VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
Název: PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Autoři: doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP, Ing. Milan Sivera, Ing. Richard Klučka, Ing. Josef Sedlák, Ing. Luboš Pečenka, Ing. Michal Šofer. Vydání: první, 013 Počet stran: 94 Náklad: 5 Jazyková korektura: nebyla provedena. Tyto studijní materiály vznikly za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Název: Modernizace výukových materiálů a didaktických metod Číslo: Realizace: CZ.1.07/..00/15.0463 Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP, Ing. Milan Sivera, Ing. Richard Klučka, Ing. Josef Sedlák, Ing. Luboš Pečenka, Ing. Michal Šofer. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Kvadratický moment a těžiště průřezu nosníku doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 1 KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU... 3 1.1 Obecný postup řešení... 4 1. Příklad 1... 4 CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment a těžiště průřezu nosníku 3 1 KVADRATICKÝ MOMENT A TĚŽIŠTĚ PRŮŘEZU NOSNÍKU OBSAH KAPITOLY: Obecný postup řešení. Kvadratický moment průřezu. Těžiště průřezu nosníku. CÍL: Těžiště obecné plochy, kvadratický moment průřezu, hlavní centrální kvadratický moment průřezu. CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment a těžiště průřezu nosníku 4 1.1 OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ 1/Libovolně si zvolíme souřadný systém /Pomocí tohoto zvoleného souřadného systému vypočítáme souřadnice těžiště y T n i1 y Ti. S i n, z T n i1 z Ti. S i n. (1.1) i1 S i i1 S i 3/Vzhledem k těžištním osám vypočítáme kvadratický moment průřezu J y a J z, případně pokud průřez nemá ani jednu osu symetrie, pak vypočítáme i deviační moment J yt A z da, J zt y da A, J ytzt yzda. A (1.) 4/Vypočítáme hlavní centrální kvadratické momenty a polohu natočení hlavních os kolem středu v těžišti plochy J Tmax,min J yt + J zt ± J yt J zt 4 θ T 1 atan J ytzt J zt J yt. + J ytzt, (1.3) 1. PŘÍKLAD 1 Odvoďte obecně vztahy pro kvadratické momenty obdélníkového průřezu. CZ.1.07/..00/15.0463 Obr. 1.1 Rozměry průřezu Souřadný systém si zvolíme do těžiště průřezu, jedná se o obdélníkový průřez o šířce B a výšce H (Obr. 1.1) se dvěmi osami symetrie. Pro výpočet kvadratických momentů průřezu pak využijeme vztahů (budou použity i v následujících příkladech) J yt z da A, J zt y da. (1.4) A Pro odvození vztahů vyjmeme z obdélníkového průřezu ve výšce z element výšky dz a šířky dy ve vzdálenosti y od osy z. Jelikož máme souřadný systém umístěný v těžišti plochy, pak
Kvadratický moment a těžiště průřezu nosníku 5 integrační meze v ose y jsou velikosti H/ v kladném i záporném směru a v ose z pak B/ taktéž v záporném i kladném směru osy Obr. 1. Vyjmutí elementu H J yt z dydz z dz 1dy z3 H B B H H B B H 3 H B [y] B BH3 1. (1.5) H J zt y dydz 1dz y dy [y] H B B H H B B H z3 H B 3 B HB3 1. (1.6) Deviační moment setrvačnosti u symetrického průřezu, kde souřadné osy, vůči nimž počítáme moment setrvačnosti, tvoří osy symetrie je nulový. CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Kvadratický moment I doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH KVADRATICKÝ MOMENT I... 3.1 Příklad... 4. Příklad 3... 5.3 Příklad 4... 7 CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment I 3 KVADRATICKÝ MOMENT I OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment průřezu a těžiště plochy. Steinerova věta. CÍL: Kvadratický moment průřezu k posunutým osám, kvadratický moment průřezu k pootočeným osám, deviační moment průřezu, hlavní centrální kvadratický moment průřezu. CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment I 4.1 PŘÍKLAD Odvoďte obecně vztahy pro kvadratické momenty kruhového průřezu. Obr..1 Rozměry průřezu Jedná se o kruhový průřez o poloměru R. Souřadný systém si opět zvolíme do těžiště průřezu, tudíž do středu kruhu. Kvadratický moment průřezu určíme z elementu (Obr..), který vyjmeme ve vzdálenosti r od středu o tloušťce dr a v úhlové vzdálenosti φ a úhlovém výseku dφ. Kvadratické momenty průřezu J y a J z lze spočítat pomocí transformace do polárních souřadnic. Transformační rovnice mají následující tvar Obr.. Vyjmutí elementu Kde J je jakobián transformace y r cos φ, z r sin φ, J r. J yt (r sinφ) rdrdφ 0 π 0 R (.1) (.) CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment I 5 (sinφ) dφ r 3 dy 1 φ 1 4 sin (φ) 0 0 π 0 R π J zt (r cosφ) rdrdφ (cosφ) dφ r 3 dy 1 φ + 1 4 sin(φ) 0 0 π 0 R 0 π 0 R π r4 R 4 πr4 4 πd4, 64 0 r4 R 4 πr4 4 πd4 64 0. (.3) Pro integraci výrazu (sinφ) a (cosφ) jsou využity následující vztahy a integrace pomocí substituce (sinφ) 1 1 cos(φ), (cosφ) 1 + 1 cos(φ). (.4) Polární kvadratický moment setrvačnosti je pak prostým součtem kvadratických momentů průřezu J y a J z J p J yt + J zt πd4 64 + πd4 64 πd4 3. (.5). PŘÍKLAD 3 Odvoďte obecně vztahy pro kvadratické momenty čtvrtkruhového průřezu. Obr..3 Rozměry průřezu CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment I 6 Obr..4 Vyjmutí elementu Podobně jako v předchozím příkladě se jedná o kruhový průřez, nyní ale pouze v rozmezí 0 90, jde tedy o čtvrtkruh o poloměru R. Souřadný systém zde není zaveden to těžiště, ale je orientován podél spodní a levé hrany průřezu. K odvození vztahů pro kvadratický moment průřezu plochy použijeme opět element o rozměrech dφ a dr vyjmutý ve vzdálenosti r od středu a φ od osy y (Obr..4). K odvození využijeme opět transformaci do polárních souřadnic rovnice (.1) a vztahy pro výpočet kvadratických momentů průřezu (rovnice (1.4)) π π R J yt (r sinφ) rdrdφ R (sinφ) dφ r 3 dy 1 φ 1 4 sin (φ) 0 0 0 πr4 16 πd4 56. π 0 π 0 R π r 4 4 0 J zt (r cosφ) rdrdφ R (cosφ) dφ r 3 dy 1 φ + 1 4 sin(φ) 0 0 0 πr4 16 πd4 56. 0 0 π r 4 4 0 R 1 π R4 4 R 1 π R4 4 (.6) (.7) CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment I 7.3 PŘÍKLAD 4 Odvoďte obecně vztahy pro kvadratické momenty trojúhelníkového průřezu. Obr..5 Rozměry průřezu V tomto příkladě je nutné nejprve upozonit na jinou orientaci zvoleného souřadného systému. Kladná osa z směřuje podél levé hrany dolů, osa y pak doprava od vrcholu trojúhelníku. Z trojúhelníku opět vyjmeme element ve vzdálenosti z od osy y výšky dz a ve vzdálenosti y od osy z šířky dy (viz Obr..5). Elementární plocha pak je da dy dz. Horní integrační mez pro souřadnici y je nutné určit z podobnosti trojúhelníků, a to y z B B z y H H. (.8) CZ.1.07/..00/15.0463 Obr..6 Vyjmutí elementu Pro výpočet kvadratických momentů setrvačnosti použijeme opět vztahy (1.4.), v tomto případě se jedná o průřez, který nemá osu symetrie, tudíž musíme vypočítat i deviační moment setrvačnosti H J yt 0 J zt 0 H B z H 0 B z H 0 H B z z dydz z [y] H 0 dz B H z4 4 BH 3 0 4, (.9) 0 B z H y dydz y3 3 H B 3 H dz 3 H 3 z4 4 HB 3 0 1, (.10) 0 0 H
Kvadratický moment I 8 J ytzt 0 H B z H 0 H yzdydz z y 0 0 B z H dz B H. H z4 4 0 B H 8. (.11) CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Kvadratický moment II doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 3 KVADRATICKÝ MOMENT II... 3 3.1 Příklad 5... 4 3. Příklad 6... 6 CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment II 3 3 KVADRATICKÝ MOMENT II OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment průřezu a těžiště plochy. Steinerova věta. CÍL: Těžiště obecné plochy, kvadratický moment průžezu, kvadratický moment průřezu k posunutým osám, hlavní centrální kvadratický moment průřezu. CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment II 4 3.1 PŘÍKLAD 5 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného složeného průřezu na Obr. 3.1 s jednou osou symetrie. Zadané hodnoty jsou t 5mm; a 10mm; b 0mm. Obr. 3.1 Rozměry průřezu Nejprve si zvolíme souřadný systém (viz Obr. 3.1) za pomocí něhož vypočítáme těžiště obrazce. Složený obrazec si rozdělíme na základní tvary, u nichž známe momenty setrvačnosti (obdélník, čtverec, kruh, ). Pomocí nám může být zapis souřadnic těžišť a ploch jednotlivých elementárních útvarů do tabulky. Rozdělení složeného obrazce na jednotlivé základní tvary a těžiště dílčích ploch je naznačeno na Obr. 3. Obr. 3.3. Obr. 3. Rozdělení na jednotlivé základní tvary CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment II 5 Obr. 3.3 Těžiště dílčích ploch Tab. 1 Polohy těžiště dílčích ploch i[ ] y Ti [mm] z Ti [mm] S i [mm ] 1 10 5 50 10 1,5 100 Těžiště složeného obrazce y T y b i1 Ti S i a t + b b t i1 S i a t + b t z T z a i1 Ti S i a t + t + a b t i1 S i a t + b t 10 mm. 10 50 + 10 100 10 5 + 0 5 10 mm, (3.1) 5 50 + 1,5 100 10 5 + 0 5 (3.) CZ.1.07/..00/15.0463 Obr. 3.4 Poloha těžiště složeného obrazce Do tohoto těžiště (Obr. 3.4) pak rovnoběžně posuneme souřadný systém a počítáme kvadratické momenty setrvačnosti J yt t a3 + a t z 1 T a + b t3 + b t z 1 T + t 5 103 1 + 10 5 10 10 0 53 + 1 + 0 5 10 + 5 17 500 mm 4, (3.3)
Kvadratický moment II 6 t b3 a t3 J zt + 1 1 5 03 10 53 + 3 437, 5 mm 4. 1 1 Zadaný průřez má jednu osu symetrie, která je zároveň i těžištní osou, proto pro výpočet kvadratického momentu setrvačnosti kolem osy z - J zt není potřeba použití Steinerovy věty. První a třetí člen ve výpočtu kvadratických momentů setrvačnosti J yt je moment setrvačnosti základního tvaru, tudíž obdélníku vůči jeho vlastnímu souřadnému systému procházejícím těžištěm základního obrazce označenému na Obr. 3.3 T 1 a T. Druhý a čtvrtý člen jsou pak důsledkem Steinerovy věty a jsou součinem obsahu dané elementární plochy a kvadrátu vzdálenosti těžištní osy elementárního souřadného systému od souřadného systému celého složeného obrazce. Průřez má jednu osu symetrie, kterou tvoří těžištní souřadný systém, proto je deviačmí moment setrvačnosti nulový. 3. PŘÍKLAD 6 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného složeného průřezu na Obr. 3.5 s jednou osou symetrie. Zadané hodnoty jsou B 70mm; H 100mm; D 30mm; a 15mm. Obr. 3.5 Rozměry průřezu a rozdělení na jednotlivé základní tvary Opět si zvolíme souřadný systém, jehož počátek je tentokrát umístěn v levém dolním rohu průřezu. Tentokrát máme obdélník, který má uvnitř vyřezanou kruhovou díru, tudíž při výpočtu těžiště i kvadratických momentů setrvačnosti budeme kruhovou plochu odečítat. Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment II 7 Obr. 3.6 Těžiště dílčích ploch y T i1 y Ti S i i1 S i z T 100 B B H B πd 4 B H πd 4 i1 z TiS i i1 S i 70 100 100 70 100 70 70100 70 π 30 4 π 30 70 100 4 35 mm, H B H H πd + a 4 B H πd 4 π 30 + 15 π 30 4 4 48,3 mm. (3.4) (3.5) Obr. 3.7 Poloha těžiště složeného obrazce J yt B H3 1 + B H z T H + πd4 64 + πd 4 a + H z T (3.6) CZ.1.07/..00/15.0463
Kvadratický moment II 8 70 1003 + 70 100 48,3 100 1 π. 304 + 64 + π 30 + 15 + 100 4 48,3 6 090 460 mm 4, H B3 J zt 1 + πd4 100 703 π 304 + 898 094 mm 4. (3.7) 64 1 64 Zadaný průřez má jednu osu symetrie, která je zároveň i těžištní osou, proto pro výpočet kvadratického momentu setrvačnosti kolem osy z - J zt není potřeba použití Steinerovy věty. Průřez má jednu osu symetrie, kterou tvoří těžištní souřadný systém, proto je deviačmí moment setrvačnosti nulový. CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 4 HODNOTY KVADRATICKÝCH MOMENTŮ ZÁKLADNÍCH PRŮŘEZŮ... 3 4.1 Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů... 4 CZ.1.07/..00/15.0463
Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů 3 4 HODNOTY KVADRATICKÝCH MOMENTŮ ZÁKLADNÍCH PRŮŘEZŮ OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment základních průřezů. CÍL: Hlavní centrální kvadratické momenty vybraných plochy. CZ.1.07/..00/15.0463
Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů 4 4.1 HODNOTY KVADRATICKÝCH MOMENTŮ ZÁKLADNÍCH PRŮŘEZŮ Tab. 1 Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů Tvar průřezu J zt [m 4 ] Tvar průřezu J zt [m 4 ] bh 3 1 BH 3 bh 3 1 πd 4 64 πr4 4 bh 3 1 πd4 64 π(d 4 d 4 ) 64 π(d 4 d 4 ) 64 Pro a + d D πba 3 4 bh 3 48 h 3 (a + b + 4ab) 36(a + b) bh 3 48 CZ.1.07/..00/15.0463
Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů 5 h 3 (a + b + 4ab) 36(a + b) bh 3 48 π 18 1 18π D4 bh 3 36 π 18 1 18π D4 bh 3 36 bh 3 (b s)(h h 1 ) 3 1 a 4 1 h 1 b 3 + (h h 1 )s 3 1 a 4 1 CZ.1.07/..00/15.0463
Hodnoty kvadratických momentů základních průřezů 6 bh 3 + (H h)b 3 1 5 3D 4 56 r D bh 3 + (H h)b 3 1 H 4 h 4 1 πd [4(H D) + D ] 64 + D(H D)[(H D) + D ] 1 r D ; H D BH 3 (B b)h 3 3 + [BH (B b)h ] [BH (B b)h] BH 3 (B b)h 3 3 + [BH (B b)h ] [BH (B b)h] CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklady I doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 5 PŘÍKLADY I... 3 5.1 Příklad 7... 4 CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady I 3 5 PŘÍKLADY I OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment průřezu a těžiště plochy. Steinerova věta. CÍL: Těžiště obecné plochy, kvadratický moment průžezu, kvadratický moment průřezu k posunutým osám, kvadratický moment průřezu k pootočeným osám, deviační moment, centrální moment průžezu, konstrukce Mohrovy kružnice. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady I 4 5.1 PŘÍKLAD 7 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného průřezu (viz Obr. 5.1). Zadané hodnoty jsou a 8 mm; b 4 mm; c 8 mm; h 40 mm; t 1 6 mm; t 3 mm; t 3 4 mm. Obr. 5.1 Rozměry průřezu Zvolíme si souřadný systém, jehož počátek je umístěn v levém dolním rohu (viz Obr. 5.1). Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště a kvadratické momenty průřezu ke zvoleným osám. y T 3 i1 y Ti S i 3 i1 S i a a t 1 + (h t 1 t ) t 3 t 3 + c + b t b + c a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t (5.1) 8 8 6 + (40 6 3) 4 4 + 8 + 4 3 4 + 8 8 6 + (40 6 3) 4 + 4 3 13,8 mm, z T 3 i1 z Ti S i 3 i1 S i h t 1 a t 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t t a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t 40 6 6 3 8 6 + (40 6 3) 4 40 + 3 + 4 3 3 8 6 + (40 6 3) 4 + 4 3 3,68 mm. (5.) CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady I 5 Obr. 5. Rozdělení na jednotlivé základní tvary J y a t 1 3 1 + a t 1 h t 1 + (h t 1 t ) 3 t 3 + 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t 3 3 8 63 1 + 8 6 40 6 + (40 6 3)3 4 + 1 + (40 6 3) 4 40 6 3 4 33 + 3 + 83 081 mm 4, 3 J z t 1 a 3 + t 3 3 (h t 1 t ) + (h t 3 1 1 t ) t 3 t 3 + c + + t b 3 1 + b t b + c 6 83 3 + 43 (40 6 3) 1 + (40 6 3) 4 4 + 8 + + 3 43 1 + 4 3 4 + 8 88 75 mm 4, J yz a t 1 a h t 1 + (h t 1 t ) t 3 t 3 + c h t 1 t + t + + b t b + c t 8 6 8 40 6 + (40 6 3) 4 4 6 3 + 8 40 + 3 + + 4 3 4 + 8 3 11 14 mm4. (5.3) (5.4) (5.5) CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady I 6 Obr. 5.3 Poloha těžiště složeného obrazce Zadaný průřez nemá osu symetrie, k výpočtu kvadratických momentů průřezu k těžištním osám lze použít například Steinerovu větu. J yt J y [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] z T 83081 [8 6 + (40 6 3) 4 + 4 3] 3,68 79 043 mm 4 (5.6), J zt J z [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T 8875 [8 6 + (40 6 3) 4 + 4 3] 13,8 19 16 mm 4 (5.7), J ytzt J yz [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] z T y T 1114 [8 6 + (40 6 3) 4 + 4 3] 3,68 13,8 (5.8) 7 013 mm 4. K určení hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu a úhlu pootočení od těžištní osy lze použít grafické řešení, které spočívá v konstrukci Mohrovy kružnice (viz Obr. 5.4). CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady I 7 Obr. 5.4 Konstrukce Mohrovy kružnice Obr. 5.5 Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady I 8 Obr. 5.6 Konstrukce Mohrovy kružnice Obr. 5.7 Výsledná Mohrova kružnice Z daného řešení lze také odvodit následující vztahy. J max J yt + J zt + J yt J zt + J ytzt (5.9) CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady I 9 79043 + 1916 J min J yt + J zt 79043 1916 + J yt J zt + J ytzt + ( 7013) 79 853 mm 4, (5.10) 79043 + 1916 79043 1916 + ( 7013) 18 35 mm 4, α 1 arctg J ytzt 1 J yt J zt arctg ( 7013) 6, 59. (5.11) 79043 1916 Obr. 5.8 Zobrazení polohy hlavních centrálních os CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklady II doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 6 PŘÍKLADY II... 3 6.1 Příklad 8... 4 6. Příklad 9... 9 CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady II 3 6 PŘÍKLADY II OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment průřezu a těžiště plochy. Steinerova věta. CÍL: Těžiště obecné plochy, kvadratický moment průžezu, kvadratický moment průřezu k posunutým osám, kvadratický moment průřezu k pootočeným osám, deviační moment, centrální moment průžezu, konstrukce Mohrovy kružnice. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady II 4 6.1 PŘÍKLAD 8 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného průřezu (viz Obr. 6.1). Zadané hodnoty jsou a 8 mm; b 4 mm; c 8 mm; h 40 mm; t 1 6 mm; t 3 mm; t 3 4 mm. Obr. 6.1 Rozměry průřezu Zvolíme si souřadný systém, jehož počátek je umístěn v levém dolním rohu (viz Obr. 6.1). Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště a kvadratické momenty průřezu ke zvoleným osám. y T 3 i1 y Ti S i 3 i1 S i a a t 1 + (h t 1 t ) t 3 t 3 + b t b a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t (6.1) 8 8 6 + (40 6 3) 4 4 + 4 3 4 8 6 + (40 6 3) 4 + 4 3 9,5 mm, z T 3 i1 z Ti S i 3 i1 S i h t 1 a t 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t t a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t 40 6 6 3 8 6 + (40 6 3) 4 40 + 3 + 4 3 3 8 6 + (40 6 3) 4 + 4 3 3,68 mm. (6.) CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady II 5 Obr. 6. Rozdělení na jednotlivé základní tvary J y a t 1 3 1 + a t 1 h t 1 + (h t 1 t ) 3 t 3 + 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t 3 3 8 63 1 + 8 6 40 6 + (40 6 (6.3) 3)3 4 + 1 + (40 6 3) 4 40 6 3 4 33 + 3 + 83 081 mm 4, 3 J z t 1 a 3 + t 3 3 (h t 1 t ) + t b 3 3 3 3 6 83 + 43 (40 6 3) + 3 (6.4) 43 58 389 mm 4, 3 1 3 J yz a t 1 a h t 1 + (h t 1 t ) t 3 t 3 h t 1 t + t + + b t b t 8 6 8 40 6 + (40 6 3) 4 4 40 6 3 (6.5) + 3 + + 4 3 4 3 9 908 mm4. Zadaný průřez nemá osu symetrie, k výpočtu kvadratických momentů průřezu k těžištním osám lze použít například Steinerovu větu. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady II 6 Obr. 6.3 Poloha těžiště složeného obrazce J yt J y [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] z T 83081 [8 6 + (40 6 3) 4 + 4 3] 3,68 79 043 mm 4 (6.6), J zt J z [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T 58389 [8 6 + (40 6 3) 4 + 4 3] 9,5 5 44 mm 4 (6.7), J ytzt J yz [a t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T z T 9908 [8 6 + (40 6 3) 4 + 4 3] 9,5 3,68 10 895 mm 4 (6.8). K určení hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu a úhlu pootočení od těžištní osy lze použít grafické řešení, které spočívá v konstrukci Mohrovy kružnice (viz Obr. 6.4 až Obr. 6.7). Obr. 6.4 - Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady II 7 Obr. 6.5 - Konstrukce Mohrovy kružnice Obr. 6.6 - Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady II 8 Obr. 6.7 - Výsledná Mohrova kružnice Z daného řešení lze také odvodit následující vztahy. J max J yt + J zt 79043 + 544 + J yt J zt + J ytzt 79043 544 + + 10895 81 17 mm 4, (6.9) J min J yt + J zt 79043 + 544 J yt J zt + J ytzt 79043 544 + 10895 3 95 mm 4, (6.10) α 1 arctg J ytzt 1 J yt J zt arctg 10895 11, 06. (6.11) 79043 544 Znaménko pro úhel α se stanoví na základě platné znaménkové dohody (viz přednáškové texty z předmětu Pružnost a pevnost ). V tomto případě je úhel α 11,06. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady II 9 Obr. 6.8 Zobrazení polohy hlavních centrálních os 6. PŘÍKLAD 9 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného průřezu (viz Obr. 6.9). Zadané hodnoty jsou b 4 mm; h 40 mm; t 1 6 mm; t 3 mm; t 3 4 mm. Obr. 6.9 Rozměry průřezu CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady II 10 Zvolíme si souřadný systém, jehož počátek je umístěn v levém dolním rohu (viz Obr. 6.9). Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště a kvadratické momenty průřezu ke zvoleným osám. y T 3 i1 y Ti S i 3 i1 S i b b t 1 + (h t 1 t ) t 3 t 3 + b t 3 + b t b b t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t (6.1) 4 4 6 + (40 6 3) 4 4 + 4 4 + 4 3 4 4 6 + (40 6 3) 4 + 4 3 15,65 mm, z T 3 i1 z Ti S i 3 i1 S i h t 1 b t 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t t b t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t 40 6 6 3 4 6 + (40 6 3) 4 40 + 3 + 4 3 3 4 6 + (40 6 3) 4 + 4 3,74 mm. (6.13) Obr. 6.10 Rozdělení na jednotlivé základní tvary J y b t 1 3 1 + b t 1 h t 1 + (h t 1 t ) 3 t 3 + 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t 3 3 4 63 1 + 4 6 40 6 + (40 6 3)3 4 + 1 4 33 + (40 6 3) 4 40 6 3 + 3 + 3 50 153 mm 4, (6.14) CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady II 11 J z t 1 b 3 3 + t 3 3 (h t 1 t ) 1 + (h t 1 t ) t 3 b t 3 + t b 3 3 6 43 + 43 (40 6 3) 3 1 (40 6 3) 4 4 4 + + + 3 43 3 101 653 mm 4, J yz b t 1 b h t 1 + (h t 1 t ) t 3 b t 3 h t 1 t + t + + b t b t 4 6 4 40 6 + (40 6 3) 4 4 4 40 6 3 + 3 + + 4 3 4 3 115 700 mm4. (6.15) (6.16) Zadaný průřez nemá osu symetrie, k výpočtu kvadratických momentů průřezu k těžištním osám lze použít například Steinerovu větu. Obr. 6.11 Poloha těžiště složeného obrazce J yt J y [b t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] z T 50153 [4 6 + (40 6 3) 4 + 4 3],74 74 410 mm 4, J zt J z [b t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T 101653 [4 6 + (40 6 3) 4 + 4 3] 15,65 18 411 mm 4, J ytzt J yz [b t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T z T 115700 [4 6 + (40 6 3) 4 + 4 3] 15,65,74 5 5 mm 4. (6.17) (6.18) (6.19) CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady II 1 K určení hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu a úhlu pootočení od těžištní osy lze použít grafické řešení, které spočívá v konstrukci Mohrovy kružnice (viz Obr. 6.1 až Obr. 6.15). Obr. 6.1 - Konstrukce Mohrovy kružnice Obr. 6.13 - Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady II 13 Obr. 6.14 - Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/15.0463 Obr. 6.15 - Výsledná Mohrova kružnice Z daného řešení lze také odvodit následující vztahy. J max J yt + J zt + J yt J zt + J ytzt (6.0)
Příklady II 14 74410 + 18411 J min J yt + J zt 74410 18411 + J yt J zt + J ytzt + ( 55) 74 898 mm 4, (6.1) 74410 + 18411 74410 18411 + ( 55) 17 93 mm 4, α 1 arctg J ytzt 1 J yt J zt arctg ( 55) 5, 31. (6.) 74410 18411 Znaménko pro úhel α se stanoví na základě platné znaménkové dohody (viz přednáškové texty z předmětu Pružnost a pevnost ). V tomto případě je úhel α +5,31. Obr. 6.16 Zobrazení polohy hlavních centrálních os CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklady III doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 7 PŘÍKLADY III... 3 7.1 Příklad 10... 4 7. Příklad 11... 10 CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 3 7 PŘÍKLADY III OBSAH KAPITOLY: Kvadratický moment průřezu a těžiště plochy. Steinerova věta. CÍL: Těžiště obecné plochy, kvadratický moment průžezu, kvadratický moment průřezu k posunutým osám, kvadratický moment průřezu k pootočeným osám, deviační moment, centrální moment průžezu, konstrukce Mohrovy kružnice. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 4 7.1 PŘÍKLAD 10 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného průřezu (viz Obr. 7.1). Zadané hodnoty jsou b 4 mm; c 8 mm; h 40 mm; t 1 6 mm; t 3 mm; t 3 4 mm. Obr. 7.1 Rozměry průřezu Zvolíme si souřadný systém, jehož počátek je umístěn v levém dolním rohu (viz Obr. 7.1). Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště a kvadratické momenty průřezu ke zvoleným osám. y T 3 i1 y Ti S i c + t 3 3 i1 S i (c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 c + t 3 + b t c + b (c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t 8 + 4 (8 + 4) 6 + (40 6 3) 4 8 + 4 + 4 3 8 + 4 (8 + 4) 6 + (40 6 3) 4 + 4 3 11,61 mm, z T 3 i1 z Ti S i 3 i1 S i h t 1 (c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t + t + b t t (c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t 40 6 6 3 (8 + 4) 6 + (40 6 3) 4 40 + 3 + 4 3 3 (8 + 4) 6 + (40 6 3) 4 + 4 3 18,90 mm. (7.1) (7.) CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 5 J y (c + t 3) t 1 3 1 + (h t 1 t ) t 3 h t 1 t Obr. 7. Rozdělení na jednotlivé základní tvary + (c + t 3 ) t 1 h t 1 + (h t 1 t ) 3 t 3 1 + t + b t 3 3 + (40 6 3)3 4 + (8 + 4) 63 + (8 + 4) 6 40 6 1 + (40 6 3) 4 40 6 3 J z t 1 (c + t 3 ) 3 3 + (h t 1 t ) t 3 c + t 3 6 (8 + 4)3 3 (40 6 3) 4 8 + 4 + t 3 3 (h t 1 t ) 1 + 43 (40 6 3) 1 J yz (c + t 3 ) t 1 (c + t 3) + 1 4 33 + 3 + 151 369 mm 4, 3 + + t b 3 1 + b t c + b + + 3 43 1 + 4 3 8 + 4 48 77 mm 4, h t 1 + + (h t 1 t ) t 3 c + t 3 h t 1 t + t + + b t c + b t (8 + 4) (8 + 4) 6 40 6 (7.5) + + (40 6 3) 4 8 + 4 40 6 3 + 3 + + 4 3 8 + 4 3 41 084 mm4. Zadaný průřez nemá osu symetrie, k výpočtu kvadratických momentů průřezu k těžištním osám lze použít například Steinerovu větu. (7.3) (7.4) CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 6 Obr. 7.3 Těžiště dílčích ploch J yt J y [(c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] z T 151369 [(8 + 4) 6 + (40 6 3) 4 + 4 3] 18,90 (7.6) 55 607 mm 4, J zt J z [(c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T 4877 [(8 + 4) 6 + (40 6 3) 4 + 4 3] 11,61 1 141 mm 4 (7.7), J ytzt J yz [(c + t 3 ) t 1 + (h t 1 t ) t 3 + b t ] y T z T 41084 [(8 + 4) 6 + (40 6 3) 4 + 4 3] 11,61 18,90 (7.8) 17 74 mm 4. K určení hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu a úhlu pootočení od těžištní osy lze použít grafické řešení, které spočívá v konstrukci Mohrovy kružnice (viz Obr. 7.4 až Obr. 7.7). CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 7 Obr. 7.4 - Konstrukce Mohrovy kružnice Obr. 7.5 - Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 8 Obr. 7.6 - Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 9 Obr. 7.7 - Výsledná Mohrova kružnice Z daného řešení lze také odvodit následující vztahy. J max J yt + J zt 55607 + 1141 + J yt J zt + J ytzt 55607 1141 + + ( 1774) 61 99 mm 4, (7.9) J min J yt + J zt 55607 + 1141 J yt J zt + J ytzt 55607 1141 + ( 1774) 5 819 mm 4, (7.10) α 1 arctg J ytzt 1 ( 1774) arctg 19, 61. (7.11) J yt J zt 55607 1141 Znaménko pro úhel α se stanoví na základě platné znaménkové dohody (viz přednáškové texty z předmětu Pružnost a pevnost ). V tomto případě je úhel α +19,61. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 10 Obr. 7.8 Zobrazení polohy hlavních centrálních os 7. PŘÍKLAD 11 Vypočítejte momenty setrvačnosti u zadaného průřezu (viz Obr. 7.9). Zadané hodnoty jsou a 8 mm; b 4 mm; c 8 mm; d 7 mm; h 40 mm; Obr. 7.9 Rozměry průřezu Zvolíme si souřadný systém, jehož počátek je umístěn v levém dolním rohu (viz Obr. 7.9). Pomocí zvoleného souřadného systému vypočítáme těžiště a kvadratické momenty průřezu ke zvoleným osám. y T y a πd i1 Ti S i a a b 4 (7.1) i1 S i a a πd 4 CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 11 8 π 7 8 8 4 4 13,48 mm, π 7 8 8 4 z T z a πd i1 TiS i a a c 4 i1 S i a a πd 4 8 π 7 8 8 8 4 14,31 mm. π 7 8 8 4 (7.13) J y a4 3 πd4 64 + πd 4 c 84 3 π 74 64 J z a4 3 πd4 64 + πd 4 b 84 3 π 74 64 Obr. 7.10 Rozdělení na jednotlivé základní tvary + π 7 4 8 0 304 mm 4, + π 7 4 4 18 600 mm 4, (7.14) (7.15) J yz a a a a πd b c 4 8 8 8 8 (7.16) π 7 4 4 8 146 75 mm4. Zadaný průřez nemá osu symetrie, k výpočtu kvadratických momentů průřezu k těžištním osám lze použít například Steinerovu větu. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 1 J yt J y a a + πd 4 z T 0304 8 8 + J zt J z a a + πd 4 y T 18600 8 8 + Obr. 7.11 Poloha těžiště složeného obrazce π 7 4 14,31 49 647 mm 4, π 7 4 13,48 47 056 mm 4, (7.17) (7.18) J ytzt J yz a a + πd 4 y T z T (7.19) π 7 14675 8 8 + 4 13,48 14,31 48 mm4. K určení hlavních centrálních kvadratických momentů průřezu a úhlu pootočení od těžištní osy lze použít grafické řešení, které spočívá v konstrukci Mohrovy kružnice (viz Obr. 7.1 až Obr. 7.15). CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 13 Obr. 7.1 - Konstrukce Mohrovy kružnice Obr. 7.13 - Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 14 Obr. 7.14 - Konstrukce Mohrovy kružnice CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 15 Obr. 7.15 - Výsledná Mohrova kružnice Z daného řešení lze také odvodit následující vztahy. J max J yt + J zt 49647 + 47056 + J yt J zt + J ytzt 49647 47056 + + 48 51 103 mm 4, (7.0) J min J yt + J zt 49647 + 47056 J yt J zt + J ytzt 49647 47056 + 48 45 599 mm 4, (7.1) α 1 arctg J ytzt 1 J yt J zt arctg 48 30, 96. (7.) 49647 47056 Znaménko pro úhel α se stanoví na základě platné znaménkové dohody (viz přednáškové texty z předmětu Pružnost a pevnost ). V tomto případě je úhel α 30,96. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady III 16 Obr. 7.16 Zobrazení polohy hlavních centrálních os CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Vzpěr doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 8 VZPĚR... 3 8.1 Obecný postup... 4 CZ.1.07/..00/15.0463
Vzpěr 3 8 VZPĚR OBSAH KAPITOLY: Pojem stabilita. Pružný vzpěr přímého nosníku. CÍL: Základní příklady Eulerova vzpěru, stanovení kritické síly a kritického napětí. CZ.1.07/..00/15.0463
Vzpěr 4 8.1 OBECNÝ POSTUP Nejprve je nutné ze zadaných veličin stanovit, zda lze použít Eulerovu teorii pro pružný vzpěr nebo využít vzorce pro nepružný vzpěr (např.tetmayer, Jasinský, ). Na Obr. 8.1 lze vidět průběh kritického napětí v závisloti na mezní štíhlosti. Obr. 8.1 Obecné rozdělení vzpěru Mezní štíhlost pak vypočítáme pomocí veličin charakterizující materiál Koeficient n stanovíme dle Tab. 3. Tab. 1 Základní případy vzpěru axiálně zatížených nosníků λ mez π n E σ u. (8.1) SCHÉMA A TVAR PRŮHYBU POPIS Základní případy vzpěru axiálně zatížených nosníků 1. případ. případ 3. případ 4. případ 5. případ 6. případ Vetknutí a volný konec Kloub a posuvný konec Vetknutí posuvný konec a Vetknutí vertikálně posuvné vetknutí a Kloub a horizontáln ě posuvné vetknutí Vetknutí a horizontáln ě posuvné vetknutí KOEFICIENT n Teoretický Praktický 1 0.5 1.1 1 0.8 0.65 1. CZ.1.07/..00/15.0463
Vzpěr 5 Štíhlost pak ze zadání vypočítáme pomocí vztahů λ L red j min, j min J Tmin S. (8.) Kritickou sílu pak vypočítáme ze vztahů, dle Eulera (pro λ λ mez ) F krit π E J Tmin. (8.3) L red V případě že se nejedná o pružný vzpěr λ λ mez, zvolíme pro výpočet kritické síly a kritického napětí vztahy podle Tetmayera (8.4) nebo Jasinského (8.5) σ krit a bλ, (8.4) σ krit a bλ + cλ. (8.5) Jasinského vztah nemá smysl v případě, že se jedná o ocel a dřevo kde konstanta c 0MPa. CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklady IV doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 9 PŘÍKLADY IV... 3 9.1 Příklady 1... 4 9. Příklad 13... 5 CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady IV 3 9 PŘÍKLADY IV OBSAH KAPITOLY: Výpočet pružného vzpěru přímého prutu. CÍL: Stanovení kritické síly a kritického napětí případ uložení prutu. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady IV 4 9.1 PŘÍKLADY 1 Určete kritickou sílu při vzpěru prutu délky L zobrazeného na Obr. 9.1, jež má mezikruhový průřez a je vyroben z oceli. Zadané hodnoty jsou E,1.10 5 MPa, σ u 10 MPa, D 50 mm, d 36 mm, L 1,5 m. Obr. 9.1 Zadání úlohy Na základě materiálových vlastností nejdříve spočítáme mezní štíhlost λ mez π n E π 105,1. σ u 1 10 99,35. (9.1) Déle z rozměrů konstrukce vypočítáme štíhlost zadaného prutu a porovnáme s mezní štíhlostí. Na základě těchto hodnot potom zvolíme vztah, podle něhož budeme počítat kritickou sílu v prutu. Jelikož se jedná o případ z Tab. 3, volíme konstantu n 1 J min π (D4 d 4 ) π (504 36 4 ) 4 348 mm 4. (9.) 64 64 Obsah mezikruží S π (D d ) π (50 36 ) 945,6 mm. (9.3) 4 4 Minimální poloměr kvadratického momentu plochy j min J Tmin S Štíhlost zadaného prutu 4 348 945,6 15,4 mm. (9.4) λ L red j min 1500 15,4 97,4. (9.5) λ < λ mez nepružná oblast Tetmayerův vztah (9.6) Jelikož je mezní štíhlost menší než štíhlost zadaného prutu, nacházíme se v nepružné oblasti a pro výpočet kritické síly musíme použít Tetmayerův vztah (8.4). σ krit a bλ 30 1, 97,4 03,1MPa. (9.7) Konstanty a a b pro ocel jsou dané (a 30 MPa, b 1, MPa) Kritickou sílu, kterou konstukce ještě přenese, aniž by došlo ke ztrátě stability tvaru, pak vypočteme pomocí již známé hodnoty σ krit F krit σ krit S 03,1 945,6 19 070 N 19 kn. (9.8) CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady IV 5 9. PŘÍKLAD 13 Prut na Obr. 9. je na jedné straně vetknut a na druhé straně umístěn vertikálně posuvně a má výšku h m. Prut je vyroben ze dřeva o materiálových vlastnostech E 8.10 3 MPa, σ u 19,5 MPa. Průřez prutu nemá žádnou osu symetrie a je zobrazen na Obr. 9.. Obr. 9. Zadání úlohy Pro uložení dřevěného prutu z Obr. 9. je koeficient n 0,5 dle Tab. 3. Nejprve spočítáme mezní štíhlost prutu λ mez π n E π 103 8. σ u 19,5 17,3. (9.9) Minimální poloměr kvadratického momentu plochy Štíhlost zadaného prutu je j min J Tmin S 5 818,6 68 4,66 mm. (9.10) λ h red 0,5.000 14,6, j min 4,66 (9.11) λ > λ mez pružná oblast Eulerův vztah. (9.1) Jelikož je mezní štíhlost prutu menší než štíhlost prutu, nacházíme se v pružné oblasti a pro výpočet kritické síly můžeme použít Eulerův vztah F krit π E J Tmin π 8. 10 3 5818,6 h red (0,5 000) 459 N. (9.13) CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklady V doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 10 PŘÍKLADY V... 3 10.1 Příklady 14... 4 CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady V 3 10 PŘÍKLADY V OBSAH KAPITOLY: Výpočet pružného vzpěru přímého prutu. CÍL: Stanovení kritické síly a kritického napětí případ uložení prutu. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady V 4 10.1 PŘÍKLADY 14 Vetknutý prut vyrobený z oceli je zahříván a tímto působením může dojít ke ztrátě stability tvaru prutu. Určete teplotní rozdíl, při kterém ke ztrátě stability dojde a jaká je tímto kritickým působením vyvinuta síla. Zadané hodnoty jsou E,1.10 5 MPa, σ u 10 MPa, α 1. 10 6 C 1. Rozměry průřezu jsou zadané na Obr. 10.1. Obr. 10.1 Zadání úlohy Kritickou hodnotu síly, kterou zahřívaný prut přenese, aniž by došlo se ztrátě stability tvaru, vypočteme za pomocí vztahu pro tepelnou deformaci F krit σ t S E ε t S E α ΔT S. (10.1) Tuto kritickou sílu můžeme vypočítat i pomocí vztahů pro ztrátu stability tvaru F krit π E J Tmin. (10.) L red Porovnáním vztahů (10.1) a (10.) pak můžeme vypočítat rozdíl teploty ΔT, při které dojde ke ztrátě stability tvaru ΔT π J Tmin. (10.3) α S L red Nejprve je opět nutné posoudit konstrukci z hlediska možnosti použítí Eulerovi nebo Tetmayerovy teorie. Mezní štíhlost pro ocel, kde vetknutý prut má konstantu n λ mez π n E π 105,1. σ u 10 49,68. (10.4) Pro štíhlost zadaného prutu musíme nejdříve určit minimální kvadratický moment průřezu. Jelikož se jedná o průřez s jednou osou symetrie (viz Obr. 10.1), je nutné vypočítat nejdříve těžiště a poté spočítat kvadratické momenty průřezu vůči těžištním osám. Výpočet těžiště 5 10 50 + 5 10 50 y T 5mm, (10.6) (10.5) 10 50 + 10 50 5 10 50 + 55 10 50 z T 40mm. (10.7) 10 50 + 10 50 Výpočet kvadratických momentů průřezu 10 503 50 103 J yt + 10 50 (40 5) + + 10 50 (55 40) 1 1 (10.8) 13 333 mm 4, CZ.1.07/..00/15.0463
Příklady V 5 50 103 10 503 (10.9) J zt + 108 333 mm 4 J 1 1 Tmin. Tímto jsme stanovili hodnotu minimálního kvadratického momentu průřezu a to J Tmin 108 333 mm 4. Obsah plochy průřezu S 10 50 + 10 50 1 000 mm. (10.10) Minimální poloměr kvadratického momentu průřezu Štíhlost zadaného prutu j min J Tmin S 108 333 1000 10,4 mm. (10.11) λ L red.1000 19,3. (10.1) j min 10,4 λ > λ mez pružná oblast Eulerův vztah (10.13) Jedná se o pružný vzpěr tudíž lze použít Eulerovu teorii pro výpočet kritické síly F krit π E J Tmin π,1. 10 5 108 333 L red (.1000) 56 133 N. (10.14) Ze vztahu (10.3) pak určíme maximální rozdíl teplot ΔT π J Tmin π 108 333 α S L red 1. 10 6 1000 1000,3 C. (10.15) CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 11 OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ VZPĚRU V PRUŽNĚ PLASTICKÉ OBLASTI... 3 11.1 Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti... 4 CZ.1.07/..00/15.0463
Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti 3 11 OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ VZPĚRU V PRUŽNĚ PLASTICKÉ OBLASTI OBSAH KAPITOLY: Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti. CÍL: Vzpěr v pružně plastické oblasti, síly a kritického napětí. CZ.1.07/..00/15.0463
Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti 4 11.1 OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ VZPĚRU V PRUŽNĚ PLASTICKÉ OBLASTI Vzpěr v pružně plastické oblasti V oblasti pružně plastické oblasti je možné vzpěr řešit metodami, které je možné rozdělit podle principu na: Metodu redukce modulu pružnosti. Metodu nahrazení závislosti σ krit λ experimentálně získanými konstantami. Metodu využívající součinitel vzpěrnosti. První z uvedených metod rozšiřuje platnost vztahů odvozených pro oblast pružných deformací zavedením tzv. redukovaného modulu pružnosti, který je možné vyjádřit ve tvaru E red E t dσ dε. (11.1) Kde E t je tzv. tangenciální modul pružnosti (viz Obr. 11.1). Pro obdélníkový profil podle Kármana platí Obr. 11.1 Závislost modulu pružnosti na poměrné deformaci E red 4 E E t E + E t. (11.) Tento vztah je pak možno použít i pro jednoduché plné průřezy jiného tvaru zavedením korekčního faktoru η. Kritickou sílu pak dostáváme ve tvaru F krit η π E red J Tmin. (11.3) L red V mnoha případech se křivka diagramu σ krit λ pro pružně plastickou oblast nahrazuje experimentálně získanou závislostí. Nejčastěji se však používá výpočet podle Tetmayera, který předpokládá tvar funkce σ krit (λ) pro houževnaté materiály ve tvaru σ krit a b λ. Pro křehké materiály (litina) přidává Tetmayer další člen CZ.1.07/..00/15.0463 (11.4) σ krit a b λ + c λ. (11.5)
Obecný postup řešení vzpěru v pružně plastické oblasti 5 Kde a, b, c jsou konstanty. Pokud ale tyto konstanty neznáme, je možné přímku grafu proložit bodami A: (λ 0 ; σ krit σ k ); B: (λ λ m ; σ krit σ k ). Někdy se σ krit σ k může považovat až po hodnotu λ 30. Poslední z uvedených metod má svoje uplatnění tam, kde je variabilita používaných materiálů malá (stavebnictví). Hodnoty kritických napětí jsou pro jednotlivé štíhlosti, materiály a typy průřezů spracované v tabulkách. Údaje jsou společné pro oblast pružných i pro pružně plastických deformací. V tabulkách uvedených v normách ČSN jsou místo absolutních hodnot napětí bezrozměrná čísla φ nebo c, které nazýváme součinitele vzpěrnosti. Pevnostní podmínka při namáhání na vzpěr má podle normy tvar N S φ R (11.6) Kde je: N výpočtová osová síla S neoslabená plocha průřezu φ součinitel vzpěrnosti odpovídající štíhlosti prutu λ, uložení prutu a tvaru prutu R základní výpočtová pevnost podle ČSN N S c σ D (11.7) Kde σ D je dovolené napětí pro daný materiál, c je součinitel vzpěrnosti. CZ.1.07/..00/15.0463
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Příklad VI doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka Ing. Josef Sedlák Ing. Luboš Pečenka Ing. Michal Šofer Ostrava 013 Ing. Lukáš OTTE, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-48-300-9 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: CZ.1.07/..00/15.0463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
OBSAH 1 PŘÍKLAD VI... 3 1.1 Příklad 15... 4 1. Příklad 16... 4 CZ.1.07/..00/15.0463
Příklad VI 3 1 PŘÍKLAD VI OBSAH KAPITOLY: Řešení vzpěru v pružně plastické oblasti přímého nosníku. CÍL: Základní příklad Tetmayerova vzpěru, stanovení kritické síly dle ČSN normy. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklad VI 4 1.1 PŘÍKLAD 15 Duralová trubka o délce L 1,8 m s venkovním průměrem pruřezu D 60 mm, vetknutá na obou koncích je zatížena osovou silou F 100 kn. Určete potřebnou tloušťku stěny trubky, pokud je koeficient bezpečnosti k a konstanty dle Tetmayera jsou: a 336 MPa, b,8 MPa. Uvažujme vnitřní průměr trubky rovno d 50 mm. Napětí v trubce s ohledem na koeficient bezpečnosti budeme kontrolovat s kritickým napětím určeným dle Tetmayera. k N k 4 N 4 100 103 σ S π(d d ) π(60 50 31,5 MPa (1.1) ) Štíhlost prutu pro zvolený vnitřní průměr má hodnotu: β L β L 4 β L λ j min π(d 4 d 4 ) 4 64 π(d d ) Tomu odpovídá dle Tetmayera kritické napětí: 4 0,5 1,8 103 46,1. D d 60 50 (1.) σ krit a b λ 336,8 46,1 06,94 MPa. (1.3) Protože napětí v trubce σ je vetší jak kritické σ krit je zřejmé že trubka na vzpěr nevyhovuje. Opakujeme tedy výpočet pro vnitřní průměr d 48 mm. k N k 4 N 4 100 103 σ S π(d d ) π(60 48 196,5 MPa (1.4) ) β L β L 4 β L 4 0,5 1,8 103 (1.5) λ 46,85. j min π(d 4 d 4 ) D d 60 48 4 64 π(d d ) σ krit a b λ 336,8 46,1 04,8 MPa. (1.6) Trubka s vnitřním průměrem d 48 mm, tedy s tloušťkou stěny 6 mm VYHOVUJE. 1. PŘÍKLAD 16 Sloup vyrobený z oceli 11370 o délce L 6 m s průřezem složeným z dvou profilů U a dvou pásnic 30x10 mm (viz obr Obr. 1.1) je na obou koncích kloubově uchycen a zatížen osovou sílou F. Jednotlivé části jsou spojeny nýty s průměrem d 0 mm. Rozměry potřebné pro výpočet jsou zobrazeny na obr Obr. 1.1. Dle ČSN normy určete největší přípustnou hodnotu zátěžné síly, pokud je základní výpočtová pevnost válcovaných profilů R 10 MPa a hodnota součinitele vzpěrnosti je φ 0,89. CZ.1.07/..00/15.0463
Příklad VI 5 CZ.1.07/..00/15.0463 Obr. 1.1 Rozměry průřezu Určíme nejmenší centrální kvadratický moment průřezu. Geometrická charakteristika pro válcovaný profil U je dle normy: J y 6900 10 3 mm 4 Plocha celého průřezu je rovna J z 1970 10 3 mm 4 S 3,74 10 3 mm S (3,74 10 3 + 30 10) 13,88 10 3 mm. (1.7) Podle Steinerovy věty platí J y (6900 10 3 + 30 103 1 30 10 ) 138493,33 10 3 mm 4. (1.8) J z 1970 10 3 + 101,4 3,74 10 3 + 303 10 1 13546,39 10 3 mm 4 Protože J y > J z je minimální poloměr kvadratického momentu průřezu (1.9) j min j z j J z S 98,79 mm. (1.10) Štíhlost zadaného prutu β L λ 1 6 103 60,7. (1.11) j min 98,79 Největší přípustná hodnota osové síly je N φ R S 0,89 10 13880 594,17 kn. (1.1) Pro zeslabený průřez provedeme kontrolu pevnosti na tlak
Příklad VI 6 Přičemž σ max N S osl R (1.13) S osl S 4 0(10 + 1,5) 1080 mm (1.14) Vyjádříme výpočtovou osovou sílu N R S osl 10 1080 536,8 kn (1.15) Největší přípustná hodnota zátěžné síly je rovna F krit N 536,8 kn (1.16) CZ.1.07/..00/15.0463