sou adnice v kilometrech. Ur ete: Světové strany jsou určeny z pohledu člověka stojícího v bodě [0,0,0] Východ a) vzdálenost d meteoritu od hv zdárny a vý²ku h meteoritu nad Zemí v okamºiku vzplanutí, b) velikost rychlosti v (0), se kterou meteorit vlétl do atmosféry (v ase t = 0 s), c) sloºky vektoru zrychlení a x, a y, a z v obecném ase t. a) d = 173 km, h = 155 km b) v (0) = 54,8 km s 1 c) a x = 2 km s 2, a y = 1 km s 2, a z = ( 6t + 18) km s 2

KAPITOLA 2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 10 2/4 T leso se pohybuje po p ímce tak, ºe jeho vzdálenost s od pevného bodu A je dána rovnicí s(t) = 0,5t 2 + 2t + 8, as t je v sekundách, vzdálenost s v metrech. Ur ete: a) rychlost v (10) t lesa v ase t = 10 s, b) pr m rnou rychlost v za prvních deset sekund pohybu, c) vzdálenost s (10) od bodu A v ase t = 10 s. a) v (10) = 12 m s 1 b) v = 7,0 m s 1 c) s(10) = 78 m 2/5 Poloha elektronu je ur ena polohovým vektorem r(t) = 3t i 4t 2 j + 2 k. ƒas t je m en v sekundách a sloºky vektoru r v metrech. Ur ete: a) asovou závislost vektoru rychlosti elektronu v (t), b) rychlost v (2) elektronu v ase t = 2 s, c) velikost rychlosti v (2) v ase t = 2 s. a) ( ) v (t) = 3 i 8t j m s 1 b) v (2) = c) v (2) = 16,3 m s 1 ( ) 3 i 16 j m s 1 2/6 Pohyb t lesa je popsán pohybovou funkcí pro rychlost v(t) = 20 i + ( 10t + 5) j. ƒas je v sekundách, rychlost v metrech za sekundu. Následující úkoly e²te v ase t = 2 s. Ur ete: a) úhel α, který svírá vektor rychlosti v(2) s osou x (s vektorem i), b) velikost normálového a n a te ného a τ zrychlení, c) polom r k ivosti R trajektorie t lesa. e²ení: a) Vektor rychlosti ve druhé sekund pohybu bude a jeho velikost v(2) = 20 i + ( 10 2 + 5) j = (20 i 15 j) m s 1 v (2) = 20 2 + 15 2 = 25 m s 1. K výpo tu úhlu, který svírá vektor v(2) s kladnou poloosou x (sm rový vektor i), vyuºijeme skalární sou in dvou vektor v(2) i = v (2) 1 cos α. Vyjád íme cos α a po dosazení dostáváme cos α = ( ) 20 i 15 j 25 1 ( ) i α = arccos (0,8) = 36,9. = 20 25 = 0,8

KAPITOLA 2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 11 b) Zrychlení a = d v dt velikost je konstantní = 10 j nezávisí v tomto p ípad na ase a jeho a = ( 10) 2 = 10 m s 2. Zrychlení a zahrnuje v sob míru zm ny velikosti rychlosti a míru zm ny sm ru rychlosti. Tuto skute nost m ºeme postihnout vyjád ením zrychlení ve sloºkách a = a τ τ 0 + a n n 0, kde a τ = dv je te ná sloºka zrychlení charakterizující zm nu velikosti rychlosti, a n = v2 je normálová sloºka zrychlení související se zm nou sm ru dt R rychlosti, R je polom r k ivosti trajektorie v daném bod, n 0 jednotkový vektor v normálovém sm ru a τ 0 je jednotkový vektor ve sm ru te ny k trajektorii t lesa v daném bod. Uv domíme-li si, ºe sm r vektoru τ 0 je shodný se sm rem vektoru rychlosti, bude τ 0 = v. Velikost te né sloºky vektoru v zrychlení je pr m t vektoru zrychlení do sm ru te ny a v ase t = 2 s bude a τ = a τ 0 = a v v = ( ) 10 j ( ) 20 i 15 j 25 = 0 + 150 25 m s 2 = 6 m s 2. Velikost vektoru zrychlení vyjád ena pomocí te né a normálové sloºky je dána rovnicí (Pythagorova v ta) a 2 = a 2 τ + a 2 n. Odtud dostáváme a n = a 2 a 2 τ = 10 2 6 2 m s 2 = 64 m s 2 = 8 m s 2. c) Polom r k ivosti trajektorie ur íme ze vztahu pro normálovou sloºku zrychlení v okamºiku t = 2 s R = v2 = 252 m = 78,1 m. a n 8 2/7 T leso se pohybuje ve sm ru osy x se stálým zrychlením a = 0,5 m s 2. Bylo zji²t no, ºe na za átku pozorování (v ase t = 0 s) bylo t leso v bod vzdáleném x 0 = 10 m od pozorovatele (x = 0) a jeho rychlost byla v 0 = 3 m s 1. Ur ete: a) závislost rychlosti pohybu v (t) na ase, b) závislost sou adnice x (t) na ase, c) vzdálenost s 1 od pozorovatele v ase t 1 = 10 s. a) v (t) = (0,5t + 3) m s 1 b) ( ) t x (t) = m c) s 1 = 65 m

KAPITOLA 2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 12 2/8 Hmotný bod se pohybuje p ímo a e ve sm ru osy x se zrychlením, které se m ní s asem t podle vztahu a(t) = (t + 1) m s 2. Po áte ní rychlost hmotného bodu je v 0 = 0,5 m s 1 a po áte ní hodnota sou adnice je x 0 = 1,5 m. Ur ete: a) rychlost v (3) v ase t = 3 s, b) sou adnici x (3) v ase t = 3 s, c) dráhu s, kterou urazí hmotný bod za první t i sekundy. e²ení: a) Odvodíme nejd íve závislost rychlosti na ase. Pro p ímo arý pohyb ve sm ru osy x m ºeme psát a = dv odtud dv = a dt a integrací dt ˆ ˆ v = a dt = (t + 1) dt = t2 2 + t + v 0. Dosadíme za integra ní konstantu ze zadání (tj. velikost rychlosti na po- átku pohybu) v 0 = 0,5 m s 1 a získáme vztah pro výpo et okamºité rychlosti v = 1 2 t2 + t + 0,5. Ve t etí sekund bude mít rychlost velikost v (3) = 1 2 32 + 3 + 0,5 = 8 m s 1. b) Podobn odvodíme závislost sou adnice na ase. Platí v = dx, odtud dt dx = v dt a integrací dostaneme ˆ ˆ ( ) 1 x = v dt = 2 t2 + t + 0,5 dt = 1 6 t3 + 1 2 t2 + 0,5t + x 0. Integra ní konstanta má dle zadání hodnotu x 0 = 1,5 m, tudíº pohybová funkce je x = 1 6 t3 + 1 2 t2 + 0,5t + 1,5. Ve t etí sekund bude sou adnice ( 1 x (3) = 6 33 + 1 ) 2 32 + 0,5 3 + 1,5 m = 12,0 m. c) Dráhu s na asovém intervalu t = 3 s ur íme jako rozdíl sou adnic na konci a na po átku pohybu s = x (3) x (0) = (12,0 1,5) m = 10,5 m.

KAPITOLA 2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 13 2/9 Hmotný bod se pohybuje ve sm ru osy x se zrychlením, jehoº závislost na ase je dána vztahem a(t) = kt, kde k = 3 m s 3. V ase t = 0 s je rychlost hmotného bodu v 0 = 2 m s 1, sou adnice x 0 = 0 m. Ur ete: a) rychlost v 1 v ase t 1 = 6 s, b) sou adnici x 1 v ase t 1 = 6 s, c) uraºenou dráhu s za prvních ²est sekund pohybu. a) v 1 = 56 m s 1 b) x 1 = 120 m c) s = 120 m 2/10 Hmotný bod koná p ímo arý pohyb tak, ºe jeho zrychlení s asem rovnom rn roste a za prvních deset sekund pohybu naroste z nulové hodnoty na hodnotu a = 5 m s 2. Za p edpokladu, ºe v ase t = 0 s byla rychlost hmotného bodu nulová, ur ete: a) rychlost v 1 pohybu hmotného bodu v ase t 1 = 10 s, b) dráhu s 1 uraºenou za prvních deset sekund pohybu, c) znázorn te gracky závislosti zrychlení, rychlosti a sou adnice jako funkce asu. a) v 1 = 25 m s 1 b) s 1 = 83,3 m 2/11 ƒástice vletí v ase t = 0 s do silového pole po áte ní rychlostí v 0 = 10 m s 1 a koná v n m p ímo arý pohyb ve sm ru osy x. Okamºité zrychlení ástice v silovém poli rovnom rn roste s asem tak, ºe za prvních 10 s pohybu vzroste okamºité zrychlení z nulové hodnoty na hodnotu a (10) = 5 m s 2. a) Nakreslete závislost okamºitého zrychlení a (t) na ase t. b) Napi²te vztah pro závislost okamºité rychlosti ástice v (t) na ase t a ur ete hodnotu okamºité rychlosti v (10) v ase t = 10 s. c) Napi²te vztah pro závislost sou adnice x (t) ástice na ase t, je-li v ase t = 0 s sou adnice x (0) = 0 m. b) v (t) = (0,25t 2 + 10) m s 1, v (10) = 35 m s 1 c) x (t) = (0,08 3t 3 + 10t) m

KAPITOLA 2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 14 2/12 Hmotný bod se pohybuje p ímo a e ve sm ru osy x se zrychlením, které se m ní s asem t podle vztahu a(t) = (3t + 5) m s 2. Po áte ní rychlost hmotného bodu je v 0 = 1 m s 1 a po áte ní hodnota sou adnice je x 0 = 2 m. Ur ete: a) rychlost v (2) v ase t = 2 s, b) sou adnici x (2) v ase t = 2 s, c) dráhu s, kterou urazí hmotný bod za první dv sekundy. a) v(2) = 17 m s 1 b) x(2) = 18 m c) s = 16 m 2.2 P ímo arý rovnom rn zrychlený pohyb 2/13 Traktor jede po p ímé silnici ve sm ru osy x rychlostí v 0 = 36 km h 1. idi za ne brzdit s konstantním zrychlením (zpomalením) a = 2 m s 2. Ur ete : a) velikost rychlosti v 1 v ase t = 2 s od okamºiku, kdy idi za al brzdit, b) dráhu s 1, kterou urazí traktor za as t = 2 s od okamºiku, kdy idi za al brzdit, c) dráhu s z, kterou urazí traktor do zastavení. e²ení: a) Traktor koná p ímo arý rovnom rn zpomalený pohyb. Má-li rychlost sm r kladné poloosy x, je x-ová sloºka zrychlení záporná(a x = a) a platí ˆ v x = a x dt = a x t + v 0 = at + v 0, kde integra ní konstanta v 0 = 10 m s 1 je hodnota rychlosti na po átku brzd ní (v ase t = 0 s). Ve druhé sekund bude v 1 = ( 2 2 + 10) m s 1 = 6 m s 1. b) Integrací vztahu pro okamºitou rychlost získáme pohybovou funkci ˆ x = ( at + v 0 ) dt = 1 2 at2 + v 0 t + x 0.

KAPITOLA 2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 15 Je-li v ase t = 0 s sou adnice x 0 = 0 m, bude ve druhé sekund uraºená dráha traktoru shodná s jeho sou adnicí ( s 1 = x (2) = 1 ) 2 2 22 + 10 2 m = 16 m. c) V okamºiku zastavení t z bude rychlost traktoru nulová v (t z ) = 0, tedy 0 = at z +v 0. ƒas zastavení je tudíº t z = v 0 a a sou adnice v okamºiku zastavení je x (t z ) = 1 ( 2 a v0 ) 2 v 0 + v0 a a = v2 0 2a = 102 m = 25 m, 2 2 brzdná dráha traktoru bude s z = x (t z ) x 0 = 25 0 = 25 m. 2/14 Auto se pohybuje p ímo a e rovnom rn zrychlen a má v ur itém bod své trajektorie okamºitou rychlost v 1 = 40 km h 1. Po ujetí dal²í dráhy s = 100 m je jeho okamºitá rychlost v 2 = 60 km h 1. a) Nalezn te závislost okamºité rychlosti auta na ase a nakreslete graf funkce v = f (t). b) Ur ete velikost zrychlení a auta. c) Ur ete dobu t 2, za kterou auto zvý²ilo okamºitou rychlost z hodnoty v 1 na v 2. a) v = at + v 1 b) a = 0,77 m s 2 c) t 2 = 7,2 s 2/15 Závislost okamºité rychlosti v (t) na ase t u p ímo arého pohybu ve sm ru osy x je zakreslena na obrázku. v ms 1 8 a) Ur ete zrychlení a rovnom rn zrychleného pohybu, který t leso koná do druhé sekundy sledovaného asu. 2 10 b) Vypo t te dráhu s, kterou t leso urazí za prvých deset sekund pohybu. c) Popi²te typy pohyb a nakreslete grafy závislostí zrychlení, rychlosti a sou adnice na ase. a) a = 4 m s 2 b) s = s 1 + s 2 = 72 m c) 0 s t 2 s: rovnom rn zrychlený p ímo arý pohyb 2 s t 10 s: rovnom rný p ímo arý pohyb t s

KAPITOLA 2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 16 2/16 Kuli ka, jejíº rychlost byla v ase t = 0 s nulová, se pohybuje p ímo a e se zrychlením o velikosti a = 1,5 m s 2. Ur ete: a) as t 1, za který získala kuli ka rychlost v 1 = 10 m s 1, b) dráhu s 1, kterou urazila za as t 1, c) rychlost v 2, kterou dosáhne po následující uraºené dráze s 2 = 100 m. a) t 1 = 6,67 s b) s 1 = 33,3 m c) v 2 = 20 m s 1 2/17 Vlak má rychlost v 0 = 72 km h 1. P i brzd ní m ºe z uvedené rychlosti zastavit za dv minuty. Pohyb vlaku je moºno povaºovat za p ímo arý rovnom rn zpomalený. Ur ete: a) velikost zrychlení a V (zpomalení) vlaku p i brzd ní, b) vzdálenost s 1 p ed stanicí, ve které musí vlak za ít brzdit, aby zastavil práv ve stanici. c) Znázorn te gracky pr b h rychlosti vlaku v závislosti na ase. a) a V = 0,167 m s 2 b) s 1 = 1200 m 2/18 Dít sjíºdí p ímo a e ze svahu na sá kách a jeho rychlost se rovnom rn zvy²uje. Pohyb sán k sledujeme od okamºiku t 1 = 0 s, kdy mají rychlost v 1 = 7,2 km h 1. Urazí-li sá ky dal²í dráhu s 1 = 45 m, mají rychlost v 2 = 25,2 km h 1. Ur ete: a) velikost zrychlení a 1 sán k, b) as t 3, za který dosáhnou sá ky rychlosti v 3 = 50,4 km h 1, c) velikost zrychlení (zpomalení) a 2, se kterým se musí za ít sá ky v ase t 3 rovnom rn zpomalovat, aby zastavily po dráze s z = 50 m, a as do zastavení t z. a) a 1 = 0,5 m s 2 b) t 3 = 24 s c) a 2 = 1,96 m s 2, t z = 7,14 s 2/19 Lyºa s nulovou po áte ní rychlostí sjíºdí p ímo a e ze svahu tak, ºe v ase t 1 = 10 s od po átku pohybu je jeho rychlost v 1 = 36 km h 1. Za p edpokladu, ºe se jedná o rovnom rn zrychlený pohyb, ur ete: a) velikost zrychlení a 1 lyºa e, b) rychlost v 2 v ase t 2 = 0,5 min od po átku jízdy, c) velikost zrychlení (zpomalení) a 2, se kterým musí lyºa za ít v ase t 2 brzdit, aby zastavil po dráze s 2 = 150 m, a as do zastavení t z. a) a 1 = 1 m s 2 b) v 2 = 30 m s 1 c) a 2 = 3 m s 2, t z = 10 s

KAPITOLA 2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 17 2/20 Elektron se pohybuje v elektrostatickém poli p ímo a e a rovnom rn zpomalen se zrychlením (zpomalením) o velikosti a = 1,76 10 13 m s 2. Má-li v ase t = 0 po áte ní rychlost v 0 = 1000 km s 1, ur ete: a) závislost rychlosti v e elektronu na ase t a nakreslete její pr b h, b) as t z, ve kterém se elektron zastaví, c) dráhu s z, kterou urazí elektron do zastavení. a) v e = ( 1,76 10 13 t + 10 6 ) m s 1 b) t z = 5,68 10 8 s c) s z = 0,0284 m

3 Dynamika hmotného bodu a soustavy hmotných bod 3.1 Pohyb v homogenním tíhovém poli 3/1 T leso je vrºeno svisle vzh ru po áte ní rychlostí v 0 = 20 m s 1. Za jednu sekundu po vyhození t lesa je vrºeno stejným sm rem druhé t leso stejnou po áte ní rychlostí. Za p edpokladu, ºe jedinou p sobící silou je síla tíhová, ur ete: a) as t s, ve kterém se setkají ob t lesa, m ený od okamºiku vyhození prvého t lesa, b) vý²ku h s, ve které se ob t lesa setkají, c) maximální vý²ku h max, které t lesa p i pohybu dosáhnou. e²ení: a) Jedná se o vrh svislý v homogenním tíhovém poli. Tento pohyb je p ímo arý a rovnom rn zpomalený. Poloha t lesa m ºe být ur ena y- ovou sou adnicí, která je v míst vrºení t lesa a na po átku pohybu v ase t = 0 s nulová, tj. y (0) = 0. Rychlost prvního t lesa klesá s asem podle vztahu v 1 = v 0 gt. Poloha prvního t lesa daná jeho y-ovou sou adnicí se m ní s asem y 1 = v 0 t 1 2 gt2. Obdobn pro druhé t leso, které je ve vzduchu do okamºiku setkání obou t les o jednu sekundu mén (t 1), platí v 2 = v 0 g (t 1) y 2 = v 0 (t 1) 1 2 g (t 1)2. V okamºiku setkání t s jsou ob sou adnice stejné y 1 = y 2. Úpravou dostaneme as setkání t les po ítaný od vyhození prvního t lesa t s = v 0 + 1 2 g g = 2,54 s. 18

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 19 b) Vý²ka setkání je dána y-ovou sou adnicí v ase setkání, nap. h s = y 1 (t s ) = v 0 t s 1 2 gt2 s = (20 2,54 12 ) 9,81 2,542 m = 19,2 m. c) Maximální vý²ka, které dosáhne t leso vrºené svisle vzh ru po áte ní rychlostí v 0, se ur í ze vztahu pro y-ovou sou adnici v ase t m, kdy je rychlost t lesa rovna nule (kulmina ní bod). Pro vrºené t leso platí v = v 0 gt m = 0. Odtud doba dosaºení vrcholu je t m = v 0 g. Maximální vý²ka je potom h max = v 0 t m 1 2 gt2 m = v2 o 2g = 202 m = 20,4 m. 2 9,81 3/2 Z balónu, který se nachází ve vý²ce h = 300 m, byla v ase t = 0 s uvoln na zát º (po áte ní rychlost pohybu zát ºe je dána rychlostí balónu). Za jakou dobu t d dopadne zát º na zem, jestliºe zanedbáme odpor vzduchu pro p ípad ºe: a) balón je v uvedené vý²ce v klidu, b) balón se pohybuje rychlostí v 0 = 5 m s 1 svisle vzh ru, c) balón se pohybuje rychlostí v 0 = 5 m s 1 svisle dol? a) t d1 = 7,8 s b) t d2 = 8,3 s c) t d3 = 7,3 s 3/3 T leso padá volným pádem z vý²ky h = 10 m (t = 0 s, v 0 = 0 m s 1 ). Odpor vzduchu zanedbejte. Ur ete: a) velikost rychlosti v 1 t lesa v ase t 1 = 0,5 s, b) vý²ku t lesa nad zemí (sou adnici y 1 ) v ase t 1 = 0,5 s, c) maximální rychlost v max p i dopadu t lesa na zem. a) v 1 = 4,9 m s 1 b) y 1 = 8,8 m c) v max = 14,0 m s 1

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 20 3/4 Mí spadl volným pádem z vý²ky h = 5 m na zem. Odpor vzduchu zanedbejte a ur ete: a) dobu t d, za kterou dopadl mí na zem, b) rychlost v 1, se kterou dopadl mí na zem, c) rychlost v 2, se kterou se musí mí odrazit od zem, aby dosáhl vý²ky h 2 = 2 m. a) t d = 1 s b) v 1 = 9,8 m s 1 c) v 2 = 6,3 m s 1 3/5 T leso vrºené svisle vzh ru se vrátilo na zem v ase t = 4 s od po átku pohybu. Bez uváºení odporu vzduchu ur ete: a) po áte ní rychlost v 0, se kterou bylo t leso vrºeno, b) maximální vý²ku h max nad zemí, do které t leso vystoupilo, c) rychlost v 1 t lesa v ase t = 1 s od po átku pohybu. a) v 0 = 19,6 m s 1 b) h max = 19,6 m c) v 1 = 9,8 m s 1 3/6 T leso bylo vrºeno svisle dol z vý²ky h = 10 m po áte ní rychlostí v 0 = 5 m s 1. Bez uváºení odporu vzduchu ur ete: a) velikost rychlosti v 1 v ase t 1 = 0,5 s, b) vý²ku y 1 t lesa nad zemí v ase t 1 = 0,5 s, c) rychlost v max, kterou bude mít t leso v okamºiku dopadu na zem. a) v 1 = 9,9 m s 1 b) y 1 = 6,3 m c) v max = 14,9 m s 1

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 21 3/7 Chlapec na vodorovném h i²ti vykopl mí po áte ní rychlostí v 0 = 10 m s 1 pod úhlem α = 45 k rovin h i²t. Odpor vzduchu zanedbejte. Ur ete: a) rychlost v m mí e ve vrcholu jeho trajektorie, b) maximální vý²ku h m mí e nad povrchem h i²t, c) vzdálenost d místa dopadu mí e od místa výkopu. e²ení: y v 0 t m v m v 0y h m (0,0) v 0x d t d x Vezmeme-li v úvahu pouze vliv tíhové síly F G = mg j, bude trajektorií mí e parabola leºící v rovin x,y. Na obrázku vidíme po- áte ní stav pohybových veli in (integra ní konstanty): v 0x = v 0 cos α, v 0y = v 0 sin α, x 0 = 0 a y 0 = 0. Z druhého pohybového zákona F = m a odvodíme pohybové funkce mí e pro jednotlivé sloºky. Ve sm ru osy x a osy z nep sobí na mí ºádná síla proto má pohybová rovnice tvar Ve sm ru osy y p sobí síla F Gx = 0 a F Gz = 0, ma x = 0 a ma z = 0. F Gy = mg, takže ma y = mg. První integrací sloºky zrychlení podle asu t získáme funkci p íslu²né sloºky rychlosti, druhou integrací získáme p íslu²né sou adnice: ma x = 0 ma y = mg ma z = 0 a x = 0 a y = g a z = 0 v x = v 0 cos α v y = gt + v 0 sin α v z = 0 x = v 0 t cos α y = 1 2 gt2 + v 0 t sin α z = 0

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 22 a) Okamºitá rychlost je v daném p ípad dvousloºkový vektor v (t) = v x (t) i + v y (t) j, který v ase t m (dosaºení vrcholu) má y-ovou sloºku rychlosti rovnu nule (vektor okamºité rychlosti je rovnob ºný s osou x), a tudíº v m = v (t m ) = v x (t m ) = v 0 cos α = 10 cos 45 m s 1 = 7,07 m s 1. b) Maximální vý²ka h m, kterou mí dosáhne, odpovídá maximální hodnot y-ové sou adnice v ase t m. Tento as nalezneme z podmínky pro extrém kvadratické funkce y (t) Tedy vyjád íme y = 1 2 gt2 + v 0 t sin α, kdy dy dt = 0. dy dt = gt m + v 0 sin α = 0, t m = v 0 sin α. g Nyní dosadíme as dosaºení maxima t m do pohybové funkce pro y-ovou sou adnici h m = y (t m ) = 1 2 g ( v0 sin α g ) 2 ( ) v0 sin α + v 0 sin α = (v 0 sin α) 2 g 2g = = (10 sin 45 )2 2 9,81 m = 2,6 m. c) Vzdálenost d místa dopadu mí e od místa výkopu je d = x (t d ) x 0, kde t d je okamºik dopadu mí e zp t na zem za p edpokladu x 0 = 0 v ase t = 0. ƒas dopadu získáme e²ením pohybové funkce y-ové sou adnice po úvaze, ºe v okamºiku dopadu mí e je jeho vý²ková sou adnice rovna nule e²ením kvadratické rovnice y (t d ) = 1 2 gt2 d + v 0 t d sin α = 0. 4,905t 2 d + 10t d sin 45 = 0 získáme dva ko eny: t d1 = 0 s odpovídá skute nosti, ºe také na za átku pohybu je vý²ková sou adnice nulová a t d2 = 1,4 s je dobou letu mí e. Jejím dosazením do pohybové funkce x-ové sou adnice ur íme vzdálenost místa dopadu od místa výkopu d = x (t d2 ) = v 0 t d2 cos α = 10 1,4 cos 45 m = 9,9 m.

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 23 3/8 Golsta na vodorovném h i²ti odpálil mí ek po áte ní rychlostí v 0 = 43 m s 1 pod eleva ním úhlem α = 30. Zanedbáme-li odpor vzduchu, ur ete: a) maximální vý²ku h mí ku nad úrovní h i²t, b) vzdálenost d bodu dopadu mí ku od místa odpalu, c) velikost rychlosti v d, se kterou dopadne mí ek zp t na h i²t. a ) h = 23,6 m b) d = 163 m c) v d = v 0 = 43 m s 1 3/9 Dít sjíºdí po ²ikmé skluzavce a padá do vody. Okraj skluzavky, který je ve vý²ce h = 1,5 m nad hladinou vody, opou²tí dít rychlostí v 0 = 5 m s 1 v ase t = 0. Sklon skluzavky vzhledem k hladin je α = 30. Odpor vzduchu zanedbejte. a) Nakreslete obrázek se zvolenými osami sou adnicového systému a ur ete sloºky rychlosti dít te v obecném ase t. b) Ur ete as t d, ve kterém dít dopadne do vody. c) Ur ete vodorovnou vzdálenost d místa dopadu dít te do vody od okraje skluzavky. b) t d = 0,35 s c) d = 1,5 m 3/10 Z rozhledny o vý²ce h = 180 m byl v ase t = 0 vodorovn vrºen kámen rychlostí v 0 = 30 m s 1. Odpor vzduchu zanedbejte. Ur ete: a) as t d dopadu na zem, b) vzdálenost s místa dopadu od paty rozhledny, c) velikost rychlosti v d, se kterou dopadne kámen na zem. a) t d = 6,1 s b) s = 182 m c) v d = 67 m s 1 3/11 Mí ek byl v ase t = 0 vyhozen ve vý²ce h = 2 m nad zemí ²ikmo vzh ru pod eleva ním úhlem α = 45 a dopadl na zem ve vodorovné vzdálenosti s = 42 m od místa, ze kterého byl vyhozen. Odpor vzduchu zanedbejte. Ur ete: a) rychlost v 0, kterou byl mí ek vyhozen, b) as t d dopadu na zem, c) nejvy²²í dosaºenou vý²ku h max mí ku nad zemí. a) v 0 = 20 m s 1 b) t d = 3 s c) h max = 12 m

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 24 3.2 Pohyb s uváºením t ení 3/12 Na naklon né rovin, která svírá s vodorovnou rovinou úhel α = 30, sjíºdí t leso se zrychlením a = 1,5 m s 2. a) Nakreslete obrázek a do n j v²echny síly p sobící na t leso. b) Ur ete dynamický sou initel t ení f mezi t lesem a naklon nou rovinou. c) Ur ete, p i jakém úhlu α 1 naklon né roviny s vodorovnou rovinou by se t leso p i daném dynamickém sou initeli t ení pohybovalo rovnom rn. e²ení: a) Na t leso p sobí tíhová síla F G, normálová síla (kolmá reakce podloºky) F N a síla vle ného t ení mezi t lesem a naklon nou rovinou F t. Tíhovou sílu rozloºíme na sloºku rovnob ºnou s naklon nou rovinou F 1 = mg sin α a na sloºku kolmou k naklon né rovin F 2 = mg cos α. F N F 1 F t F G F 2 b) Pohyb t lesa ovliv ují síly p sobící ve sm ru naklon né roviny, tj. F 1 a F t. Síla t ení p sobí proti pohybu, proto má pohybová rovnice tvar F 1 F t = ma, odtud F t = mg sin α ma. Ve sm ru kolmém k naklon né rovin se t leso nepohybuje, síly F 2 a F N jsou v rovnováze F 2 = F N = mg cos α. Síla dynamického t ení závisí na normálové síle a dynamickém koecientu t ení F t = f F N = f mg cos α.

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 25 Porovnáním vztah pro sílu dynamického t ení dostaneme mg sin α ma = f mg cos α. Z ehoº je dynamický sou initel t ení f = tg α a g cos α = tg 30 1,5 9,81 cos 30 = 0,4. c) Má-li se t leso p i uvedeném sou initeli t ení pohybovat rovnom rn (v = konst.), musí být zrychlení a = 0. Pro sklon naklon né roviny platí tg α 1 = f, α 1 = arctg f = arctg 0,4 = 21,8. 3/13 ƒlov k tla í po vodorovné podlaze bednu o hmotnosti m = 55 kg vodorovnou silou o velikosti F 1 = 220 N. Sou initel dynamického t ení je f = 0,35. a) Nakreslete obrázek a do n j v²echny síly p sobící na bednu, síly pojmenujte. b) Ur ete velikost zrychlení a bedny. c) Ur ete, jakou vodorovnou silou F 1 by musel lov k tla it na bednu, aby se po podlaze s uvedeným sou initelem t ení pohybovala rovnom rn, tj. konstantní rychlostí. a) FG tíhová síla, F t t ecí síla b) a = 0,567 m s 2 F N kolmá reakce podloºky c) F 1 = 189 N (normálová síla) F 1 tlaková síla 3/14 Lyºa o celkové hmotnosti m l = 80 kg je taºen po svahu se sklonem α = 20 konstantní silou o velikosti F T rovnob ºnou s povrchem svahu. Sou initel dynamického t ení je f = 0,10. a) Nakreslete obrázek a do n j v²echny síly p sobící na lyºa e. b) Ur ete velikost taºné síly F T tak, aby se lyºa pohyboval po svahu rovnom rn. c) Ur ete velikost taºné síly F T tak, aby se lyºa pohyboval po svahu s konstantním zrychlením a 2 = 1,0 m s 2. b) F T = 342 N c) F T = 422 N

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 26 3/15 Po ²ikmém prkn o délce l = 2 m máme dopravit bednu o hmotnosti m = 90 kg na nákladní auto do vý²ky h = 1 m. Koecient dynamického t ení je f = 0,20. a) Nakreslete obrázek a vyzna te do n j v²echny síly p sobící na bednu. b) Jakou minimální silou F T musíme bednu tla it? c) Budeme-li tla it silou F T2 = 700 N, jaké bude zrychlení a 2 t lesa? b) F T = 0,59 kn c) a 2 = 1,2 m s 2 3/16 D ev ný ²palí ek sjede z naklon né roviny délky l = 2 m s úhlem sklonu α = 45 za dobu t = 1,2 s. a) Nakreslete obrázek a vyzna te do n j v²echny síly, které p sobí na ²palí ek. b) Ur ete zrychlení a pohybu ²palí ku. c) Ur ete sou initel smykového t ení f. b) a = 2,8 m s 2 c) f = 0,6 3/17 T leso o hmotnosti m = 5 kg je taºeno vzh ru po naklon né rovin konstantní silou o velikosti F 1 = 100 N a pohybuje se konstantní rychlostí. Naklon ná rovina svírá s vodorovnou rovinou úhel α = 30. Taºná síla p sobí ve sm ru naklon né roviny. Ur ete: a) velikost síly dynamického t ení F t, b) dynamický sou initel t ení f mezi t lesem a naklon nou rovinou, c) velikost taºné síly F 1, vlivem které by se t leso pohybovalo vzh ru po naklon né rovin se zrychlením a = 1 m s 2. a) F t = 75,5 N b) f = 1,78 c) F 1 = 105 N 3/18 Sá ky o hmotnosti m = 20 kg jsou taºeny konstantní rychlostí po zasn - ºené vodorovné cest. Dynamický sou initel t ení mezi skluznicí sán k a sn hem f = 0,1. Úhel mezi taºnou silou F T a vodorovnou rovinou α = 30. Ur ete: a) velikost taºné síly F T, b) velikost normálové síly (kolmé reakce podloºky) F N, c) velikost síly dynamického t ení F t. a) F T = 21,4 N b) F N = 185,5 N c) F t = 18,6 N

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 27 3.3 Pohyb vlivem taºných sil záv su 3/19 Zdviº hmotnosti m = 2 t se pohybuje nahoru s konstantním zrychlením a = 2 m s 2. a) Nakreslete obrázek a do n j v²echny síly p sobící na zdviº. b) Ur ete tah F T1 p sobící v taºném lanu, pohybuje-li se zdviº nahoru. c) Ur ete tah F T2 p sobící v taºném lanu, pohybuje-li se zdviº se stejným zrychlením dol. e²ení: a) Na zdviº p sobí tíhová síla F G a síla taºného lana F T. Vektory obou sil mají nenulovou pouze y-ovou sloºku. Zvolíme sm r y-ové sou adnice kladný ve sm ru pohybu zdviºe. b) Z 2. Newtonova pohybového zákona bude sloºková pohybová rovnice zdviºe ma = F T1 F G, F T F G a kde F G = mg je tíhová síla p sobící na zdviº. Vyjád íme F T1 = ma + mg = m (a + g) = 2000 (2 + 9,81) N = 23,62 kn. c) Pojede-li zdviº se stejným zrychlením na opa nou stranu, tedy dol, zm ní se v p vodní sloºkové pohybové rovnici pouze znaménko zrychlení m ( a) = F T2 F G. Vyjád íme sílu p sobící v taºném lanu F T2 = m (g a) = 2000 (9,81 2) N = 15,62 kn. 3/20 Do t ºní jámy je spou²t n výtah hmotnosti m = 280 kg zav ²ený na taºném lan. Za prvních deset sekund rovnom rn zrychleného pohybu urazí dráhu s = 35 m. Ur ete: a) velikost zrychlení a výtahu, b) velikost síly F 1, která namáhá taºné lano p i spou²t ní výtahu, c) velikost síly F 2, která by namáhala taºné lano p i rovnom rn zrychleném pohybu výtahu sm rem vzh ru se zrychlením o stejné velikosti a. a) a = 0,70 m s 2 b) F 1 = 2,55 kn c) F 2 = 2,94 kn

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 28 3/21 Celková hmotnost výtahu i s nákladem je m = 1600 kg. Výtah zav ²ený na nosném lan klesá po áte ní rychlostí v 0 = 12 m s 1, pohybuje se rovnom rn zpomalen a zastaví po uraºení dráhy s = 42 m. a) Nakreslete obrázek a vyzna te do n j v²echny síly, které p sobí na výtah. b) Ur ete velikost zrychlení (zpomalení) a pohybu výtahu. c) Ur ete taºnou sílu F nosného lana. b) a = 1,7 m s 2 c) F = 18,4 kn 3/22 Kvádr o hmotnosti m = 15 kg je upevn ný na vlákn a leºí na dokonale hladké naklon né rovin s úhlem sklonu α = 30. Ur ete: m a) velikost síly F l napínající vlákno, b) síluf N, kterou p sobí naklon ná rovina na kvádr, c) zrychlení a, se kterým se bude kvádr pohybovat, pokud vlákno p etneme. a) F l = 73,6 N b) F N = 127 N c) a = 4,9 m s 2

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 29 3.4 Pohyb po kruºnici 3/23 Kuli ka hmotnosti m = 0,1 kg je upevn na na niti délky l = 0,5 m a pohybuje se rovnom rn po kruºnici ve vodorovné rovin. Nit p itom opisuje plá² kuºele a svírá se svislým sm rem úhel α = 30. l F T a) Nakreslete obrázek a vyzna te síly p - sobící na kuli ku. b) Ur ete velikost dost edivé síly F d, která p sobí na kuli ku. c) Ur ete dobu ob hu T (periodu) kuli ky. F d FG e²ení: a) Na kuli ku p sobí tíhová síla F G a tah záv su F T. Výslednice t chto sil sm uje do st edu kruºnice (dost edivá síla), po které se pohybuje kuli ka, a má velikost F d. b) Velikost dost edivé síly ur íme z pravoúhlého trojúhelníku, kde F G a F d jsou odv sny F d = mg tg α = 0,1 9,81 tg 30 = 0,57 N. c) Dobu ob hu T stanovíme z pohybové rovnice pro rovnom rný pohyb po kruºnici F d = m v2 r = m r ( 2πr T ) 2 = m 4π2 T 2 r, kde r = l sin α je polom r kruºnice, po které se kuli ka pohybuje ml sin α 0,1 0,5 sin 30 T = 2π = 2π = 1,32 s. 0,57 F d 3/24 T leso o hmotnosti m = 20 g opisuje kruºnici o polom ru r = 0,5 m úhlovou rychlostí ω = 30 rad s 1. Ur ete: a) velikost dost edivé síly F d, která p sobí na t leso, b) velikost rychlosti v, se kterou se t leso pohybuje, c) frekvenci f pohybu t lesa. a) F d = 9 N b) v = 15 m s 1 c) f = 4,8 Hz

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 30 3/25 Kuli ka o hmotnosti m = 50 g je zav ²ena na niti délky l = 1,2 m a obíhá rovnom rn po kruºnici o polom ru r = 25 cm ve vodorovné rovin. Ur ete: a) zrychlení a kuli ky, b) rychlost v kuli ky, c) velikost tahové síly F na nit. a) a = 2,1 m s 2 b) v = 0,72 m s 1 c) F = 0,5 N 3/26 Elektron se pohybuje v magnetickém poli po kruhové trajektorii o polom ru r = 5 cm rovnom rn rychlostí v = 8,8 10 7 m s 1. Hmotnost elektronu je m = 9,1 10 31 kg. a) Nakreslete obrázek a znázorn te sm r síly, kterou p sobí magnetické pole na elektron. b) Ur ete zrychlení a pohybu elektronu. c) Ur ete sílu F, kterou p sobí magnetické pole na elektron. b) a = 1,6 10 17 m s 2 c) F = 1,4 10 13 N 3/27 Seda ka koloto e o hmotnosti m = 15 kg se pohybuje d rovnom rn po kruºnici ve vodorovné rovin tak, ºe záv s seda ky svírá se svislým sm rem úhel α = 30. Vzdálenost upevn ní záv su od osy koloto e je d = 2 m a délka záv su je l = 4 m. l a) V obrázku vyzna te síly p sobící na seda ku koloto e. b) Ur ete velikost dost edivé síly F d, která p sobí na seda ku koloto e. c) Vypo t te velikost rychlosti v, se kterou se pohybuje seda ka koloto e. b) F d = 85 N c) v = 4,8 m s 1 3/28 Zem koule rotuje s periodou T = 24 h, polom r Zem je R Z = 6378 km. Pro bod na rovníku ur ete: a) úhlovou rychlost ω, b) obvodovou rychlost v, c) dost edivé zrychlení a. a) ω = 7,27 10 5 rad s 1 b) v = 463,8 m s 1 c) a = 0,034 m s 2

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 31 3.5 Práce, výkon, mechanická energie 3/29 Auto hmotnosti m = 2 t jedoucí konstantní rychlostí v 1 = 72 km h 1 se p i se²lápnutí brzd v ase t 1 = 0 zastavilo v ase t 2 = 8 s. Ur ete: a) velikost F b pr m rné brzdicí síly, b) práci W b, kterou vykoná pr m rná brzdicí síla F b b hem brzd ní, c) okamºitý výkon P 1 brzd v ase t 1 = 0 s a pr m rný výkon brzd P b za dobu brzd ní t = 8 s. e²ení: a) Brzdící auto koná rovnom rn zpomalený pohyb popsaný funkcemi pro okamºitou rychlost v 2 = at 2 + v 1 a pro sou adnici x 2 = 1 2 at2 2 + v 1 t 2, sou adnici x na ítáme od za átku brzd ní t 1 = 0, rychlost v ase t 2 je v 2 = 0 m s 1. e²ením soustavy rovnic dostaneme brzdnou dráhu s 2 = 1 2 v 1t 2 = 20 8 2 m = 80 m. Z teorému práce- kinetické energie musí být zm na kinetické energie auta rovna práci brzdné síly E k = W b 1 2 mv2 1 = F b s 2, z rovnice vyjád íme pr m rnou velikost brzdicí síly F b = mv2 1 2s 2 = 2000 202 N = 5000 N. 2 80 b) Práce W b brzdné sily je dána integrací skalárního sou inu vektoru síly a elementárního vektoru posunutí. Zde tedy bude (úhel mezi vektory α = 180 0 ) ˆ W = F b d r = F b s 2 cos α = 5000 80 cos 180 J = 0,4 MJ. c) Okamºitý výkon je obecn dán vztahem P (t) = dw dt = F v (t), za p edpokladu konstantní síly F b je pak v ase t 1 p i rychlosti v 1 roven P 1 = F b v 1 cos α = 5000 20 cos 180 0 W = 100 kw.

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 32 Pr m rný výkon je dán vztahem P = W t = 0,4 8 MW = 50 kw. 3/30 Po vodorovné trati se rozjíºdí vlak se zrychlením a = 0,5 m s 2. Taºná síla lokomotivy F l = 40 kn, odporové síly neuvaºujte. Ur ete: a) dráhu s 1, kterou urazí vlak za dobu t 1 = 1 min, b) práci W 1, kterou vykoná lokomotiva za dobu t 1 = 1 min, c) okamºitý výkon P 1 lokomotivy v ase t 1 = 1 min. a) s 1 = 900 m b) W 1 = 36 MJ c) P 1 = 1,2 MW 3/31 Výtah o hmotnosti m = 5 t se rozjíºdí sm rem vzh ru vlivem konstantní taºné síly F lana a za dobu t = 5 s dosáhne rychlosti v = 10 m s 1. Ur ete: a) zrychlení a výtahu, b) velikost taºné síly F lana, c) okamºitý výkon P motoru výtahu v ase t = 5 s a pr m rný výkon P za prvních p t sekund pohybu. a) a = 2 m s 2 b) F = 59050 N c) P = 590,50 kw, P = 295,25 kw 3/32 Motor výtahu pracuje s ú inností η = 80% a zvedá konstantní rychlostí náklad o hmotnosti m = 750 kg do vý²ky h = 24 m za dobu t = 0,5 min. Ur ete: a) rychlost v pohybu výtahu, b) velikost taºné síly F motoru výtahu, c) p íkon P P motoru výtahu. a) v = 0,8 m s 1 b) F = 7358 N c) P P = 7,358 kw 3/33 T leso o hmotnosti m = 100 kg se pohybuje po p ímce ve vodorovném sm ru a je brzd no, velikost zpomalení je a = 2 m s 2. Po áte ní rychlost t lesa je v 0 = 50 m s 1. Ur ete: a) velikost F brzdné síly, b) práci W brzdné síly do zastavení t lesa, c) vzdálenost s, kterou urazí t leso do zastavení. a) F = 200 N b) W = 125 kj c) s = 625 m

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 33 3/34 T leso o hmotnosti m = 2 kg, které bylo zpo átku v klidu, se za ne pohybovat rovnom rn zrychlen a b hem doby t = 3 s dosáhne rychlosti v = 10 m s 1. Ur ete: a) práci W vykonanou urychlující silou b hem uvedené doby t í sekund, b) okamºitý výkon P této síly na konci uvedeného asového intervalu, c) okamºitý výkon P 1 v ase t 1 = 1,5 s. a) W = 100 J b) P = 66,7 W c) P 1 = 33,3 W 3/35 St ela o hmotnosti m = 10 g a rychlosti v = 600 m s 1 zasáhla d ev nou p ekáºku dostate né tlou² ky. Pr m rná síla odporu d eva F = 5000 N. Ur ete: a) do jaké hloubky l st ela pronikne, b) vykonanou práci W síly odporu d eva, c) dobu pr niku t z st ely d evem do zastavení. a) l = 0,36 m b) W = 1800 J c) t z = 1,2 ms 3/36 St ela hmotnosti m = 10 g letící rychlostí v 0 = 400 m s 1 narazí do ter e a vnikne do n j do hloubky h = 0,30 m. Kdyby byla tẠst ela vypálena na stejný ter tentokrát tlou² ky pouze h 1 = 0,15 m, ur ete: a) rychlost v st ely, se kterou vyletí z ter e, b) sílu F odporu materiálu ter e, c) práci W vykonanou silou odporu materiálu ter e. a) v = 283 m s 1 b) F = 2667 N c) W = 400 J 3/37 T leso hmotnosti m = 0,8 kg bylo vrºeno z povrchu zem svisle vzh ru. Potenciální energie t lesa na povrchu Zem E p = 0 J. Ve vý²ce h = 10 m má kinetickou energii E k = 196 J. Ur ete: a) mechanickou energii E t lesa, b) rychlost v 0, kterou bylo t leso vrºeno, c) maximální vý²ku h max, do které t leso vystoupí. a) E = 275 J b) v 0 = 26,2 m s 1 c) h max = 35 m

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 34 3/38 Na hmotný bod p sobí prom nná síla F = ( ) 3x i + 4 j N, kde x je v metrech. Po áte ní poloha t lesa má sou adnice A (2,3) a koncová poloha B(3,0), sou adnice jsou v metrech. a) Jakou práci W vykoná síla F p esunem hmotného bodu z bodu A do B? b) Jak se zm ní velikost rychlosti t lesa? a) W = 4,5 J b) rychlost klesne 3/39 Síla závisí na poloze podle vztahu F = 2x i + 3 j + 2z k (N,m). a) Jakou práci W vykoná síla F, kdyº se její p sobi²t posune z bodu A (0,0,0) do bodu B(3,4,0)? Sou adnice jsou uvedeny v metrech. a) W = 21 J 3/40 Tíhová síla F G = mg j (N) p esune t leso o hmotnosti m = 70 kg z bodu A (5,5,0) do bodu B(3,0,2). Sou adnice jsou uvedeny v metrech. a) Ur ete práci W tíhové síly. a) W = 3433,5 J 3/41 T leso hmotnosti m = 0,2 kg je vrºeno ze zemského povrchu pod eleva ním úhlem α = 60 s po áte ní rychlostí v 0 = 15,0 m s 1. Potenciální energie t lesa na zemském povrchu E p = 0 J. Odpor vzduchu zanedbejte a s uváºením platnosti zákona zachování mechanické energie ur ete: a) mechanickou energii E t lesa, b) kinetickou energii E k t lesa ve vrcholu jeho trajektorie, c) maximální vý²ku h max t lesa nad povrchem zem. a) E = 22,5 J b) E k = 5,63 J c) h max = 8,60 m

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 35 3/42 T leso o hmotnosti m = 5 kg se pohybuje vzh ru po naklon né rovin konstantní rychlostí a urazí vzdálenost s = 2 m. Naklon ná rovina svírá s vodorovnou rovinou úhel α = 30. Dynamický koecient t ení f = 0,2. Ur ete: a) velikost taºné síly F, která p sobí ve sm ru naklon né roviny, b) práci W, kterou vykoná taºná síla F b hem pohybu t lesa po dráze s, c) práci W 1, kterou by vykonala taºná síla po dráze s = 2 m, pokud by se t leso na naklon né rovin pohybovalo rovnom rn bez t ení. e²ení: a) Na t leso p sobí tíhová síla F G, normálová síla (kolmá reakce podloºky) F N, síla vle ného t ení mezi t lesem a naklon nou rovinou F t a taºná síla F. F N F F 1 F t F G F 2 Tíhovou sílu rozloºíme na sloºku rovnob ºnou s naklon nou rovinou F 1 = mg sin α a na sloºku kolmou k naklon né rovin F 2 = mg cos α. Pro rovnom rný pohyb (a = 0 m s 2 ) ve sm ru naklon né roviny platí F F 1 F t = 0. Síla dynamického t ení na naklon né rovin je F t = f F N = f mg cos α. Odtud taºná síla F = mg sin α + f mg cos α = 5 9,81 (sin 30 + 0,2 cos 30 ) N = 33 N.

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 36 b) Práce taºné síly W = F s = 33 2 J = 66 J. c) Práce taºné síly W 1 p i rovnom rném pohybu bez t ení se ur í podobným postupem. Taºná síla má nyní jinou velikost a její práce tudíº bude F = mg sin α = 5 9,81 sin 30 N = 24,5 N, W 1 = F s = 24,5 2 J = 49 J. 3/43 D lník tla í bednu o hmotnosti m = 25 kg vzh ru po dokonalé hladké naklon né rovin s úhlem sklonu α = 25. P sobí p itom na bednu silou F = 210 N, která je rovnob ºná s naklon nou rovinou. Ur ete práci, kterou p i posunutí bedny o vzdálenost s = 1,5 m vykonají následující síly: a) síla, kterou p sobí d lník, b) tíhová síla a normálová síla. c) Jaká je celková práce W, kterou vykonaly síly p sobící na bednu? a) W děl = 314 J b) W G = 155 J, W N = 0 J c) W = 159 J 3/44 T leso hmotnosti m = 15 kg se za ne pohybovat vzh ru po naklon né rovin a má po áte ní rychlost ve sm ru naklon né roviny v 0 = 10 m s 1. Dynamický sou initel t ení mezi t lesem a naklon nou rovinou je f = 0,20. Sklon naklon né roviny je α = 45. Ur ete: a) vzdálenost l, do které t leso po naklon né rovin vystoupí, neº se zastaví, b) velikost rychlosti v, se kterou se t leso vrátí ze vzdálenosti l do p vodní polohy, c) práci W tíhové síly p i pohybu t lesa ze vzdálenosti l zp t do p - vodní polohy. a) l = 6,0 m b) v = 8,2 m s 1 c) W = 6,2 10 2 J

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 37 3/45 P i pohybu t lesa o hmotnosti m = 2 kg po znázorn né trajektorii se jeho vý²ka nad zemí zvý²í o h = 1,1 m. Po áte ní rychlost t lesa v bod A je v A = 6,0 m s 1. T ení a odpor vzduchu zanedbejte. Ur ete: d B C m h A a) zm nu potenciální energie t lesa E p p i pohybu t lesa z bodu A do bodu B, b) velikost rychlosti v B t lesa v bod B, c) maximální p evý²ení h max, které by mohlo t leso p i pohybu z bodu A do bodu B p ekonat. a) E p = 21,6 J b) v B = 3,8 m s 1 c) h max = 1,83 m 3/46 Sá ky s dít tem mají hmotnost m = 20 kg. Svah má úhel sklonu α = 30 k horizontále. Velikost t ecí síly mezi sá kami a sn hem je F t = 50 N. a) Ur ete práci W pot ebnou k posunutí sán k s dít tem vzh ru do svahu o vzdálenost s = 100 m. b) Po tomto posunutí za ne dít sjíºd t dol. Jakou kinetickou energii E k budou mít sá ky s dít tem p i pr jezdu po áte ní polohou? c) Jakou rychlostí v projede dít po áte ní polohou? a) W = 14,8 kj b) E k = 4,8 kj c) v = 21,9 m s 1 3.6 Hybnost a zákon zachování hybnosti 3/47 Mí o hmotnosti m = 0,2 kg dopadl kolmo na pevnou st nu rychlostí o velikosti v 1 = 15 m s 1 a odrazil se rychlostí o velikosti v 2 = 10 m s 1. Náraz trval po dobu t = 0,05 s. Ur ete: a) velikost zm ny hybnosti mí e p, b) pr m rnou sílu F p sobení st ny na mí, c) velikost impulzu I síly p sobící na mí. a) p = 5 kg m s 1 b) F = 100 N c) I = 5 N s

KAPITOLA 3. DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU A SOUSTAVY HMOTNÝCH BOD 38 3/48 St ela o hmotnosti m 1 = 10 g prolet la rovnom rn zrychlen hlavní pu²ky (hmotnost pu²ky je m 2 = 5 kg) za dobu t = 0,02 s a tím nabyla na konci hlavn rychlosti v 1 = 800 m s 1. Ur ete: a) velikost síly F p sobící na st elu p i letu hlavní pu²ky, b) zp tnou rychlost v 2 pu²ky, c) celkovou hybnost p pu²ky se st elou v okamºiku, kdy st ela vylétne z hlavn. a) F = 400 N b) v 2 = 1,6 m s 1 c) p = 0 N s 3.7 Jednorozm rné dokonale pruºné a nepruºné sráºky 3/49 šelezni ní vagon o hmotnosti m 1 = 20 t se pohybuje po vodorovné trati rychlostí v 1 = 1,0 m s 1 a narazí na jiný vagon o hmotnosti m 2 = 30 t, který jede stejným sm rem rychlostí v 2 = 0,5 m s 1. Po nárazu z stanou vagony spojeny. a) Nakreslete situaci vagon p ed a po nárazu. b) Ur ete rychlost v, kterou se spojené vagony po nárazu pohybují. c) Ov te, zda v tomto p ípad platí zákon zachování kinetické energie. b) v = 0,7 m s 1 c) Neplatí, protoºe se nejedná o dokonale pruºnou sráºku, projeví se zde také energie jiná neº pouze mechanická. 3/50 Proton narazí rychlostí v p1 = 1,0 10 7 m s 1 do nehybného jádra hélia a odrazí se zp t rychlostí v p2 = 6,0 10 6 m s 1. Po sráºce se jádro hélia pohybuje vp ed rychlostí v He2 = 4,0 10 6 m s 1. Hmotnost protonu p edpokládejte stejnou jako hmotnost neutronu m p = m n = 1,7 10 27 kg. a) Nakreslete situaci p ed a po nárazu protonu do jádra hélia. b) Zapi²te zákon zachování hybnosti pro uvedenou soustavu ástic. c) Ur ete hmotnost m He jádra hélia. b) m p v p1 = m p v p2 + m He v He2 c) m He = 6,8 10 27 kg