VII. Transformace náhodné veličiny. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Ex(; ) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ). c) Vypočtěte modus náhodné veličiny Y. Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je, x (, ), f(x) = e x, x, ); F (x) =, x (, ), e x, x, ); Obrázek. a obrázek.. Odtud plyne, že X, ). Dále si znázorněme průběh funkce Y = X, X, ). Obrázek.. Odtud vidíme, že Y, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ). Potom pro y dostaneme: P (Y y) = P ( X y) = P (X y ) = F (y ). Je tedy e y. Dále je g(y) = G (y) = ( e y ) = ye y pro y >. Tudíž, y (,, e y, y, );, y (, ), g(y) = ye y, y (, ); Pokud neznáme distribuční funkci, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d dy (F (y )) = F (y ).y = f(y ).y = ye y Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích. a.5. pro y (, ). b) Střední hodnotu a rozptyl můžeme počítat dvěma způsoby. Buď použijeme nového rozdělení původního rozdělení náhodné veličiny X. Oba způsoby se navzájem liší provedenou substitucí v integrálu ve vzorcích. Druhý způsob používáme v případech, kdy potřebujeme znát pouze momenty transformované veličiny a nezajímá nás její rozdělení.. E(Y ) = yg(y) dy = yye y dy = = [ ye y] π + e y dy = +. E(Y ) = = Nebo y g(y) dy = y ye y dy = y e y dy = y = t, ydy = dt = y ( e y) dy = te t dt = [ te t e t] =.
. E(Y ) = E( X) = = t e t dt =... = π/. E(Y ) = E(X) =... =. xf(x) dx = xe x dx = x = t, dx = tdt = c) Modus je hodnota, pro níž má hustota maximum. Jestliže si uvědomíme průběh z obrázku.5 je tento bod nulovým bodem derivace hustoty. Je g (y) = (ye y ) = e y ( y ) = y = y = ±. Protože je náhodná veličina Y kladná je modus roven ŷ = a g(ŷ) = e.. Náhodná veličina X má normální rozdělení N(; ) a náhodná veličina Y = X. Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. Řešení: Označme ϕ hustotu a Φ distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je ϕ(x) = π e x, x (, ). Obrázek. a obrázek.. Odtud plyne, že X (, ). Dále si znázorněme průběh funkce Y = X, X (, ). Obrázek.. Odtud vidíme, že Y, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ). Potom pro y dostaneme: P (Y y) = P (X y) = P ( y X y) = Φ( y) Φ( y) = = Φ( y). Je tedy g(y) = G (y) = d dy (Φ( y) ) = ϕ( y) y = e y, y (, ) πy a g(y) =, y (, ). Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích. a.5.. Náhodná veličina X má Cauchyovo rozdělení s hustotou f, kde f(x) =, x (, ). π( + x ) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y, kde a) Y = X ; b) Y = X ; c) Y = X ; d) Y = X ; e) Y = arctg X. Případně vypočtěte E(Y ) a D(Y ). Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je f(x) = π( + x ), x (, ), a F (x) = ( ) π π + arctg x, x (, ).
Obrázek.a a obrázek.a. Odtud plyne, že X (, ). Dále si znázorněme průběh funkce Y =, X (, ). Obrázek.a. Odtud vidíme, že X Y (, ) (, ). Potom pro y < dostaneme: P (Y y) = P ( X y) = P ( y X < ) = F () F ( y ). Pro y dostaneme: P (Y y) = P ( X y) = P (X ) + P ( y X) = F () + F ( y ). Protože je F () =, je arctg ( ), y (, ), π y arctg ( ), y (, ); g(y) = π y π(+y ), π(+y ), y (, ), y (, ); Vidíme, že jsou hustoty f a g shodné a tudíž mají náhodné veličiny X a Y shodné rozdělení. Pokud neznáme distribuční funkci a pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d dy ( F ( )) ( ) = F y y y = f Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.a a.5a. Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. ( ). y y = π( + y ), y R. b) Znázorněme si průběh funkce Y = X, X (, ). Obrázek.b. Odtud vidíme, že Y, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ). Pro y dostaneme: P (Y y) = P ( X y) = P ( y X y) = F (y) F ( y) = = [( π + arctg y) ( π + arctg ( y))] = arctg y. π π Tedy g(y) = G (y) =, y (, ). π(+y ) Tudíž, y (,,, y (, ), arctg y, y, ); g(y) =, y (, ); π π(+y ) Pokud neznáme distribuční funkci, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d (F (y) F ( y)) = F (y) + F ( y) = f(y) + f( y) = dy π(+y ) y (, ). Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.b a.5b. Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. c) Znázorněme si průběh funkce Y = vidíme, že Y, ). pro X, X (, ). Obrázek.c. Odtud
To znamená, že g(y) = pro y (, ). Pro y dostaneme: P (Y y) = P ( X y) = P ( X y ) = P ( y X y ) = F (y ) F ( y ) = [( π + arctg π (y )) ( π + arctg ( y ))] = arctg π (y ). Tedy g(y) = G (y) = Tudíž y, y (, ). π(+y ), y (,, arctg π (y ), y, );, y (, ), g(y) = y (, ); y π(+y ), Pokud neznáme distribuční funkci, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d (F dy (y ) F ( y )) = yf (y )+yf ( y ) = yf(y )+yf( y ) = pro y (, ). y π(+y ) Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.c a.5c. Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. d) Znázorněme si průběh funkce Y = X, X (, ). Obrázek.d. Odtud vidíme, že Y, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ). Pro y dostaneme: P (Y y) = P (X y) = P ( y X y) = F ( y) F ( y) = [( π + arctg ) y)) ( π + arctg ( y))] = arctg ( y). π π Tedy g(y) = G (y) = π, y (, ). y(+y) Tudíž, y (,, arctg ( y), y, ); π, y (, ), g(y) = y (, ); π, y(+y) Pokud neznáme distribuční funkci a pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d dy (F ( y) F ( y)) = (F ( y) + F ( y)) y = = (f( y) + f( y)) y = π y(+y) pro y (, ). Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.d a.5d. Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. e) Znázorněme si průběh funkce Y = arctg X, X (, ). Obrázek.e. Odtud vidíme, že Y ( π, π ). To znamená, že g(y) = pro y (, π ) ( π, ), pro y (, π a pro y π, ).
Potom pro y π, π dostaneme: P (Y y) = P (arctg X y) = P (X tg y) = F (tg y). Je tedy π ( π + arctg (tg y)) = + y π, π y π. Tudíž pro hustotu dostaneme g(y) = G (y) = =, π < y < π. π +(tg y) cos y π Pokud neznáme distribuční funkci F a pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d F (tg y) = F (tg y) = f(tg y) = dy cos y cos y pro π < y < π. Dostaneme = π(+tg y ) cos y π, y (, π,, y (, π), + y, y π, π, g(y) =, y ( π, π), π, y π, ); π, y ( π, ); Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.e a.5e. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) = yg(y) dy = π π π y dy = [ ] y π π π =. E(Y ) = E(arctg X) = arctg xf(x) dx = = [ ] (arctg x) π =. Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y ) (E(Y )). Je pak arctg x π( + x ) dx = E(Y ) = y g(y) dy = π π π y dy = [ ] y π π π = π π.8 = π E(Y ) = E((arctg X) ) = (arctg x) f(x) dx = π π arctg x π( + x ) dx = Odtud plyne, že = [ ] (arctg x) π π π = π.8π = π. D(Y ) = E(Y ) (E(Y )) = E(Y ) = π. 5
. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu,. Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y, kde a) Y = ln X; b) Y = e X ; c) Y = X ; d) Y = X. Případně vypočtěte E(Y ) a D(Y ). Řešení: Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je f(x) =, x (, ),, jinde; a F (x) =, x, x, < x <,, x. Obrázek.a a obrázek.a. Odtud plyne, že X (, ). a) Znázorněme si průběh funkce Y = ln X, X (, ). Obrázek.a. Odtud vidíme, že Y ( ln, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ln ). Potom pro y ln dostaneme: P (Y y) = P ( ln X y) = P (ln X y) = P (X e y ) = F (e y ). Je tedy e y, y ln a g(y) = G (y) = e y, y > ln. Pokud neznáme distribuční funkci F a pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d ( F dy (e y )) = F (e y )e y = f(e y )e y = e y pro y ( ln, ). Dostaneme, y (, ln, e y, y ln, );, y (, ln ), g(y) = e y, y ( ln, ); Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.a a.5a. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) = yg(y) dy = ln ye y dy = [ ye y e y] ln = ln E(Y ) = E( ln X) = ln xf(x) dx = ln x dx = [xln x x] = = ln. Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y ) (E(Y )). Je pak E(Y ) = y g(y) dy = ln y e y dy = = [ y e y ye y e y] ln = ln ln + 6
E(Y ) = E(( ln X) ) = = [ xln x xln x + x ] ln xf(x) dx = = ln ln +. ln x dx = Odtud plyne, že D(Y ) = E(Y ) (E(Y )) = ln ln + ( ln ) =. b) Znázorněme si průběh funkce Y = e X, X (, ). Obrázek.b. Odtud vidíme, že Y (e, ). To znamená, že g(y) = pro y (, e ) (, ), pro y (, e a pro y, ). Potom pro y e, dostaneme: P (Y y) = P (e X F ( ln (y)). y) = P ( X ln y) = P (X ln (y)) = Je tedy + ln y, e y a g(y) = G (y) = y, e < y <. Pokud neznáme distribuční funkci F, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d dy ( F ( ln (y))) = F ( ln (y)) y = f( ln (y)) y = y pro y (e, ). Dostaneme, y (, e ), + ln y, y e,,, y, ); g(y) =, y (, e ), y, y (e, ),, y (, ); Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.b a.5b. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) = yg(y) dy = e y y dy = [y] e = ( e ) E(Y ) = E(e X ) = e x f(x) dx = e x dx = [ ] e x = e. Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y ) (E(Y )). Je pak E(Y ) = E(Y ) = E((e X ) ) = y g(y) dy = e x f(x) dx = 7 e y dy = 8 [ y ] e = 8 ( e 8 ) e x dx = [ ] e x 8 = 8 ( e 8 ).
Odtud plyne, že D(Y ) = E(Y ) (E(Y )) = 8 ( e 8 ) 6 ( e ) = 6 ( + e e 8 ). c) Znázorněme si průběh funkce Y = X, X (, ). Obrázek.c. Odtud vidíme, že Y (, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ) (, ), pro y (, a pro y, ). Potom pro y, dostaneme: y : P (Y y) = P ( X y) = P ( y X + y) = = F ( + y) F ( y); y : P (Y y) = P ( X y) = P ( X + y) = = F ( + y) F (). Je tedy (y + + y) = y, y ; ( + y), y. Tudíž pro hustotu dostaneme g(y) = G (y) =, < y < a g(y) = G (y) =, < y <. Pokud neznáme distribuční funkci F, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d dy (F (+y) F ( y)) = F (+y)+f ( y) = f(+y)+f( y) = =, < y < ; g(y) = G (y) = d dy (F ( + y) ) = F ( + y) = f( + y) =, < y <. Dostaneme, y (,, y, y,, y, y,,, y, ); g(y) =, y (, ),, y (, ),, y (, ),, y (, ); Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.c a.5c. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) = yg(y) dy = y dy+ y dy = [ ] y + [ ] y 8 = + 9 8 8 = 5. E(Y ) = E( X ) = x f(x) dx = x dx = (x ) dx = [ ] ( x) 8 + [ ] (x ) 8 = 8 ( + 9) = 5. 8 ( x) dx+
Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y ) (E(Y )). Je pak E(Y ) = y g(y) dy = y dy + y dy = [ ] y 6 + [ ] y = = 6 + (7 ) = 6 = 7 E(Y ) = E((X ) ) = = (7 + ) = 6. Odtud plyne, že (x ) f(x) dx = D(Y ) = E(Y ) (E(Y )) = 6 5 6 (x ) dx = [ ] (x ) = = 75 8 = 7 8. d) Znázorněme si průběh funkce Y =, X (, ). Obrázek.d. Odtud vidíme, X že Y (, ). To znamená, že g(y) = pro y (, ). Potom pro y dostaneme: P (Y y) = P ( y) = P (X ) = F ( ). X y y Je tedy y, y a g(y) = G (y) = y, y >. Pokud neznáme distribuční funkci F, pokud ji nechceme počítat postupujeme g(y) = G (y) = d ( F ( )) = F ( ) dy y y y = f( ) y y = y pro y (, ). Dostaneme, y (,, y (, g(y) =, y (, ); y y Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích.d a.5d. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) = yg(y) dy = y dy = [ln y] =. Náhodná veličina Y = X nemá střední hodnotu a rozptyl. 5. Náhodná veličina X má diskkrétní rozdělení určené pravděpodobnostní funkcí p, jejíž hodnoty jsou uvedeny v tabulce (): () x - p(x) 5 5 5 9
Určete rozdělení náhodné veličiny Y = X. Řešení: Náhodná veličina X nabývá pouze diskrétních hodnot z tabulky a tudíž i náhodná veličina Y nabývá také jen diskrétních hodnot. Vypočítáme je a uvedeme v tabulce (). Je tedy X - y 9 6 () () Y 9 6 p (y) 5 5 Potom pro jednotlivé pravděpodobnosti výskytu náhodné veličiny Y, hodnoty její pravděpodobnostní funkce p dostaneme: p () = P (Y = ) = P (X = ) = p() = 5 ; p () = P (Y = ) = P (X = X = ) = p() + p( ) = 5 + = ; p (9) = P (Y = 9) = P (X = ) = p() = 5 ; p (6) = P (Y = 6) = P (X = ) = p() =. Hodnoty pravděpodobnostní funkce p jsou uvedeny v tabulce () nahoře. 6. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (, ). Nechť funkce F : (a, b) (, ) je spojitá a rostoucí v intervalu (a, b), taková, že limity F (a+) = a F (b ) =. Určete distribuční funkci náhodné veličiny Y = F (X). Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu (, ) a pro její distribuční funkci H v tomto intervalu platí, že H(x) = x, < x <. Funkce F je prostá a spojitá v intervalu (a, b) a zobrazuje tento interval na interval (, ). Má tedy v intervalu (, ) inverzní funkci F, která zobrazuje interval (, ) na interval (a, b). Pro distribuční funkci G náhodné veličiny Y = F (X) pak platí: X (, ) Y = F (X) (a, b);, y a,, y b; a < y < b : P (Y y) = P (F (X) y) = P (X F (y)) = H(F (y)) = F (y). Má tedy náhodná veličina Y distribuční funkci rovnu funkci F, Přesněji zapsáno, y a, F (y), a < y < b,, y b. Všimněme si ješte tohoto vztahu. Je-li X = p, < p <, pak odpovídající hodnota Y = F (X) = F (p) = y p F (y p ) = p je p kvantil rozdělení náhodné veličniny Y. To znamená, že budeme- li za hodnoty náhodné veličiny X volit hodnoty p rovnoměrně rozdělené v intervalu (, ) pak hodnoty p kvantilů budou představovat hodnoty náhodné veličiny s distribuční funkcí F. Potřebujeme tedy ke generování náhodné veličiny s daným rozdělením znát inverzní funkci k jeho distribuční funkci.