Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technoiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Poděbrady Logaritmické rovnice Mgr. Karel Lhotský Datum: 30. listopadu 013 Ročník: Anotace:. ročník HŠ Učební materiál určený nejen k výkladu v hodinách matematiky, ale především k samostudiu, popřípadě
Logaritmické rovnice
Logaritmická rovnice je rovnice, která obsahuje neznámou v aritmovaném čísle. Připomeňme si definici aritmu: Pro všechna čísla > 0, a > 0, a 1, y R platí y = a = a y. Logaritmované číslo musí být kladné. Proto je potřeba vždy stanovit podmínky na všechna aritmovaná čísla, jež se v rovnici vyskytují, a vyloučit kořeny, které těmto podmínkám nevyhovují. Metody řešení si ukážeme na konkrétních příkladech. 3
Příklad 1: 6 ( 1) = 6 (+1) 1 > 0 ( + 1)( 1) > 0 (; 1) (1; ) Nejprve stanovíme podmínky pro aritmovaná čísla: 1 > 0, + 1 > 0 + 1 > 0 > 1-1 1 Výsledná podmínka: (1; ) Pokud budou podmínky příliš složité, stačí ověřit jejich platnost pro kořeny rovnice po jejich nalezení. 4
Příklad 1: 6 ( 1) = 6 (+1) 1 = +1 = 0 ( )( + 1) = 0 1 = vyhovuje = 1 nevyhovuje K = {} Porovnáváme dva aritmy o stejných základech. Pro přípustné hodnoty, a platí: a u = a v u = v, neboť funkce y = a je rostoucí (pro a > 0) nebo klesající (pro a < 0). Porovnáme aritmovaná čísla. Vyřešíme kvadratickou rovnici (rozkladem nebo pomocí diskriminantu). 5
Příklad : 3 ( ) = 4 = 3 4 = 81 + = 83 K = {83} Rovnici řešíme pro >. Rovnici můžeme převést na ekvivalentní tvar podle definice aritmu. (y = a = a y ) Jednoduchou lineární rovnici snadno vyřešíme. 83 > 6
Příklad - jiný způsob řešení 3 ( ) = 4 3 ( ) = 3 3 4 V řešení příkladu můžeme využít stejný postup jako u příkladu 1. Platí: y = a a y. Tedy: 4 = 3 3 4. Porovnáme aritmovaná číla a dále je řešení stejné. 7
Příklad 3: = ( + 6) + 3 = ( + 6) 3 = ( + 6) 3 = 3 + 18 3 18 = 0 ( 6)( + 3) = 0 6 = 0 1 = 6 + 3 = 0 = 3 K = {6} Neznámá musí splňovat podmínky: > 0, + 6 > 0. Rovnici řešíme pro kladná. Obě strany rovnice vyjádříme jako aritmus (dekadický). Porovnáme aritmovaná čísla. Vyřešíme kvadratickou rovnici. Vyloučíme nevyhovujícím kořen. 8
Příklad 4: 8 = 0 8 = 0 y y 8 = 0 (y 4 )(y + ) = 0 y 1 = 4 = 1 = 10 4 y = = = 10 - K = {10000; 0,01} Rovnici řešíme pro kladná. Pozor: = ( ), ale =. Provedeme substituci: y =. Řešíme rovnici pro y, libovolné reálné a určíme. Oba kořeny 1, jsou kladná čísla. Vyhovují původní rovnici. 9
Jak na aritmické rovnice? Dobře si znovu promyslete všechny čtyři příklady, které jsme dosud vyřešili. K řešení aritmických rovnic můžeme využít dvě metody: a) Vypočítáme aritmus a pak použijeme k nalezení aritmovaného čísla definici aritmu. b) Vyjádříme obě strany rovnice jako aritmy o stejném základu a z rovnosti aritmů plyne rovnost aritmovaných čísel. Metodou a) nebylo možné řešit př. 1, 3, neboť se v těchto rovnicích vyskytovala různá aritmovaná čísla. Metoda b) nebyla vhodná pro př. 4, protože nemáme vzorec pro mocninu aritmu. Př. bylo možné řešit oběma způsoby. 10
Příklad 5: 6 10 36 7 7 1 6 10 Podmínky na neznámou : 36 7 7 1 7 6 10 36 7 6 10 36 7 7 7 6 710 36 6 10 36 1 36 0 0 10 36 + 6 > 0, 10 + 36 > 0 Obě jsou splněny pro > 3,6. Logaritmovaná čísla neporovnáme hned, abychom se vyhnuli iracionální rovnici. Odmocninu zapíšeme jako mocninu s racionálním mocnitelem. Dále řešíme obvyklým způsobem. 11
Příklad 5 (dokončení) 1 = 0 + = 0 = K = {0; } Oba kořeny rovnice vyhovují podmínkám na aritmovaná čísla. 1
Příklad 6: 4 ( 3 ( )) = 0 4 ( 3 ( )) = 4 1 3 ( ) = 1 3 ( ) = 3 3 = 3 = 3 = 8 Zkouška: L = 4 ( 3 ( 8)) = 4 ( 3 3) = 4 1 = 0 = P K ={8} Určení podmínek na je stejně složité jako řešení celé rovnice. Proto je teď stanovovat nebudeme, ale provedeme až zkoušku pro výsledný kořen. Rovnici řešíme postupným porovnáváním aritmovaných čísel. 13
Příklad 7: = 1000 ( ) = (1000 ) = 1000 + = 10 3 + 3 = 0 y y 3 = 0 (y 3)(y + 1) = 0 y 1 = 3 = 1 = 10 3 y = 1 = = 10-1 K = {1000; 0,1} Obor řešitelnosti rovnice je zřejmě množina R +. Celou rovnici zaritmujeme o základu 10. Používáme stejný základ, jako má aritmus v eponentu na levé straně rovnice. Po úpravě dostáváme rovnici, kterou můžeme řešit metodou a). Oba kořeny jsou kladné. 14
Příklady k procvičení (1): 1. ( + 7) = 6. 4 ( 1) = 3 3. (3 ) = 4. 3 ( 3) = 4 5. 5 ( + 1) = 6. ( + 7 14) = 4 7. 3 ( 3) = 3 8. 4 ( +9 + 4) = 1 K = {57} K = {3,5} K = {34} K = {4} K = {6; 4} K = {3; 10} K = {6; 5} K = {5 ; 4} 15
Příklady k procvičení (): 9. + = 1 10. 3 = 4 11. 3 3 + 3 = 15 1. 4 3 = 60 13. 6 - = 8 14. 4 1 15. K = {10000} K = {100} K = {7} K = {64} K = {10} 1 K 5 1000 3 K 3 100 16
Příklady k procvičení (3): 16. = ( + 6) 17. = ( + 4) + 18. ( ) + 9 = 19. ( + 7) = + ( + 1) 0. 3 3 ( + 8) = 1. 4 ( 7) 4 ( + 3) = 1. 3 ( + 4) 3 = 3. 6 ( ) + 6 ( + 3) = 4. ( + ) + ( + 5) = 5. 15) 3 K = {3} K = {4} K = {3; 6} K = {1} K = K = K = {3} K = {6} K = K 1 17
Příklady k procvičení (4): 6. 7 7 7. 4 4 8. 3 3 16 9. 8 3 0 0 K 1;7 K 16;0,5 1 1 K ; 9 3 K 10000 30. 3 7 K 1000;0,001 18
Příklady k procvičení (5): 31. 8 0 K 100;0,0001 3. 6 9 0 K 0,001 33. 3 0 5 34. 5 3 0 7 35. ln 3 36. 5 1 0 4 7 0 3 K K K 43 9 1 K 4 19
Příklady k procvičení (6): 37. 38. 39. 41. 4. 3 40. 10000 51 0,3 81 10 1000 K K K K K K 100;0,01 1 8; 8 1 9; 9 10; 10 10 10;0,001 0