ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE, FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ, KATEDRA ŘÍDICÍ TECHNIKY Modelování a simulace systémů cvičení 9 ZPĚTNOVAZEBNÍ ŘÍZENÍ, POŽADAVKY NA REGULACI Petr Hušek (husek@fel.cvut.cz) Základními požadavky kladenými na zpětnovazební regulační obvod (1-dof, obr. 1) jsou stabilita regulačního obvodu, přesnost regulace, doba ustálení výstupní veličiny při skokové změně žádané hodnoty a překmit výstupní veličiny při skokové změně žádané hodnoty. Všechny tyto hodnoty lze určit z diferenční rovnice popisující zpětnovazební obvod, kde vstupní veličinou je žádaná hodnota w(t) a výstupní veličinou je regulovaná veličina y(t). Jak bylo ukázáno na přednášce, než se zabývat diferenčními rovnicemi je jednodušší pracovat s přenosy v Z-transformaci (regulátoru, soustavy i celého zpětnovazebního obvodu). Obr. 1 Schema zpětnovazebního zapojení 1. Příklady Příklad 1: Uvažujme příklad cyklistického trenažeru [2], obr. 2. Vstupní veličinou je síla působící na pedály F(t) [N], výstupní veličinou je obvodová rychlost setrvačníku v(t) [m/s], parametry systému jsou moment setrvačnosti setrvačníku J [kgm 2 ], koeficient tlumení kola v ložisku B [Nms/rad], poloměr setrvačníku R [m] a poloměr pastorku r [m]. Obr. 2 Schema cyklistického trenažeru 1
MAS cvičení 10: Zpětnovazební řízení, požadavky na regulaci 2 Systém je popsán diferenční rovnicí ([2]) J BT rrt vt ( ) = vt ( T) + Ft ( T). (1) J J a volbě perio- 2 Pro hodnoty parametrů J = 036. kgm, B= 05. Nms/rad, R= 02. m, r = 015. m dy vzorkování T = 0.1s má rovnice (1) tvar vt () = 0861. vt ( T) + 00083. Ft ( T). (2) Označte vstupní veličinu u(t), výstupní y(t) a uvědomte si fyzikální význam všech veličin na obr. 1. Zformulujte, co vlastně v tomto případě po regulátoru chceme, jakou činnost vykonává, jak si jej můžeme představit. 1. Napište diferenční rovnici popisující zpětnovazební obvod dle obr. 1, uvažujeme-li trenažer (2) regulovaný proporcionálním regulátorem, tedy u(t) = k P e(t). Vstupní veličina zpětnovazebního obvodu je w(t), výstupní y(t). yt ( ) = yt ( T) + wt ( T) 2. Z diferenční rovnice napište přenos zpětnovazebního obvodu (tzv. přenos řízení) v Z- transformaci. Y( z) Gz ( ) = = W( z) 3. Určete přenos trenažeru (soustavy) S(z), přenos proporcionálního regulátoru R(z) a určete přenos zpětnovazebního obvodu ( ) ( ) = Y z Gz W( z) = Porovnejte výsledky z bodů 2. a 3. 4. Do komplexní roviny vykreslete polohu pólů uzavřeného regulačního obvodu (přenosu G(z)) v závislosti na zesílení regulátoru k P. Určete, pro jaké hodnoty k P je regulační obvod stabilní. Ověřte simulací. 5. Vykreslete hodnotu ustálené regulační odchylky e ss na jednotkový skok žádané hodnoty, w(t) = 1(t), v závislosti na zesílení proporcionálního regulátoru k P. Pro jednu Vámi
MAS cvičení 10: Zpětnovazební řízení, požadavky na regulaci 3 zvolenou hodnotu k P ověřte hodnotu ustálené regulační odchylky simulací. Pro jakou hodnotu k P dosáhneme nulové ustálené regulační odchylky? 6. Pro 3 Vámi zvolené hodnoty k P určete dobu ustálení regulace a ověřte ji simulací (volte p = 5%, w(t) = 1(t), uvědomte si fyzikální význam žádané hodnoty, nakreslete všechny 3 průběhy do jednoho obrázku). Závisí doba regulace na velikosti žádané hodnoty? Ověřte simulací. 7. Pro hodnoty k P z bodu 6. určete simulací hodnotu překmitu M P. Je tato hodnota závislá na velikosti žádané hodnoty? Pro jaké hodnoty parametru a systému s přenosem b Gz ( ) = z a je M P > 0? 8. Vyberte ze tří proporcionálních regulátorů z bodů 6. a 7. ten nejlepší dle Vašeho názoru. Při jejich hodnocení berte v úvahu velikost ustálené odchylky, dobu ustálení a velikost překmitu. Příklad 2: Uvažujme nelineární systém fyzikálního kyvadla, který jsme linearizovali na minulém cvičení. Cílem bude jeho řízení v okolí pracovního bodu zvoleném na minulém cvičení. 1. Zapojte regulační smyčku 1-dof dle obr. 1 s linearizovaným modelem systému. Jelikož se lineární model chová v celém stavovém prostoru stejně, nemusíme se zde zabývat nastavením pracovního bodu. 2. Pokuste se experimentálně naladit proporcionální regulátor tak, aby se regulační smyčka chovala dle Vašeho názoru co nejlépe. 3. Modifikujte zpětnovazební zapojení z obr. 1 tak, aby jej bylo možné použít pro řízení nelineárního systému v okolí zvoleného pracovního bodu. Zapojte toto modifikované schéma s nelineárním modelem kyvadla a zkontrolujte správnost jeho nastavení simulací v pracovním bodě. 4. Porovnejte výsledky regulace lineárního a nelineárního modelu v okolí pracovního bodu při regulaci s proporcionálním regulátorem z bodu 2. Příklad 3: Uvažujme příklad e-mailového serveru IBM Lotus Domino Server, zkráceně nazývaný Notes Server ([5]), viz obr. 3.
MAS cvičení 10: Zpětnovazební řízení, požadavky na regulaci 4 Obr. 3 Notes Server Jedná se o klient-server aplikaci, při níž klient posílá své požadavky ve formě RPC (Remote Procedure Calls), které Notes Server zpracovává. Pokud těchto žádostí zpracovává příliš najednou, dochází k jeho zahlcení a ke snížení výkonnosti. Je tudíž nezbytné udržovat počet zpracovávaných žádostí (RIS) na stanovené hodnotě. Jednou z možností, jak tento počet ovlivnit, je nastavením maximálního počtu uživatelů, kteří se mohou k serveru připojit (MaxUsers). Hodnoty RIS a MaxUsers nejsou totožné, neboť ne každý připojený uživatel vysílá RPC a server navíc zpracovává jiné (administrativní) úlohy. Vstupní veličinou u(t) systému tedy budeme uvažovat hodnotu MaxUsers, výstupní y(t) hodnotu RIS. Pracovní bod tohoto serveru je u 0 = 375, y 0 = 325. Experimentální identifikací systému bylo zjištěno, že v okolí pracovního bodu jej lze popsat diferenční rovnicí Δ yt ( + 1) = 0. 43Δ yt ( ) + 0. 47 Δut ( ). (1) 1. Zapojte zpětnovazební regulační smyčku (1-dof). 2. Početně stanovte, pro jaký rozsah hodnot k P bude regulační obvod z obr. 3 stabilní. 3. S využitím vztahů (4) a (5) určete pro jaký rozsah hodnot k P bude ustálená regulační odchylka na jednotkový skok žádané hodnoty w(t) menší než 0.1, e ss < 0.1. Jednotkovým skokem zde myslíme skok z pracovního bodu o 1 více, tedy z hodnoty 325 na 326. 4. S využitím vztahu (6) vykreslete graf závislosti doby ustálení t s pro pásmo 5% na velikosti k P. 5. Vykreslete graf závislosti překmitu M P na velikosti k P, víte-li, že pro systém s přenosem Gz ( ) = z a pro 1 a 0 platí M b P = a.
MAS cvičení 10: Zpětnovazební řízení, požadavky na regulaci 5 6. Pokuste se nalézt proporcionální regulátor s takovým zesílením k P, aby byl regulační obvod dle obr. 3 stabilní, ustálená regulační odchylka e ss < 0.1, doba ustálení t s < 10 a překmit M P < 0.1. 7. Zapojte zpětnovazební zapojení s dvěma stupni volnosti (2-dof) a nalezte takové přímovazební zesílení k F, aby byl požadavek na ustálenou hodnotu regulační odchylky z předchozího bodu splněn. Ovlivní hodnota k F ostatní parametry regulace? Literatura [1] HELLERSTEIN, J.L., DIAO, J.L., PAREKH, S. a TILBURY, D.M. Feedback Control of Computing Systems. John Wiley & Sons, 2004. [2] HUŠEK, P. Modelování a simulace [online]. Poslední revize 2012-09-17 [cit. 2012-09-17], https://moodle.dce.fel.cvut.cz/. [3] ROUBAL, J. Základy řízení systémů [online]. Poslední revize 2008-02-20 [cit. 2008-02-20], http://support.dce.felk.cvut.cz/pub/roubalj/. [4] ROUBAL, J., HUŠEK, P. A KOL. Základy regulační techniky v příkladech, nakladatelství BEN Technická literatura, 2011.