4. cvičení 4ST201 - řešení

Podobné dokumenty
4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

5. cvičení 4ST201. Obsah: Informace o 1. průběžném testu Pravděpodobnostní rozdělení 1.část Binomické Hypergeometrické Poissonovo. 1.

22. Pravděpodobnost a statistika

(motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt)

Pravděpodobnost a statistika

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b)

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Tomáš Karel LS 2012/2013

a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika

5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

tazatel Průměr ve Počet respondentů Rozptyl ve

S1P Příklady 01. Náhodné jevy

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

náhodný jev je podmnožinou

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů?

Diskrétní pravděpodobnost

Tomáš Karel LS 2012/2013

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

pravděpodobnosti a Bayesova věta

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna

KGG/STG Statistika pro geografy

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a její vlastnosti

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Tomáš Karel LS 2012/2013

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka?

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

Tomáš Karel LS 2013/2014

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017

1. Klasická pravděpodobnost

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

1 Rozptyl a kovariance

Výpočet pravděpodobností

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

NÁHODNÁ VELIČINA. Podle typu výběrového prostoru rozlišujeme dva základní druhy NV Diskrétní (nespojitou) náhodnou veličinu Spojitou náhodnou veličinu

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Radiologická fyzika pravděpodobnost měření a zpracování dat

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Pravděpodobnost a statistika

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

Základy teorie pravděpodobnosti

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

Úvod do teorie pravděpodobnosti

Diskrétní náhodná veličina

2. Definice pravděpodobnosti

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Náhodné chyby přímých měření

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Základy teorie pravděpodobnosti

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016

(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Vzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení

1. Klasická pravděpodobnost

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka

Chyby měření 210DPSM

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Transkript:

cvičící 4. cvičení 4ST201 - řešení Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická definice pravděpodobnosti 4. Statistická definice pravděpodobnosti 5. Pravidlo o sčítání pravděpodobnosti 6. Pravidlo o násobení pravděpodobnosti 7. Nezávislé jevy 8. Úplná pravděpodobnost 2

Pravděpodobnost - příklady Příklad 3.1.: Určete pravděpodobnost následujících jevů, kterémohou nastat při hodu dvěma kostkami: 1. Na obou kostkách padne jednička 2. Padne alespoň jedna dvojka 3. Padne právě jedna trojka 4. Nepadne žádná čtyřka 5. Na obou kostkách padne sudé číslo 6. Součet ok na obou kostkách bude osm 3 Řešení příkladu 3.1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1 1 AI = = = 6 6 1 36 1 1 1 1 11 A = A) + A = + = 6 6 6 6 36 1 5 5 1 ( A U ( A ) = + = + * = 6 6 6 6 5 5 A = = * = 6 6 1 1 A = = * = 2 2 přřízniv _ možnosti P = = všechny _ možnosti 5 36 25 36 1 4 A-padne na 1. kostce jednička B-padne na 2. kostce jednička A-padne na 1. kostce čtyřka B-padne na 2. kostce čtyřka A-padne na 1. kostce sudé B-padne na 2. kostce sudé A-padne na 1. kostce dvojka B-padne na 2. kostce dvojka 10 36 A-padne na 1. kostce trojka B-padne na 2. kostce trojka 4

Pravděpodobnost - příklady Příklad 3.2.: Házíme 6 hracími kostkami, určete pravděpodobnost, že na všech kostkách padnou různá čísla. Příklad 3.3.: Ze šesti vajec jsou dvěprasklá. Jakáje pravděpodobnost, že při náhodném odebrání dvou vajec vybereme a) Žádné b) Jedno c) dvě prasklá vejce? 5 Řešení příkladu 3.2. P 6 5 4 3 2 1 6! ( A ) = * * * * * 0,015 6 6 6 6 6 6 6 = 6 = Řešení příkladu 3.3. A prvnívybranéneníprasklé B druhévybranéneníprasklé B/A druhé vybrané není prasklé za podmínky, že první vybrané není prasklé 1. 2. 3. 4 3 AI = B / A) = = 6 5 6 15 4 2 2 4 C) = A A = + = 6 5 6 5 2 1 1 AI = = = 6 5 15 8 15 6

Pravděpodobnost - příklady Příklad 3.4.: V koši je celkem 30 koulí, z toho 20 červených a 10 modrých. Náhodněbez vracenívytahujeme dvěkoule. Jakáje pravděpodobnost, že to bude jedna červená a jedna modrá koule? Příklad 3.5.: Určete pravděpodobnost následujících jevů, pokud vybíráme z balíčku 32 karet dvě karty: a) Druhá karta bude královna (karty vracíme) b) Druhá karta bude královna (karty nevracíme) c) Druhá karta bude piková královna(karty vracíme) d) Druhá karta bude piková královna(karty nevracíme) e) Dvě vybrané karty budou obě dámy f) Dvě vybrané karty budou obě stejné barvy g) Mezi 4 vybranými kartami nebude ani jedna dáma 7 A vytáhneme červenou B vytáhneme modrou Řešení příkladu 3.4. 2 10 1 20 C) = A A = + = 3 29 3 29 40 87 Řešení příkladu 3.5. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. P P 4 ( A) = 1* 32 4 3 28 4 ( C) = B / A) + B / A) = + = D) = 1* 1 32 31 1 1 E) = B / A) = = 32 31 32 4 3 3 F) = B / A) = = 32 31 248 8 7 G) = B / 4 = 4 = 32 31 28 27 26 25 H ) = = 0,569 32 31 30 29 7 31 32 31 32 31 1 8 8

Příklad 3.6.: Pravděpodobnost - příklady Pravděpodobnost zdárného napsánípísemky ze statistiky je 0,75. Jakáje pravděpodobnost, že při psanídvou písemek bude alespoňjedna zdárněnapsaná? Příklad 3.7.: (těžký příklad, jen pro odvážlivce ) V prvnínádoběje 15 lístků, z nichžje 10 bílých. V druhénádoběje 25 lístků, z nichžje 5 bílých. Náhodněvybereme z každénádoby po jednom lístku a z těchto dvou lístků opět vybereme náhodně jeden. Jaká je pravděpodobnost, že tento lístek bude bílý? 9 Řešení příkladu 3.6. A první písemka zdárně napsána B druhá písemka zdárně napsána C) = A A A = 0,75*0,25* 2 + 0,75 2 = 0,937 Řešení příkladu 3.7. Těžký příklad, zkuste sami. Výsledek je 0,43. Pokud by vás zajímal postup, přijďte na KH. 10

Rychléopakovánípravděpodobnosti na doma Příklad A.: Jakáje pravděpodobnost, že při hodu třemi kostkami Padnou právě tři jedničky Nepadne ani jedna trojka Padnou jen licháčísla Padne právě jedna čtyřka Padnou právě dvě trojky Padne alespoň jedna šestka [1/216, 125/216, 1/8, 25/72, 5/72, 91/216] Příklad B.: V osudíje 10 černých a 8 bílých koulí, losujeme bez vracení tři koule, jakáje pravděpodobnost, že budou právědvěbíléa jedna černá?[0,34] Příklad C.: Jaká je pravděpodobnost, že kouzelník vytáhne za sebou dvě stejnékarty, kdyžtaház jednoho balíčku a to s vracením nebo bez vracení? [ 0,031; 0] 11 Náhodná veličina Co je potřeba znát z přednášek: 1. Náhodná veličina 2. Nespojitá a spojitá náhodná veličina 3. Zákon rozdělení náhodné veličiny 4. Distribuční funkce 5. Pravděpodobnostní funkce 6. Hustota pravděpodobnosti 7. Charakteristiky náhodných veličin (středníhodnota E(X), rozptyl D(X) ) 12

Diskrétní náhodná veličina I. Příklad 3.8.: Náhodnáveličina představuje výsledek hodu jednou kostkou. Určete distribuční funkci a pravděpodobnostní funkci této veličiny. Příklad 3.9.: Náhodná veličina představuje výsledek hodu jednou kostkou, která má ovšem napilovanéhrany. Pravděpodobnosti padnutíjednotlivých ok je následující: x 1 2 3 4 5 6 x) 0,2 0,15 0,1 0,05 0,1 0,4 Určete pravděpodobnost, že na kostce padne: Jednička Alespoň3 Číslo menšínež3 Číslo většínež2 a menšínež6 Číslo maximálně rovno 2 Určete distribuční funkci i s grafem 13 Řešení příkladu 3.8. x 1 2 3 4 5 6 x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 x)=1/6 pro x=1,2,3,4,5,6 = 0 jinak F(x) =0 x<1 =1/6 x=1 = 2/6 x=2 = 3/6 x=3 = 4/6 x=4 = 5/6 x=5 = 1 6<=x Řešení příkladu 3.8. 1. x=1) = 0,2 2. X<3) = X<=2) = F(2) = 1) + 2) = 0,35 3. X<=2) = F(2) = 1) + 2) = 0,35 4. X>=3) = 1 X<3) = 1 - X<=2) = 1 -F(2) = 1 (1) + 2)) = 1-0,35 = 0,65 5. 2<x<6) = 3) +4) +5) = 0,25..!! Neboli F(5)-F(2)!! 14

Diskrétní náhodná veličina II. Příklad 3.10.: Náhodná veličina A má pravděpodobnostní funkci X) = x/10 pro x=1,2,3,4 X) = 0 jinak Určete: 7), 4), 2<X<4), F(3), F(2,8), 2,8), F(8). 15 Řešenípříkladu 3.10. 1. 7) = 0 2. 4) = 4/10 3. 2<x<4) = 3) = 3/10 4. F(3) = X<=3) = 1)+2)+3)= 3/5 5. F(2,8) = X<=2,8) = 1)+2)= 3/10 6. 2,8)= 0 7. F(8) = X<=8) = 1 16

Spojitá náhodná veličina Příklad 3.11.: (těžký příklad, jen pro odvážlivce) Náhodnáveličina Y máhustotu pravděpodobnosti f (x) = y 5 pro 0<y<2 Určete střední hodnotu náhodné veličiny a rozptyl náhodné veličiny. 17 Řešenípříkladu 3.11. 18

Příklad 3.12.: Náhodná veličina - příklady V tombole je každý týden slosováno 10000 losů. Losy jsou v ceně5 Kčza kus. Seznam možných výher je v následujícítabulce: Počet výher 1 3 700 1200 8096 Vyhraná částka 20000 5000 500 5 0 Vypočítejte středníhodnotu výhry pro jeden los a směrodatnou odchylku výher. Příklad 3.13.: Třikrát házíme mincí. Náhodnáveličina X nechťje počet hodů, při kterých padne hlava. Vypočtěte hodnoty pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodnéveličiny X a sestavte je do tabulky. Nakreslete grafy obou funkcí. 19 Řešenípříkladu 3.12. 20

Řešenípříkladu 3.13. 21 Za 14 dníbudeme psát prvnítest, pokud budete mít jakékoliv dotazy, přijďte na konzultačníhodiny každý pátek 9:00-11:00 JM317, před testem se bude vše dohánět hůře. Máte možnost se na cokolivzeptat i na webu jana-fenclova.php5.cz, kde máte na fóru široký prostor pro vaše dotazy. 22