1 Úvod - silová metoda

1 Úvod - silová metoda Vychází z principu virtuálních sil (PVs) Obecný princip spojitosti Základní předpoklad: splnění podmínek rovnováhy Základní neznámé: staticky neurčité veličiny (počet odpovídá stupni statické neurčitosti; konkrétní volba není jednoznačná) Základní rovnice: Podmínečné rovnice = podmínky spojitosti (kompatibility): [δ]{x i } + {δ f } + {δ t } + {δ r } = {0} nebo{δ v } (1.1) [δ] Matice poddajnosti konstrukce {X i } Vektor staticky neurčitých (SN) veličin (neznámé reakce) {δ f } Vektor silového zatížení {δ t } Vektor zatížení teplotou {δ r } Vektor zatížení předepsanými posuny podpor {δ v } Vektor předepsaných posunů v místě SN veličin X i Jedná se o soustavu lineárních algebraických rovnic, jejíž matice je vždy symetrická a nazývá se matice poddajnosti konstrukce. Sestavíme je s využitím principu virtuálních sil. Postup řešení 1. Určíme stupeň statické neurčitosti s = m r (počet stupňů volnosti - počet odebraných stupňů volnosti) 2. Uvolněním s vazeb vytvoříme základní staticky určitou (SU) soustavu; uvolněné vazby nahradíme reakcemi X i (SN veličiny; i = 1,..., s ) 3. Na základní soustavě vykreslíme vnitřní síly od zatížení = reálný (silový) zatěžovací stav (M f, N f, Q f ) 4. Na základní soustavě vykreslíme vnitřní síly od jednotkových SN veličin - X i = 1 = virtuální stav (M i, N i, Q i nebo δm i, δn i, δq i ) 1

5. Vypočteme jednotlivé členy rovnice δ i j = p lp Nj 0 E A i = 1,.., s ; j = 1,..., s δ i f = p lp 0 lp X j =1 N i + M j E I y X j =1 M i + Q j κg A X j =1 Q i dx (1.2) Nf E A N i + M f M i + Q f E I y κg A Q i dx i = 1,.., s (1.3) δ i t = α(t c t r e f )N i + α t d t h M i dx i = 1,.., s (1.4) h p 0 δ i r = k R i k = uk R x,k w k R z,k ϕ k M y,k k = 1,.., m k (1.5) δ i v = i i = 1,.., s (1.6) 6. Řešení soustavy lineárních rovnic vypočteme SN veličiny X i δ 11 X 1 + δ 12 X 2 +... + δ 1s X s + δ 1f + δ 1t + δ 1r = 0........ δ s 1 X 1 + δ s 2 X 2 +... + δ s s X s + δ s f + δ s t + δ s r = 0 7. Vypočteme výsledné vnitřní síly na SN konstrukci M = N = Q = M f + X 1 M 1 + X 2 M 2 + + X s M s N f + X 1 N 1 + X 2 N 2 + + X s N s Q f + X 1 Q 1 + X 2 Q 2 + + X s Q s 2

2 Příklad - Nesilové účinky Zadání: Vykreslete průběhy vnitřních sil na zadané konstrukci. Výpočet proved te pomocí silové metody s uvážením pouze ohybových účinků (=se zanedbáním účinku normálových a posouvajících sil). Obrázek 1: Zadání příkladu. Nejprve je důležité řádně prostudovat zadání (Obr. 1), co vše se má a nemá uvažovat. Ze zadání je zřejmé, že při výpočtu δ f se bude uvažovat pouze průběh momentu (M f ). Je nutné věnovat pozornost rozdílným tuhostem prutů (vodorovný prut 2I y ). Zadané teploty na straně dolních a horních vláken se liší, tudíž se bude počítat s rovnoměrným i nerovnoměrným ohřátím tj. budeme potřebovat průběh virtuální normálové síly (N ) a virtuálního momentu (M ). Jedná se přímo o teploty dolních a horních vláken prutů, nikoliv o kolik se vlákna ohřála. Dále jsou zadané poklesy či pootočení podpor, takže nemůžeme vynechat člen δ r, kde využijeme reakce z virtuálního stavu (R ). 1) Určení statické neurčitosti Nejdříve vypočteme stupeň statické neurčitosti. Konstrukci je možné rozdělit na jednotlivé desky podle Obr. 2, kde každá z desek má 3 stupně volnosti (m = 3

3). Konstrukce je podepřena vetknutím (r = 3), které odebírá 3 stupně volnosti. Dále je podepřena pevným kloubem (r = 2), který odebírá 2 stupně volnosti. Jednotlivé desky jsou spojeny vnitřním kloubem, který odebírá stupně volnosti v závislosti na tom, kolik spojuje částí (r = 2(n 1)). V tomto případě spojuje 2 části (n = 2), takže odebírá celkem 2 stupně volnosti (r = 2(2 1) = 2). Obrázek 2: Určení stupně statické neurčitosti. Stupeň statické neurčitosti se vypočte podle vzorce: s = m r = 2 3 3 2 2 = 1 (2.1) Jelikož stupeň statické neurčitosti je menší než 0, jedná se o staticky neurčitou konstrukci. Konkrétně je konstrukce 1x staticky neurčitá (1 x SN). 2) Vytvoření základní staticky určité soustavy Jelikož je konstrukce 1x staticky neurčitá, musíme odebrat jednu vazbu. Vazby je vhodné pouze odebírat, tedy nahrazovat vazbu vyšší vazbou nižší (např. netvořit z pevného kloubu vetknutí). V opačném případě je výpočet komplikovanější, viz přednáška. Většinou je několik možností tvorby základní soustavy. Je nutné dát pozor, aby nevznikl výjimkový případ tj. aby se žádná část nemohla pohybovat (paprsky reakcí se nesmí protínat v jednom bodě). Je vhodné zvolit takovou základní soustavu, abychom si co nejvíce ulehčili práci. Na místo odebraných vazeb se vloží reakce (staticky neurčité veličiny), které odpovídají reakci odebrané vazby. Možné základní soustavy jsou zobrazené na Obr. 3. První základní soustava byla vytvořena uvolněním pevného kloubu ve svislém směru. Vznikla 4

Obrázek 3: Základní staticky určité soustavy. o stupeň nižší vazba tj. posuvný kloub. Původní svislá reakce pevného kloubu se nahradí neznámou X 1. Druhá základní soustava vznikla tak, že se umožnilo pootočení ve vetknutí, což odpovídá momentové reakci a vloží se tedy neznámý moment X 1. Pokud byste uvolnili pevný kloub ve vodorovném směru, svislý prut by se mohl pootáčet kolem vnitřního kloubu. Třetí varianta je tedy výjimkový případ. Pro další výpočty budeme používat první variantu tj. s posuvným kloubem. 3) Reálný (silový) zatěžovací stav Na základní soustavu umístíme zatížení působící na původní konstrukci, vypočteme reakce a vykreslíme průběh ohybového momentu M f (Obr. 4). Ostatní vnitřní síly vykreslovat nemusíme, nebot se jejich vliv zanedbává. Je nutné dodržet pravidla pro vykreslování vnitřních sil (stupně křivek; nulový moment v kloubu; vykreslení na stranu tažených vláken; momenty v rámovém rohu na stejné straně = vnější/vnitřní; nulová derivace kde je nulová posouvající síla atp.). 4) Virtuální stav Na základní soustavě nahradíme staticky neurčitou reakci X 1 jednotkovou silou 1, která představuje zatížení konstrukce. Opět vypočteme reakce a vykreslíme vnitřní síly (Obr. 5), tentokrát potřebujeme reakce, průběh virtuální normálové síly a virtuálního momentu. Opět dávejte pozor na pravidla pro vykreslování jako v předchozím bodě. 5

Obrázek 4: Silový stav - vykreslení vnitřních sil. Obrázek 5: Virtuální stav - vykreslení vnitřních sil. 5) Výpočet členů rovnice Začneme výpočtem prvků matice poddajnosti δ i j, kde se slučují pouze průběhy virtuálních momentů M nebot se mají uvažovat pouze ohybové účinky, tj. vliv Q a N zanedbáme. V našem případě je pouze jeden virtuální stav a tudíž jen jeden průběh virtuálního momentu (i = j = 1). Slučujeme tedy virtuální moment se sebou samým následovně: δ 11 = p lp M1 0 E I y X 1 =1 M 1 dx (2.2) 6

Je několik možností výpočtu tohoto integrálu. Jednotlivé průběhy momentu můžeme vyjádřit pomocí funkce a zintegrovat přes všechny pruty. Další možnost je použití Vereščaginova pravidla. Asi nejjednodušší je využití tabulek pro slučování ploch. Nenulový průběh virtuálního momentu M je pouze na levé svislici a na vodorovném prutu. Na svislici je konstantní průběh momentu a slučujeme tedy obdélník s obdélníkem; vzorec v tabulkách je: LM a M a = 5 4 4 = 80 (2.3) Na vodorovném prutu je lineární průběh a slučujeme dva trojúhelníky; vzorec v tabulkách: 1 3 LM a M a = 1 3 4 4 4 = 64 (2.4) 3 Při dosazení do původního vzorce dávejte pozor na odlišné tuhosti. Po dosazení: δ 11 = 1 80 + 1 64 E I y 2E I y 3 = 272 = 0, 01007 (2.5) 3 20 10 6 4, 5 10 4 Dalším členem rovnice je vliv silového zatížení, kde opět uvažujeme pouze vliv momentu: lp M f δ 1f = M 1 dx (2.6) E I y p 0 Rovnou využijeme výpočet pomocí tabulek. Na svislici musíme průběh momentu M f rozdělit na dva intervaly - lineární část a konstantní část; a ty pak slučovat s virtuálním momentem M. Pro lineární část M f budeme slučovat lichoběžník s obdélníkem: 1 2 L(M a + M b )M a = 1 2 ( 84 64) 4 = 592 (2.7) 2 Pak budeme slučovat obdélník s obdélníkem na zbytku délky svislice: LM a M a = 3 ( 64) 4 = 768 (2.8) Jelikož je posouvající síla na vodorovném prutu vpravo nulová, můžeme použít vzorec pro konzolu zatíženou spojitým zatížením: 1 4 LM b M b = 1 4 ( 64) 4 = 256 (2.9) 4 7

Tento integrál můžeme vypočítat i rozdělením parabolického průběhu na trojúhelník a běžnou parabolu (Obr. 6): 1 3 LM a M a + 1 3 L 1 8 f L 2 M a = 1 3 4 ( 64) 4 + 1 3 4 1 8 8 42 4 = 256 (2.10) Obrázek 6: Rozložení průběhu momentu. Dosazením do původní rovnice získáme: δ 1f = 1 ( 592)+ 1 ( 768)+ 1 1488 ( 256) = = 0, 1653 E I y E I y 2E I y 20 10 6 4, 5 10 4 (2.11) Další člen zohledňuje vliv teploty, tj. rovnoměrné a nerovnoměrné ohřátí prutů. δ 1t = p lp 0 α(t c t r e f )N 1 + α t d t h h M 1 dx (2.12) Ze zadání je možné vyčíst, že pro všechny pruty platí t d = 20 C (teplota dolních vláken) a t h = 30 C (teplota horních vláken). Jedná se přímo o teploty vláken, nikoliv o kolik se ohřály. Teplota střednice se pak vypočte jako průměr horní a dolní teploty t c = (t d + t h )/2 = (20 30)/2 = 5 C. Integrály se vypočítají jednoduše jako plocha vykresleného obrazce. Pro větší přehlednost člen rozdělíme na rovnoměrné (δ 1t,N ) a nerovnoměrné (δ 1t,M ) oteplení: δ 1t,N = 1 5 12 10 6 ( 5 0) + ( 1) 3 12 10 6 ( 5 0) = 1, 2 10 4 (2.13) δ 1t,M = 4 5 12 10 6 20 ( 30) + 1 0, 3 2 4 4 12 20 ( 30) 10 6 = 0, 056 (2.14) 0, 3 Výsledný součet je pak: δ 1t = δ 1t,N + δ 1t,M = 1, 2 10 4 + 0, 056 = 0, 05588 (2.15) 8

Posledním členem rovnice je vliv předepsaných posunů: δ 1r = k R 1k (2.16) do kterého zařadíme i posuny v místě a směru neznámé reakce X 1. Pro tento člen používáme reakce z virtuálního stavu viz. Obr. 7. k Obrázek 7: Předepsané posuny a virtuální reakce. Začneme nejdříve vetknutím. Tam je předepsaný svislý posun směrem dolů, reakce také směřuje dolů a tak se nic nemění ( 1 0, 02). Vodorovná reakce je nulová, tak i její vliv je nulový ( 0 0, 03). Momentová reakce má opačný smysl než je předepsané pootočení a tak se musí přidat minus ( ( 4) 0, 01). Na pevném kloubu je předepsán také svislý posun. V tomto bodě a směru působí neznámá X 1, kterou jsme nahrazovali jedničkou 1 působící v opačném směru než posun ( ( 1) 0, 04). Vodorovná reakce je opět nulová, takže nemá žádný vliv ( 0 0, 05) δ 1r = 1 0, 02 0 0, 03 ( 4) 0, 01 ( 1) 0, 04 0 0, 05 = 0, 06 (2.17) 6) Řešení rovnice Výsledná rovnice má pak tvar: δ 11 X 1 + δ 1f + δ 1t + δ 1r = 0 0, 01007X 1 0, 1653 + 0, 05588 + 0, 06 = 0 X 1 = 4, 91kN 9

7) Vnitřní síly na staticky neurčité konstrukci Vypočtenou staticky neurčitou reakci X 1 využijeme při výpočtu skutečných reakcí na staticky neurčité konstrukci (Obr. 8) a následně vykreslíme skutečný průběh vnitřních sil na této konstrukci (Obr. 9). Obrázek 8: Reakce na staticky neurčité konstrukci. Obrázek 9: Vykreslení skutečných vnitřních sil na staticky neurčité konstrukci. 10

3 Silová metoda - poddajná podpora Zadání: Silovou metodou stanovte průběhy vnitřních sil na konstrukci zobrazené na Obr. 10. Uvažujte vliv osové poddajnosti kyvného prutu. Na ostatních částech konstrukce uvažujte pouze ohybové účinky. Vodorovná část konstrukce je tvořena obdélníkovým průřezem P1 a svislá část kruhovým průřezem P2. Obrázek 10: Zadání příkladu. V zadání je řečeno, že máme uvažovat vliv osové poddajnosti kyvného prutu, a tak ho nebudeme odstraňovat při tvorbě základní soustavy. Na zbylé konstrukci budeme uvažovat pouze vliv momentu. Na konstrukci je zadané pouze silové zatížení, takže v rovnici se bude vyskytovat pouze δ f. Pro výpočet tedy budeme potřebovat průběhy normálové síly a momentu na základní soustavě od silového zatížení (M f a N f ) a od virtuálního (jednotkového) zatížení (M a N ). Ve výpočtu budeme potřebovat normálovou tuhost kyvného prutu E A E A = 210 10 6 0, 042 π = 2, 639 10 5 kn (3.1) 4 a dále budeme potřebovat ohybovou tuhost vodorovné části E I y E I y = 28 10 6 1 12 0, 24 0, 353 = 24 010 kn.m 2 (3.2) 11

Určení statické neurčitosti Začneme výpočtem stupně statické neurčitosti konstrukce. Konstrukci rozdělíme na dvě desky (Obr. 11), každá se 3 stupni volnosti (m = 3). Obrázek 11: Určení stupně statické neurčitosti. Celá konstrukce je podepřena vetknutím (r = 3) a pevným kloubem (r = 2). Osově poddajný kyvný prut je připojen k vodorovnému prutu vnitřním kloubem. Vnitřní kloub spojuje 2 části (desky) (n = 2) a podle vzorce (r = 2(n 1)) odebírá celkem 2 stupně volnosti (r = 2(2 1) = 2). Stupeň statické neurčitosti se vypočte jako: s = m r = 2 3 3 2 2 = 1 (3.3) Stupeň statické neurčitosti je -1 < 0, jedná se o 1x staticky neurčitou konstrukci (1 x SN). Vytvoření základní staticky určité soustavy Jelikož je konstrukce 1 x SN, musíme odebrat jednu vazbu. Z vetknutí tedy vytvoříme pevný kloub a místo momentové reakce vložíme staticky neurčitou reakci X 1 (Obr. 12). Reálný (silový) zatěžovací stav Na základní soustavě (Obr. 12) vypočteme reakce a vykreslíme průběh normálové síly (N f ) a ohybového momentu (M f ). Výsledný průběh vnitřních sil je na Obr. 13. 12

Obrázek 12: Základní staticky určitá soustava. Obrázek 13: Silový stav - vykreslení vnitřních sil. Virtuální stav Na základní soustavě nahradíme staticky neurčitou reakci X 1 jednotkovým momentem 1, který představuje zatížení konstrukce. Opět vypočteme reakce a vykreslíme průběh virtuální normálovou sílu N a virtuální moment M. Výsledný průběh vnitřních sil je na Obr. 14. Výpočet členů rovnice Na řadě je výpočet členů rovnice. Je pouze jeden virtuální stav a silové zatížení, tudíž budou pouze dva členy rovnice δ 11 a δ 1f. 13

Obrázek 14: Virtuální stav - vykreslení vnitřních sil. Matice poddajnosti Při výpočtu prvků matice poddajnosti uvažujeme vliv virtuálních momentů na vodorovné části a vliv normálové síly na kyvném prutu. Je pouze jeden virtuální stav, tudíž matice poddajnosti bude mít pouze jeden prvek. δ 11 = p lp N1 0 E A X 1 =1 N 1 + M 1 E I y X 1 =1 M 1 dx (3.4) δ 11 = 1 N 1 N 1 L + 1 E A E I y ( 0, 5) ( 0, 5) 4 = + 2, 639 10 5 = 3, 156 10 5 1 3 M 1M 1 L = 1 3 1 1 2 24 010 = (3.5) Vektor zatížení Opět se slučují momenty na vodorovné části a normálová síla na kyvném prutu. Získáme tím jednoprvkový vektor zatížení. δ 1f = p lp 0 Nf E A N 1 + M f M 1 dx (3.6) E I y Při slučování momentů parabolický průběh M f rozdělíme na trojúhelník a parabolu (Obr. 15). 14

Obrázek 15: Slučování průběhu momentů M f a M. δ 1f = 1 Nf N 1 L + 1 E A E I y ( 28) ( 0, 5) 4 = + 2, 639 10 5 = 1, 210 10 4 1 6 M f M 1 L + 1 1 3 8 f L 2 M 1 L = 1 6 ( 26) 1 2 + 1 3 1 8 2 22 1 2 = 24 010 (3.7) Řešení rovnice Výsledná rovnice má tvar: δ 11 X 1 + δ 1f = 0 3, 156 10 5 X 1 1, 210 10 4 = 0 X 1 = 3, 834 knm (3.8) Vnitřní síly na staticky neurčité konstrukci Vypočtenou momentovou reakci X 1 vložíme zpět na staticky neurčitou konstrukci, vypočteme zbylé reakce a vykreslíme skutečný průběh vnitřních sil na této konstrukci (Obr. 16). 15

Obrázek 16: Vykreslení vnitřních sil na staticky neurčité konstrukci. V textu se mohou vyskytovat chyby, překlepy a nepřesnosti - budu ráda, když mě na ně upozorníte Lucie Kucíková (lucie.kucikova@fsv.cvut.cz) 16