M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Nerovnice s absolutní hodnotou Nerovnice s absolutní hodnotou Postup řešení nerovnic s absolutní hodnotou je vlastně jakousi kombinací postupu řešení rovnic s absolutní hodnotou a řešení nerovnic. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici x +2 < 8 Řešení: 1. Stanovíme nulové body; v tomto případě jím je číslo (-2) 2. Nulové body znázorníme na číselné ose 3. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î (- ; -2); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce změníme znaménko: (-x - 2) < 8 -x - 2 < 8 -x < 10 x > -10 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů: Řešením této části je tedy otevřený interval (-10; -2) (1) 4. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î <-2; + ); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty kladný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce nezměníme znaménko: (x + 2) < 8 x + 2 < 8 x < 6 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů: Řešením této části je tedy zleva uzavřený interval <-2; 6) (2) 5. Nyní uděláme sjednocení výsledků (1) a (2), protože nerovnice má řešení, pokud platí kterýkoliv z nich: Celkovým řešením je tedy K = (-10; 6). Příklad 2: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici x - 1 + x < 2 Řešení: Nulovým bodem je číslo 1. 1 z 42
1. x Î (- ; 1) (-x + 1) + x < 2 -x + 1 + x < 2 0x < 1 0 < 1... platí vždy Celkovým řešením první části je tedy K 1 = (- ; 1) (1) 2. x Î <1; + ) (x - 1) + x < 2 x - 1 + x < 2 2x < 3 x < 1,5 Celkovým řešením druhé části je tedy K 2 = <1; 1,5) (2) 3. Provedeme sjednocení výsledků (1) a (2): Celkovým řešením je tedy K = (- ; 1,5) Příklad 3: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici: 1 ³ 5 2x - 3 Řešení: Nulovým bodem je číslo 1,5 1. x Î (- ; 1,5) 1 ³ 5-2x + 3 1-5 ³ 0-2x + 3 1-5.( -2x + 3) ³ 0-2x + 3 1+ 10x -15 ³ 0-2x + 3 10x -14 ³ 0-2x + 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění. 5x - 7 ³ 0 3-2x a) 5x - 7 ³ 0 Ù 3-2x > 0 b) 5x - 7 0 Ù 3-2x < 0 x ³ 7/5 Ù x < 3/2 x 7/5 Ù x > 3/2 x Î <7/5; 3/2) x Î { } Celkovým řešením částí a), b) je x Î <7/5; 3/2); je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (- ; 1,5), proto musíme provést průnik: Tím je K 1 = <7/5; 3/2) 2. x Î (1,5; + ) 1 ³ 5 2x - 3 1-5 ³ 0 2x - 3 2 z 42
1-5.(2x - 3) ³ 0 2x - 3 1-10x + 15 ³ 0 2x - 3 16-10x ³ 0 2x - 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění. 8-5x ³ 0 2x - 3 a) 8-5x ³ 0 Ù 2x - 3 > 0 b) 8-5x 0 Ù 2x - 3 < 0 x 8/5 Ù x > 3/2 x ³ 8/5 Ù x < 3/2 x Î (3/2; 8/5> x Î { } Celkovým řešením částí a), b) je x Î (3/2; 8/5> ; je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (1,5; + ), proto musíme provést průnik: Tím je K 2 = (3/2; 8/5> 3. Celkovým řešením je tedy sjednocení K 1 a K 2, což je K = <7/5; 3/2) È (3/2; 8/5> ± Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 1. 1802 2. 1794 K = R 3. 1803 4. 1798 K = R 5. 1806 K = { } 3 z 42
6. 1797 K = { } 7. 1808 8. 1795 9. 1800 10. 1799 11. 1804 K = {2,5} 12. 1796 13. 1807 K = R 14. 1801 15. 1805 K = { } ± Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice 4 z 42
Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: x 2 + y 2 = 74 3x - 2y = 1 Řešení: x 2 + y 2 = 74 3x - 2y = 1 1+ 2y x = 3 2 1 2 æ + 2y ö ç è 3 ø ( + 2y) 9 + y 2 1 2 + y + 4y + 4y 9 = 74 = 74 2 1 2 + y (1) = 74 1 + 4y + 4y 2 + 9y 2 = 666 13y 2 + 4y - 665 = 0 y 1,2 - = 4 2 ± æ ç è 2 4 ö -13. 2 ø 13 (- 665) y 1 = 7 y 2 = -95/13 Dosadíme do rovnice (1) a vypočteme x: x x 1+ 2.7 = 5 3 æ 95 ö 1 + 2. ç - è 13 = ø = 3 1 = 2 - Závěr: ì P = í î [ 5;7 ], Příklad 2: 59 13 é 59 95ùü ê - ;- úý ë 13 13ûþ Řešte soustavu rovnic: x 2 - y 2 = 640 x : y = 7 : 3 Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ 0 Z druhé rovnice vyjádříme x: - 2 ± 8649 = 13 = - 2 ± 93 13 5 z 42
x = 7y/3 (1) Dosadíme do rovnice první: 2 æ 7 y ö ç - y 2 = 640 è 3 ø 49 2 y - y 2 = 640 9 49y 2-9y 2 = 5760 40y 2 = 5760 4y 2 = 576 y 2 = 144 y 1 = 12 y 2 = -12 Dosadíme do rovnice (1) a dopočteme x: x 1 = 7. 12 : 3 = 28 x 2 = 7. (-12) : 3 = -28 Závěr: K = {[ 28;12 ]; [- 28; -12]} ± Soustava lineární a kvadratické rovnice - procvičovací příklady 1. 1740 2. 1738 K = {[3; 0]} 3. 1737 4. 1741 6 z 42
5. Řešte soustavu rovnic: 1742 6. 1744 K = {[0; -1]} 7. 1739 8. 1743 K = {[0; 0], [2; 4]} ± Iracionální rovnice Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která má neznámou pod odmocninou. Při řešení iracionálních rovnic používáme zpravidla neekvivalentní úpravy (tj. takové úpravy, po jejichž provedení se může změnit řešení rovnice), proto musíme vždy provést zkoušku. Mezi neekvivalentní úpravy, které budeme u těchto typů příkladů používat, patří nejčastěji umocnění rovnice na druhou. Umocnění rovnice provedeme tak, že umocníme levou i pravou stranu rovnice. Pozn.: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je i kořenem této nové rovnice. Obráceně to ale neplatí! Ukázkové příklady: Příklad 1: 7 z 42
Řešte rovnici: x 2 Řešení: - 2x + 10 = x -10 Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x 2-2x + 10 = (x - 10) 2 x 2-2x + 10 = x 2-20x + 100 po úpravě: x = 5 Zkouška: L = 5 2-2.5 + 10 = 5 P = 5-10 = -5 L ¹ P Daná rovnice tedy nemá řešení. Příklad 2: Řešte rovnici: x + 7 = x - 5 Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: x + 7 = (x - 5) 2 Po úpravě x + 7 = x 2-10x + 25 Dostali jsme kvadratickou rovnici, u níž zjistíme, že má kořeny 2 a 9. Zkouška: L(2) = 2 + 7 = P(2) = 2-5 = -3 L(2) ¹ P(2) 9 = 3 Kořen 2 tedy není řešením. L(9) = 9 + 7 = 16 = 4 P(9) = 9-5 = 4 L(9) = P(9) Kořen 9 tedy je řešením zadané iracionální rovnice. Příklad 3: Řešte rovnici: 5-5x = 3x -11 8 z 42
Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: (5-5x) = (3x - 11) Po úpravě: x = 2 Zkouška: L = 5-5.2 = - 5 Dále řešit nemusíme, protože v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla. Závěr tedy je, že iracionální rovnice nemá řešení. Příklad 4: Řešte rovnici: x + 9 + 3 x = 7 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x + 9 + 6 x x + 9 + 9x = 49 Po ekvivalentních úpravách: 3 x x + 9 = 20-5x Umocníme ještě jednou a dostaneme: 9x 2 + 81x = 400-200x + 25x 2 Po úpravě: 16x 2-281x + 400 = 0 Kořeny této rovnice jsou čísla 16 a 25/16 Zkouškou se přesvědčíme, že kořenem zadané iracionální rovnice je pouze číslo 25/16. Příklad 5: Řešte rovnici: x 2 + 9 = 5 Kromě běžného, už uvedeného, postupu můžeme zde použít i následující úvahu: Výraz na levé straně rovnice je definován pro libovolné reálné číslo a je pro libovolné reálné číslo nezáporný, proto rovnice x 2 + 9 = 25 je ekvivalentní s rovnicí původní. Rovnice x 2 + 9 = 25 má dvě řešení, a to x 1 = 4 a x 2 = -4. Tato řešení jsou tedy i řešeními rovnice původní. S ohledem na to, že jsme provedli pouze ekvivalentní úpravy, nemusíme v podstatě ani dělat zkoušku. Pro nezáporná čísla u, v je totiž u = v právě tehdy, když platí u 2 = v 2. ± Iracionální rovnice - procvičovací příklady 9 z 42
1. 1610 ± 3 2 2. 1626 9 3. 1621-5/3 4. 1618 Nemá řešení 5. 1615 9 6. 1614 8 7. 1623 P = {9; -1/3} 8. 1619 2,5 9. 1609 20 10. 1628 4 11. 1627 P = {8; 4} 12. 1613 Nemá řešení 13. 1622-0,5 10 z 42
14. Řešte rovnici: x + 1. x - 5-7 - 3x = ( )( ) 0-3 1624 15. 1612 P = {0; 2} 16. Řešte rovnici: x + 3. x -1 - x. 1- x = ( )( ) ( ) 0 1 1625 17. 1611 3 18. Řešte rovnici: 1616-1 19. 1620 5 20. Řešte rovnici: 1617 P = {0; 3} ± Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahují kromě neznámé (značíme obvykle x, y, z, apod.) ještě další písmenko zvané parametr (značíme obvykle a, b, c, apod.). Rovnice s parametrem řešíme obdobně jako rovnice klasické, s parametrem pracujeme tak, jako kdyby místo něj bylo zadáno nějaké reálné číslo. V závěru řešení rovnice musíme provést diskusi vzhledem k parametru. Zkoušku u těchto rovnice, vzhledem k tomu, že budeme používat samé ekvivalentní úpravy, provádět nebudeme. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou x. m. (x - 1) = x + m Řešení: 11 z 42
Nejprve se snažíme na levou stranu rovnice soustředit všechny členy obsahující neznámou a na pravou stranu všechny členy zbývající. Roznásobíme tedy nejdříve závorku: mx - m = x + m mx - x = 2m Na levé straně se snažíme osamostatnit neznámou x. Vytkneme ji tedy před závorku: x. (m - 1) = 2m Celou rovnici nyní dělíme závorkou na levé straně. Vše ale můžeme pouze za podmínky, že m ¹ 1 2m x = m -1 Nyní provedeme diskusi vzhledem k parametru m: Příklad 2: Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou y: 3 = 5 - y m - 2 Řešení: Za podmínky m ¹ 2 můžeme odstarnit zlomek: 3 = (5 - y). (m - 2) Roznásobíme závorky: 3 = 5m - 10 - my + 2y Na levou stranu soustředíme členy obsahující neznámou, na pravou všechny zbývající: my - 2y = 5m - 13 Na levé straně rovnice vytkneme y: y. (m - 2) = 5m - 13 Celou rovnici vydělíme závorkou na levé straně; vzhledem k platnosti podmínky uvedené v prvním kroku, to můžeme provést snadno: 5m -13 y = m - 2 Provedeme diskusi vzhledem k parametru: Příklad 3: Řešte rovnici s reálným parametrem c a s neznámou x: (x + 3). (x - c) = x 2 +3c - 18 Řešení: x 2 - cx + 3x - 3c = x 2 + 3c - 18 3x - cx = 6c - 18 12 z 42
x. (3 - c) = 6. (c - 3) Celou rovnici vydělíme (3 - c), avšak za předpokladu, že stanovíme podmínku c ¹ 3: x = -6 Provedeme diskusi vzhledem k parametru: Příklad 4: Řešení: Uvážíme-li m ¹ 0, pak můžeme odstranit zlomky: 12y + 16y - 18y = 5m - 10my 10y + 10my = 5m Celou rovnici vydělíme číslem 5: 2y + 2my = m 2y. (1 + m) = m Uvážíme-li m ¹ -1, pak celou rovnici můžeme závorkou vydělit: m y = 2.(1 + m) Provedeme diskusi vzhledem k parametru: ± Rovnice s parametrem - procvičovací příklady 1. 1547 13 z 42
2. 1543 3. 1536 4. 1550 5. 1539 14 z 42
6. 1551 7. 1544 8. 1542 9. 1537 10. 1535 15 z 42
11. 1533 12. 1549 13. 1548 14. 1538 Rovnice nemá smysl. 15. 2 1 x - = x 2 a a ( 4 1) 3 + 1545 16 z 42
16. 1541 17. 1534 18. 1540 19. 1546 ± Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem řešíme úplně stejným způsobem jako lineární rovnice s parametrem. Opět vždy provádíme diskusi řešení vzhledem k parametru. V této diskusi zpravidla uvedeme, pro jakou hodnotu parametru má rovnice dvě různá reálná řešení, pro jakou hodnotu parametru má jeden dvojnásobný kořen a pro jakou hodnotu nemá v oboru reálných čísel řešení. Někdy je nutno také uvést, pro jakou hodnotu parametru 17 z 42
vyjde lineární rovnice. Příklad: Proveďte úplnou diskusi následující kvadratické rovnice s parametrem m a neznámou x: (m - 3)x 2 - (3m + 9)x + 9m = 0 Řešení: 1. Pro m = 3... lineární rovnice 2. Předpokládejme, že m ¹ 3 Vypočteme diskriminant této kvadratické rovnice: D = b 2-4ac = [-(3m + 9)] 2-4.(m - 3).9m = 9m 2 + 54m + 81-36m 2 + 108m = = -27m 2 + 162m + 81 a) D > 0... 2 reálné různé kořeny... nastane tehdy, jestliže: -27m 2 + 162m + 81 > 0 :(-9) 3m 2-18m - 9 < 0 : 3 m 2-6m - 3 < 0 Vzniklý trojčlen rozložíme na součin. K tomu si vyřešíme pomocnou kvadratickou rovnici m 2-6m - 3 = 0 2 6 ± 6-4.1.( -3) 6 ± 48 6 ± 4 3 3 ± 2 3 m1,2 = = = = = 3 ± 2 2.1 2 2 1 m 1 = 3 + 2Ö3 m 2 = 3-2Ö3 Hledaný rozklad je tedy: [m - (3 + 2Ö3)]. [m - (3-2Ö3)] < 0 Mohou nastat dvě situace: aa) [m - (3 + 2Ö3)] > 0 [m - (3-2Ö3)] < 0 Odtud: m > 3 + 2Ö3 m < 3-2Ö3 Závěr: Prázdná množina ab) [m - (3 + 2Ö3)] < 0 [m - (3-2Ö3)] > 0 Odtud: m < 3 + 2Ö3 m > 3-2Ö3 Závěr: m Î (3-2Ö3; 3) È (3; 3+2Ö3) b) D = 0... Jeden dvojnásobný kořen... nastane tehdy, jestliže: -27m 2 + 162m + 81 = 0 :(-9) 3m 2-18m - 9 = 0 : 3 m 2-6m - 3 = 0 [m - (3 + 2Ö3)]. [m - (3-2Ö3)] = 0 m 1 = 3 + 2Ö3 m 2 = 3-2Ö3 c) D < 0... V reálném oboru nemá řešení... nastane v doplňku situací a), b), tedy jestliže m Î (- ; 3-2Ö3) È (3+2Ö3; + ) 3 ± Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady 18 z 42
1. 1597 2. 1607 3. 1608 4. 1605 5. 1599 6. 1604 7. 1603 19 z 42
8. 1600 9. 1602 10. 1596... dva reálné různé kořeny m = -0,4 nebo m = 6... jeden dvojnásobný kořen nemá řešení v R 11. 1606 12. 1598 13. 1601 ± Lineární funkce s absolutní hodnotou Lineární funkce s absolutní hodnotou Jedná se o funkci lineární, tedy funkci danou rovnicí y = ax + b, která ale ve svém zápise obsahuje absolutní hodnotu. Ukázkové příklady: Příklad 1: Narýsujte graf funkce y = x - 1 20 z 42
Řešení: Podobně jako při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutní hodnotou nejprve stanovíme nulové body, tj. bod, v nichž jednotlivé absolutní hodnoty nabývají nulových hodnot. V tomto případě je nulový bod pouze jeden, a jím je číslo 1. Řešení máme tedy rozděleno na dvě části: 1. x < 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto absolutní hodnotu odstraníme tak, že ji změníme na závorku, ale před ní bude znaménko minus. Narýsujeme tedy graf funkce y = -(x - 1), neboli y = -x + 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x < 1 2. x ³ 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, proto ji odstraníme tak, že ji změníme na závorku. Rýsujeme tedy graf funkce y = x - 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x ³ 1 Závěr: Příklad 2: Narýsujte graf funkce y = 2x - 1 Řešení: Nulovým bodem je 0,5 1. x < 0,5 Rýsujeme graf funkce y = -2x + 1 a využíváme část, kde x < 0,5 2. x ³ 0,5 Rýsujeme graf funkce y = 2x - 1 a využíváme část, kde x ³ 0,5 Závěr: 21 z 42
± Lineární funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 1. 1372 2. 1377 22 z 42
3. 1374 4. 1373 5. 1380 23 z 42
6. 1376 7. 1370 8. 1378 24 z 42
9. 1379 10. 1371 11. 1375 ± Exponenciální funkce Exponenciální funkce 25 z 42
Definice: Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a x, kde a > 0 a zároveň a ¹ 1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující: Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující: Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10 x Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální funkce. Má rovnici y = e x. Pozn.: Eulerovo číslo e = 2,718 28... Vlastnosti exponenciální funkce: ± Exponenciální funkce - procvičovací příklady 26 z 42
1. 1389 2. 1390 3. 1398 27 z 42
4. Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f( x ) 1395 5. 1382 6. 1400 28 z 42
7. 1381 8. 1385 9. Narýsujte graf funkce y = 0,5 x+3 1392 29 z 42
10. Narýsujte graf funkce y = 0,5 x-3 1391 11. 1387 a > 1 12. Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f(x) 1393 13. 1386 a > 2 30 z 42
14. 1397 15. 1384 16. 1388 31 z 42
17. Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f( x ). 1394 18. 1383 19. 1399 32 z 42
20. 1396 ± Logaritmická funkce Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = log ax. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. Pozn.: Zápis y = log ax vyjadřuje totéž jako zápis x = a y Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a: 33 z 42
Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. ± Logaritmická funkce - procvičovací příklady 1. 1432 2. 1425 34 z 42
3. Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce f(x). 1416 4. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x 1422 5. 1431 6. Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce f( x ). 1417 35 z 42
7. 1403 8. 1413 9. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4(-x) 1421 10. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x 1419 36 z 42
11. 1430 12. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x 1424 13. 1406 14. 1414 37 z 42
15. 1433 16. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x 1423 17. 1411 18. 1404 38 z 42
19. Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce f( x ). 1418 20. 1405 21. 1426 22. 1410 39 z 42
23. 1429 24. 1401 25. 1408 26. 1412 40 z 42
27. 1428 28. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = -log4x 1420 29. 1427 41 z 42
30. 1407 31. 1402 32. Narýsuj graf funkce y = log1/3(x + 2) 1415 33. 1409 42 z 42
Obsah Nerovnice s absolutní hodnotou 1 Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 3 Soustava kvadratické a lineární rovnice 4 Soustava lineární a kvadratické rovnice - procvičovací příklady 6 Iracionální rovnice 7 Iracionální rovnice - procvičovací příklady 9 Rovnice s parametrem 11 Rovnice s parametrem - procvičovací příklady 13 Kvadratické rovnice s parametrem 17 Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady 18 Lineární funkce s absolutní hodnotou 20 Lineární funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 22 Exponenciální funkce 25 Exponenciální funkce - procvičovací příklady 26 Logaritmická funkce 33 Logaritmická funkce - procvičovací příklady 34 21.11.2009 15:23:25 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)