cvičící 4. cvičení 4ST201 - řešení Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická definice pravděpodobnosti 4. Statistická definice pravděpodobnosti 5. Pravidlo o sčítání pravděpodobnosti 6. Pravidlo o násobení pravděpodobnosti 7. Nezávislé jevy 8. Úplná pravděpodobnost 2
Pravděpodobnost - příklady Příklad 3.1.: Určete pravděpodobnost následujících jevů, kterémohou nastat při hodu dvěma kostkami: 1. Na obou kostkách padne jednička 2. Padne alespoň jedna dvojka 3. Padne právě jedna trojka 4. Nepadne žádná čtyřka 5. Na obou kostkách padne sudé číslo 6. Součet ok na obou kostkách bude osm 3 Řešení příkladu 3.1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1 1 AI = = = 6 6 1 36 1 1 1 1 11 A = A) + A = + = 6 6 6 6 36 1 5 5 1 ( A U ( A ) = + = + * = 6 6 6 6 5 5 A = = * = 6 6 1 1 A = = * = 2 2 přřízniv _ možnosti P = = všechny _ možnosti 5 36 25 36 1 4 A-padne na 1. kostce jednička B-padne na 2. kostce jednička A-padne na 1. kostce čtyřka B-padne na 2. kostce čtyřka A-padne na 1. kostce sudé B-padne na 2. kostce sudé A-padne na 1. kostce dvojka B-padne na 2. kostce dvojka 10 36 A-padne na 1. kostce trojka B-padne na 2. kostce trojka 4
Pravděpodobnost - příklady Příklad 3.2.: Házíme 6 hracími kostkami, určete pravděpodobnost, že na všech kostkách padnou různá čísla. Příklad 3.3.: Ze šesti vajec jsou dvěprasklá. Jakáje pravděpodobnost, že při náhodném odebrání dvou vajec vybereme a) Žádné b) Jedno c) dvě prasklá vejce? 5 Řešení příkladu 3.2. P 6 5 4 3 2 1 6! ( A ) = * * * * * 0,015 6 6 6 6 6 6 6 = 6 = Řešení příkladu 3.3. A prvnívybranéneníprasklé B druhévybranéneníprasklé B/A druhé vybrané není prasklé za podmínky, že první vybrané není prasklé 1. 2. 3. 4 3 AI = B / A) = = 6 5 6 15 4 2 2 4 C) = A A = + = 6 5 6 5 2 1 1 AI = = = 6 5 15 8 15 6
Pravděpodobnost - příklady Příklad 3.4.: V koši je celkem 30 koulí, z toho 20 červených a 10 modrých. Náhodněbez vracenívytahujeme dvěkoule. Jakáje pravděpodobnost, že to bude jedna červená a jedna modrá koule? Příklad 3.5.: Určete pravděpodobnost následujících jevů, pokud vybíráme z balíčku 32 karet dvě karty: a) Druhá karta bude královna (karty vracíme) b) Druhá karta bude královna (karty nevracíme) c) Druhá karta bude piková královna(karty vracíme) d) Druhá karta bude piková královna(karty nevracíme) e) Dvě vybrané karty budou obě dámy f) Dvě vybrané karty budou obě stejné barvy g) Mezi 4 vybranými kartami nebude ani jedna dáma 7 A vytáhneme červenou B vytáhneme modrou Řešení příkladu 3.4. 2 10 1 20 C) = A A = + = 3 29 3 29 40 87 Řešení příkladu 3.5. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. P P 4 ( A) = 1* 32 4 3 28 4 ( C) = B / A) + B / A) = + = D) = 1* 1 32 31 1 1 E) = B / A) = = 32 31 32 4 3 3 F) = B / A) = = 32 31 248 8 7 G) = B / 4 = 4 = 32 31 28 27 26 25 H ) = = 0,569 32 31 30 29 7 31 32 31 32 31 1 8 8
Příklad 3.6.: Pravděpodobnost - příklady Pravděpodobnost zdárného napsánípísemky ze statistiky je 0,75. Jakáje pravděpodobnost, že při psanídvou písemek bude alespoňjedna zdárněnapsaná? Příklad 3.7.: (těžký příklad, jen pro odvážlivce ) V prvnínádoběje 15 lístků, z nichžje 10 bílých. V druhénádoběje 25 lístků, z nichžje 5 bílých. Náhodněvybereme z každénádoby po jednom lístku a z těchto dvou lístků opět vybereme náhodně jeden. Jaká je pravděpodobnost, že tento lístek bude bílý? 9 Řešení příkladu 3.6. A první písemka zdárně napsána B druhá písemka zdárně napsána C) = A A A = 0,75*0,25* 2 + 0,75 2 = 0,937 Řešení příkladu 3.7. Těžký příklad, zkuste sami. Výsledek je 0,43. Pokud by vás zajímal postup, přijďte na KH. 10
Rychléopakovánípravděpodobnosti na doma Příklad A.: Jakáje pravděpodobnost, že při hodu třemi kostkami Padnou právě tři jedničky Nepadne ani jedna trojka Padnou jen licháčísla Padne právě jedna čtyřka Padnou právě dvě trojky Padne alespoň jedna šestka [1/216, 125/216, 1/8, 25/72, 5/72, 91/216] Příklad B.: V osudíje 10 černých a 8 bílých koulí, losujeme bez vracení tři koule, jakáje pravděpodobnost, že budou právědvěbíléa jedna černá?[0,34] Příklad C.: Jaká je pravděpodobnost, že kouzelník vytáhne za sebou dvě stejnékarty, kdyžtaház jednoho balíčku a to s vracením nebo bez vracení? [ 0,031; 0] 11 Náhodná veličina Co je potřeba znát z přednášek: 1. Náhodná veličina 2. Nespojitá a spojitá náhodná veličina 3. Zákon rozdělení náhodné veličiny 4. Distribuční funkce 5. Pravděpodobnostní funkce 6. Hustota pravděpodobnosti 7. Charakteristiky náhodných veličin (středníhodnota E(X), rozptyl D(X) ) 12
Diskrétní náhodná veličina I. Příklad 3.8.: Náhodnáveličina představuje výsledek hodu jednou kostkou. Určete distribuční funkci a pravděpodobnostní funkci této veličiny. Příklad 3.9.: Náhodná veličina představuje výsledek hodu jednou kostkou, která má ovšem napilovanéhrany. Pravděpodobnosti padnutíjednotlivých ok je následující: x 1 2 3 4 5 6 x) 0,2 0,15 0,1 0,05 0,1 0,4 Určete pravděpodobnost, že na kostce padne: Jednička Alespoň3 Číslo menšínež3 Číslo většínež2 a menšínež6 Číslo maximálně rovno 2 Určete distribuční funkci i s grafem 13 Řešení příkladu 3.8. x 1 2 3 4 5 6 x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 x)=1/6 pro x=1,2,3,4,5,6 = 0 jinak F(x) =0 x<1 =1/6 x=1 = 2/6 x=2 = 3/6 x=3 = 4/6 x=4 = 5/6 x=5 = 1 6<=x Řešení příkladu 3.8. 1. x=1) = 0,2 2. X<3) = X<=2) = F(2) = 1) + 2) = 0,35 3. X<=2) = F(2) = 1) + 2) = 0,35 4. X>=3) = 1 X<3) = 1 - X<=2) = 1 -F(2) = 1 (1) + 2)) = 1-0,35 = 0,65 5. 2<x<6) = 3) +4) +5) = 0,25..!! Neboli F(5)-F(2)!! 14
Diskrétní náhodná veličina II. Příklad 3.10.: Náhodná veličina A má pravděpodobnostní funkci X) = x/10 pro x=1,2,3,4 X) = 0 jinak Určete: 7), 4), 2<X<4), F(3), F(2,8), 2,8), F(8). 15 Řešenípříkladu 3.10. 1. 7) = 0 2. 4) = 4/10 3. 2<x<4) = 3) = 3/10 4. F(3) = X<=3) = 1)+2)+3)= 3/5 5. F(2,8) = X<=2,8) = 1)+2)= 3/10 6. 2,8)= 0 7. F(8) = X<=8) = 1 16
Spojitá náhodná veličina Příklad 3.11.: (těžký příklad, jen pro odvážlivce) Náhodnáveličina Y máhustotu pravděpodobnosti f (x) = y 5 pro 0<y<2 Určete střední hodnotu náhodné veličiny a rozptyl náhodné veličiny. 17 Řešenípříkladu 3.11. 18
Příklad 3.12.: Náhodná veličina - příklady V tombole je každý týden slosováno 10000 losů. Losy jsou v ceně5 Kčza kus. Seznam možných výher je v následujícítabulce: Počet výher 1 3 700 1200 8096 Vyhraná částka 20000 5000 500 5 0 Vypočítejte středníhodnotu výhry pro jeden los a směrodatnou odchylku výher. Příklad 3.13.: Třikrát házíme mincí. Náhodnáveličina X nechťje počet hodů, při kterých padne hlava. Vypočtěte hodnoty pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodnéveličiny X a sestavte je do tabulky. Nakreslete grafy obou funkcí. 19 Řešenípříkladu 3.12. 20
Řešenípříkladu 3.13. 21 Za 14 dníbudeme psát prvnítest, pokud budete mít jakékoliv dotazy, přijďte na konzultačníhodiny každý pátek 9:00-11:00 JM317, před testem se bude vše dohánět hůře. Máte možnost se na cokolivzeptat i na webu jana-fenclova.php5.cz, kde máte na fóru široký prostor pro vaše dotazy. 22