5.1.9 Řezy těles rovinou I ředpoklady: 5108 edagogická poznámka: ře kreslení řezů platí ještě více než u zbytku stereometrie, že v rychlosti postupu budou mezi žáky obrovské rozdíly. Učebnice s tím počítá a všechny hodiny obsahují více příkladů než může většina třídy stihnout. Ještě víc než v jiných hodinách pak platí, že je třeba nechat žáky udělat alespoň část kroků samostatně a pak korigovat případné chyby. rostorová představivost je také záležitostí tréninku. edagogická poznámka: odinu je třeba řídit tak, aby se nejpozději 10 minut před koncem začalo pracovat na příkladu 5 (hledání chyb). ledat chyby je možné i v příkladech, které žáci ještě neřešili. rotože se chyby v obraze na projektoru velmi těžko ukazují, rozdávám žákům papírky, které by v ideálním případě neměli pokreslit a naopak měli by je na konci hodiny odevzdat. Řez tělesa rovinou průnik roviny s tělesem sestrojujeme průsečnice roviny se stěnami tělesa nezajímají nás (a proto je nekreslíme) úsečky, které procházejí vnitřkem tělesa. reslíme je jen, když to nejde jinak (takové příklady přijdou až za několik hodin) a pouze jako pomocné čáry. ravidlo první (ravidlo spojování bodů): eží-li dva různé body v rovině, pak přímka jimi určená leží také v této rovině. okud známe v libovolné stěně tělesa dva různé body roviny řezu, nakreslíme jejich spojnici. růnik této spojnice a stěny je jednou stranou edagogická poznámka: V řešeních příkladů jsou body, které vznikají při konstrukci řezu, označovány písmeny. ůvodem je orientace při studiu a možnost sledovat krokovaný postup. o žácích při konstrukci v sešitu nic takového nechci. edagogická poznámka: ásledující řezy jsou velmi jednoduché a chytřejší část třídy si s nimi velmi rychle poradí. Slabší žáci budou mít naopak velké problémy a při přeskočení této a následující hodiny budou zcela bezradní. ř. 1: Je dána standardní krychle. Sestroj řez této krychle rovinou: S, b) S c) SS. S 1
ody S a leží v jedné rovině (přední stěn jejich spojnice leží v přední stěně a je jednou ze stran S ody S a leží v jedné rovině (dolní podstav jejich spojnice leží v dolní podstavě a je jednou ze stran ody a leží v jedné rovině (pravá stěn jejich spojnice leží v pravé stěně a je jednou ze stran S b) S S ody S a leží v jedné rovině (přední stěn jejich spojnice leží v přední stěně a je jednou ze stran
S ody S a leží v jedné rovině (pravá stěn jejich spojnice leží v pravé stěně a je jednou ze stran ody a leží v jedné rovině (dolní podstav jejich spojnice leží v dolní podstavě a je jednou ze stran c) S S S ody S a leží v jedné rovině (pravá boční stěn jejich spojnice leží v pravé boční stěně a je jednou ze stran S S S ody S a leží v jedné rovině (zadní stěn jejich spojnice leží v zadní stěně a je jednou ze stran římka S je úhlopříčkou zadní stěny prochází bodem, který je tedy dalším bodem ody a S leží v jedné rovině (dolní podstav jejich spojnice leží v dolní podstavě a je jednou ze stran
ř. : Sestroj řezy těles rovinami určenými body,,. = b) ody, leží v zadní stěně úsečka je stranou ody, leží v přední stěně část polopřímky je stranou růsečík polopřímky s hranou označíme. ody, leží v podstavě úsečka je stranou b) ody, leží v přední stěně část úsečky je stranou růsečík polopřímky s hranou označíme. ody, leží v levé boční stěně úsečka je stranou ody, leží v podstavě úsečka je stranou = ostřeh: růsečík každé přímky, na které leží libovolná strana řezu, s libovolnou hranou tělesa je dalším bodem řezu, který můžeme použít pro další postup. 4
ř. : Sestroj řezy těles rovinami určenými body,,. b) ody, leží v dolní stěně růsečík přímky s hranou označíme, průsečík s hranou označíme. ody, leží v přední stěně řezu (úsečku ). ody, leží v pravé stěně řezu (úsečku ). b) ody, leží v rovině horní stěny část úsečky je stranou růsečík polopřímky s hranou označíme, průsečík s hranou označíme. ody, leží v levé boční stěně část polopřímky je stranou růsečík polopřímky s hranou označíme. ody, leží v přední stěně úsečka je stranou 5
ř. 4: Je dána standardní krychle. Sestroj řez této krychle rovinou:, kde leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, = a leží na polopřímce, =, 1 b), kde leží na polopřímce, =, leží na polopřímce, 1 = a leží na polopřímce, =. ody, leží v přední stěně růsečík přímky s hranou označíme, průsečík s hranou označíme. ody, leží v pravé boční stěně můžeme je spojit. Získáme bod a část řezu (úsečku ). ody, leží v horní stěně můžeme je spojit. Získáme bod a část řezu (úsečku ). ody, leží v zadní podstavě úsečka je poslední stranou b) ody, leží v přední stěně růsečík přímky s hranou označíme, průsečík s hranou označíme. ody, leží v levé boční stěně můžeme je spojit. Získáme bod a část řezu (úsečku ). ody, leží v horní stěně můžeme je spojit. Získáme bod a část řezu (úsečku ). ody, leží v zadní podstavě úsečka je poslední stranou edagogická poznámka: Vnímavější žáci si samozřejmě všimnou, že oba body předchozího příkladu představují stejný řez jen z jiné straně krychle (tudíž jinak zkreslený promítáním do roviny). 6
ř. 5: a následujících obrázcích jsou špatně sestrojené řezy některých příkladů z dnešní hodiny. U každého obrázku najdi všechny chyby, kterých se autor dopustil. Jaké druhy chyb autor dělal? b) d) R c) Úsečka není celou stranou řezu v rovině, měla být protažena až na hranu (řez nemůže končit uprostřed stěny, vždy jen na hraně). Úsečka jde vnitřkem jehlanu. 7
Úsečka jde mimo řez (bod neleží v boční stěně jako body a a není možné ho s nimi spojovat). Čára řezu je ve stěně zalomená (skládá se ze dvou úseček). b) římka se neprotíná s hranou bod ve skutečnosti neexistuje. Úsečka by procházela vnitřkem krychle. c) d) R římka prochází mimo krychli, neprotíná se s hranami a body, R neexistují. Řez krychlí nemůže procházet po části hrany (pokud přímka leží v rovině, musí v ní ležet celá). ejčastější chyby při sestrojování řezů: zalomení řezu v jedné stěně (řez v jedné stěně netvoří jedna úsečk, čára řezu jdoucí vnitřkem nebo vnějškem tělesa (čára řezu mimo stěnu těles, čára řezu nekončí na hraně. 8
Shrnutí: dyž hledáme další body řezu, musíme dávat pozor zda spojované body leží ve stejné stěně a zda se kreslená přímka opravdu protíná s hranou. 9