M - Matematika - třída ODK celý ročník Obsahuje učivo celého školního roku 006/007. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
M - Matematika - třída ODK - celý ročník ± Iracionální rovnice Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která má neznámou pod odmocninou. Při řešení iracionálních rovnic používáme zpravidla neekvivalentní úpravy (tj. takové úpravy, po jejichž provedení se může změnit řešení rovnice), proto musíme vždy provést zkoušku. Mezi neekvivalentní úpravy, které budeme u těchto typů příkladů používat, patří nejčastěji umocnění rovnice na druhou. Umocnění rovnice provedeme tak, že umocníme levou i pravou stranu rovnice. Pozn.: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je i kořenem této nové rovnice. Obráceně to ale neplatí! Ukázkové příklady: Příklad : Řešte rovnici: x - x + 0 = x - 0 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x - x + 0 = (x - 0) x - x + 0 = x - 0x + 00 po úpravě: x=5 Zkouška: L = 5 -.5 + 0 = 5 P = 5-0 = -5 L¹P Daná rovnice tedy nemá řešení. Příklad : Řešte rovnici: x +7 = x -5 Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: x + 7 = (x - 5) Po úpravě x + 7 = x - 0x + 5 Dostali jsme kvadratickou rovnici, u níž zjistíme, že má kořeny a 9. Zkouška: 9.0.007 0:0:00 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník L() = + 7 = 9 = 3 P() = - 5 = -3 L() ¹ P() Kořen tedy není řešením. L(9) = 9 + 7 = 6 = 4 P(9) = 9-5 = 4 L(9) = P(9) Kořen 9 tedy je řešením zadané iracionální rovnice. Příklad 3: Řešte rovnici: 5-5 x = 3 x - Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: (5-5x) = (3x - ) Po úpravě: x= Zkouška: L = 5-5. = - 5 Dále řešit nemusíme, protože v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla. Závěr tedy je, že iracionální rovnice nemá řešení. Příklad 4: Řešte rovnici: x+9 +3 x = 7 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x + 9 + 6 x x + 9 + 9 x = 49 Po ekvivalentních úpravách: 3 x x + 9 = 0-5 x Umocníme ještě jednou a dostaneme: 9x + 8x = 400-00x + 5x Po úpravě: 6x - 8x + 400 = 0 Kořeny této rovnice jsou čísla 6 a 5/6 Zkouškou se přesvědčíme, že kořenem zadané iracionální rovnice je pouze číslo 5/6. 9.0.007 0:0:00 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Příklad 5: Řešte rovnici: x + 9 = 5 Kromě běžného, už uvedeného, postupu můžeme zde použít i následující úvahu: Výraz na levé straně rovnice je definován pro libovolné reálné číslo a je pro libovolné reálné číslo nezáporný, proto rovnice x + 9 = 5 je ekvivalentní s rovnicí původní. Rovnice x + 9 = 5 má dvě řešení, a to x = 4 a x = -4. Tato řešení jsou tedy i řešeními rovnice původní. S ohledem na to, že jsme provedli pouze ekvivalentní úpravy, nemusíme v podstatě ani dělat zkoušku. Pro nezáporná čísla u, v je totiž u = v právě tehdy, když platí u = v. ± Iracionální rovnice - procvičovací příklady. 97 4. 78 3. 0 (x + 3)(. x - ) 4. 94 Řešte rovnici: x.( - x ) = 0 86 Řešte rovnici: P = {0; 3} 5. 9-0,5 6. 87 Nemá řešení 7. 90-5/3 8. 89 9.0.007 0:0:00 5 3 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 9. 85 Řešte rovnici: - 0. 84 9. 95. 9 93 Řešte rovnici: (x + )(. x - 5) 7-3x = 0-3 3. 8 Nemá řešení 4. 9 P = {9; -/3} 5. 79 ±3 6. 83 8 7. 96 P = {8; 4} 8. 8 P = {0; } 9. 88,5 0. 80 9.0.007 0:0:00 3 4 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník ± Planimetrie Planimetrie Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie). Základní geometrické prvky a útvary: Bod - nejmenší geometrický útvar Znázorňujeme: Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB) Znázorňujeme: Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme: Zapisujeme: AB Úsečka: Znázorňujeme: Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme AB = 0 cm Pozn.: Platí, že AB ¹ BA Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme: nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pc 9.0.007 0:0:00 5 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. Zapisujeme: ABC nebo pc Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme: Zapisujeme: úhel ABC = a Úhel může být: nulový (velikost 0 ) ostrý (velikost 0 < a < 90 ) pravý (velikost 90 ) tupý (velikost 90 < a < 80 ) přímý (velikost 80 ) plný (velikost 360 ) Jiné dělění: úhel konvexní (velikost 0 < a < 80 ) úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 80 < a < 360 ) Dvojice úhlů v rovině:. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost). Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 80 ) 3. Dvojice úhlů souhlasných (mají stejnou velikost) 9.0.007 0:0:00 6 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 4. Dvojice úhlů střídavých (mají stejnou velikost) Rovinné útvary I. Trojúhelník Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly. Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 80. Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 80. Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší než strana třetí). Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů. Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá orthocentrum. Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru :, větší díl je blíže k vrcholu. Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost. Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran. obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (/).a.va obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (/).a.b.sing pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec: S = s.( s - a ).( s - b).( s - c) s= a+b+c Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků: A. Obecný trojúhelník nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedené B. Ostroúhlý trojúhelník 9.0.007 0:0:00 7 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostré C. Pravoúhlý trojúhelník trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90 a zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45. u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany odvěsny u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z Thaletovy věty pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S = (/).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c = a + b (při označení přepony písmenem c) v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce: protilehlá a přilehlá b = cos a = = přepona c přepona c přilehlá b protilehlá a cotga = = tga = = protilehlá a přilehlá b sin a = D. Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrum E. Rovnoramenný trojúhelník má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna vnitřní úhly při základně jsou shodné trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí na ose souměrnosti leží i těžiště rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + c F. Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60 má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 0 je osově souměrný - má tři osy souměrnosti střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm výšky jsou zároveň i těžnice obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a výška se vypočte podle vzorce v = a.ö3/ II. Čtyřúhelník A. Obecný čtyřúhelník má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky AC = e, BD = f součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360 B. Rovnoběžník čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o =.(a + b) obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a. va každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 80 úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček a) čtverec má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90 9.0.007 0:0:00 8 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti ( osy stran a prodloužené úhlopříčky) obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a nebo také S = u / úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.ö b) obdélník má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má všechny vnitřní úhly pravé úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané je středově souměrný podle středu úhlopříček je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran obvod se vypočte podle vzorce o =.(a + b) obsah se vypočte podle vzorce S = a.b pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova věta c) kosočtverec má všechny strany stejně dlouhé každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 80 úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a.v nebo také S = u.u / lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříček d) kosodélník má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má každé dva protější vnitřní úhly shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 80 úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček a C. Lichoběžník čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné; rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce S= (a + c ).v a) rovnoramenný lichoběžník má obě ramena shodná má oba vnitřní úhly při každé základně shodné úhlopříčky jsou shodné je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základen b) pravoúhlý lichoběžník má právě dva vniřní úhly pravé jedno rameno je kolmé k oběma základnám III. Pravidelný pětiúhelník má všechny strany shodné má všechny vnitřní úhly shodné postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD najdeme střed K úsečky SB 9.0.007 0:0:00 9 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník sestrojíme úsečku KC obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka IV. Pravidelný šestiúhelník má všechny stany shodné je středově souměrný je osově souměrný- má 6 os souměrnosti sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných rovnostranných trojúhelníků každý vnitřní úhel má velikost 0 lze opsat i vepsat kružnici postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici zvolíme libovolný bod A z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného šestiúhelníka V. Pravidelný osmiúhelník má všechny strany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti lze opsat i vepsat kružnici VI. Kruh, kružnice a jejich části Základní pojmy: Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(s; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r. Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice. Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí. Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d. Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr. Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh:. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice. 9.0.007 0:0:00 0 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou. 3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou. Tečna je vždy kolmá na poloměr. Osa tětivy vždy prochází středem kružnice. Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového. Kružnice Pro výpočet délky kružnice platí vzorce: l =.p.r nebo l = p.d Kruh Pro výpočet obvodu kruhu platí vzorce: o =.p.r nebo o = p.d Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce: S = p.r nebo S = p.d /4 Kruhový oblouk Pro délku kruhového oblouku a platí: a= p.r.a 80 a= nebo p.d.a 360 Soustředné kružnice 9.0.007 0:0:00 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stjný střed, ale různý poloměr. Kruhová výseč Jedná se o rovinný útvar. Pro obsah kruhové výseče S platí: p.r S=.a 360 nebo p.d S=.a 440 Kruhová úseč Jedná se opět o rovinný útvar. Mezikruží Rovinný útvar. Obsah mezikruží: 9.0.007 0:0:00 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník S = p. (R - r ) ± Shodnost trojúhelníků, důkazy Shodnost trojúhelníků O dvou útvarech říkáme, že jsou shodné, lze-li je v rovině přemístit tak, že se kryjí. Shodnost rozlišujeme:. Útvary přímo shodné (posunutím v rovině se navzájem kryjí). Útvary nepřímo shodné (nelze je posouváním ztotožnit, ale lze je ztotožnit převrácením) Uvedené vlastnosti platí analogicky i v prostoru. Můžeme ztotožnit tělesa - např. krychle, kvádry, apod.; nelze ale ztotožnit např. levou a pravou ruku. Proto i zde hovoříme o nepřímé shodnosti, někdy též tzv. zrcadlení. Věty o shodnosti trojúhelníků: Věta sss. Pro každé dva trojúhelníky ABC, A B C platí: Shodují-li se trojúhelníky ve všech třech stranách, jsou shodné. Věta sus: Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné. Věta usu: Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k této straně přilehlých, pak jsou shodné. Věta Ssu: Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu ležícím proti větší z nich. Pozn.: Každá matematická věta se skládá ze dvou částí - z předpokladu a z tvrzení. Po vyslovení každé matematické věty by měl následovat její důkaz. V tom se také matematická věta liší od definice. Definice je obecně platné tvrzení, které už nedokazujeme. Pro důkazy matematických vět používáme obvykle 3 typy důkazů:. Přímý důkaz - na základě předpokladu uvedeného v matematické větě a na základě obecně platných vlastností vyplývajících z definic nebo z jiných už dokázaných vět, vyvozujeme tvrzení vyslovené matematické věty.. Nepřímý důkaz (důkaz sporem) - předpokládáme, že platí negace tvrzení stanoveného v matematické větě. Na základě obecně platných definic nebo už dokázaných matematických vět dojdeme ke sporu, tj. k závěru, který neplatí. V důsledku toho pak vyslovíme závěr, že negace původně stanoveného tvrzení neplatí a musí tedy platit původní tvrzení. 3. Důkaz matematickou indukcí - s tímto typem důkazu se seznámíme později; založen je na tom, že dokážeme, že věta platí pro n =, pak pro libovolné n + a v závěru na základě získaných poznatků větu dokážeme. Důkazové úlohy: Příklad : 9.0.007 0:0:00 3 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Nad stranami AC a BC rovnostranného trojúhelníka ABC jsou sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ACD a BCE tak, že každý z nich leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že trojúhelník AEC je shodný s trojúhelníkem DBC. Řešení: AC = CD BC = CE AC = BC...... vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka... () Z uvedených tří vlastností vyplývá, že CD = CE úhel g = 60..... () vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka úhel DCB = g + 60 úhel ACE = g + 60 Z uvedených dvou vlastností vyplývá, že úhel DCB = úhel ACE Ze závěrů (), (), (3) vyplývá, že trojúhelníky jsou tedy shodné podle věty sus.... (3) CBD Příklad : Je dán čtverec ABCD. Veďte v něm dvě libovolné příčky k sobě kolmé, z nichž jedna protíná strany AD a BC v bodech P a Q a druhá protíná strany AB a CD v bodech U a V. Dokažte, že platí PQ = UV Řešení: 9.0.007 0:0:00 4 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník D BCE je shodný s D ABF (Ssu) Odtud vyplývá, že: EC = FB = UV = PQ Závěr: PQ = UV CBD ± Shodnost trojúhelníků - procvičovací příklady. Na ose o ostrého úhlu AVB zvolte bod S uvnitř úhlu AVB a sestrojte kružnici k(s; r) tak, aby r > SV. Dokažte, že platí MN = PQ, kde M, N jsou body, ve kterých přímka AV protíná kružnici k a P, Q body, ve kterých přímka VB protíná kružnici k. 57. Je dána kružnice k(s; r) a bod P, který leží vně kružnice k. Veďte bodem P ke kružnici k tečny t, t a označte jejich dotykové body T a T. Dokažte, že PT = PT a úhel SPT = úhel SPT. 56 3. Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC a BC trojúhelníka ABC a jejich paty označeny M, N. Dokažte, že D DMC je shodný s D DNC. 59 4. Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel 30. Dokažte, že osy ramen tohoto trojúhelníka rozdělují jeho základnu AB na tři stejné díly. 58 5. Nad stranami AB a AC ostroúhlého trojúhelníka ABC jsou sestrojeny čtverce ABPQ a ACRT tak, že leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že CQ = BT. 55 9.0.007 0:0:00 5 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník ± Podobnost trojúhelníků Podobnost trojúhelníků Definice: Trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, jestliže pro jejich strany platí: a = k. a b = k. b c = k. c Číslo k nazýváme koeficientem (poměrem) podobnosti. Koeficient podobnosti je vždy větší než nula. Je-li k >, hovoříme o tzv. zvětšení, je -li 0 < k <, hovoříme o tzv. zmenšení. Pozn.: Pokud by bylo k =, nastala by shodnost. Shodnost je tedy zvláštní případ podobnosti. Věty o podobnosti trojúhelníků: Věta sss: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže jejich poměry každých dvou odpovídajících si stran jsou shodné. Věta sus: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují v jednom úhlu a poměry odpovídajících si stran, které svírají uvedený úhel, jsou shodné. Věta uu: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve dvou odpovídajících si úhlech. Poznámka: Pro podobné útvary tedy platí: - odpovídající si úsečky jsou ve stejném poměru - odpovídající si úhly jsou shodné Důkazové úlohy: Příklad : Věta: Jestliže dva libovolné trojúhelníky ABC, A B C jsou rovnostranné, pak jsou podobné. Důkaz: Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníka Vnitřní úhel při vrcholu A je tedy shodný s vnitřním úhlem při vrcholu A, vnitřní úhel při vrcholu B je shodný s vnitřním úhlem při vrcholu B. Oba trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty uu. CBD Příklad : Věta: Jestliže dva pravoúhlé trojúhelníky jsou rovnoramenné, pak jsou podobné. Důkaz: 9.0.007 0:0:00 6 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Vnitřní úhly při vrcholech A, A mají velikost 90 a jsou tedy shodné (vyplývá z předpokladu) AB = AC... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka A B = A C... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka A B AB = A C AC =k Trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty sus. CBD Výpočtové úlohy: Příklad 3: Les tvaru trojúhelníka ABC je na mapě v měřítku : 50 000 zakreslen jako trojúhelník A B C o stranách délek 3, cm, 4,8 cm 5,4 cm. Určete skutečné velikosti stran trojúhelníka. Řešení: A B = 3, cm B C = 4,8 cm A C = 5,4 cm k = : 50 000 AB =? [cm] BC =? [cm] AC =? [cm] ----------------------------- AB = (/k). A B AB = 3,. 50 000 cm = 60 000 cm =,6 km BC = 4,8. 50 000 cm = 40 000 cm =,4 km AC = 5,4. 50 000 cm = 70 000 cm =,7 km Rozměry lesa jsou,6 km,,4 km,,7 km. ± Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady. Jsou dány dva podobné trojúhelníky, jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obsahy. k 9.0.007 0:0:00 69 7 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník. Jsou dány trojúhelníky ABC a A B C a platí: a = 6 b = 8 c = 9 a = 5 b = 6 /3 c = 7 / Rozhodněte, zda jsou trojúhelníky podobné. Jsou podobné. 73 3. Nepřátelská pozorovatelna je vzdálena 4 00 metrů a je položena o 80 metrů výše než postavení dělostřelecké baterie. Jak daleko lze umístit dělo za krytem, aby nebylo vidět z nepřátelské pozorovatelny? Kryt před baterií je 5 metrů vysoký. 350 m 63 4. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: EF = 5 cm MN = 7 cm EG = 6 cm NK = 4 cm Vypočtěte délku strany MK. 8,4 cm 7 5. Trojúhelníkové pole o rozměrech 6,5 m, 7,5 m a 80 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník se stranami 6,5 mm, 4,7 mm, 7, mm. Určete měřítko mapy. : 5 000 60 6. Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každých dvou metrech o 46 cm. O kolik metrů stoupne cesta na vzdálenosti 70 metrů? 6, m 6 7. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, je-li zadáno: a = 5/3 b = /6 vnitřní úhel při vrcholu C je 70 a = 5/ b = /4 vnitřní úhel při vrcholu C je 70 Jsou podobné 64 8. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že: EF = 5 cm MN = 7 cm EG = 6 cm NK = 4 cm Vypočtěte délku strany FG.,86 cm 7 9. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A B C jsou podobné, je-li zadáno: a =,5 b=7 vnitřní úhel při vrcholu C je 90 a = 5 b = 3,9 vnitřní úhel při vrcholu C je 90 Nejsou podobné 65 9.0.007 0:0:00 8 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 0. Školní budova vrhá na rovinu dvora stín 6 m dlouhý a v téže době vrhá svislá tyč stín 3 cm dlouhý. Určete výšku budovy., m 6. Jsou dány dva podobné trojúhelníky, jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obvody. k 68. Dokažte, že trojúhelník ABC a trojúhelník A B C, který má vrcholy ve středech stran trojúhelníka ABC, jsou trojúhelníky podobné. 70 3. Dva rovnoramenné trojúhelníky mají základny c, c a výšky v, v. Dokažte, že jsou trojúhelníky podobné, platí-li c : v = c : v 66 4. Z vrcholu pahorku 80 metrů vysokého je vidět na vodorovné rovině za sebou dvě tyče pod hloubkovými úhly 6 a 4. Určete vzdálenost obou tyčí. 46,3 m 67 ± Eukleidovy věty Eukleidovy věty. Věta o výšce Pata výšky C rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb. Tvrzení: Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem CC B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: v ca = Þ v = ca.cb cb v 9.0.007 0:0:00 9 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem: v cb = Þ v = ca.cb ca v Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.. Věta o odvěsně Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: cb b = Þ b = cb.c b c Rovněž by se dalo vyjádřit: ca a = Þ a = ca.c a c Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše. Ukázkové příklady Příklad - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö0 Řešení: 9.0.007 0:0:00 0 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např.. 5. Rovnost x = Ö0 upravíme do tvaru x = 0, resp. x =. 5 3. Zvolíme-li x = v, ca =, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá + 5 = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce 7. 6. Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5. 7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C X pak odpovídá hledané x = Ö0 Příklad - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö0 Řešení:. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např.. 5. Rovnost x = Ö0 upravíme do tvaru x = 0, resp. x =. 5 3. Zvolíme-li x = a, ca =, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5. 5. Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku. 6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö0 ± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v = ca. cb neboli v = ca.cb Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad : Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r. Pak má platit: r = r 9.0.007 0:0:00 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník r = r.r Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah a c = b x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad : Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, Ö cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah: 3 = 5 x Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu: x= a b Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru x a = a b 9.0.007 0:0:00 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník neboli b a = a x ± Eukleidovy věty - procvičovací příklady. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö7. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, 366. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,58 358 3. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 363 4. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,58 369 5. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö0. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 355 6. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b. 4 9.0.007 0:0:00 3 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 7. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö4. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,74 364 8. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,3 354 9. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.,83 357 0. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö5. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,87 365. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,46 36. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 5,9 35 3. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 353 4. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,4 367 5. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,36 368 6. 4 Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. 7. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 359 8. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,3 36 9.0.007 0:0:00 4 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 9. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,80 360 0. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,36 356. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,4 35. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 370 ± Pythagorova věta Pythagorova věta Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Důkaz: Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: a = c. ca b = c. cb ---------------Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: a + b = c. ca + c. cb = c. (ca + cb) = c. c = c CBD Platí také věta obrácená: Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c = a + b, pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A B C takový, aby při vrcholu C byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a = a b = b Pro přeponu trojúhelníka A B C platí Pythagorova věta: c = a + b = a + b = c Z toho vyplývá, že c = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A B C (sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C (který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat. Ukázkové příklady: 9.0.007 0:0:00 5 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Příklad : Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c =? [cm] ----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c. Pokud bude platit c = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý. c = a + b = 4 + 5 = 4 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý. ± Pythagorova věta - procvičovací příklady. 350 4,9 cm. 349,78 cm 3. 346 4. 347 5. 348 6. 345 9.0.007 0:0:00 6 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 7. 344 cm 8. 340 0,6 cm 9. 34 0 m 0. 34 6,06 cm. 343 09 cm. 339,4 m ± Výpočty rovinných útvarů Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit. ± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 9.0.007 0:0:00 7 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník. 595 b). 565 Čtverec má větší obsah než obdélník. 3. 577 Tupoúhlý 4. 543 4,8 cm 5. 53 0,4 m 6. 60 o = 4 cm; S = 4,6 cm 7. 586 54 cm 8. 603 9.0.007 0:0:00 0 cm 8 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 9. 65 55, resp. 05 0. 566 Nemohou. 555 3 00 m. 508 0,8 m 3. 5 AF = 5 cm, BC = cm 4. 66 9.0.007 0:0:00 9 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 5. 539 4,3 cm 6. 563 7. 60 480 cm 6 cm 8. 55 9. 559 0. 53 9.0.007 0:0:00 80 Kč 30 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník. 63. 579 BC = 0 cm, obsah je 54 cm 3. 548 5,7 m 4. 57 6,6 dm 5. 583,, 6. 596 9.0.007 0:0:00 3350 m 3 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 7. 590 58 8. 553 60 cm 9. 5 30 m 30. 549 3. 54 90 3. 509 a = 0, b = 70, c = 60, d = 50, e = 60, f = 70, g = 60, h = 0 33. 578 9.0.007 0:0:00 3 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 34. 574 řešení: 35. 55 v = 4,33 cm 36. 609 9,8 cm 37. 607 Poloměr kružnice opsané: 4,6 cm Poloměr kružnice vepsané:,3 cm 60,5 % 38. 544 9.0.007 0:0:00,, 33 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 39. 56 7 obdélníků 40. 604 4. 54 4. 55 43. 58 6 44. 60 7,3 cm 45. 605 9.0.007 0:0:00 34 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 46. 64 795, m 47. 569 977 m 48. 54 40 m 49. 547 4 00 krát 50. 58 88 cm 5. 570 40, m 5. 538 Ne 53. 5 9.0.007 0:0:00 70 35 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 54. 564 4/5 55. 533 34,9 % 56. 59 57. 576 Zmenšení obsahu o 0 % Zmenšení obvodu o, % 58. 58 9.0.007 0:0:00 53,7 cm 36 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 59. 67 4 cm 60. 59 56,5 cm 6. 557 ABD 6. 597 75 63. 65 9.0.007 0:0:00 93 m 37 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 64. 593 700 m ; 60 m 65. 59 50 cm 66. 63 67. 50 7,5 ha 68. 594 9.0.007 0:0:00 75 38 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 69. 536 30 cm 70. 57, 7. 53 0,08 m, 800 cm 7. 584 0 73. 6 3,5 cm 74. 567 44 m 75. 587 9.0.007 0:0:00 77,8 % 39 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 76. 64 04 cm 77. 608 9 cm 78. 537 Není zavlažováno 6,8 m, třetí strana pole je 33,94 m. 79. 554 57,74 cm 80. 598 5 8. 545 3,4 cm 8. 56 9.0.007 0:0:00 40 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 83. 60 84. 58 85. 530 0,35 m 86. 550 řešení: 0,5 cm;,5 cm 87. 589 0 88. 556 v = 6,06 cm ABD 89. 68 9.0.007 0:0:00 6 trojúhelníků 4 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 90. 67 49 cm 9. 56,, 9. 546 94 93. 50 9.0.007 0:0:00 0 4 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 94. 56 95. 560 5 cm 96. 588 3,9 cm 97. 59 98. 57 99. 507 9.0.007 0:0:00 5 cm 43 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 00. 558 0. 6 5 mm 0. 585 4 krát 03. 54 04. 535 05. 599 06. 568 9.0.007 0:0:00 5 cm 44 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 07. 6 08. 5 50 09. 534 dlaždic 0. 540 6,075 cm. 575 /. 606 9.0.007 0:0:00 65, % 45 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 3. 580 Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABC na obrázku. Oba obsahy jsou shodné 4. 55 400 cm 5. 6 40 m 6. 66 46 cm 7. 68 9.0.007 0:0:00 5 cm 46 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 8. 53 9. 600 4 cm ± Shodná zobrazení Shodná zobrazení Zobrazení nazveme shodné, jestliže útvary představující vzor a obraz jsou shodné. Body, které se zobrazují samy na sebe, nazýváme body samodružné. Mezi shodná zobrazení patří: I. Identita (totožnost) Identita je shodné zobrazení, kdy vzor a obraz jsou stejné (identické) útvary. Identita (totožnost) má nekonečně mnoho samodružných bodů. Zapisujeme: I: Útvar A ---> Útvar B II. Posunutí (translace) Posunutí je shodné zobrazení, které je dáno vektorem posunutí (orientovanou úsečkou). Posunutí nemá žádné samodružné body. Zapisujeme: T[AB]: Útvar A ---> Útvar B III. Osová souměrnost Osová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jednou přímkou, zvanou osa souměrnosti. Osová souměrnost má nekonečně samodružných bodů a jsou jimi všechny body ležící na ose souměrnosti. Můžeme tvrdit, že osová souměrnost má i nekonečně mnoho samodružných přímek, mezi něž patří jednak osa souměrnosti, ale i všechny přímky, které jsou k ose souměrnosti kolmé. Zapisujeme: O[<-->p]: Útvar A ---> Útvar B IV. Středová souměrnost 9.0.007 0:0:00 47 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Středová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jedním bodem, zvaným střed souměrnosti. Středová souměrnost má právě jeden samodružný bod, kterým je právě střed souměrnosti. Zapisujeme: S[S]: Útvar A ---> Útvar B V. Otočení (rotace) Otočení je shodné zobrazení, které je dáno jedním pevným bodem (středem otáčení) a úhlem otočení. Úhel otočení považujeme za kladný, otáčíme-li útvar proti směru hodinových ručiček a pokud otáčíme útvar po směru hodinových ručiček, pak považujeme úhel za záporný. Rotace má právě jeden samodružný bod, kterým je střed rotace. Zapisujeme: R[S;+30 ]: Útvar A ---> Útvar B Pozn.: Středová souměrnost je vlastně zvláštní případ rotace. ± Shodná zobrazení - procvičovací příklady. 688. 696 3. 693 4. 68 5. 695 9.0.007 0:0:00 48 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 6. 686 7. 68 8. 694 9. 69 0. 687. 689. 69 9.0.007 0:0:00 49 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 3. 684 4. 683 5. 698 6. 697 7. 699 9.0.007 0:0:00 50 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 8. 685 9. 690 ± Orientovaný úhel Orientovaný úhel Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde V je jejich společný počátek, přičemž: VA je počáteční rameno úhlu VB je koncové rameno úhlu V je vrchol orientovaného úhlu Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček. Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček. 9.0.007 0:0:00 5 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Stupňová a oblouková míra Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 360 ) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti p rad). Stupňová míra: Oblouková míra: 9.0.007 0:0:00 5 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně 3,4. Plný úhel má tedy hodnotu p rad, což je tedy přibližně 6,8 radiánů. K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku. U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává. Příklad : Úhel o velikosti 5 převeďte do obloukové míry. Řešení: 80... p rad 5... x rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) x= p.5 p = rad 80 Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,6 rad (přibližně) Příklad : Úhel o velikosti 3p/4 rad převeďte na stupně. Řešení: 80... 9.0.007 0:0:00 p rad 53 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník x... 3p/4 rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) 3p x = 80. 4 = 35o p Úhel má tedy velikost 35. Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem:. Převod ze stupňů na míru obloukovou x= p.a o rad 80. Převod z radiánů na míru stupňovou x= 80.arad p ± Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady. 34. 5 70,0 3. 43 80 4. 45 5. 33 6. 48 95 7. 39 9.0.007 0:0:00 54 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 8. 36 9. 5 9,97 0. 35. 3. 44 36 3. 49 3 4. 40 5. 3 6. 38 7. 37 8. 50 70 9. 4 0. 54 9.0.007 0:0:00 40 55 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník. 47 0. 4 3. 46 5 4. 53 7 ± Jednotková kružnice Jednotková kružnice Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník. ± Funkce sinus Funkce sinus Určení funkce z jednotkové kružnice: 9.0.007 0:0:00 56 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony. Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina Poznámky: Funkce shora omezená: 9.0.007 0:0:00 57 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Funkce zdola omezená: 9.0.007 0:0:00 58 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Funkce periodická: 9.0.007 0:0:00 59 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Funkce lichá: Funkce se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a 9.0.007 0:0:00 60 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník ± Funkce kosinus Funkce kosinus Určení funkce z jednotkové kružnice: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony. Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a. Poznámky: Funkce sudá: 9.0.007 0:0:00 6 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Funkce se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a ± Funkce tangens Funkce tangens Určení funkce tangens z jednotkové kružnice: 9.0.007 0:0:00 6 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny. Poznámky: Funkce rostoucí: 9.0.007 0:0:00 63 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník ± Funkce kotangens Funkce kotangens Určení funkce z jednotkové kružnice: Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny. 9.0.007 0:0:00 64 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Poznámky: Funkce klesající: ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu: 9.0.007 0:0:00 65 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel. Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva. Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je AB = c = 8 cm, BC = a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC. Řešení: AB = c = 8 cm BC = a = 5 cm a =? [ ] b =? [ ] ---------------------------- a c 5 sin a = 8 sin a = 9.0.007 0:0:00 66 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník sin a = 0,65 a = 38 4 a c 5 cos b = 8 cos b = cos b = 0,65 b = 5 9 Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 38 4 a vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 5 9. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je OQ = p = 5 cm, úhel QOP = 35 0. Vypočti délku odvěsny PQ = o. Řešení: OQ = p = 5 cm úhel QOP = 35 0 PQ = o =? [cm] ----------------------------- tg úhelqop = PQ OQ PQ = OQ. tg úhel QOP PQ = 5. tg 35 0 = 5. 0,7046 = 3,5 (po zaokrouhlení) PQ = 3,5 cm (po zaokrouhlení) Závěr: Délka odvěsny je přibližně 3,5 cm. Příklad 3: Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem : 8. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat? Řešení: BC = díl AB = 8 dílů a =? [ ] ------------------------------ tga = BC AB tga = 8 tg a = 0,0556 a = 3 9.0.007 0:0:00 67 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem 3. ± Pravoúhlý trojúhelník - procvičovací příklady. Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 00 m (měřeno ve vodorovné poloze) o,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání. 0,83 46. Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö5 a AC = 4 cm., cm 47 3. Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 0 m pod úhlem w = 0. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.) 46 4. 3,4 m Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí AT = BT ; T je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná 44 cm a velikost úhlu T3ST je rovna 90 ; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury. 48 40,8 cm 5. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony AB = c = 6,9 cm a úhel CAB = a 34. Vypočti délky odvěsen AC a BC. a = 3,9 cm, b = 5,7 cm 467 6. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 63 0, a = 6,7 m b = 3,39 m, c = 7,5 m, b = 6 50, g = 90 466 9.0.007 0:0:00 68 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 7. V kosočtverci ABCD je úhlopříčka AC = e = 4 cm a úhel SAB = e = 8 ; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD. 54 cm 475 8. Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 30. Vypočti povrch válce. 473 9083 cm 9. Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 0 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60. Vypočti obsah půdorysu chaty. 43,3 m 470 0. Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel 4 (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 75 centimetrů své délky? 479 9.0.007 0:0:00,8 cm 69 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník. Rampu u skladu zboží drží 4 stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent? 478 m. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 48 30, c = 3, m a =,40 m, b =, m, b = 4 30, g = 90 465 3. Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 36 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 8 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B? 480 4. 36, Tělesová úhlopříčka ukvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u svírá úhel a = 4. Vypočti výšku kvádru v. 9.0.007 0:0:00 463 6,5 dm 70 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 5. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, b = 67. Vypočti délku odvěsny a.,7 cm 460 6. Na obrázku jsou narýsovány tečny t a t z bodu P ke kružnici k(s; 3 cm). Platí: PS = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy TT. 476 5,7 cm 7. Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 : 5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami? S delší stranou 3, s kratší stranou 58. 469 8. Profil příkopu na obrázku je rovnoramenný lichoběžník se základnami dlouhými 60 cm a 80 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80. Vypočti hloubku příkopu. 47 56,7 cm 9. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 4 cm, c = 30 cm. b = 8 cm, a = 53 08, b = 36 5, g = 90 464 0. V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny XY = z = 9 cm a velikost úhlu úhel XYZ = 50 0. Vypočti obsah tohoto trojúhelníku. 4,3 cm 474 9.0.007 0:0:00 7 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník. V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen FG = e = 0,4 m a EG = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F. Úhel při vrcholu E má velikost 56 49 a úhel při vrcholu F má velikost 33 468. Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 8 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy. 477 040 ks ± Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí Tabulka důležitých hodnot goniometrických funkcí ± Goniometrické funkce úhlů větších než 90 Goniometrické funkce úhlů větších než 90 Určíme snadno z jednotkové kružnice na základě znalosti úhlů do 90. 9.0.007 0:0:00 7 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Všimněme si, že pro základní úhel a vychází funkce sinus jako svislá úsečka (označena červeně) a funkce kosinus jako vodorovná úsečka (označena modře). Navíc pro základní úhel a je funkce sinus "krátká" úsečka a funkce kosinus "dlouhá" úsečka. Toho všeho využijeme pro určení dalších vzorců. Obrázek naší jednotkové kružnice využijeme pro určení vzorců pro úhly velikosti (90 + a). Pro určení dalších vzorců budou úvahy analogické, proto už budou pouze popsány slovy (bez náčrtku jednotkové kružnice). Platí tedy: sin (90 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (90 + a) = cos a cos (90 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (90 + a) = - sin a Hodnoty tangens a kotangens určíme z právě uvedených hodnot funkcí sinus a kosinus pomocí známých vzorců: sin (90 + a ) cos a = = -cotg a cos(90 + a ) - sin a cos(90 + a ) - sin a cotg (90 + a ) = = = -tga sin (90 + a ) cos a tg (90 + a ) = -------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (80 -a): 9.0.007 0:0:00 73 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (80 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (80 - a) = sin a cos (80 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (80 - a) = - cos a sin (80 - a ) sin a = = - tg a cos(80 - a ) - cos a cos(80 - a ) - cos a cotg (80 - a ) = = = -cotg a sin (80 - a ) sin a tg (80 - a ) = -------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (80 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (80 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (80 + a) = - sin a cos (80 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (80 + a) = - cos a sin (80 + a ) - sin a = = tg a cos(80 + a ) - cos a cos(80 + a ) - cos a cotg (80 + a ) = = = cotg a sin (80 + a ) - sin a tg (80 + a ) = -------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (70 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (70 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (70 - a) = - cos a cos (70 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (70 - a) = - sin a sin (70 - a ) - cos a = = cotg a cos(70 - a ) - sin a cos (70 - a ) - sin a cotg (70 - a ) = = = tg a sin (70 - a ) - cos a tg (70 - a ) = -------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (70 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. 9.0.007 0:0:00 74 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník sin (70 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (70 + a) = - cos a cos (70 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (70 + a) = sin a sin (70 + a ) - cos a = = -cotg a cos(70 + a ) sin a cos(70 + a ) sin a cotg (70 + a ) = = = - tg a sin (70 + a ) - cos a tg (70 + a ) = -------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (360 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (360 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (360 - a) = - sin a cos (360 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (360 - a) = cos a sin (360 - a ) - sin a = = - tg a cos(360 - a ) cos a cos(360 - a ) cos a cotg (360 - a ) = = = -cotg a sin (360 - a ) - sin a tg (360 - a ) = Ukázkové příklady: Příklad : Vypočtěte: sin 330 - cos 0 + tg 50-0,5 tg 45 Řešení: sin (360-30 ) - cos (80 + 30 ) + tg (80-30 ) - 0,5. = = - sin 30 - (- cos 30 ) + (- tg 30 ) - 0,5 = 3 3-3+3 3-3 -3 =- + - = = 3 6 = -3+ 3-3 3 = - + 6 6 Příklad : Vypočtěte: sin 660 - cos 585 + 0,5. tg 780 + tg 495 9.0.007 0:0:00 75 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Řešení: Při řešení využijeme vlastností, že goniometrické funkce jsou periodické. U funkcí sinus a kosinus můžeme libovolně přičítat (odečítat) periodu 360, resp. její násobky. U funkcí tangens a kotangens můžeme libovolně přičítat nebo odečítat násobky periody, kterou je 80. sin 660 - cos 585 + 0,5. tg 780 + tg 495 = sin 300 - cos 5 + 0,5. tg 60 + tg 35 = = sin (360-60 ) - cos (80 + 45 ) + 0,5. tg 60 + tg (90 + 45 ) = = - sin 60 - (- cos 45 ) + 0,5. tg 60 + (- cotg 45 ) = 3 + +. 3 - = - 3+ + 3- = = =- = - ± Goniometrické funkce úhlů větších než 90 - procvičovací příklady. 735-0,577. 730-3. 79 4. 74 0,5 5. 70-0,866 6. 75 0 7. 7-0,707 8. 738 9.0.007 0:0:00,55 76 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 9. 78-0,577 0. 73 0,5. 73 -. 739 -,55 3. 744 4 4. 74 0,34 5. 79 -,73 6. 76 0,707 7. 736-8. 734 -,73 9. 73-0,707 0. 78 0,866. 743 9.0.007 0:0:00-77 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník. 74 0 3. 74 0 4. 75 0 5. 740 0 6. 77,73 7. 73 0,577 8. 7 9. 76 0,577 30. 733,73 3. 7-0,707 3. 737-33. 77-0,5 ± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi využíváme ke zjednodušování výrazů obsahujících goniometrické funkce a dále i k řešení goniometrických rovnic, jimiž se budeme zabývat později. 9.0.007 0:0:00 78 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Přehled důležitých vzorců, které budeme často využívat: sin x cos x cos x cotg x = sin x tgx = sin (-x) = - sin x cos (-x) = cos x tg (-x) = - tg x cotg (-x) = - cotg x sin x + cos x = tg x. cotg x = sin (x + y) = sin x. cos y + cos x. sin y sin (x - y) = sin x. cos y - cos x. sin y cos (x + y) = cos x. cos y - sin x. sin y cos (x - y) = cos x. cos y + sin x. sin y tgx + tgy - tgx.tgy tgx - tgy tg ( x - y ) = + tgx.tgy tg ( x + y ) = sin x = sin x. cos x cos x = cos x - sin x tg x = tgx - tg x sin x - cos x = cos x + cos x = tg x - cos x = + cos x x+ y x- y cos x+ y x- y sin x - sin y = cos sin x+ y x- y cos x + cos y = cos cos x+ y x- y cos x - cos y = - sin sin sin x + sin y = sin Příklad : 9.0.007 0:0:00 79 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Řešení: Příklad : Řešení: Příklad 3: Řešení: Příklad 4: Řešení: Příklad 5: Řešení: Příklad 6: 9.0.007 0:0:00 80 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Řešení: Příklad 7: Řešení: Příklad 8: Řešení: Příklad 9: Řešení: 9.0.007 0:0:00 8 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Příklad 0: Řešení: ± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady 9.0.007 0:0:00 8 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník. 770. 76 3. 763 4. 773 5. 779 6. 766 9.0.007 0:0:00 83 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 7. 755 8. 76 9. 759 0. 774. 780. 757 3. 77 9.0.007 0:0:00 84 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 4. 758 5. 778 6. 777 7. 775 8. 764 9. 756 0. 767 9.0.007 0:0:00 85 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník. 765. 768 3. 77 4. 769 0 5. 776 6. 760 9.0.007 0:0:00 86 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník ± Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou takové rovnice, které obsahují neznámou v argumentu goniometrické funkce. Při řešení goniometrických rovnic využijeme vztahů mezi goniometrickými funkcemi, znalosti grafů jednotlivých goniometrických funkcí a dále tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí. Vždy musíme vzít v úvahu periodu jednotlivých goniometrických funkcí. Příklad : Řešte rovnici sin x = 0,5 Řešení: Z tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí víme, že sin x = 0,5 je splněno pro x = 30. Platí tedy, že x= 30 + k.360 Funkce sinus nabývá ale hodnoty 0,5 ještě pro úhel (80-30 ) = 50 (k závěru dospějeme nejsnáze, pokud si představíme průběh grafu funkce sinus). Dostáváme tak druhé řešení: x = 50 + k.360 Obě řešení lze vyjádřit i v obloukové míře: Příklad : Řešte rovnici: sin x = - 3 Řešení: Pokud je hodnota záporná, vytvoříme si nejprve hodnotu pomocnou, a to s kladným znménkem. Řešíme tedy nejprve pomocnou rovnici sin x = 3 Vyjde nám tak pomocný úhel x0 = 60. Protože ale hodnota má být ve skutečnosti záporná, určíme z grafu hodnotu neznámých: x = (80 + 60 ) + k.360 = 40 + k.360 x = (360-60 ) + k.360 = 300 + k.360 I v tomto případě lze oba výsledky vyjádřit v obloukové míře: Příklad 3: Řešte rovnici sin x = 0,5 9.0.007 0:0:00 87 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Řešení: V tomto případě je vhodné použít substituci: y = x Řešíme pak rovnici sin y = 0,5 Z příkladu č. už víme, že tato rovnice má dvě řešení: y = 30 + k.360 y = 50 + k.360 Vrátíme se k substituci a dostaneme: x = 30 + k.360 a odtud: x = 5 + k.80 x = 50 + k.360 a odtud: x = 75 + k.80 I tyto výsledky lze vyjádřit oba v obloukové míře: Příklad 4: Řešte rovnici: cos 3x. sin x = 0 Řešení: Využijeme věty, že součin se rovná nule tehdy, je-li roven nule alespoň jeden z činitelů. Proto řešení rovnice rozdělíme na dvě části:. část: Řešíme cos 3x = 0 Substituce: y = 3x Rovnice cos y = 0 má řešení: y = 90 + k. 360 y = 70 + k. 360 Vzhledem k tomu, že ale 70 = 3. 90, vidíme, že vlastně lze oba výsledky sloučit do jednoho, protože se vlastně jedná o všechny liché násobky čísla 90. Získáme tak řešení: y = (k + ). 90 Pozn.: Liché násobky vyjadřujeme (k + ), kde k je libovolné celé číslo, a sudé násobky vyjadřujeme k, kde k je libovolné celé číslo. Vrátíme se k substituci a získáme: 3x = (k + ). 90 neboli x = (k + ). 30. část: Řešíme sin x = 0 Substituce: y = x Rovnice sin y = 0 má dvě řešení: y = 0 + k. 360 y = 80 + k. 360 Vzhledem k tomu, že ale 80 =. 90 a 0 = 0. 90, vidíme, že se vlastně vždy jedná o sudé násobky čísla 90 a při představení si grafu zjistíme, že se jedná o všechny sudé násobky čísla 90. Získáme tak opět jediné řešení: y = k. 90 Vrátíme se k substituci a získáme: x = k. 90 neboli x = k. 90 Oba konečné výsledky lze opět vyjádřit v obloukové míře: 9.0.007 0:0:00 88 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Příklad 5: Řešte rovnici: 4cos x + 4cosx - 3 = 0 Řešení: Substituce y = cos x Získáme tak kvadratickou rovnici 4y + 4y - 3 = 0 Zjistíme, že tato kvadratická rovnice má kořeny: y = -,5 a y = 0,5 Vrátíme se k substituci: cos x = -,5 Tato rovnice ale nemá řešení, protože obor hodnot funkce y = cos x je <-; > cos x = 0,5 x = 60 + k. 360 x3 = (360-60 ) + k. 360 = 300 + k. 360 Řešením tedy je x = 60 + k. 360, x = 300 + k. 360, neboli v obloukové míře: ± Goniometrické rovnice - procvičovací příklady. 808 Řešte rovnici:. 84 Řešte rovnici: 3. 8 Řešte rovnici: 4. Řešte rovnici: sin x - cos x + sin x = 0 794 5. 86 Řešte rovnici: 9.0.007 0:0:00 89 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 6. 833 Řešte rovnici: 7. Řešte rovnici: 6sin x + 3sin x. cos x - 5cos x = 800 8. 85 Řešte rovnici: 9. 86 Řešte rovnici: 0. 84 Řešte rovnici:. 785 Řešte rovnici:. 80 Řešte rovnici: 3. 78 Řešte rovnici: cos x = 4. 83 Řešte rovnici: 5. 784 Řešte rovnici: cotg 6x = - 6. 89 Řešte rovnici: 9.0.007 0:0:00 90 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 7. 85 Řešte rovnici: 8. 805 Řešte rovnici: 9. 809 Řešte rovnici: 0. 83 Řešte rovnici:. 8 Řešte rovnici:. 806 Řešte rovnici: 3. Řešte rovnici: tg x - 3cotg x = 79 4. 83 Řešte rovnici: 5. 83 Řešte rovnici: 6. 79 Řešte rovnici: 9.0.007 0:0:00 9 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 7. 89 Řešte rovnici: 8. 807 Řešte rovnici: 9. Řešte rovnici: sin x + sin x - = 0 793 30. Řešte rovnici: 3cos x - sin x - sin x = 0 790 3. Řešte rovnici: cos x = cos x 803 3. 88 Řešte rovnici: 33. Řešte rovnici: sin x = 3cos x 795 34. 830 Řešte rovnici: 35. 788 Řešte rovnici: 36. 783 Řešte rovnici: 37. Řešte rovnici: sin x = 3sin x 797 9.0.007 0:0:00 9 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 38. 87 Řešte rovnici: 39. 80 Řešte rovnici: 7sin x + 4cos x = 8 40. 4. 87 Řešte rovnici: Rovnice nemá řešení. 88 Řešte rovnici: 4. Řešte rovnici: sin x - sin x. cos x - cos x = 0 799 43. Řešte rovnici: sin x. ( + cos x) = 0 787 44. Řešte rovnici: sin x. cos x == 0,5 789 45. 8 Řešte rovnici: 46. 8 Řešte rovnici: 47. 80 Řešte rovnici: 48. Řešte rovnici: sin x +,5cos x =,5sin x. cos x 80 9.0.007 0:0:00 93 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 49. 798 Řešte rovnici: 50. 78 Řešte rovnici: tg x = 5. 804 Řešte rovnici: 5. Řešte rovnici: cos x = cos x 796 53. Řešte rovnici: sin x. cotg x = 0 786 ± Sinová věta Sinová věta Věta: V trojúhelníku ABC platí: a : b : c = sina : sinb : sing Lze zapsat i jinak: a sin a = b sin b ; b sin b = c sin g ; c sin g = a sin a nebo a b c = = sin a sin b sin g Důkaz: 9.0.007 0:0:00 94 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Volme jednotkovou kružnici. Platí: BC = a = a r Použijeme pro trojúhelník ZBC Pythagorovu větu: a = sin a + ( - cos a ) = sin a + - cos a + cos a = r = - cosa =.( - cos a ) =. sin a + cos a - cos a + sin a = BC = ( ) =. sin a = 4 sin a a = 4 sin a r a, r, sina jsou kladné hodnoty, proto můžeme odmocnit a dostaneme: a = r sin a Obdobně bychom dokázali: c b = r = r sin b ; sin g Odtud tedy platí: a b c = = sin a sin b sin g Slovní vyjádření věty: Poměr dvou stran v trojúhelníku je roven poměru sinů protilehlých úhlů. Užití sinové věty: Známe-li buď dva úhly a jednu stranu nebo dvě strany a úhel ležící proti jedné z nich. 9.0.007 0:0:00 95 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Sinová věta platí pro obecný trojúhelník, nikoliv tedy jen pro trojúhelník pravoúhlý. Příklad : Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno: a = 3,07 m b = 65 30 g = 7 0 36 ----------------------------------Známe stranu a, proto potřebujeme znát i úhel ležící proti ní. Snadno ho vypočteme: a = 80 - (b + g ) = 80 - (65 30 + 7 0 36 ) = 80-37 3 48 = = 4 7 a b = sin a sin b a. sin b b= sin a 3,07. sin 65 30 b= sin 4 7 b = 65,9 m a c = sin a sin g a. sin g c= sin a 3,07. sin 7 0 36 c= sin 4 7 c = 73,45 m V zadaném trojúhelníku má tedy úhel a velikost 4 7, strana b je dlouhá 65,9 metru a strana c má délku 73,45 m. ± Sinová věta - procvičovací příklady. 845 46 m. 846 3. Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu B trojúhelníku ABC, je-li dáno: 9.0.007 0:0:00 84 34 48 96 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 4. 847 5. 843 03 m 6. 844 7. 43,3 m Určete ostatní úhly v trojúhelníku ABC, je-li dáno: 839 8. 834 9. 07,8 m Určete délku strany b trojúhelníka ABC, je-li dáno: 837 5,6 m 0. 848. Určete délku strany a trojúhelníka ABC, je-li dáno:. 3,75 m Vypočti stranu c, je-li v trojúhelníku ABC dáno: 9.0.007 0:0:00 836 835,35 m 97 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 3. 849 4. Určete délku strany c trojúhelníka ABC, je-li dáno: 5. 094 m 39, m Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu A trojúhelníku ABC, je-li dáno: 838 840 3 8 36 6. 84 8 53,3 m 8 9 m ± Kosinová věta Kosinová věta Věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly a, b, g, a stranami a, b, c platí: a = b + c - bc.cosa b = a + c - ac.cosb c = a + b - ab.cosg Důkaz: 9.0.007 0:0:00 98 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník a a = BC = c b b æb ö BC = ç - cos a + sin a = - cos a + cos a + sin a = c c èc ø b b = + - cos a c c a = b + c - bc.cosa Je-li a > 90, pak cosa = - cos(80 - a) a platí tedy: a = b + c +bc.cos(80 - a) Kosinová věta platí též, podobně jako sinová věta, pro obecný trojúhelník. Příklad : Řešte trojúhelník, je-li dáno: a = 7 cm, c = 4 cm, b = 78 Řešení: a = 7 cm c = 4 cm b = 78 b =? [cm] a =? [ ] g =? [ ] ------------------------------------- b = a + c - ac.cosb b = 7 + 4 -. 7. 4. cos 78 b = 49 + 6-56. cos 78 b = 53,3576 b = 7,3 cm (po zaokrouhlení) a b = sin a sin b a. sin b sin a = b 7. sin 78 sin a = = 0,9379 7,3 a = 69 4 a c = sin a sin g c. sin a sin g = a 4. sin 69 4 sin g = = 0,5359 7 9.0.007 0:0:00 99 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník g = 3 4 Závěr: Zbývající prvky trojúhelníka jsou b = 7,3 cm, a = 69 4, g = 3 4. Poznámka: Úhly a a g můžeme též vypočítat podle Kosinové věty: a = b + c - bc. cos a b + c - a bc 7,3 + 4-7 cos a = = 0,3474.7,3.4 cos a = a = 69 40 c = a + b - ab. cos g a + b - c cos g = ab 7 + 7,3-4 cos g = = 0,8443.7.7,3 g = 3 4 Výsledky jsou tedy přibližně stejné. Nepatrná odchylka vznikla zaokrouhlením úhlů na minuty. Kdybychom počítali ve vteřinách, byly by výpočty přesnější. ± Kosinová věta - procvičovací příklady. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6,9 m, b = 6 m, c= 7,3 m 36 5 877. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = m, c= 7 m 5 3 859 3. 850 365,3 m 4. 85 9.0.007 0:0:00 5,6 00 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 5. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6,9 m, b = 6 m, c= 7,3 m 75 45 879 Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6 55 46 87 7. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = m, c= 7 m 9 3 858 8. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6,9 m, b = 6 m, c= 7,3 m 67 3 878 9. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 3 m, c= 3 m 0 49 866 0. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = m, c= 7 m 35 05 860 6.. 856 7. 88 7 7 3. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = : : 3 Trojúhelník neexistuje. 875 4. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = : : 3 Trojúhelník neexistuje. 874 5. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 38 6, b = 683, m, c= 534,7 m 03 55 86 6. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 3 m, c= 3 m 9 35 30 865 9.0.007 0:0:00 0 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 7. 853 8. 5,3 Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = : 3 : 4 04 9 9. 884 8 885 m 0. 880. 869 75 Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a: b : c = : 3 : 4 46 34 868. 876 70 3 38 56 3. 857 85 N 4. 855,5 5. 883 635 m 6. 85 5 7. 854 9.0.007 0:0:00 3,6 0 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník 8. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = : 3 : 4 8 57 867 Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 3 m, c= 3 m 9 35 30 864 Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6 8 49 87 Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = : : 3 Trojúhelník neexistuje 873 9. 30. 3. 3. 88 59 70 3 50 8 33. Určete velikost strany a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 38 6, b = 683, m, c= 534,7 m 35,5 m 863 34. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6 4 5 870 35. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 38 6, b = 683, m, c= 534,7 m 49 7 86 ± Komplexní čísla Komplexní čísla Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem čísel komplexních. Komplexní čísla označujeme C. Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic. Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky. Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina. Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje). 9.0.007 0:0:00 03 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a; a] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z = a + a i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i = [0; ]. Pro imaginární jednotku platí: i = - 3 i = -i 4 i = + 5 i =i 6 i = - atd... Algebraický tvar komplexního čísla Nechť je dáno komplexní číslo a = [a; a]. Jeho vyjádření ve tvaru z = a + ai se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo a představuje reálnou část komplexního čísla, číslo a představuje imaginární část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako kdyby šlo o reálné dvojčleny. Absolutní hodnota komplexního čísla 9.0.007 0:0:00 04 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty. Platí vzorec: z = a + a Komplexní jednotka Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna. Platí tedy z = Čísla komplexně sdružená Čísla komplexně sdružená označujeme. [čteme zet s pruhem] Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají. Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné. Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné. Rovnost komplexních čísel Komplexní čísla z = a + bi a z = a + bi jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a = a a zároveň b = b Součet komplexních čísel 9.0.007 0:0:00 05 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Rozdíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Součin komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině 9.0.007 0:0:00 06 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Podíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich podíl takto: Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině 9.0.007 0:0:00 07 z 8
M - Matematika - třída ODK - celý ročník Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli). Goniometrický tvar komplexního čísla 9.0.007 0:0:00 08 z 8