Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Ing. Renata Dupalová Datum 18.7.2014 Ročník 9. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací obor Matematika Tematický okruh Soustavy dvou rovnic o dvou neznámých Téma Slovní úlohy řešené rovnicemi Metodický list/anotace Pracovní list je určen žákům k procvičení nebo opakování slovních úloh, u kterých je využito sestavení dvou rovnic o dvou neznámých, a jejich vyřešení. Typ DUMu Pracovní list Jazyk Český Očekávaný výstup Zvládnutí řešení slovních úloh, vedoucích k sestavení dvou rovnic o dvou neznámých Speciální vzdělávací potřeby Cílová skupina Stupeň a typ vzdělávání Typická věková skupina žádné Žáci 9. ročníku 2. stupeň základní školy 15 let
Slovní úlohy EU O 2 3 URB 18 Soustava dvou rovnic o dvou neznámých Zadání 1. Rozdíl dvou čísel je20. Jejich součet je 40. Jaká jsou to čísla? 2. Součet trojnásobku prvního čísla a dvojnásobku druhého čísla je 12. Součet dvojnásobku prvního čísla a trojnásobku druhého čísla je 13. Jaká jsou obě čísla? 3. Máme za úkol zjistit ceny zeleniny. Známe výsledky dvou nákupů. První nákup: 2kg papriky a 3kg brambor jsme zaplatili 117 Kč Druhý nákup: 7 kg papriky a 8 kg brambor jsme zaplatili 387 Kč Urči cenu 1kg papriky a 1kg brambor. 4. Ve váze jsou dvě kytice s cenovkami. V první jsou 3 lilie a 2 karafiáty a stojí 77 Kč a ve druhé je 1 lilie a 5 karafiátů a stojí 87 Kč. Kolik stojí 1 lilie a kolik stojí 1 karafiát? 5. Jednu slunečnou neděli navštívilo muzeum 458 osob. Na vstupném se vybralo 15 480 Kč. Dospělý člověk platil 60 Kč, dítě 20 Kč. Kolik dospělých a kolik dětí navštívilo muzeum? 6. Z Afriky poslali do evropských ZOO plameňáky a velbloudy. Dohromady měli 74 hlav a 240 nohou. Kolik bylo plameňáků a kolik velbloudů? 7. Žáci osmých a devátých tříd sbírali starý papír. Celkem odevzdali 32 000kg starého papíru. Pětina sběru žáku osmých tříd se rovná třetině žáků devátých tříd. Kolik kg papíru donesli žíci osmých tříd a kolik kg žáci devátých tříd. 8. Kus látky délky 40m máme rozdělit na dvě části tak, aby polovina první části se rovnala třetině druhé části. Kolik měří každá část látky?
9. Jirka a Milan si kupují stejné malé a velké kuličky. Jirka si koupil 4 velké a 20 malých kuliček a zaplatil 112 Kč. Milan za 10 velkých a 24 malých zaplatil 176 Kč. Kolik stála velká a malá kulička? 10. Směs pralinek. Jeden kilogram pralinek s oříšky stojí 60Kč. Jeden kilogram pralinek s mandlemi stojí 35Kč. Máme připravit pět kilogramů směsi po 45Kč za jeden kilogram. Kolik kilogramů jednotlivých druhů pralinek je třeba smíchat? 11. Máme dva roztoky chemické soli. Jeden je 5%ní a druhý je 30%ní. Vypočítej, kolik kterého z těchto roztoků je třeba použít, abychom dostali 1kg 25% roztoku této soli. 12. V laboratoři dostali za úkol připravit 0,5l 40% kyseliny dusičné. V láhvích mají připravenou 60% a 10% kyselinu dusičnou. Kolik které z nich použijí do roztoku? 13. Během víkendu spadlo 31,5 mm srážek. Kolik napršelo v sobotu a kolik v neděli jestliže v neděli byly srážky ještě o 25% vydatnější? 14. Žáci devátých tříd byli na výletě ubytování v penzioně. Bylo tam 27 pokojů. Některé byly třílůžkové a některé čtyřlůžkové, v penzionu může být ubytováno nejvíce 87 hostů. Urči, kolik třílůžkových a kolik čtyřlůžkových pokojů může být v penzionu. 15. Kontejnerová loď veze červené a černé kontejnery. Má naloženo 29 kontejnerů, které váží dohromady 550 tun. Červené kontejnery jsou 20 tunové a černé 15 tunové. Kolik je kterých? 16. Z depa vyjel 7h 30min nákladní vlak průměrnou rychlostí 40km/hod. V 8h za ním vyjela pomocná lokomotiva průměrnou rychlostí 80 km/hod. V kolik hodin dohoní lokomotiva nákladní vlak a v jaké vzdálenosti od depa?
17. V 6h ráno vyjelo osobní auto z města A průměrnou rychlostí 68km/h do vesnice B. Ve stejnou dobu vyjel z vesnice B směrem k městu A kombajn průměrnou rychlostí 40 km/hod. V kolik hodin se potkají, jestliže vzdálenost obou míst je 80,5km?
Slovní úlohy Soustava dvou rovnic o dvou neznámých Řešení 1. Rozdíl dvou čísel je20. Jejich součet je 40. Jaká jsou to čísla? x y = 20 x + y = 40 rozdíl dvou čísel součet dvou čísel 2x = 60 x = 60 : 2 x = 30 y = 40 x y = 40 30 y = 10 První číslo je třicet, druhé číslo je deset. 2. Součet trojnásobku prvního čísla a dvojnásobku druhého čísla je 12. Součet dvojnásobku prvního čísla a trojnásobku druhého čísla je 13. Jaká jsou obě čísla? 3. x + 2. y = 12. (-3) 2. x + 3. y = 13. 2-9x -9y = -36 4x +6y = 26-5x= -10 x = -10 : (-5) x = 2 3. 2 + 2y = 12 6+ 2y = 12
2y = 12-6 Zk.: 2. 2 + 3. 3= 13 2y = 6 4 + 9 = 13 y = 6 2 = 3 13 = 13 První číslo je 2, druhé číslo je 3. 3. Máme za úkol zjistit ceny zeleniny. Známe výsledky dvou nákupů. První nákup: 2kg papriky a 3kg brambor jsme zaplatili 117 Kč Druhý nákup: 7kg papriky a 8 kg brambor jsme zaplatili 387 Kč Urči cenu 1kg papriky a 1kg brambor. Paprika cena za 1 kg x Kč Brambory cena za 1 kg y Kč I nákup 2x + 3y = 117 Kč.(7) II.nákup 7x - 8y = 387 Kč.(-8) 14x + 21y = 919-14x - 16y = -774 5y = 45 y = 45 5 = 9 Kč 2x + 3. 9 = 117 2x + 27 = 117 2x = 117-27 2x = 90 x = 90 2 = 45 Kč Paprika stojí 45 Kč za 1 kg, brambory stojí 9 Kč za 1 kg.
4. Ve váze jsou dvě kytice s cenovkami. V první jsou 3 lilie a 2 karafiáty a stojí 77 Kč a ve druhé je 1 lilie a 5 karafiátů a stojí 87 Kč. Kolik stojí 1 lilie a kolik stojí 1 karafiát? Cena za 1 lilii.x Kč Cena za 1 karafiát..y Kč I. kytice 3x + 2y = 79 Kč II. kytice x + 5y = 87 Kč => x = 87 5y Dosadíme do první rovnice za x 3. (87-5y) + 2y = 79 261-15y + 2y = 79-13y = 79 261-13y = -182. (-1) y = 182 : 13 y = 14 Kč x = 87 5y x = 87-5. 14 x = 87 70 x = 17 Kč Lilie stojí 17 Kč a jeden karafiát stojí 14 Kč. 5. Jednu slunečnou neděli navštívilo muzeum 458 osob. Na vstupném se vybralo 15 480 Kč. Dospělý člověk platil 60 Kč, dítě 20 Kč. Kolik dospělých a kolik dětí navštívilo muzeum? Celkem osob 450 Celkem peněz 15 480 Kč Dospělý za vstup 60 Kč počet dospělých x
Dítě za vstup 20 Kč počet dospělí y Počet osob x + y = 450 => 450 y Zaplacené peníze 60. x + 20. y = 15 480 Kč Dosadíme do druhé rovnice za x 60 (450-y) + 20y = 15 480 27 000 60y + 20y = 15 480 27 000 40y = 15 480-40y = 15 480 27 000-40y = -11 520. (-1) 40y = 11 520 y = 11 520 : 40 y = 288 x = 450 288 =162 Zk.: 60 162 + 288. 10 = 15 480 9 720 + 5 760 = 15 480 15 480 = 15 480 Muzeum v přírodě navštívilo 162 dospělých a 288 dětí. 6. Z Afriky poslali do evropských ZOO plameňáky a velbloudy. Dohromady měli 74 hlav a 240 nohou. Kolik bylo plameňáků a kolik velbloudů? Počet plameňáků x 1 hlava 2 nohy Počet velbloudů y 1 hlava 4 nohy Hlavy x + y = 74. (-2) Nohy 2. y + 4y = 240
-2x 2y = -148 2x + 4y = 240 2y = 92 y = 92 2 = 46 x + y = 74 x + 46 = 74 x = 74 46 x = 28 Zk.: 2. 28 + 4. 46 = 240 56+ 184 = 240 240 = 240 Plameňáků bylo 28 a velbloudů 46. 7. Žáci osmých a devátých tříd sbírali starý papír. Celkem odevzdali 32 000kg starého papíru. Pětina sběru žáku osmých tříd se rovná třetině žáků devátých tříd. Kolik kg papíru donesli žíci osmých tříd a kolik kg žáci devátých tříd. Celkem třídy odevzdaly 32 000 kg sběru 8. třídy x kg 9. třídy y kg 1 5 z x se rovná 1 3 z y x + y = 32 000 => x = 32 000 y x 5 = y 3 32 000 y 5 = y 3. 15 15.(32 000 y) 5 = 15y 3
3. (32 000 y)= 5y 96 000 3y = 5y -3y 5y = -96 000-8y = -96 000. (-1) y = 96 000 8 y = 12 000 kg x = 32 000 12 000 = 20 000 kg Zk.: 20 000 5 = 12 000 3 4 000 = 4 000 Žáci 8. Tříd nasbírali 20 000 kg a záci 9. Tříd nasbírali 12 000 kg starého papíru. 8. Kus látky délky 40 m máme rozdělit na dvě části tak, aby polovina první části se rovnala třetině druhé části. Kolik měří každá část látky? Celý kus látky Část jedna Část dvě 40 m x m y m 1 z x se rovná 1 z y 2 3 x + y = 40 => x = 40 y x 2 = y 3 40 y 2 = y 3. 6 6.(40 y) 2 = 6.y 3 3. (40 y) = 2y 120 3y = 2y
-3y 2y = -120-5y = -120. (-1) y = 120 5 = 24m x = 40-12 = 16 m Zk.: 16 2 = 24 3 8 = 8 První kus látky měří 16 metrů, druhý 24 metrů. 9. Jirka a Milan si kupují stejné malé a velké kuličky. Jirka si koupil 4 velké a 20 malých kuliček a zaplatil 112 Kč. Milan za 10 velkých a 24 malých zaplatil 176 Kč. Kolik stála velká a malá kulička? Cena velké kuličky Cena malé kuličky x Kč y Kč Nákup Jirka 4x + 20y = 112. 5 Nákup Milan 10x + 24y = 176. (-2) 20x + 100y = 560-20x - 48y = -352 52y = 208 y = 208 52 = 4 4x + 20. 4 = 112 4x + 80 = 112 4x = 112 80 4x = 32 x = 32 4 = 8
Zk.: 10. 8 + 24. 4 = 176 80 + 9 = 176 176 = 176 Velká kulička stojí 8 korun, malá kulička 4 koruny. 10. Směs pralinek. Jeden kilogram pralinek s oříšky stojí 60Kč. Jeden kilogram pralinek s mandlemi stojí 35Kč. Máme připravit pět kilogramů směsi po 45Kč za jeden kilogram. Kolik kilogramů jednotlivých druhů pralinek je třeba smíchat? 1 kg pralinek oříškových 60 Kč 1 kg pralinek mandlových 35 Kč 1 kg směsi 45 Kč Máme připravit 5 kg směsi 5. 45 = 225 Kč Pralinek oříškových Pralinek mandlových x kg y kg Kilogramy x + y = 5 => y = 5 x Peníze 60x + 35y = 225 Dosadíme za x 60. (5 y) + 35 y = 225 300 60y + 35 y = 225-25y = 225 300-25y = -75. (-1) y = 75 25 = 3 x = 5 3 x = 2
Zk.: 60. 2 + 35. 3 = 225 120 + 105 =225 225 = 225 Směs připravíme z 2 kg pralinek oříškových a 3 kg pralinek mandlových. 11. Máme dva roztoky chemické soli. Jeden je 5%ní a druhý je 30%ní. Vypočítej, kolik kterého z těchto roztoků je třeba použít, abychom dostali 1kg 25% roztoku této soli. Máme připravit 1 kg 5%ního roztoku 30%ního roztoku 25%ního roztoku x kg y kg Kilogramy x + y = 1 => x = 1 y Koncentrace 0,05x + 0,30y = 0,25. 1 Dosadíme za x 0,05. (1-y) + 0,30y = 0,25 0,05 0,05y + 0,30y = 0,25 0,25y = 0,25-0,05 0,25y = 0,20 y = 0,20 0,25 = 0,8 x = 1 y x = 1 0,8 = 0,2 Zk.: 0,05. 0,2 + 0,3. 0,8 = 0,25 0,01 + 0,24 = 0,25 0,25 = 0,25 Pěti procentního roztoku použijeme 0,2 kg a třicetiprocentního použijeme 0,8 kg. 12. V laboratoři dostali za úkol připravit 0,5l 40% kyseliny dusičné. V láhvích mají připravenou 60% a 10% kyselinu dusičnou. Kolik které z nich použijí do roztoku?
Máme připravit 0,5 l 40 %ní kyseliny 60%ní kyseliny 10%ní kyseliny x kg y kg Litry x + y = 0,5 => x = 0,5 y Koncentrace 0,60x + 0,10y = 0,40. 0,5 0,6x + 0,1y = 0,2 Dosadíme za x do druhé rovnice 0,6. (0,5 y) + 0,1y = 0,2 0,3 0,6y + 0,1y = 0,2 x = 0,5 0,2 x = 0,3-0,5 = 0,2-0,3-0,5 = -0,1. (-1) y = 0,1 0,5 = 0,2 Zk.: 0,6. 0,3 + 0,1. 0,2 = 0,20 0,18 + 0,02 = 0,20 0,20 = 0,20 Pro přípravu roztoku kyseliny použijeme 0,3 litru 60%ní kyseliny a 0,2 listru 10%ní kyseliny. 13. Během víkendu spadlo 31,5 mm srážek. Kolik napršelo v sobotu a kolik v neděli, jestliže v neděli byly srážky ještě o 25% vydatnější? O víkendu napršelo V sobotu 31,5 mm srážek x mm V neděli y = x + 0,25x x + y = 31,5 x + y + 0,25x = 31,5
2,25x = 31,5 x = 31,5 2,25 x = 14 mm y = 14 + 0,25. 14 = 14 + 3,5 = 17,5 mm Zk.: 14 + 17,5 = 31,5 V sobotu napršelo 14 mm a v neděli 17,5 mm srážek. 14. Žáci devátých tříd byli na výletě ubytování v penzionu. Bylo tam 27 pokojů. Některé byly třílůžkové a některé čtyřlůžkové, v penzionu může být ubytováno nejvíce 87 hostů. Urči,kolik třílůžkových a kolik čtyřlůžkových pokojů může být v penzionu. Počet pokojů 87 nejvíce Celkem pokojů 27 Třílůžkových Čtyřlůžkových x y Pokoje x + y = 27.(-3) Hosté 3x + 4y = 87-3x 3y = -81 3x + 4y = 87 y = 6 > + 6 = 27 x = 27 6 x = 21 Zk.: 3. 21 + 6. 4 = 87 63 + 24 = 87 87 = 87 V penzionu je 21 třílůžkových pokojů a jen 6 čtyřlůžkových.
15. Kontejnerová loď veze červené a černé kontejnery. Má naloženo 29 kontejnerů, které váží dohromady 550 tun. Červené kontejnery jsou 20 tunové a černé 15 tunové. Kolik je kterých? Loď veze 29 kontejnerů celková hmotnost 550 t Červené jsou na 20 t počet x Černé jsou na 15 t počet y Kontejnery x + y = 29. (-20) Hmotnosti 20x + 15y = 550-20x 20y = -580 20x + 15y = 550-5y = -30. (-1) y = 30 5 = 6 x = 29 y x = 29 6 = 23 Zk.: 20. 23 + 15. 6 = 550 460 + 90 = 550 550 = 550 Loď veze 23 červených a 6 černých kontejnerů. 16. Z depa vyjel 7h 30min nákladní vlak průměrnou rychlostí 40 km/hod. V 8h za ním vyjela pomocná lokomotiva průměrnou rychlostí 80 km/hod. V kolik hodin dohoní lokomotiva nákladní vlak a v jaké vzdálenosti od depa? Vlak v 7,30 h rychlost v1 = 40 km/hod t hod Lokomotiva v 8,00 h rychlost v2 = 70 km/hod (t-0,5) hod Potkají se v čase t a jejich dráhy v době setkání budou stejné s1 = s2 v1t = v2. (t 0,5) 40. t = 70. (t 0,5)
40 t = 70 t 35-30 t = -35. (-1) t = 35 30 =7 6 hod = 1 1 hod = 1 hod 10 min 6 s1 = v1. t = 40. 7 6 = 280 6 = 140 3 = 46 2 3 km Zk.: s2 = v2. (t 0,5) = 70. ( 7 6-1 2 ) = 70. (7 6-3 6 ) = 70 4 6 = 280 6 = 46 2 3 km Lokomotiva vlak dohoní za 1 hodinu a 10 minut a ujedou dráhu 46 2 3 km. 17. V 6h ráno vyjelo osobní auto z města A průměrnou rychlostí 68km/h do vesnice B. Ve stejnou dobu vyjel z vesnice B směrem k městu A kombajn průměrnou rychlostí 40 km/hod. V kolik hodin se potkají, jestliže vzdálenost obou míst je 80,5km? Osobní auto v 6,00 hod Kombajn v 6,00 hod Vzdálenost obou měst z A do B v1 = 68 km/h v2 = 40 km/h s = 80,5 km Potkají se za čas t (hod) Každý ujede za čas t různou dráhu Auto Kombajn s1 s2 Celkem urazí dráhu s1 + s2 = s v1. t + v2.t = s 68t + 40t = 80,5 108t = 80,5 t = 80,5 : 108 t = 0,75 hod = 3 hod = 45 min 4 Potkají se přibližně za 45 minut.