K základní větě reálné afinní rovinné geometrie V. Havel V. Sedlář

K základní větě reálné afinní rovinné geometrie V Havel V Sedlář Abstrakt: Je podán důkaz věty zmíněné v nadpisu bez prostředků projektivní geometrie Klíčová slova: Vektorový prostor, regulární lineární transformace, afinní rovina, afinní zobrazení 000 MSC (podle http://wwwamsorg/msc/): 5N0 Reálnou afinní rovinu definujeme jako uspořádanou trojici (P, V, ) kde P je neprázdná množina, V je dvojrozměrný vektorový prostor ) a je zobrazení množiny P P do množiny V ), pro něž platí tyto dva požadavky: (i) pro každé A P a každé a V je rovnice AX = a jednoznačně řešitelná v X P, (ii) pro všechna A,B,C P platí AB + BC = AC (rovnoběžníkové pravidlo) V dalším pod afinní rovinou budeme rozumět reálnou afinní rovinu Prvky množiny P prohlásíme za body, množinu všech reálných čísel označíme R Z rovnoběžníkového pravidla hned plyne, že pro každé A,B P je BA vektor opačný k vektoru AB Vztažná soustava afinní roviny je definována jako libovolná uspořádaná trojice (A,b,c) P V V, kde vektory b, c jsou lineárně nezávislé Potom každý bod P P má vzhledem k (A,b,c) souřadnice t, t (v tomto pořadí) určené jednoznačně z rovnosti AP = t b + t c Pro každý bod P a každý nenulový vektor v je definována přímka jako množina bodů X vzniklých tak, že pro každé t R stanovíme vektor PX = t v Bod P je přitom opěrný bod přímky a v její směrový vektor; uspořádaná dvojice (P,v) je umístění na přímce a t je souřadnice bodu X při něm 3) Dvě přímky, určené vždy opěrným bodem a směrovým vektorem, prohlásíme za rovnoběžné (různoběžné), jsou-li jejich směrové vektory lineárně závislé (nezávislé) Rovnoběžnost je ekvivalenční relací na množině L všech přímek a pro její označení užijeme symbol D Dvě rovnoběžné přímky buďto splývají 4) anebo jsou disjunktní Dvě různoběžné přímky mají vždy jednobodový průnik, společný bod se nazývá průsečík; průsečík různoběžných přímek a, b označíme a b Jsou-li A, B různé body, pak oběma prochází právě jedna přímka (tu označíme AB), jedno umístění na této přímce je např (A, AB) ) Označení vektorového prostoru a množiny všech vektorů bude společné, sčítání vektorů označíme běžným symbolem +, násobení zleva vektoru skalárem označíme tečkou, případně prázdným místem ) Je-li A,B P, pak píšeme : (A,B) AB 3) Vzhledem ke vztažné soustavě (O,a,b) 4) splývají: jakožto množiny se rovnají

Afinním zobrazením (stručně afinitou) 5) afinní roviny budeme rozumět opět bijektivní zobrazení množiny P na sebe, při němž množina obrazů všech bodů každé přímky je přímka Již máme vše potřebné k vyslovení základní věty: Je-li afinita reálné afinní roviny (P,V, ), pak pro každé A, B, C, D P platí AB = CD A B = C D (přenos vektorové rovnosti), takže má smysl přidružené zobrazení : V V, přičemž AB se zobrazí do A B pro každé A, B P Toto přidružené zobrazení je regulární lineární transformací vektorového prostoru V V literatuře bývá tato věta dokazována prostředky projektivní geometrie a to užitím von Staudtových projektivit (kupř [], str 38-48) nebo užitím oddělování dvojic bodů harmonických čtveřic (kupř [], str 0-8 spolu s Dodatkem III) Na jediném místě ([5], str 88, resp str 89) se dovídáme, že v jistých rozmnožených textech na Cornell University (USA) je v dodatku uveden důkaz, který se o prostředky projektivní geometrie neopírá Tyto texty však jsme neměli ani nemáme k dispozici a uvádíme takový důkaz vlastní Svůj postup rozložíme na šest etap: (()) Jsou-li a, b rovnoběžné přímky, pak rovněž { X X a }, { Y Y b } přímky (()) Jsou-li A, B, C, D body, pak přidružené zobrazení AB = jsou rovnoběžné = CD A B C D, takže má smysl definovat ( ) ((3)) Jsou-li a, b vektory, pak a + b = a + b (aditivnost zobrazení ) Definice: ζ konfigurace má výchozí body A, B, U neležící na téže přímce a její další body V, D, D AB (výsledný bod) jsou sestrojeny takto: AB D UV, AU D BV, D = AV UB, D AB AB, DD AB D AU Definice: ζ konfigurace má výchozí body A, B, C, U, kde body A, B, C jsou navzájem různé, C AB, U AB, a další body V, D, D ABC (výsledný bod) jsou sestrojeny takto: V CU, BV D AU, D = AV BU, D ABC AB, DD ABC D AU 5) jiný název: automorfizmus, někdy též: (afinní) kolineace

3 ((4)) a) Je-li (A, B, U, D AB ) ζ konfigurace, zvolíme-li libovolné umístění (P, v) přímky AB a mají-li při něm body A, B souřadnice t, t, pak souřadnice bodu D AB při tomto umístění je t + t b) Je-li (A, B, C, U, D ABC ) ζ konfigurace a (P, v) umístění na přímce AB takové, že body A, B, C mají při něm souřadnice t, t,, pak bod D ABC má při něm souřadnici t ((5)) Jsou-li A, B různé body a zvolíme-li umístění (A, AB), ( A AB, respektive A B souřadnice bodu P při (, A, pak souřadnice libovolného bodu P AB při (A, A, A B ) ((6)) Je-li v vektor a t reálné číslo, pak ( ) t v = t v (homogenita zobrazení ) B ) na přímkách AB) je táž jako Tvrzení (), (), a (3) se dokáží jednoduše Klíčové okolnosti jsou však obsaženy ve tvrzení (4) a to pak dovoluje užít při důkazech tvrzení (5) a (6) standardní postup (viz kupř [], str 45-47) 3 Ad (()): Nechť p, p jsou různé rovnoběžné přímky a nechť také { X X p } { Y Y } jsou různoběžné přímky, s průsečíkem C Potom C - p je společný bod obou přímek p, p a to je spor Jak vyplývá z definice rovnoběžnosti, různé rovnoběžné přímky jsou nutně disjunktní: je-li A opěrný bod přímky p a B opěrný bod přímky p p při společném směrovém vektoru v, pak společný bod P obou přímek p, p by určoval vektory AP, BP jako násobky vektoru v a bylo by p = p, ve sporu s předpokladem Ad (()) Rovnoběžníkem budeme rozumět každou uspořádanou čtveřici bodů (A, B, C, D) takových, že B A D C AB D CD, BC D AD Uvedeme několik základních vlastností rovnoběžníků: (a ) Platí-li AB= DC, A B, C AB, pak (A,B,C,D) je rovnoběžník (a ) Je-li (A,B,C,D) rovnoběžník, pak AB = DC, BC= AD (b ) Platí-li AB = A, A B, A AB, pak existují body A, B takové, že ( A, B,, A ), ( A, B,, A ) jsou rovnoběžníky A, B, B, A A, B,, A rovnoběžníky, kde A AB, pak AB = A (b ) Jsou-li ( ), ( ) Tyto vlastnosti plynou z věty: Každý vektor v určuje afinitu, v níž každému bodu X odpovídá bod X takový, že X X = v Je-li v vektor nenulový, nemá tato afinita žádný samodružný bod Důkaz: Zobrazení je bijektivní, protože každý bod Y má svůj vzor Y ~ takový, že, Y Y ~ = v Je-li p přímka se směrovým vektorem w, který není násobkem vektoru v, a opěrným bodem P, pak P je opěrný bod přímky se směrovým vektorem w a na ní leží obrazy X všech bodů X přímky p Je totiž P X = PX PP = w podle rovnoběžníkového pravidla PX + XX = PX = PP + P X w v v směrovým vektorem v, pak ovšem z bijektivity vyšetřovaného zobrazení Afinita z předchozí věty se nazývá translací (neboť vektorové sčítání je komutativní) Je-li p přímka se X p pro každé X p Zakončení důkazu plyne

4 Přistupme k vlastnímu důkazu: tvrzení ((3)) Nechť platí AB = A, A = B Pak též A B = A Pokud A = B, pak A =, a tedy A B = A Nechť platí AB = A, A B Pak též A Nejprve předpokládejme, že A AB, takže ( A, B, B, A ) je rovnoběžník podle (a) a ( A, B,, A ) je opět rovnoběžník vzhledem k tomu, že je afinita Podle (a ) je pak A B = A Ve druhém případě vyjděme z předpokladu A AB Využijeme existence pomocné dvojice bodů A,B,neležících na přímce AB a takových, že AB = A, a použijeme (b ) Pak ( A,B,B,A ), (,A,A, ) jsou opět rovnoběžníky vzhledem k tomu, že je afinita Podle (b ) pak A B = A Zopakujme definice ζ - a ζ - konfigurace: ζ konfigurace má výchozí body A, B, U neležící na téže přímce a je tvořena dalšími body V, D, D AB takovými, že (A,B,V,U) je rovnoběžník, D =AV BU, a výsledný bod D AB AB splňuje podmínku DD AB D AU ζ konfigurace má výchozí body A, B, C, U, z nichž A, B, C jsou navzájem různé body na téže přímce a bod U neleží na přímce AB, a je tvořena dalšími body V, D, D ABC sestrojenými takto: V je ten bod přímky CU, pro nějž BV D AU, D = AV BU, a výsledný bod D ABC AB splňuje podmínku DD ABC D AU Zřejmě ζ konfigurace s výchozími body A, B, U a výsledným bodem D AB přechází při afinitě do ζ konfigurace s výchozími body A, B, C a výsledným bodem D AB Rovněž ζ konfigurace s výchozími body A, B, C, U a výsledným bodem D ABC přechází při afinitě do ζ konfigurace s výchozími body A, B, C, U a výsledným bodem D ABC Ad((4)): Zvolme vztažnou soustavu R = (0, e, e ) a body A, B, U o souřadnicích (a, 0), (b, 0), (a, u) vzhledem k R Předpokládejme, že a b, u 0 Při výchozích bodech A, B, U nechť D AB je bod výsledný Doplňme bod V tak, aby vznikl rovnoběžník (A,B,V,U) a stanovme průsečík D = AV BU Pro přímku BU zvolme umístění (B, BU ) Bod V bude mít souřadnice (b, u) a na přímce AV zvolme umístění (A, AV ) Pro souřadnice d, d bodu C bude pak platit: d a b a b b a = + τ = + τ d 0 u 0 u Odtud τ = u, τ τ u τ d = a + ( b a) = ( a + b), d = u =, a dále a τ ( b a) = b ( b a) + τ, takže τ = a závěrem Vidíme, že výsledný bod D AB ζ konfigurace (A, B, U, D AB ) má při umístění (O, e ) souřadnice rovné aritmetickému průměru souřadnic bodů A, B Při daných bodech A, B tedy bod D AB nezávisí na volbě bodu U AB

5 Vztažná soustava R = (0, e, e ) nechť je nyní zvolena tak, že body A, B, C, U mají při ní souřadnice ( b, 0), (b, 0), (, 0), ( b, u), kde b 0,, a rovněž u 0 Při výchozích bodech A, B, C, U je bod DABC výsledný Předně stanovíme bod V jako průsečík přímky CU s přímkou p jdoucí bodem B rovnoběžně s přímkou AU Nakonec najdeme průsečík D = AV BU o souřadnicích d, d ; souřadnice výsledného bodu D ABC vyšetřované ζ konfigurace je pak též d Očekáváme rovnost d = b Pro přímku CU zvolme umístění (C, CU ), pro přímku p pak (B, e ), takže pro + b b 0 souřadnice bodu V = CU p máme dvojí vyjádření: + τ a, kde 0 u + τ 0 ovšem τ τ u = Tedy + τ ( + b ) = b b, takže τ = (což je druhá souřadnice bodu V) b + Dále vyjádříme dvojím způsobem souřadnice bodu D = AV BU: b b + σ, 0 u b + b b σ, 0 u b + takže b b b + σ b = b + σ b, σ u = σ u, po krácení pak + σ = + σ, σ = u b + b + b Řešením rovnice + σ = + σ b + souřadnice d pak vychází b + b + b = b b neboli + σ = σ b + bodech A, B, C nezávisí výsledný bod D ABC na volbě bodu U AB je σ = b + Příslušná, tak jak jsme očekávali Vidíme, že při daných Ad((5)): Vyšetřujme různé body A, B a přímku AB s umístěním (A, AB) Souřadnice proměnného bodu P AB vzhledem k (A, AB) označme a souřadnici bodu vzhledem k ( A, A B ) x Je tím určeno zobrazení : R R, x (pro každé P P AB) Zajisté jsou čísla 0, samodružná při x P P x P P A Nechť tedy jsou P,Q libovolné vzájemně různé body přímky AB Protože ζ - konfigurace o výchozích bodech P, Q, U určuje xp + xq souřadnici xd PQ = a převádí se při na ζ -konfiguraci o výchozích bodech P, Q, U určujících souřadnici () x + x P Q x D =, dostáváme jako závěr P Q x + y x = y + pro všechna x,y R; x y B Položíme-li zde y := 0, obdržíme (víme, že 0 = 0) () x x = pro všechna x R (pro x = 0 je tato rovnost triviální)

6 Položíme-li zde x := x, obdržíme (3) ( x ) = x pro všechna x R Na základě () a (3) plyne tedy (4) ( x + y) = x + y pro všechna x, y R Volba x + y = 0 vede zde k rovnosti (5) ( x) = ( x ) pro všechna x R Nyní uplatníme ζ konfiguraci o výchozích bodech P, Q, R takových, že x P = x Q, x R =, takže pro výsledný bod D PQR platí: x = Při převodu afinitou přejde tato ζ- D PQR x P konfigurace v ζ konfiguraci o výchozích bodech x = R máme D P Q R P, Q, R o souřadnicích x =, x P Q a výsledném bodu o souřadnici x Víme, že platí =, takže závěrem (6) ( ) ( x ) x = pro všechna x R Položíme-li zde x := x+y, dostaneme s použitím (3), (4) (7) ( ) xy = x y pro všechna x, y R Rovnost (6) má znamenitý důsledek pro t = x, že totiž pro každé nezáporné číslo t R je též t číslo nezáporné (8) x R, x 0 implikuje x 0 Přitom lze provést rozlišení P (8 ) x R, x > 0 implikuje x x R, x 0 implikuje x x R, x < 0 implikuje x > 0 0 < 0 Dále uplatněním (4), (5) dostaneme jako závěr rovnost ( x y) = x y x, y R, takže pro x > y máme x y > 0, ( y) > 0 pro všechna x, a tedy x > y Vidíme, že zobrazení respektuje přirozené uspořádání reálných čísel Jsou-li m, a celá čísla, z nichž druhé je nenulové, pak s použitím rovností (4), (5), (7), (8) i toho, že číslo je samodružné při, dojdeme k závěru, že každé racionální číslo je samodružné při Jako důsledek každé reálné číslo je při samodružné Odtud již plyne dokončení důkazu tvrzení ((5)) Při důkazu byl zčásti použit klasický postup známý z rozboru von Staudtovy hlavní věty o harmonických čtveřicích (srv [], str 45-47) Ad ((6)): Jako důsledek tvrzení ((5)) dostáváme pro všechna A, B P, A B a pro všechna t R rovnost t A B = ( t AB ), zatímco pro A = B platí tato rovnost triviálně 4 Je-li (O, OE, němž OE ) vztažná soustava afinní roviny, pak zobrazení P P, P P, při PP je pevný vektor v, se nazývá translace Je to velmi speciální případ afinního

7 zobrazení Jsou li x P, y P, resp x P, y P, souřadnice bodu P, resp bodu P, pak x P = x P + v, y P = y P + v, kde v = v OE +v OE To ihned vyplývá z podmínky (ii) Každé afinní zobrazení lze vyjádřit jako složení afinního zobrazení β se samodružným bodem O a translace a převádějící bod O do bodu O Má tedy zobrazení xp xp a a a : P P, P P vyjádření = A +, kde A = je regulární reálná y P y P a a a matice Zobrazení β se totiž chová jako regulární lineární transformace prostoru V (zprostředkovaná přechodem od bodu k jeho polohovému vektoru) Přitom je x O = a, y O = a, x = a, y = a, x = a, y = a, jak ihned vyplývá po E dosazení do transformačních rovnic E x = a +, x + a y a y = a +, x + a y a kde již nepíšeme indexy P, resp P, připojujeme však čárku vpravo nahoře v levých stranách rovnic Perspektivní afinita s nevlastní osou a vlastním středem nechť má samodružný vlastní bod O (O, OE, OE ) nechť je vztažná soustava afinní roviny Přitom nechť platí OE = λ OE pro nenulovou reálnou konstantu λ Vzhledem k tomu, že EE D E E, je též O E = λ OE, a tedy O E = λ OE + 0 OE, O E = 0 OE + λ OE Z transformačních rovnic plyne pro odpovídající si body O O, E E, E E důsledek a = 0, a = 0, a = λ, a = 0, a = 0, a = λ Vyšetřujeme perspektivní afinitu s vlastní osou a nevlastním středem neležícím na ose afinity Vztažnou soustavu (O, OE, OE ) volme tak, aby OE byla osa afinity a aby bodu E odpovídal bod E na přímce OE Opět užijeme transformační rovnice Vzhledem k tomu, že body O,E jsou samodružné, máme a = 0, a = 0, a =, a = 0 A vzhledem k tomu, že bodu E odpovídá bod 0 matice A je zde tvaru 0 λ E E E o daných souřadnicích 0,λ, máme a = 0, a = λ, takže Nakonec vyšetřujeme perspektivní afinitu s vlastní osou a nevlastním středem ležícím na ose afinity (elaci) Volme vztažnou soustavu (O, OE, OE ) tak, že OE je osa afinity a bodu E odpovídá bod E o souřadnicích λ, Do třetice užijeme transformační rovnice Vzhledem k tomu, že body O,E jsou samodružné, máme opět a = a = 0, a =, a = 0 Vzhledem k tomu, že bodu E odpovídá bod E máme a = λ, a = Příslušná λ matice A je zde tvaru 0 Literatura: [] W Blaschke, Projektive Geometrie, Basel-Stuttgart, 954

8 [] Б Н Делоне, Краткое изложение доказательства непротиворечивости планиметрии Лобачевского, Москва, 967 [3] G Pickert, Analytische Geometrie, Leipzig, 967 [4] А В Погорелов, Основания геометрии, Москва, 955 [5] P B Yale, Geometry and Symmetry, San Francisco-Cambridge-London-Amsterdam, 968 [6] E Snapper, Metric Geometry over Affine Spaces, Math Assoc Am, Buffalo, NY, 964 (notes taken by J T Buckey at the first MAA Cooperative Summer Seminar in 964 at Cornell University), with Appendix by Ebey Adresy autorů: havel@feecvutbrcz vladimirsedlar@mathslucz To the fundamental theorem of real affine plane geometry by VHavel and VSedlář Summary There is investigated the theorem saying that every automorphism (affinity) of a real affine plane induces a nonsingular linear transformation of the underlying vector space of translations The present Contribution contains a proof which as far as possible gets out of the means of Projective geometry