M - Příprava na 11. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Geometrické útvary a jejich vlastnosti Planimetrie Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie). Základní geometrické prvky a útvary: Bod - nejmenší geometrický útvar Znázorňujeme: Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB) Znázorňujeme: Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme: Zapisujeme: AB Úsečka: Znázorňujeme: Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme AB = 20 cm Pozn.: Platí, že AB ¹ BA Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme: nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pc 1 z 69
Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. Zapisujeme: ABC nebo pc Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme: Zapisujeme: úhel ABC = a Úhel může být: nulový (velikost 0 ) ostrý (velikost 0 < a < 90 ) pravý (velikost 90 ) tupý (velikost 90 < a < 180 ) přímý (velikost 180 ) plný (velikost 360 ) Jiné dělění: úhel konvexní (velikost 0 < a < 180 ) úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180 < a < 360 ) Dvojice úhlů v rovině: 1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost) 2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180 ) 3. Dvojice úhlů souhlasných (mají stejnou velikost) 2 z 69
4. Dvojice úhlů střídavých (mají stejnou velikost) Rovinné útvary I. Trojúhelník Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly. Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180. Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180. Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší než strana třetí). Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů. Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá orthocentrum. Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu. Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost. Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká všech tří stran. obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.v a obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sing pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec: S = s.( s - a).( s - b).( s - c) a + b + c s = 2 Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků: A. Obecný trojúhelník nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedené B. Ostroúhlý trojúhelník 3 z 69
trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostré C. Pravoúhlý trojúhelník trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90 a zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45. u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany odvěsny u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z Thaletovy věty pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S = (1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c 2 = a 2 + b 2 (při označení přepony písmenem c) v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce: protilehlá a sin a = = přepona c protilehlá tg a = = přilehlá a b přilehlá b cosa = = přepona c přilehlá b cotga = = protilehlá a D. Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrum E. Rovnoramenný trojúhelník má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna vnitřní úhly při základně jsou shodné trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí na ose souměrnosti leží i těžiště rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + c F. Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60 má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120 je osově souměrný - má tři osy souměrnosti střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm výšky jsou zároveň i těžnice obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a výška se vypočte podle vzorce v = a.ö3/2 II. Čtyřúhelník A. Obecný čtyřúhelník má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky AC = e, BD = f součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360 B. Rovnoběžník čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a. v a každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180 úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček a) čtverec má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90 4 z 69
úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky) obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a 2 nebo také S = u 2 /2 úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.ö2 b) obdélník má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má všechny vnitřní úhly pravé úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané je středově souměrný podle středu úhlopříček je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b) obsah se vypočte podle vzorce S = a.b pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova věta c) kosočtverec má všechny strany stejně dlouhé každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180 úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a obsah se vypočte podle vzorce S = a.v a nebo také S = u 1.u 2/2 lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříček d) kosodélník má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné má každé dva protější vnitřní úhly shodné každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180 úhlopříčky se navzájem půlí je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček C. Lichoběžník čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné; rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce S = ( a + c). 2 v a) rovnoramenný lichoběžník má obě ramena shodná má oba vnitřní úhly při každé základně shodné úhlopříčky jsou shodné je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základen b) pravoúhlý lichoběžník má právě dva vniřní úhly pravé jedno rameno je kolmé k oběma základnám III. Pravidelný pětiúhelník má všechny strany shodné má všechny vnitřní úhly shodné postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD najdeme střed K úsečky SB 5 z 69
sestrojíme úsečku KC obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka IV. Pravidelný šestiúhelník má všechny stany shodné je středově souměrný je osově souměrný- má 6 os souměrnosti sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných rovnostranných trojúhelníků každý vnitřní úhel má velikost 120 lze opsat i vepsat kružnici postup konstrukce: sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r na kružnici zvolíme libovolný bod A z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného šestiúhelníka V. Pravidelný osmiúhelník má všechny strany shodné je středově souměrný je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti lze opsat i vepsat kružnici VI. Kruh, kružnice a jejich části Základní pojmy: Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(s; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r. Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice. Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí. Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d. Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr. Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh: 1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice. 6 z 69
2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou. 3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou. Tečna je vždy kolmá na poloměr. Osa tětivy vždy prochází středem kružnice. Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového. Kružnice Pro výpočet délky kružnice platí vzorce: l = 2.p.r nebo l = p.d Kruh Pro výpočet obvodu kruhu platí vzorce: o = 2.p.r nebo o = p.d Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce: S = p.r 2 nebo S = p.d 2 /4 Kruhový oblouk Pro délku kruhového oblouku a platí: p.r a =.a 180 nebo Soustředné kružnice p.d a =.a 360 7 z 69
Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stjný střed, ale různý poloměr. Kruhová výseč Jedná se o rovinný útvar. Pro obsah kruhové výseče S platí: 2 p.r S =. a 360 nebo 2 p.d S =. a 1440 Kruhová úseč Jedná se opět o rovinný útvar. Mezikruží Rovinný útvar. Obsah mezikruží: 8 z 69
S = p. (R 2 - r 2 ) ± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 1. 1563 2. 1547 4 100 krát 3. 1574 2 řešení: 4. 1531 0,08 m 2, 800 cm 2 5. 1545 3,14 cm 2 9 z 69
6. 1537 Není zavlažováno 61,81 m 2, třetí strana pole je 33,94 m. 7. 1567 414 m 2 8. 1613 9. 1584 10 10. 1521 30 m 11. 1602 o = 24 cm; S = 41,6 cm 2 10 z 69
12. 1595 b) 13. 1513 280 Kč 14. 1626 11 z 69
15. 1614 204 cm 2 16. 1600 4 cm 17. 1586 54 cm 2 18. 1590 58 19. 249 cm 2 1627 20. 4 krát 1585 21. 1522 AF = 5 cm, BC = 1 cm 22. 1530 0,35 m 12 z 69
23. 1596 3350 m 2 24. 1609 9,18 cm 25. 1628 5 cm 26. 1593 700 m 2 ; 160 m 13 z 69
27. 1517, 28. 1588 13,9 cm 29. 1555 3 200 m 2 30. 1587 77,8 % 31. 1543 4,8 cm 32. 1578 33. 1607 Poloměr kružnice opsané: 4,62 cm Poloměr kružnice vepsané: 2,31 cm 60,5 % 14 z 69
34. 1617 4 cm 2 35. 1520 7,5 ha 36. 1599 37. 1581 11 38. 1536 30 cm 39. 1566 Nemohou 40. 1559 15 z 69
41. 1523 42. 1528 88 cm 43. 1562 44. 1604 45. 1541 90 16 z 69
46. 1616 46 cm 47. 1564 4/5 48. 1548 5,7 m 49. 1623 50. 1601 480 cm 2 26 cm 51. 1525 2 400 cm 2 17 z 69
52. 1618 16 trojúhelníků 53. 1508 0,8 m 54. 1561 27 obdélníků 55. 1518 53,7 cm 2 56. 1597 75 57. 1515 58. 1610 17,32 cm 18 z 69
59. 1509 a = 110, b = 70, c = 60, d = 50, e = 60, f = 70, g = 60, h = 110 60. 1511 50 61. 1570 40,2 m 2 62. 1549 63. 1591 64. 1514 19 z 69
65. 1580 Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABC na obrázku. Oba obsahy jsou shodné 66. 1565 Čtverec má větší obsah než obdélník. 67. 1611 140 m 68. 1540 6,075 cm 2 69. 1594 75 70. 1589 20 20 z 69
71. 1519 72. 1603 10 cm 73. 1615 155, resp. 205 74. 1553 60 cm 2 75. 1533 34,9 % 76. 1512 70 77. 977 m 2 1569 78. 1620 79. 1550 2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cm 21 z 69
80. 1556 v = 6,06 cm ABD 81. 1575 1/2 82. 1576 Zmenšení obsahu o 20 % Zmenšení obvodu o 11,11 % 83. 57,74 cm 2 1554 84. 1535 22 z 69
85. 1572 6,6 dm 2 86. 1577 Tupoúhlý 87. 5 cm 1507 88. 1557 ABD 89. 1534 112 dlaždic 90. 1529 50 cm 2 23 z 69
91. 1592 56,25 cm 2 92. 1606 65,1 % 93. 1532 0,4 m 94. 1598 15 95. 1546 94 96. 1516 24 z 69
97. 1542 98. 1526,, 99. 1621 100. 1622 25 mm 101. 1624 795, 2 m 2 25 z 69
102. 1510 120 103. 1625 193 m 104. 1558 105. 1551 106. 1527 26 z 69
107. 1560 52 cm 108. 24,3 cm 2 1539 109. 1524 40 m 110. 1544,, 111. 1579 BC = 10 cm, obsah je 54 cm 2 112. 1608 19 cm 2 113. 1582 6 27 z 69
114. 1583,, 115. 1612 13,5 cm 116. 1538 Ne 117. 1552 v = 4,33 cm 118. 1568 5 cm 119. 1605 28 z 69
± Pythagorova věta Pythagorova věta Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Důkaz: Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: a 2 = c. c a b 2 = c. c b ---------------- Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: a 2 + b 2 = c. c a + c. c b = c. (c a + c b) = c. c = c 2 Platí také věta obrácená: CBD Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c 2 = a 2 + b 2, pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A B C takový, aby při vrcholu C byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a = a b = b Pro přeponu trojúhelníka A B C platí Pythagorova věta: c 2 = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 = c 2 Z toho vyplývá, že c = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A B C (sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C (který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat. Ukázkové příklady: Příklad 1: Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c =? [cm] ----------------------- Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c. Pokud bude platit c = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý. 2 c = a + b 2 = 4 2 + 5 2 = 41 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý. 29 z 69
± Pythagorova věta - procvičovací příklady 1. 1347 2. 1345 3. 1344 12 cm 4. 1343 1 092 cm 2 5. 1339 1,4 m 6. 1350 4,9 cm 7. 0,6 cm 1340 8. 1342 110 m 9. 1349 1,78 cm 10. 1341 6,06 cm 11. 1348 30 z 69
12. 1346 12 ± Shodná zobrazení Shodná zobrazení Zobrazení nazveme shodné, jestliže útvary představující vzor a obraz jsou shodné. Body, které se zobrazují samy na sebe, nazýváme body samodružné. Mezi shodná zobrazení patří: I. Identita (totožnost) Identita je shodné zobrazení, kdy vzor a obraz jsou stejné (identické) útvary. Identita (totožnost) má nekonečně mnoho samodružných bodů. Zapisujeme: I: Útvar A ---> Útvar B II. Posunutí (translace) Posunutí je shodné zobrazení, které je dáno vektorem posunutí (orientovanou úsečkou). Posunutí nemá žádné samodružné body. Zapisujeme: T [AB]: Útvar A ---> Útvar B III. Osová souměrnost Osová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jednou přímkou, zvanou osa souměrnosti. Osová souměrnost má nekonečně samodružných bodů a jsou jimi všechny body ležící na ose souměrnosti. Můžeme tvrdit, že osová souměrnost má i nekonečně mnoho samodružných přímek, mezi něž patří jednak osa souměrnosti, ale i všechny přímky, které jsou k ose souměrnosti kolmé. Zapisujeme: O [<-->p]: Útvar A ---> Útvar B IV. Středová souměrnost Středová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jedním bodem, zvaným střed souměrnosti. Středová souměrnost má právě jeden samodružný bod, kterým je právě střed souměrnosti. Zapisujeme: S [S]: Útvar A ---> Útvar B V. Otočení (rotace) Otočení je shodné zobrazení, které je dáno jedním pevným bodem (středem otáčení) a úhlem otočení. Úhel otočení považujeme za kladný, otáčíme-li útvar proti směru hodinových ručiček a pokud otáčíme útvar po směru hodinových ručiček, pak považujeme úhel za záporný. Rotace má právě jeden samodružný bod, kterým je střed rotace. Zapisujeme: R [S; +30 ]: Útvar A ---> Útvar B 31 z 69
Pozn.: Středová souměrnost je vlastně zvláštní případ rotace. ± Shodná zobrazení - procvičovací příklady 1. 1685 2. 1693 3. 1687 4. 1694 5. 1692 6. 1697 32 z 69
7. 1684 8. 1698 9. 1683 10. 1688 11. 1695 12. 1691 13. 1681 33 z 69
14. 1686 15. 1696 16. 1689 17. 1682 18. 1690 19. 1699 ± Jehlan komolý Komolý jehlan Komolý jehlan je těleso, které vznikne z jehlanu klasického odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovými komolými jehlany, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou dolní podstavy jehlanu. 34 z 69
Objem komolého jehlanu se vypočte tak, že sečteme obsahy obou podstav, k součtu připočteme druhou odmocninu součinu obsahů obou podstav a vzniklý výsledek vynásobíme jednou třetinou výšky jehlanu. ( S + S S S ) 1 V = v + 3 1 2 1. 2 Povrch komolého jehlanu se vypočte jako součet obsahů obou podstav a obsahu pláště tělesa. S = S 1 + S 2 + S Q Příklad 1: 35 z 69
± Kužel komolý Komolý kužel Komolý kužel je těleso, které vznikne z klasického rotačního kužele odříznutím jeho špičky. Pozn.: Budeme se zabývat pouze takovým kuželem, kde rovina řezu je rovnoběžná s rovinou spodní podstavy kužele. Objem komolého kužele se vypočte jako jedna třetina součinu výšky kužele a Ludolfova čísla, násobená součtem druhé mocniny poloměru spodní podstavy, druhé mocniny poloměru horní podstavy a součinu obou poloměrů. Povrch komolého kužele je roven součtu obsahů obou kruhových podstav a obsahu pláště komolého kužele. 36 z 69
S S + S + = 1 2 S Q Příklad 1: Příklad 2: 37 z 69
± Posloupnosti Posloupnosti Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel. Funkční hodnota této funkce přiřazená každému kladnému číslu se nazývá n-tý člen posloupnosti. Nejčastěji se značí a n, b n, apod. a 1... 1. člen posloupnosti a 2... 2. člen posloupnosti a 3... 3. člen posloupnosti... a 7... 7. člen posloupnosti a 8... 8. člen posloupnosti... a n... n-tý člen posloupnosti Posloupnost {a n} se zapisuje: Ohraničená posloupnost Nechť je dána posloupnost {a n} a číslo C > 0. 38 z 69
Platí-li obecně pak, pak je posloupnost {a n} ohraničená. Rostoucí posloupnost Nechť je dána posloupnost {a n} = a 1, a 2, a 3,..., a n, a n+1,.... Platí-li: pak je posloupnost rostoucí. Každý následující člen je tedy vždy větší než člen předcházející. 39 z 69
Klesající posloupnost Nechť je dána posloupnost {a n} = a 1, a 2, a 3,..., a n, a n+1,.... Platí-li: pak je posloupnost klesající. Každý následující člen je tedy vždy menší než člen předcházející. Konečná posloupnost 40 z 69
Posloupnost se nazývá konečná (tj. má konečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je konečná množina D Ì N, tzn., že její definiční obor je množina prvních k přirozených čísel. Například předpis pro n-tý člen bude {2n - 1}, číslo k = 6. Nekonečná posloupnost Posloupnost se nazývá nekonečná (tj. má nekonečný počet členů), jestliže jejím definičním oborem je celá množina N. Zadání posloupnosti rekurentně 41 z 69
Je-li u posloupnosti zadán její první člen a dále (n+1). člen vyjádřený pomocí n-tého členu, říkáme, že je posloupnost zadána rekurentně. ± Posloupnosti - procvičovací příklady 1. Napište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně 2150 1; 2; 1; 1; 0; -1 2. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 2131 Posloupnost je omezená. 3. Stanovte n-tý člen posloupnosti: 2120 4. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 2136 Posloupnost je rostoucí. 5. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 2124 Posloupnost je klesající. 6. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem 2148 přičemž hodnoty členů a 1, a 2 udávají kořeny níže napsané kvadratické rovnice a platí a 1 < a 2. Určete prvních pět členů této posloupnosti. -14; 10; 34; 82; 222 42 z 69
7. Stanovte n-tý člen posloupnosti: 2119 8. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 2123 Posloupnost je rostoucí. 9. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem. a n = 1 kde n je přirozené číslo. 2142 10. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem a n+1= 2 - a n, přičemž a 1 = 0. Sledujte jednotlivé členy posloupnosti a určete její n-tý člen jako funkci indexu n. 2128 11. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem. 2145 12. Stanovte n-tý člen posloupnosti: 2116 13. Napište prvních pět členů posloupnosti dané rekurentně 2149 0; 1; 2; 1; -4 14. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem. 2143 15. Stanovte n-tý člen posloupnosti: 2117 43 z 69
16. Stanovte n-tý člen posloupnosti: 2115 17. Posloupnost je dána rekurentním vzorcem 2134 přičemž hodnotu členu a 1 udává přirozené číslo, které je řešením nerovnice Napište první čtyři členy této posloupnosti. 1; 1; 1/2; 1/6 18. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem. 2147 19. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem. 2146 20. Stanovte n-tý člen posloupnosti: 2122 21. Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen. 2139 22. Stanovte n- tý člen posloupnosti: 2114 23. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 2125 Posloupnost je omezená. 44 z 69
24. Vyjádřete následující posloupnost rekurentním vzorcem. 2144 25. Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen. 2140 26. Stanovte n-tý člen posloupnosti: 2118 n 2-1 27. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 2138 Posloupnost není rostoucí ani klesající. 28. Stanovte n-tý člen posloupnosti: 2121 29. Zjistěte, které z čísel 10, 35, 50 je členem posloupnosti 2133 35 30. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 2135 Posloupnost je rostoucí. 31. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 2137 Posloupnost je nerostoucí. 32. Určete níže uvedenou posloupnost rekurentním vzorce 2126 45 z 69
33. Mějme posloupnost zadanou rekurentně. Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen. 2141 34. Jsou dány posloupnosti. Rozhodněte, které z nich jsou omezené. 2132 Pouze poslední posloupnost je omezená. 35. Určete níže zadanou posloupnost rekurentním vzorcem 2127 36. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 2129 Posloupnost je omezená. 37. Je dána posloupnost. Rozhodněte, zda je rostoucí, klesající, či omezená. 2130 Posloupnost je omezená. ± Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost 1, 2, 3, 4, 5, 6,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 1 2, 4, 6, 8, 10,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 2 1, 3, 5, 7, 9,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 2 1, 3/2, 2, 5/2,..., a n-1, a n, a n+1 V tomto případě platí, že (a n - a n-1) = 1/2 Ve všech uvedených případech platí, že a n+1= a n + d Jde o aritmetické posloupnosti. Číslu d říkáme diference aritmetické posloupnosti. Definice: 46 z 69
Jestliže v posloupnosti {a n} platí rekurentní vzorec a n+1= a n + d, kde d je dané číslo (tedy konstantní) a nezávislé na n, nazývá se taková posloupnost aritmetickou posloupností. Číslo d nazýváme difernecí. Mějme obecně aritmetickou posloupnost a 1 a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d... a n = a 1 + (n - 1)d Věta 1: Pro výpočet n-tého členu aritmetické posloupnosti pomocí prvního členu a diference platí vzorec a n = a 1 + (n - 1)d, kde n je přirozené číslo. Věta 2: Pro dva libovolné členy a r, a s aritmetické posloupnosti platí rovnost: a s = a r + (s - r)d Příklad 1: První dva členy aritmetické posloupnosti jsou 40 a 37. Určete dvanáctý člen. 40, 37, 34, 31, 28, 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7,... a n = a 1 + (n - 1)d a 12= 40 + 11.d Protože d = -3, pak a 12= 40 + 11.(-3) = 7 Příklad 2: V aritmetické posloupnosti známe 10. a 20. člen. Jsou 25, -15 (po sobě). Určete d, a 1, a 50. a 10= a 1 + 9d = 25 a 20= a 1 + 19d = -15 ------------------- Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pokud ji vyřešíme, dostaneme a 1 = 61, d = -4 Pak stačí dopočítat a 50= 61 + 49. (-4) = -135 Příklad 3: Mezi čísla 3,7 a 6,8 máme vložit 9 čísel tak, aby s danými čísly tvořila aritmetickou posloupnost. Pozn.: Říkáme, že provádíme tzv. interpolaci devíti členů mezi daná dvě čísla. a 1 = 3,7 a 11= 6,8 = 3,7 + 10d --------------------------- d = 0,31 47 z 69
3,7; 4,01; 4,32; 4,63; 4,94; 5,25; 5,56; 5,87; 6,18; 6,49; 6,80 Věta 3: V aritmetické posloupnosti {a n} platí pro součet s n jejích prvních n členů následující vzorec: n s + 2 ( a ) n = 1 a n Příklad 4: Vypočtěte součet prvních n lichých čísel. a 1 = 1 a n = 1 + (n - 1). 2 = 2n - 1 s n 2 n 2 2 ( a + a ) = ( 1+ 2n - ) n n = 1 n 1 = ± Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady 1. 1. řešení je 3, druhé řešení je 4. 2205 2. 2201 3. 2198 d = 0,5, a n+1= a n + 0,5, a 1 = (a + 1)/2 48 z 69
4. 2191 5. Rozměry kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jak jsou velké, měří-li jejich součet 24 cm a objem kvádru je 312 cm 3? 2193 6. 2207 7. 2195 9 8. 2192 9. 2190 10 10. 2203 11. 2209 1. řešení: 2. řešení: 3. řešení: 49 z 69
12. 2196 13. 2194 14. 2202 15. 2204 1. řešení je 42, 2. řešení je (-33) 16. 2199 17. 2200 18. 190 2206 50 z 69
19. 2208 20. 2197 21. 2210 ± Geometrická posloupnost Geometrická posloupnost 1, 2, 4, 8, 16, 32,... Zde platí: a 2 = 2a 1 a 3 = 2a 2 atd. 1, 1/3, 1/9, 1/27,... Zde platí: a 2 = (1/3)a 1 a 3 = (1/3)a 2 atd. obecně a n = (1/3)a n-1 51 z 69
Následující člen je vždy nějakým násobkem členu předcházejícího. Definice: Jestliže v posloupnosti {a n} platí rekurentní vzorec a n+1= a n. q, kde q je dané číslo nezávislé na n (= konstanta), nazýváme takovou posloupnost geometrickou posloupností. Číslo q nazýváme kvocientem geometrické posloupnosti. a 2 = a 1. q a 3 = a 2. q = a 1. q 2 a 4 = a 3. q = a 1. q 3... a n = a 1. q n-1 Věta 1: Pro výpočet n-tého členu geometrické posloupnosti z prvního členu a z kvocientu platí vzorec a n = a 1. q n-1, kde n je přirozené číslo. Věta 2: Pro libovolné dva členy a r, a s geometrické posloupnosti platí rovnost: a s = a r. q s-r Věta 3: Součet prvních n členů geometrické posloupnosti {a n} je určen vzorcem: s n = a 1. n q -1 q -1 kde q ¹ 1 Pozn.: Je-li q < 1, pak je vhodné použít vztahu s n = a 1. n 1- q 1- q Je-li q = 1, pak dostáváme posloupnost a 1, a 1, a 1,... a pro součet prvních n členů pak platí: s n = n.a 1 Příklad 1: Je dáno a 8 = -40, a 9 = -80. Určete příslušnou geometrickou posloupnost. Pozn.: Určit geometrickou posloupnost znamená zapsat její 1. člen a kvocient. a 8 = a 1. q 7 = -40 a 9 = a 1. q 8 = -80 ------------------ Získali jsme soustavu rovnic. Při jejím řešení je vhodné použít postup, že druhou rovnici vydělíme rovnicí první. Dostaneme tak q = 2 a dosazením do jedné z rovnic pak vypočteme, že a 1 = -5/16 Příklad 2: Najděte 4 čísla, která tvoří část geometrické posloupnosti o součtu 360, víte-li, že poslední číslo je 9krát větší než druhé číslo. Určete danou posloupnost. n = 4 s n = 360 52 z 69
a 4 = 9. a 1. q ----------------- 4 q -1 360 = a1. q -1 9.a 1.q = a 1. q 3 ---------------------- Z druhé rovnice q 1 = +3 q 2 = -3 Po dosazení do rovnice první dostáváme (a 1) 1 = 9 (a 1) 2 = -18 Hledané posloupnosti tedy mohou být dvě, a to: 9, 27, 81, 243-18, 54, -162, 486 ± Geometrická posloupnost - procvičovací příklady 1. 2228 a 1 = 6, q = 2 2. 2223 3. 425 2213 4. 2225 5. 2224 6. 2216 Úloha má tři řešení: 7. 2227 a 1 = 5, q = 2 53 z 69
8. 2212 Vložená čísla: 10, 20, 40, 80, 160, 320 9. 2217 280 10. 2218 595 11. 2214 s 10= a 2 /1024 12. 2226 1. řešení: 162 2. řešení: 2/3 13. 2220 n = 4 s n = 120 14. 2215 27 cm 3 15. 2222 54 z 69
16. Doplňte zbývající čísla v tabulce: 2229 17. 2219 18. Doplňte zbývající čísla v tabulce: 2230 19. 2221 6 55 z 69
20. 2211 1. řešení: 1, 2, 4, 8 2. řešení: 8, 4, 2, 1 ± Analytická geometrie Analytická geometrie Analytická geometrie je odvětví matematiky - vznikla už v 17. století. Za její zakladatele jsou považováni francouzští matematici René Descartes a Pierre Fermat. Podstatou analytické geometrie je převedení geometrické úlohy pomocí souřadnic na úlohu algebraickou, zpravidla na řešení soustavy rovnic. Výsledné řešení se pak interpretuje zpět geometricky. Základní pojmy Narýsujeme-li dvě na sebe kolmé přímky v rovině, dostáváme souřadný systém. Přímky nazýváme souřadné osy a tu, která je vodorovně, nazveme osou x a tu, která je svisle, nazveme osou y. Průsečík obou os označujeme zpravidla O a nazýváme ho počátek souřadného systému. Kladné poloosy označujeme šipkou a na obou osách vyznačíme měřítko - pravidelné dílky - zpravidla po 1 cm. Chceme-li zobrazit bod v souřadném systému, zobrazujeme jeho první souřadnici vždy na ose x a druhou souřadnici vždy na ose y. Bod vždy zapisujeme např. A[2; 3]. Vzdálenost dvou bodů v rovině Nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[x A ; y A ] a B[x B ; y B]. Chceme-li určit jejich vzdálenost, postupujeme následovně: Pro vzniklý trojúhelník pak použijeme Pythagorovu větu a dostaneme vzorec: Příklad 1: Vypočtěte vzdálenost bodů K[5; 7] a L[2; 11]. KL = 2 2 ( 2-5) + ( 11-7) = 5 56 z 69
Příklad 2: Jsou dány body A[1; 3], B[-1; x]. Určete číslo x tak, aby AB = Ö5. Má platit: 2 2 (- 2) + ( x - 3) = 5 4 + (x - 3) 2 = 5 Dostaneme dvě řešení x 1 = 4, x 2 = 2 Střed úsečky v rovině Opět nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[x A ; y A ] a B[x B ; y B]. Chceme-li určit střed úsečky, kterou tyto body určují, postupujeme následovně: Souřadnice středu S[x S; y S] pak zapíšeme: Příklad 3: Jsou dány body A[2; -3], B[-5; 4]. Určete střed úsečky AB. x S y S (- 5) 2 + = = - 2 (- 3) + 4 = = 2 Závěr: S[-3/2; 1/2] 3 2 1 2 ± Vektory Vektory Orientovanou úsečkou nazýváme nenulovou úsečku, u níž je označen jeden z jejích krajních bodů za počáteční a druhý za koncový. 57 z 69
Leží-li orientované úsečky AB, CD na téže přímce, pak je nazýváme souhlasně orientované, je-li jedna z polopřímek AB, CD částí druhé, případně jestliže obě polopřímky splývají. Rovnoběžně orientované úsečky se jmenují nesouhlasně orientované, jestliže nejsou orientovány souhlasně. Množina všech souhlasně orientovaných úseček AB, CD,... téže velikosti se nazývá vektorem (nenulovým) a označuje se buď tučně tištěným písmem (při psaní je někdy podtrhujeme) nebo znakem Každá z daných orientovaných úseček se nazývá umístěním vektoru u. Vektor u je určen kterýmkoliv svým umístěním AB, proto ho také nazýváme vektorem AB a píšeme u = AB. Jsou-li orientované úsečky AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou si rovny a píšeme AB = CD. Množina všech nulových úseček se nazývá nulovým vektorem a označuje se o. Při jeho každém umístění splývá bod počáteční s bodem koncovým; je-li A = B, pak AB = o. Jsou-li orientované úsečky AB, CD rovnoběžné, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou rovnoběžné; také říkáme, že vektor AB je rovnoběžný s přímkou AB nebo s přímkou CD. Nulový vektor pokládáme za rovnoběžný s každou přímkou. Jsou-li orientované úsečky AB, CD souhlasně (nesouhlasně) orientovány, pak říkáme, že také vektory AB, CD jsou souhlasně (nesouhlasně) orientovány nebo že jsou souhlasně (nesouhlasně) rovnoběžné. Je-li vektor AB roven vektoru CD, pak úsečky AD, BC mají týž střed. (1) Mají-li úsečky AD, BC týž střed, pak je vektor AB roven vektoru CD. (2) Mějme nyní dvě umístění AB, CD téhož vektoru u; to znamená, že je AB = CD. Podle věty (1) mají pak úsečky AD, BC týž střed. Zvolme nyní soustavu souřadnic, ve které je A[a 1; a 2], B[b 1; b 2], C[c 1; c 2], D[d 1; d 2]. Potom platí pro souřadnice společného středu úseček AD, BC jednak vzorec A + D S = 2 a jednak vzorec B + C S = 2 Je tedy A + D B + C = 2 2 (3) A + D = B + C, čili D - C = B - A (4) Tato symbolická rovnice zastupuje tyto dvě rovnice: d 1 - c 1 = b 1 - a 1 d 2 - c 2 = b 2 - a 2 (5) Obráceně - platí-li při stejném označení souřadnic všech bodů obě rovnice (5), tj. platí-li rovnice (4), pak platí též rovnice (3). To však znamená, že střed úsečky AD je týž jako střed úsečky BC. Podle věty (2) je tedy vektor AB roven vektoru CD, čili úsečky AB, CD jsou umístěním téhož vektoru. Závěr: Jsou-li AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak pro souřadnice bodů A, B, C, D platí rovnice vyjádřené jedinou symbolickou rovnicí D - C = B - A. Mějme dvě umístění téhož vektoru u. Souřadnice příslušných bodů nechť jsou A[a 1; a 2], B[b 1; b 2], C[c 1; c 2], D[d 1; d 2]. Pak platí u 1 = b 1 - a 1 = d 1 - c 1 u 2 = b 2 - a 2 = d 2 - c 2 (vyplývá z předešlého závěru). Čísla u 1, u 2 nejsou závislá na umístění vektorů u. Tato čísla budeme nazývat souřadnice vektoru u. Jsou to souřadnice koncového 58 z 69
bodu takového umístění vektoru, jehož počáteční bod leží v počátku souřadného systému. Je-li jedno z umístění daného vektoru u, pak budeme opět používat symbolického zápisu u = B - A. Závěr: Je-li orientovaná nebo nulová úsečka AB umístěním vektoru u, pak pro souřadnice bodů A[a 1; a 2], B[b 1; b 2] a vektoru u = (u 1; u 2) platí rovnice u 1 = b 1 - a 1 u 2 = b 2 - a 2 které symbolicky vyjadřujeme jedinou rovnicí u = B - A. Příklad 1: Zjistěte souřadnice vektoru u = AB, je-li A[-3; 4], B[-4; 2]. u 1 = -4 - (-3) = -4 + 3 = -1 u 2 = 2-4 = -2 u = (-1; -2) Příklad 2: Umístěte vektor u = (2; -7) do bodu A[-4; 1]. Hledáme bod B[x 2; y 2] takový, aby bylo u = AB. x 2 = -4 + 2 = -2 y 2 = 1 + (-7) = -6 Bod B má souřadnice [-2; -6]. Velikost vektoru Definice: Velikostí vektoru u = (u 1; u 2) rozumíme velikost kteréhokoliv jeho umístění. Věta: Velikost vektoru u = (u 1; u 2) vypočteme podle vzorce 2 u = u 1 + u 2 2 Vektor, jehož velikost je rovna jedné, budeme nazývat jednotkovým vektorem. Příklad 1: Určete velikost vektoru u = (3; 2). u = Ö(3 2 + 2 2 ) = Ö13 Vektor u má velikost Ö13. Příklad 2: Určete velikost vektoru u, je-li dáno jeho umístění AB, kde A[-2; 3], B[-2; -1]. 59 z 69
u 1 = -2 + 2 = 0 u 2 = -1-3 = -4 u =Ö(0 2 + (-4) 2 ) = Ö16 = 4 Vektor u má velikost 4. Příklad 3: Vektor a = (a 1; a 2) je jednotkový. Zjistěte a 2, je-li a 1 = 0,5. 0,5 2 + a 2 2 = 1 a 2 2 = 3/4 (a 2) 1 = Ö3/2 (a 2) 2 = -Ö3/2 Dostali jsme tedy dva jednotkové vektory a 1 = (0,5; Ö3/2) a a 2 = (0,5; -Ö3/2). Součin čísla a vektoru Součinem reálného čísla a vektoru bude opět vektor. Má shodný směr a orientaci s původním vektorem za předpokladu, že k je kladné číslo. Je-li číslo k záporné, pak je příslušný vektor opačně orientovaný. Velikost výsledného vektoru je rovna k násobku velikosti vektoru původního. Věta 1: Mějme k libovolné reálné číslo a u libovolný vektor, který má souřadnice (u 1; u 2). Vektor k.u má souřadnice (k.u 1; k.u 2). Věta 2: Jsou-li dány nenulové rovnoběžné vektory u, v, pak existuje jediné reálné číslo k ¹ 0 takové, že v = k. u. Příklad 1: Je dán vektor a = (-2; 3). Vypočtěte souřadnice vektoru b = k.a pro k = 3/2. b 1 = (3/2). (-2) = -3 b 2 = (3/2). 3 = 9/2 Vektor b má souřadnice (-3; 9/2). Příklad 2: Vypočtěte souřadnice středu S úsečky OA, kde je O počátek soustavy souřadnic a A[3; 4]. Vektor OS = (1/2). OA, proto s 1 = (1/2). 3 = 3/2 s 2 = (1/2). (-4) = -2 Střed úsečky OA má souřadnice [3/2; -2]. Sčítání vektorů Věta 1: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u 2) a vektor v souřadnice (v 1; v 2), pak vektor u + v má souřadnice (u 1 + v 1; u 2 + 60 z 69
v 2). Věta 2: Pro sčítání vektorů platí zákon komutativní. Věta 3: Pro sčítání vektorů platí zákon asociativní i zákon distributivní. Věta 4: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u 2) a vektor v souřadnice (v 1; v 2), pak vektor u - v má souřadnice (u 1 - v 1; u 2 - v 2). Příklad 1: Zjistěte souřadnice vektoru c = a + b, jestliže a = (-2; 1), b = (-2; -2). c 1 = -2 + (-2) = -2-2 = -4 c 2 = 1 + (-2) = 1-2 = -1 Vektor c má souřadnice (-4; -1). Příklad 2: Zjistěte souřadnice vektoru d = a + b + c, je-li a = (1; 2), b = (0; 1), c = (2; 1). d 1 = 1 + 0 + 2 = 3 d 2 = 2 + 1 + 1 = 4 Vektor d má souřadnice (3; 4). Příklad 3: Je dán vektor a = (-4; 3). Napište souřadnice vektoru -a. Vektor -a má souřadnice (4; -3). Příklad 4: Vypočtěte souřadnice vektoru z = u - v, jestliže u = (-3; 5), v = (-2; -4). z 1 = -3 - (-2) = -1 z 2 = 5 - (-4) = 9 Vektor z má souřadnice (-1; 9). Pozn.: Pokud uvažujeme vektory v prostoru, jsou všechny výpočty naprosto analogické, vektory mají ale 3 souřadnice. Lineární kombinace vektorů Věta 1: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u 2) a vektor v souřadnice (v 1; v 2), a jsou-li k, l reálná čísla, pak výraz k.u + l.v nazýváme lineární kombinací vektorů u, v. 61 z 69
Umístíme-li vektory u, v do roviny např. r, pak výsledný vektor w = k.u + l.v leží také v rovině r. Lineární závislost a nezávislost vektorů Věta 1: Dva vektory u, v nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru, např. u = k.v, kde k je libovolné reálné číslo. Tento případ nastane, právě když je lze umístit na jednu přímku. Věta 2: Jsou-li dva vektory rovnoběžné, jsou též lineárně závislé. Věta 3: Jsou-li dva vektory lineárně závislé, pak jsou buď rovnoběžné, nebo aspoň jeden z nich je nulový. Věta 4: Dva vektory nazýváme lineárně nezávislé, nelze-li žádný z nich vyjádřit jako násobek druhého vektoru, tj. nelze-li je umístit na jednu přímku. Věta 5: Tři vektory u, v, w nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních dvou; např. ve tvaru w = k.u + l.v, kde k, l jsou reálná čísla. Pozn.: Tento případ nastane právě tehdy, když lze vektory u, v, w umístit do jedné roviny. Věta 6: Nejsou-li vektory u, v, w lineárně závislé, nazýváme je lineárně nezávislé. Takové vektory nelze umístit do jedné roviny. Příklad 1: Zjistěte, zda jsou vektory u = (2; -12), v = (-1; 6) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Kdyby byly vektory u, v lineárně závislé, pak by existovalo reálné číslo k takové, že by platilo u = k.v. 2 = -1k -12 = 6k k 1 = -2 k 2 = -2 Vzhledem k tomu, že k 1 = k 2, pak platí, že u = k.v. Proto vektory u, v jsou lineárně závislé (jsou rovnoběžné). Příklad 2: Zjistěte, zda jsou vektory u = (12; 1; 14), v = (1; 3; 0), w = (2; 1; 2) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Kdyby byly vektory u, v, w lineárně závislé, pak by bylo možno jeden z nich napsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů - např. u = k.v + l.w, kde k, l jsou reálná čísla. 12 = k + 2l 1 = 3k + l 14 = 2l ------------------- Ze třetí rovnice je l = 7; po dosazení do první i druhé rovnice vyjde k = -2. Platí u = -2v + 7w. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně závislé. 62 z 69
Příklad 3: Určete a 2 tak, aby vektory a = (2; a 2; 5), b = (1; 2; 1), c = (5; 2; 2) byly lineárně závislé. Pokusme se najít reálná čísla k, l taková, aby platilo a = k.b + l.c 2 = k + 5l a 2 = 2k + 2l 5 = k + 2l ------------------ Odečteme-li první rovnici od třetí, dostaneme l = -1. Dosadíme-li l = -1 do první rovnice, dostaneme k = 7. Dosadíme-li l = -1, k = 7 do druhé rovnice, dostaneme a 2 = 12. Aby vektory a, b, c byly lineárně závislé, musí být a 2 = 12; potom je a = 7b - c. Příklad 4: Zjistěte, zda vektory u = (1; 3; 5), v = (1; 3; -2), w = (-3; -9; 6) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w. 1 = k - 3l 3 = 3k - 9l 5 = -2k + 6l ----------------- Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. O lineární závislosti či nezávislosti vektorů u, v, w však zatím nemůžeme udělat žádný závěr. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w. 1 = m - 3n 3 = 3m - 9n -2 = 5m + 6n ----------------- Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla m, n existují; m = 0, n = -1/3. Platí tedy v = 0.u - (1/3).w, tj. v = (-1/3).w. Vektory u, v, w jsou lineárně závislé. Příklad 5: Zjistěte, zda vektory u = (0; 0; 1), v = (2; 1; 1), w = (1; 1; 1) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u = k.v + l.w. 0 = 2k + l 0 = k + l 1 = k + l ----------------- Řešením zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v = m.u + n.w. 2 = n 1 = n 1 = m + n ----------------- Řešením této soustavy zjistíme, že taková m, n neexistují. Ani nyní ještě nemůžeme udělat závěr o lineární závislosti či nezávislostivektorů. Zbývá zjistit, zda existují taková reálná čísla p, q, aby platilo w = p.v + q.u. 1 = 2q 63 z 69
1 = q 1 = p + q ------------------ Řešením dané soustavy zjistíme, že taková čísla p, q neexistují. Protože ani jeden z vektorů u, v, w nelze zapsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů, nejsou vektory u, v, w lineárně závislé. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé. Úhel dvou vektorů Každé dva vektory můžeme vždy umístit tak, aby měly společný počáteční bod. Při umístění vektorů u, v do bodu A označme jejich koncové body B a C. Může pak nastat několik různých situací: 1. Vektory jsou rovnoběžné souhlasně rovnoběžné nesouhlasně rovnoběžné 2. Vektory svírají nějaký dutý úhel (polopřímky AB, AC svírají tento úhel) Úhel vektorů je v případě souhlasně rovnoběžných vektorů roven nule, v případě nesouhlasně rovnoběžných vektorů roven 180. Odvození vzorce pro určení úhlu dvou vektorů: Nechť vektory u = (u 1; u 2), v = (v 1; v 2) spolu svírají dutý úhel. Nechť dále platí, že u = AB, v = CD. K výpočtu úhlu vektorů potřebujeme znát ještě velikost vektoru BC. K jeho určení provedeme následující konstrukci. Do bodu B umístíme vektor -v; jeho koncový bod označíme D. AD je umístění vektoru u - v. Protože obrazec ADBC je rovnoběžník, je zřejmé, že i CB je umístění vektoru u - v. Trojúhelník ABC má tedy tyto délky stran: AB = u, AC = v, BC = u - v Podle kosinové věty pak platí: u - v 2 = u 2 + v 2-2. u. v. cos j Po dosazení dostaneme: (u 1 - v 1) 2 + (u 2 - v 2) 2 = u 1 2 + u 2 + v 1 2 + v 2-2. u. v. cos j Po odstranění závorek a sloučení dostaneme -2u 1v 1-2u 2v 2 = -2. u. v. cos j Protože oba vektory u, v jsou nenulové, můžeme psát: u 1v1 + u2v cos f = 2 u. v Pomocí tohoto vzorce můžeme tedy vypočítat úhel dvou vektorů. Pozn.: Pokud by byly vektory zadány třemi souřadnicemi, pak by v čitateli zlomku bylo u 1v 1 + u 2v 2 + u 3v 3 Příklad 1: 64 z 69
Vypočtěte úhel vektorů u = (-1; 2) a v = (1; 3) u = 1+ 4 = 5 v = 1+ 9 = 10 (- ) 1.1+ 2.3 cos f = = 5. 10 2 2 f = 45 Oba vektory spolu svírají úhel 45. Příklad 2: Vypočtěte úhel vektorů a = (-2; 1; 2), b = (-2; -2; 1) a b = = (- 2) 2 + 1 2 + 2 = 3 2 2 2 (- 2) + (- 2) + 1 = 3 (- 2 )(. - 2) + 1. (- 2) 2 + 2.1 4 cos f = = = 0,4444 3.3 9 f = 63 40 Úhel obou vektorů je 63 40. Skalární součin dvou vektorů Skalární součin dvou vektorů je reálné číslo, nikoliv tedy vektor! Platí: u. v. cos f = u 1v 1 + u 2v 2 Neboli u. v = u. v. cos f Závěr: u. v = u 1v 1 + u 2v 2 Pozn.: V prostoru by platilo: u. v = u 1v 1 + u 2v 2 + u 3v 3 Příklad 1: Vypočtěte skalární součin a. b, je-li a = 2, b = 1 a svírají-li vektory a, b úhel o velikosti 120. a. b = 2. 1. cos 120 = 2. (-0,5). = -1 Skalární součin obou vektorů je tedy roven -1. Příklad 2: Vypočtěte skalární součin vektorů a = (2; -3), b = (3; 2) a úhel vektorů a, b. 65 z 69
a. b = 2. 3 + (-3). 2 = 6-6 = 0 Skalární součin obou vektorů je tedy roven nule. Podle vzorce cos f = a. b a. b Protože ale a. b je rovno nule, pak musí být rovno nule i cos f. Odtud pak dostaneme, že f = 90. Oba vektory jsou tedy na sebe kolmé. Příklad 3: Je dán vektor a. Vypočtěte skalární součin a. a. a. a = a. a. cos 0 a. a = a 2 Kolmost vektorů Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b a. b = a. b. cos f je roven nule, jestliže vektory svírají pravý úhel, tj. je-li f = 90. Věta platí i obráceně - tedy je-li skalární součin dvou nenulových vektorů roven nule, jsou vektory k sobě kolmé. Příklad 1: Ověřte, že vektory a = (3; 2; 1), b = (2; -3; 0) jsou navzájem kolmé. Platí, že vektory jsou na sebe kolmé, jestliže platí: u 1v 1 + u 2v 2 + u 3v 3 = 0 Pokud do rovnice dosadíme, dostaneme 3. 2 + 2. (-3) + 1. 0 = 0 Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b je roven nule, vektory a, b jsou tedy kolmé. Příklad 2: Určete souřadnici n 2 vektoru n tak, aby vektory n = (3; n 2; 2) a v = (1; -2; 4) byly navzájem kolmé. Podle podmínky pro kolmost vektorů v závislosti na jejich skalárním součinu musí platit: 3. 1 + n 2. (-2) + 2. 4 = 0 Odtud dostaneme: n 2 = 5,5 66 z 69
Vektory n, v jsou k sobě kolmé pro n 2 = 5,5. ± Vektory - procvičovací úlohy 1. 2299 2. 2303 2,5 3. 2287 1. řešení: 2. řešení:,, 4. 2297 5. 2291 6. 2300,, 7. 2304-2 8. 2296 9. 2285 67 z 69
10. 2288 1. řešení: 2. řešení: 11. 2289 12. 2294 13. 2301 14. 2302 15. 2298 16. 2286 17. 2295 18. 2293 68 z 69
19. 2292 20. Ano 2290 69 z 69
Obsah Geometrické útvary a jejich vlastnosti 1 Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 9 Pythagorova věta 29 Pythagorova věta - procvičovací příklady 30 Shodná zobrazení 31 Shodná zobrazení - procvičovací příklady 32 Jehlan komolý 34 Kužel komolý 36 Posloupnosti 38 Posloupnosti - procvičovací příklady 42 Aritmetická posloupnost 46 Aritmetická posloupnost - procvičovací příklady 48 Geometrická posloupnost 51 Geometrická posloupnost - procvičovací příklady 53 Analytická geometrie 56 Vektory 57 Vektory - procvičovací úlohy 67 15.12.2007 21:28:11 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)