Konvoluční model dynamických studií ledvin Ondřej Tichý seminář AS UTIA..
Obsah prezentace Scintigrafická obrazová sekvence a její analýza Konstrukce standardního modelu a jeho řešení Experiment Ovlivnění výpočtu pomocí apriorna Experiment Experiment 3
Scintigrafická obrazová sekvence a její analýza Schéma
Konstrukce standardního modelu a jeho řešení Základní tvar modelu faktorové analýzy Základní model má tvar: kde A R p r, X R n r a E R p n. D = AX + E, ()
Konstrukce standardního modelu a jeho řešení Apriorní předpoklady: šum měření je stejný na všech pixelech na všech obrázcích pixely faktorových obrázků jsou nezávisle rozložené, avšak se stejnou variancí pro každý obrázek Matematicky formulováno: f(d A, X,ω) = N D ( AX,ω I p I n ). () f(a Υ) = N A ( p,r, I p Υ ) (3) f(x) = N X ( n,r, I n I r ). () Cílem je odhadnout matice A a X z datové matice D.
Konstrukce standardního modelu a jeho řešení model řešíme Variační Bayesovskou metodou, pomocí které se dostaneme k soustavě rovnic ) (VB-teorém: f(θ i D) exp (E f(θ/i D) [ln(f(θ, D))] ) k řešení soustavy užijeme iterační algoritmus, který implementujeme v Matlabu
Konstrukce standardního modelu a jeho řešení Experiment
Konstrukce standardního modelu a jeho řešení Experiment 8 6 8 6
Motivace: v praxi snaha získat jedno číslo (diagnostický koeficient). Metody: Patlak-Rutland plot (nepřesné a závislé na lidském faktoru) získáním tzv. tranzitního času (určení konvolučního jádra faktoru) přesným určením faktorových obrázků parenchymů a výpočtem jejich relativní intenzity (tzv. relativní renální clearance)
Standardní model neodpovídá reálnému biologickému systému: pozorovaná křivka je výsledkem konvoluce aktivity v krvi a jednotlivých faktorů konvoluční jádra jsou klesající a nezáporná (viz obrázek) Tyto předpoklady v základním modelu nejsou. y krev parenchym pelvis -3 tkáňové pozadí čas [min]
Konvoluční parametrizace křivek Máme model tvaru D = AX + E, kde A R p r a X R n r. Prvky matice X však modelujeme jako: kde u o,f = x t,f = t b t o+ u o,f, () o= n w φ,f a b s = φ=o n g ς, (6) ς=s čímž zajistíme pozitivitu a monotonii b a u f.
Zabudování apriorní znalosti přírůstkové matice W w i,f = { h f i H jinak, (7) kde H je spojitá indexová množina. Apriorní rozdělení jednoho sloupce matice W je pak a celkově f(w) = N(m w (H),ξ w I n ) (8) f(w) = N(M W, I n Ξ W ). (9)
Zabudování apriorní znalosti přírůstkové matice W y u f h f m wf s f čas l f
Zabudování pravděpodobnostní masky na faktorových obrázcích Snaha určit, zda daný pixel k faktoru patří či nikoliv: { c f,i i C (z af ) i = jinak. () Apriorno jednoho sloupce matice A určíme jako: f(a) = N(z a,υ I p ) () a matice A, jejíž sloupce se skládají z vektorů a má apriorní rozdělení: f(a) = N(Z A, I p Υ A ). ()
Řešení model opět řešíme Variační Bayesovskou metodou odvozeny metody pro udržení výpočtu v maticové (popř. vektorové) formě odvozeny algoritmy pro odhad indexové množiny H, pravděpodobností Z A a příslušných aprioren pomocí EM algoritmu výslednou soustavu rovnic řešíme iteračně v Matlabu
Rovnice pro křivky, ukázka Původní rovnice: Nynější rovnice: ( ωâ ) Σ X = A+I r µ X = ωd ( ωâ ) Â A+I r ( ) r n Σ g = ( ψi n + ωc â i a j k l(u k+,j u l+,i ) C) i,j= k,l= r ( ( ) n ) µ g = ωσ gc k ûk+,i D â i i= k= ( ) Σ vec(w) = ((Â A) ωc B BC)+( Ξ W I n) µ vec(w) = Σ vec(w) ((Â A) ωc B BC) vec(µ () W )+ +Σ vec(w) (I n Ξ W ) vec(µ () W )
Experiment
Experiment 8 x 6 x 6 x 6 x 6 6. 3. 3..... 3 x 6 x 3 x 6 x.. 3.... 8 8 x 6 x 6 6 x 6 x 6 6. 3. x x x 8 x.. 8 6 8 6 6
Přímý výpočet relativní renální clearance předpoklady modelu jsou zcela splněny pouze v první fázi sekvence, před aktivací pánvičky z analýzy celé sekvence určíme "počáteční fázi" vyhneme se problémům s počáteční nulovou fází pánvičky, přesněji určíme parenchymy
Experiment 8 x 8 x 6.8996 x 8 x 6 6 6.899 6.899 6 9 6.899 8 7 6 6.899 6.899 6.8993. 6 x 6 x 6 x 6 x 3 3 3 3.. x 3.
Experiment Pixely parenchymů pravděpodobnější než %:
Experiment 3
Experiment 3
Závěr Povedlo se: zabudovat konvoluci do faktorové analýzy celý model dopočítat a odladit algoritmus automaticky určit relativní renální clearance Další směry: zabudovat větší flexibilitu konvolučních jader lépe aproximovat šum (odhadovat kovarianční matice šumu na křivkách i obrázcích) řešení patologických situací