KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

Podobné dokumenty
Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho

AXONOMETRIE - 2. část

Mongeova projekce - úlohy polohy

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

OBECNÉ ROTAČNÍ PLOCHY

RELIÉF. Reliéf bodu. Pro bod ležící na s splynou přímky H A 2 a SA a reliéf není tímto určen.

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat.

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Konstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU

11. Rotační a šroubové plochy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem ( ) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].

Deskriptivní geometrie 2

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

PŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Obsah a průběh zkoušky 1PG

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

Deskriptivní geometrie 1

Konstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44

Pravoúhlá axonometrie

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

Smysl otáčení. Aplikace. Pravotočivá

Deskriptivní geometrie 2

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly.

Další plochy technické praxe

Deskriptivní geometrie pro střední školy

ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Zborcené plochy. Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- tzv. Chaslesova věta:

Deskriptivní geometrie 0A5

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

Mongeovo zobrazení. Bod a přímka v rovině

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

Elementární plochy-základní pojmy

BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr

Pravoúhlá axonometrie - osvětlení těles

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Konstruktivní geometrie

KARTOGRAFIE. Rovinné projekce. Gnómické projekce. 1. Pólová gnómonická projekce

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Konstruktivní geometrie

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

Aplikace deskriptivní geometrie

Perspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen

7.KINEMATICKÁ GEOMETIE V ROVINĚ 7.1 Rovinné křivky

středu promítání (oka) se objekty promítají do roviny (nahrazuje sítnici). Perspektivní obrazy

Mongeovo zobrazení. Řez jehlanu

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Deskriptivní geometrie 1

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

Interaktivní modely pro Konstruktivní geometrii

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Kinematická geometrie

Test č. 1. Kuželosečky, afinita a kolineace

Deskriptivní geometrie

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

Aplikace lineární perspektivy

P L A N I M E T R I E

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

Plochy technické praxe

Deskriptivní geometrie

1 Topografické plochy

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ KÓTOVANÉ PROMÍTÁNÍ

Shodná zobrazení v rovině

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Transkript:

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení ve směru hodinových ručiček nazveme pohyb pravotočivý (při klesání se otáčíme za pravou rukou), při otáčení proti směru hodinových ručiček se jedná o pohyb levotočivý. Známe-li ještě velikost v 0 posunutí při otočení o 1 radián, je šroubový pohyb jednoznačně určen a ke každému posunutí můžeme jednoznačně určit velikost otočení a naopak, v 0 nazýváme parametr šroubového pohybu. Velikost posunutí a otočení jsou vázány vztahem z M =ω M v 0, kde z M je posutí a ω M otočení daného bodu M. Šroubový pohyb je jednoznačně určen osou, orientací a parametrem. Posunutí v = 2π.v 0, které odpovídá otočení o 2π nazýváme výška závitu. Je-li dán šroubový pohyb, trajektorie bodu A neležícího na ose se nazývá (kruhová) šroubovice. Vzdálenost r bodu A od osy o šroubového pohybu se nazývá poloměr šroubovice, část šroubovice odpovídající výšce závitu se nazývá závit šroubovice a část šroubovice odpovídající parametru šroubového pohybu se nazývá redukovaná výška závitu. Tečny šroubovice mají konstantní odchylku ω od osy o šroubového pohybu a tedy i konstantní odchylku α=π/2-ω od roviny kolmé k ose o. Číslo tg α nazýváme spád šroubovice, šroubovice je křivka konstantního spádu a také geodetická křivka na rotační válcové ploše. Vedeme-li libovolným bodem V osy přímky rovnoběžné s tečnami šroubovice, vytvoří rotační kuželovou plochu, kterou nazýváme směrová kuželová plocha. Rovina kolmá k ose ve vzdálenosti v 0 od vrcholu V protne směrovou kuželovou plochu v kružnici k=(o,r), kde r je poloměr šroubovice. Pravoúhlý trojúhelník VOX, kde X je bod kružnice k (jeho odvěsny mají po řadě velikost v 0 a r) nazýváme základní trojúhelník šroubovice. Jeho odvěsna je rovnoběžná s tečnou šroubovice. 1

Nechť M je bod šroubovice a M 1 jeho pravoúhlý průmět do roviny π. V bodě M sestrojíme tečnu t a určíme její průsečík P s rovinou π. Trojúhelník PMM 1 je podobný základnímu trojúhelníku a proto platí IPM 1 I = r ϕ M, což je velikost oblouku AM. Body P tedy vytvoří evolventu kružnice k. Př.: V Mongeově projekci sestrojte jeden závit pravotočivé šroubovice s, která je dána osou o, bodem A a redukovanou výškou závitu v 0. V bodě M této šroubovice určete doprovodný Frenetův repér. Osa o šroubovice s je kolmá k půdorysně, bod A leží v půdorysně. Křivku sestrojíme bodově, určíme dvanáct jejích bodů, které odpovídají otočení o 30. Půdorysem šroubovice je kružnice k 1 =(o 1,Io 1 A 1 I). Určíme výšku v závitu šroubovice. Platí v = 2π v 0, odtud v/(2πr)=v 0 /r. Sestrojíme-li tedy trojúhelník podobný základnímu trojúhelníku, jehož jedna odvěsna bude mít délku πr, pak velikost druhé odvěsny bude rovna polovině výšky závitu. Rozdělením této úsečky na šestiny získáme posunutí, které odpovídá otočení o 30. Odvěsnu délky πr získáme například Kochaňského rektifikací kružnice s 1. Sestrojíme půdorysy i nárysy dvanácti bodů šroubovice otočených o 30 a posunutých o v/12. Stoupání šroubovice je proti šipce. Vybereme libovolný bod M šroubovice s a v něm sestrojíme tečnu t, hlavní normálu n a binormálu b. Sestrojíme směrovou kuželovou plochu, její vrchol V volíme ve výšce v 0 na půdorysnou. Povrchové přímky této kuželové plochy jsou rovnoběžné s tečnami šroubovice s, půdorysna kuželovou plochu protíná v kružnici s 1. Půdorysem tečny t v bodě M je tečna t 1 kružnice s 1. Známe orientaci šroubovice a určíme tak i klesání tečny. (Šipka z bodu dotyku musí vycházet stejným směrem). Vrcholem V směrové kuželové plochy vedeme přímku t rovnoběžnou s přímkou t. Půdorys t 1 protíná 2

kružnici s 1 v půdoryse půdorysného stopníku P přímky t. Pomocí něj určíme nárys t 2 přímky t. Nárys t 2 tečny t je pak rovnoběžný s t 2 a prochází bodem M 2. Hlavní normála n šroubovice leží v normálové rovině a je kolmá na tečnu i na osu šroubového pohybu. Odtud vyplývá i její konstrukce. Nárys n 2 je rovnoběžný se základnicí a hlavní normála je tedy hlavní přímkou první osnovy každé roviny, která přímku n obsahuje. Půdorys n 1 je pak kolmý na t 1. Binormála b je kolmá na oskulační rovinu určenou tečnou t a hlavní normálou n. Půdorys b 1 je kolmý na n 1, což znamená, že splývá s t 1 (Rektifikační rovina je tedy kolmá k π.) Nárys b 2 určíme pomocí libovolné hlavní přímky druhé osnovy oskulační roviny. Zvolíme libovolnou přímku druhé osnovy oskulační roviny, sestrojíme její nárys a b 2 je kolmice k nárysu této přímky. 3

Pozn. V předchozím příkladě jsme měli zadáno v 0 a konstruovali jsme výšku závitu v. Protože 1 radián je přibližně 60 nebudeme v dalších příkladech sestrojovat v, ale položíme v 0 =v/6. Rovnoběžné osvětlení šroubovice. Nejprve sestrojíme stín l šroubovice l do roviny π kolmé k ose o. Označíme α odchylku povrchových přímek směrové kuželové plochy od π (tg α je spád šroubovice) a ϕ odchylku směru osvětlení od π. Budeme určovat vržený stín šroubovice l do roviny π pro tři případy a zvolíme směr s osvětlení rovnoběžně s nárysnou a procházející V. 1. α = ϕ Zvolíme libovolný bod M šroubovice l. Tento bod leží rovněž na kružnici h rotační válcové plochy, na níž leží i šroubovice l. Sestrojíme vržený stín kružnice h a bodu M do π. Nechť m 1 je tečna kružnice l 1 v bodě A 1 a P 1 její bod dotyku s kružnicí h 1. Platí IA 1 P 1 I=IO 1 S 1I=IA 2 S 2I a základní trojúhelník je podobný trojúhelníku S 2 A 2 S 2. Odtud IA 2 S 2I:IA 2 S 2 I=r:v 0. Bod M jsme získali přešroubováním bodu A, označme úhel otočení ω M, velikost posunutí z M =IA 2 S 2 I, ke každému otočení určíme jednoznačně posunutí ze vztahu z M =ω M v0, proto IA 2 S 2I:(ω M v 0 ) =r:v 0. Z předchozích vztahů dostáváme IA 1 P 1 I=rω M, což je rovno velikosti oblouku P 1 M 1. Body M 1 tedy vyplní prostou cykloidu. Odvodili jsme: Vrženým stínem šroubovice do roviny p kolmé k ose je prostá cykloida, jestliže směr osvětlení má stejnou odchylku od roviny π jako tečny šroubovice l. 4

2. α < ϕ < π/2 Uvažujme šroubovici k spádu tg ϕ vytvořenou stejným šroubovým pohybem. Hledáme vržený stín bodu M šroubovice l do π. Nejprve sestrojíme bod Q ležící na šroubovici k a ve stejné rovině jako kružnice h bodu M. Sestrojíme vržený stín Q do π, víme, že Q leží na prosté cykloidě k. Bod M 1 leží na polopřímce S 1Q 1, vně úsečky S 1Q 1, body M 1 vyplní prodlouženou cykloidu. 5

3. 0 < ϕ < α Zvolíme stejný postup jako v předchozím případě, bod M 1 leží teď uvnitř úsečky S 1Q 1 a vrženým stínem do π je zkrácená cykloida. 6

O tvaru vrženého stínu do π můžeme také rozhodnout podle polohy vrženého stínu V vrcholu směrové kuželové plochy do π, křivka l 1 je prostá (prodloužená, zkrácená) cykloida, jestliže V 1 leží na (uvnitř,vně) kružnice l 1. Tohoto využijeme při konstrukci stínu šroubovice vrženého do obecné roviny a také pro konstrukci šroubovice s osou v obecné poloze či v jiných projekcích. Mějme dánu šroubovici l a směr osvětlení s. Sestrojujeme-li vržený stín šroubovice, proložíme každým bodem šroubovice světelný paprsek. Ty nám vyplní světelnou válcovou plochu Ω s řídící křivkou l. Vržený stín do roviny ρ je pak řezem plochy Ω touto rovinou. Odvodili jsme si, že řez rovinou π kolmou k ose je prostá, prodloužená či zkrácená cykloida vzhledem k poloze bodu V a kružnice k. (Kružnice k je řez rotační válcové plochy Φ, na které leží šroubovice, rovinou π.) Vedeme-li řez světelné válcové plochy Ω obecnou rovinou ρ, víme, že řezy rovinou π a ρ jsou afinní, směr afinity je směr osvětlení. Vrženým stínem šroubovice l do obecné roviny ρ je tedy křivka afinní cykloidě, její tvar závisí na poloze bodu V k vzhledem ke křivce k k. (V k a k k jsou afinní útvary k V, k.) 7

Stejný postup využíváme pro konstrukci šroubovice s osou v obecné poloze v Mongeově promítání a při konstrukcích šroubovice v jiných projekcích. Směr osvětlení je shodný se směrem promítání, sestrojujeme vržený stín do průmětny. Na obrázku jsou sestrojené šroubovice v axonometrii pro různou redukovanou výšku závitu, jsou sestrojeny bodově, opět přibližně pokládáme v 0 =v/6, tj. pro otočení o 30 dostáváme posunutí rovno v 0 /2. Pro jeden bod je sestrojen tečna s využitím směrové kuželové plochy. 8

9