Trivium z optik 55 8 Anizotropní prostředí Doposud jsme se zabývali šířením světla v izotropních prostředích To jest v takových prostředích, v nichž rchlost světla nezávisí na směru jeho šíření V této kapitole si ukážeme, jak se světlo šíří prostředími obecnějšího charakteru Nejdříve formulujeme obecný tvar materiálových rovnic v rámci přiblížení tzv lineární optik Dále podrobně probereme šíření rovinné monochromatické vln jednoosým krstalem velmi důležitým příkladem optick anizotropního prostředí, a ukážeme si k jakým zajímavým důsledkům obecné závěr týkající se jednoosých krstalů vedou Optick anizotropní materiál se často používají, kromě jiného, ke konstrukci zařízení sloužících k získávání lineárně polarizovaného světla ze světla nepolarizovaného, tzv polarizátorů I těm se v této kapitole budeme alespoň stručně věnovat A v samotném závěru kapitol se zmíníme o jedno zajímavém jevu, který se skutečnou optickou anizotropií souvisí jen vzdáleně o optické aktivitě látek 81 Obecný tvar materiálových rovnic pro dielektrika 8 Klasifikace dielektrik 83 Šíření světla jednoosým krstalem 831 Čtvrtvlnová destička 83 Dvojlom 84 Umělá anizotropie 85 Polarizátor 86 Optická aktivita 81 Obecný tvar materiálových rovnic pro dielektrika O tom, jak se budou elektromagnetické vln šířit prostředím, nerozhodují jen Maxwellov rovnice samotné, ale i materiálové vztah charakterizující optické vlastnosti studovaného prostředí Jedná se o vztah mezi intenzitami elektrického a magnetického pole na jedné straně a odpovídajícími indukcemi na straně druhé Zatím jsme se setkali s nejjednodušším tvarem materiálových vtahů pro homogenní a izotropní prostředí D = εe, B = µ H, kde ε a µ jsou elektrická permitivita a magnetická permeabilita prostředí Pojďme se nní podívat, jak vpadají materiálové vztah v obecnějších případech V dalším se budeme pro jednoduchost zabývat dielektrik, jejichž magnetické vlastnosti jsou stejné jako magnetické vlastnosti vakua B = µ H Vztah mezi elektrickou intenzitou a elektrickou indukcí však mohou být i pro tato prostředí poměrně komplikované Elektrická indukce D může být zcela obecnou a komplikovanou funkcí 1 elektrické intenzit E D = D( E) Obvkle se však pro tuto obecnou funkci činí dvě významná zanedbání Především, vloučíme- 1 Ovšem dostatečně diferencovatelnou
56 Anizotropní prostředí li z dalších úvah dielektrika s permanentní polarizací, můžeme předpokládat, že DE= ( ) = Elektrická indukce je ted nulová pro nulová pole elektrické intenzit Dalším často přijímaným omezením je předpoklad, že pole, v němž se dielektrikum nachází, je slabé To je předpoklad velmi přijatelný, neboť naprostá většina světelných zdrojů (snad jen s výjimkou laserů), jsou zdroje generující jen slabá elektromagnetická pole V takovém případě se můžeme v obecné závislosti elektrické indukce na intenzitě omezit na několik prvních členů odpovídajícího Talorova rozvoje Pokud se omezíme na člen nultého a prvního řádu, říkáme, že pracujeme v rámci lineárního přiblížení neboli v rámci lineární optik Zahrneme-li do našich úvah člen druhého či dokonce všších řádů, hovoříme zpravidla o optice nelineární V tomto textu (a to nejen v této kapitole) se omezujeme na lineární přiblížení Pak je možno pro složk vektoru elektrické indukce podle Talorov vět psát z D i Di( E) Di() + () Ek, k= x Ek kde sčítací index k v sumě na pravé straně probíhá hodnot x, a z (odpovídající x-ové, -ové a z-ové složce elektrické intenzit) Rovněž index i může nabývat hodnot x, a z Vzhledem k předpokladu DE= ( ) =, je navíc první člen na pravé straně přibližné rovnosti nulový a platí z D i Di( E) () Ek k= x Ek Parciální derivace jsou počítán pro konkrétní hodnotu elektrické intenzit E =, jedná se ted o reálné konstant Označme je pro jednoduchost ε ij D i (), E což umožňuje přepsat vztah mezi složkami elektrické indukce a intenzit do tvaru 3 nebo též pomocí maticového zápisu jako D = ε E + ε E + ε E, x xx x x xz z D = ε E + ε E + ε E, x x z z D = ε E + ε E + ε E, z zx x z zz z D ε ε ε E x xx x xz x D = ε x ε ε z E D z εzx εz ε zz E z Čtvercová matice na pravé straně se obvkle nazývá matice (tenzor ) elektrických permitivit k V případě běžných zdrojů je však, jak již blo zdůrazněno výše, zahrnutí členů všších řádů zbtečné 3 Místo přibližné rovnosti již v dalším budeme používat běžné rovnítko
Trivium z optik 57 V rámci lineárního přiblížení (lineární optik) jsou ted optické vlastnosti prostředí plně určen devíti složkami tenzoru elektrických perimitivit nebo též devíti index lomu 4 n = ε / ε ij Složk tenzoru elektrických permitivit nejsou ale navzájem nezávislé Pomocí termodnamik je možno ukázat, že tento tenzor je smetrický ij ε ij = ε, ji a z teorie smetrických matic dále plne, že existuje speciální souřadnicová soustava, v níž nabývá diagonálního tvaru ε1 ε= ε ε 3 Hodnot na diagonále (hlavní hodnot tenzoru ε ) jsou navíc kladné Nejobecnější vztah mezi vektor elektrické indukce a intenzit je ted možno v rámci lineární optik psát ve tvaru (ve speciální souřadnicové soustavě ovšem) D x = ε1ex, D = εe a Dz = ε3 E z a obecný lineární materiál charakterizujeme třemi elektrickými permitivitami resp třemi index lomu 8 Klasifikace dielektrik Podle vzájemného vztahu tří hlavních hodnot tenzoru elektrických permitivit můžeme dielektrika rozdělit do tří základních skupin: jsou-li všechn tři hodnot navzájem různé ( ε 1 ε ε 3 ), hovoříme o tzv dvojosých krstalech, jsou-li dvě hodnot stejné a současně různé od třetí (např ε1 ε = ε3), hovoříme o krstalech jednoosých 5 a pokud jsou všechn tři hlavní hodnot stejné ( ε 1 = ε = ε 3 ), jedná se o nám již známá izotropní prostředí Dvoj- a jednososé krstal jsou z hlediska optických vlastností anizotropní prostředí 6 V této kapitole se pro jednoduchost omezíme na nejjednodušší tp anizotropních prostředí - jednoosé krstal Ve speciální souřadnicové soustavě 7 můžeme pro ně psát materiálové vztah ve tvaru Dx = ε1ex, D = εe a Dz = εez 4 ε je permitivita vakuua 5 Pojmenování dvoj- a jednoosý krstal souvisí s tím, že k jednoznačnému zadání speciální souřadnicové soustav, v níž jsou anulován mimodiagonální složk tenzoru elektrických permitivit, musíme zadat dvě či jednu přímku (optické os) 6 Viz též kap 4 7 Takových soustav je však pro jednoosé krstal nekonečně mnoho Navzájem je můžeme získat pootočením kolem optické os
58 Anizotropní prostředí Optické vlastnosti jednoosého krstalu jsou ted popsán jednoznačně dvěma index lomu: n1 = ε1/ ε a n = ε/ ε Souřadnicovou osu x této speciální souřadnicové soustav nazýváme optickou osou krstalu 83 Šíření světla jednoosým krstalem Předpokládejme, že se jednoosým krstalem, jehož optická osa je totožná se souřadnicovou osou x, šíří rovinná monochromatická vlna E( x,, z, t) = E cos( kx + k ωt) Speciální souřadnicovou soustavu jsme zvolili tak, ab směr šíření této vln ležel v souřadnicové rovině x 8 Chceme zjistit, za jakých okolností tato vlna vhovuje Maxwellovým rovnicím a materiálovým rovnicím pro jednoosý krstal Maxwellov rovnice použijeme tentokrát ve tvaru, z nějž jsme vloučili nní nepodstatné magnetické pole, 9 rot rot E = µ D t, div D = Materiálové rovnice píšeme vzhledem ke speciální volbě souřadnicové soustav jako Dx = n1 εex, D = n εe a Dz = n εez Po dosazení výše uvedené závislosti Ex (, zt,, ) pro rovinnou monochromatickou vlnu do upravených Maxwellových rovnic a s vužitím speciálního tvaru rovnic materiálových získáváme následující rovnice pro parametr vln ( ) ω ( ) ω k k E + k E + k E = c n E, x x x x 1 x k k E + k E + k E = c n E, x x ke = c n E, z ω z n k E 1 x x n ke + =, kde k kx + k a c = 1/ εµ Tto rovnice budeme řešit odděleně pro následující dva speciální případ: E = E =, E, 1 x E z = 11 z 8 Toho lze vžd dosáhnout rotací kolem souřadnicové os x (optické os krstalu) Taková rotace totiž zachovává, jak plne z teorie matic, diagonální tvar tenzoru elektrických permitivit i rovnost druhé a třetí hlavní hodnot 9 B První rovnici získáme aplikací operátoru rotace na první Maxwellovu rovnici rote = t a dosazením výsledku D do rovnice druhé, roth = t Během tohoto dosazení jsme navíc vužili platnosti vztahu B = µ H Druhá rovnice je totožná se třetí Maxwellovou rovnicí 1 Polarizace vln je kolmá k rovině zadané optickou osou a směrem jejího šíření 11 Polarizace vln leží v rovině zadané optickou osou a směrem jejího šíření
Trivium z optik 59 V prvním případě jsou první, druhá a čtvrtá rovnice splněn automatick, třetí rovnice je splněna, pokud platí ω / k = c/ n Rovinná monochromatická vlna se ted v takovém případě šíří studovaným jednoosým krstalem fázovou rchlos- c' c/ n Její polarizace je navíc kolmá ke směru šíření tí Ve druhém případě je splněna automatick třetí rovnice Ze zbývajících rovnic plne, že je-li navíc E x = (tj vlna je polarizována kolmo k optické ose), musí být k = (vlna se šíří ve směru optické os) a její fázová rchlost ω /k musí být stejně jako výše rovna c' c/ n I v tomto případě je vlna polarizována kolmo ke směru svého šíření Je-li E = (tj vlna je polarizována ve směru optické os), musí být k x = a její fázová rchlost bude tentokrát rovna c' 1 c/ n 1 Polarizace vln zůstává ale kolmá ke směru šíření Je-li obecně E x i E, jsou splněn první, druhá i čtvrtá rovnice současně, platí-li ω = c'k x + c'k 1 Fázová rchlost takové vln c' ω k = c ' v + c 1' v, kde v = [ vx, v,] je jednotkový vektor ve směru jejího šíření, je ted směrově závislá Polarizace vln není v tomto případě obecně kolmá ke směru šíření (neplatí totiž ke + ke =, ale n k E + n k E = ) A 1 x x / x x x V následujících dvou odstavcích si ilustrujeme uvedené obecné závěr na dvou konkrétních příkladech 831 Čtvrtvlnová destička V tomto a následujícím odstavci se budeme zabývat průchodem světla jednoosým krstalem umístěným ve vakuu 1 Pro jednoduchost se omezíme na rovinné monochromatické vln, o jejichž šíření anizotropními prostředími již víme mnohé z předcházejícího odstavce, a na paprsk dopadající kolmo k rozhraní vakuum - jednoosý krstal ( α D = ) Nejdříve se zabývejme krstalem, jehož optická osa je rovnoběžná s rozhraním krstal - okolí V připojeném obrázku je takový krstal zakreslen spolu se souřadnicovou soustavou zavedenou a používanou v předcházejícím odstavci Pomocí Maxwellových rovnic na rozhraní (sešívacích podmínek) bchom postupem podobným jako v kapitole 7 zjistili, že paprsk dopadající kolmo na rozhraní zůstávají v této konfiguraci kolmé k rozhraní i po lomu a že i jejich polarizace zůstává po lomu zachována Rchlost šíření paprsků krstalem bude ale záviset na polarizaci Jak víme z předcházejícího odstavce, paprsek polarizovaný kolmo k optické ose se bude šířit krstalem rchlostí c' c/ n, paprsek polarizovaný rovnoběžně s optickou osou rchlostí c' 1 c/ n1 Obecně polarizovaný paprsek se v krstalu rozkládá na dva prostorově totožné paprsk, z nichž 1 Nebo v jiném izotropním prostředí, jehož index lomu je blízký jedné
6 Anizotropní prostředí jeden se šíří krstalem rchlostí c'a 1 druhý rchlostí c' Mezi oběma polarizacemi vzniká takto po průchodu krstalem fázový rozdíl B π ϕ = n n 1 d, λ kde d je tloušťka krstalu měřená ve směru šíření světla a λ vlnová délka světla ve vakuu Speciální volbou tloušťk krstalu je možno zajisté dosáhnout toho, ab bl fázový posun ϕ roven π / Dopadá-li na takový krstal lineárně polarizované světlo, jehož polarizace má stejné průmět do směru optické os i do směru k optické ose kolmého, změní se původní lineární polarizace paprsku po průchodu krstalem na polarizaci kruhovou Popsaného jevu je ted možno vužít k přeměně lineární polarizace světla na polarizaci kruhovou (v obecném uspořádání na polarizaci eliptickou 13 ) a naopak Protože fázový posun π / odpovídá dráhovému rozdílu λ /4, nazýváme zmíněný jednoosý krstal (krstalickou desku) čtvrtvlnovou destičkou 83 Dvojlom Uspořádání, kterým se budeme zabývat v tomto odstavci, je obdobné tomu, s nímž jsme se setkali v odstavci předcházejícím (anizotropní krstal umístěný ve vakuu, kolmý dopad) Tentokrát však nebudeme požadovat, ab optická osa bla rovnoběžná s rozhraním vakuum - krstal Jak tato situace vpadá v souřadnicové soustavě používané v odstavci 83, ukazuje připojený obrázek Podobně jako výše, i nní bchom měli užít při zkoumání, jak se bude dopadající paprsek šířit jednoosým krstalem, sešívacích podmínek (Maxwellových rovnic na rozhraní) Pokud bchom tak učinili, zjistili bchom následující Paprsek polarizovaný kolmo k rovině nákresu ( ) prochází krstalem s nezměněnou polarizací pod nulovým úhlem lomu Protože je podle předpokladu úhel dopadu rovněž nulový, můžeme konstatovat, že je splněn Snellův zákon lomu Ke stejnému závěru bchom došli v případě kolmo polarizovaného paprsku i pro obecný úhel dopadu Takový paprsek budeme proto nazývat paprskem řádným 14 Paprsek polarizovaný v rovině nákresu ( ) rovněž nemění při lomu směr své polarizace Protože ale tentokrát svírá polarizace s optickou osou obecný úhel, nebudou podle výsledků odstavce 83 směr šíření tohoto paprsku a jeho polarizace v krstalu nadále kolmé Paprsek se šíří krstalem tak, jak je naznačeno v připojeném obrázku, z nějž je zřejmé, že Snellův zákon není v tomto případě splněn 15 Paprsek proto nazveme mimořádným Je-li dopadající paprsek polarizován obecným způsobem, rozkládá se jeho polarizace přirozeně do směru kolmého k rovině nákresu a do rovin nákresu Obě složk (řádný i mimořádný paprsek) se v krstalu prostorově oddělí a po výstupu z něj jsou sice rovnoběžné, ale vzájemně prostorově posunuté Uvedený jev nazýváme dvojlomem 16 13 Nebo dokonce na lineární polarizaci kolmou k původní lineární polarizaci paprsku To tehd, bude-li ϕ = π 14 Tj řádně se chovajícím 15 Platí i pro obecný úhel dopadu 16 Nejznámějším příkladem dvojlomu je dvojité vidění při průhledu krstalem islandského vápence Například napsaný text vidíme přes islandský vápenec dvojmo
Trivium z optik 61 84 Umělá anizotropie V přírodě se nevsktují jen látk přirozeně anizotropní, anizotropii můžeme vnějšími vliv vvolat i u látek původně izotropních Anebo míru anizotropie anizotropních látek vnějšími vliv měnit V takovém případě hovoříme o anizotropii umělé Jejími nejznámějšími příklad jsou fotoelastický jev, Kerrův jev, Pockelsův jev V případě fotoelastického jevu je optická anizotropie vvolána vnějším silovým působením a mechanickou deformací původně optick izotropní látk Takovou schopnost vkazuje např občejné sklo nebo polmerní polmetlmetakrlát (plexisklo) Optickou anizotropii je možno v pevných látkách (sklo), ale i v kapalinách (sirouhlík, nitrobenzen), vvolat silným elektrostatickým polem Látka původně izotropní se pak stane jednoosým krstalem 17 s odlišnými index lomu pro polarizaci světla rovnoběžnou s vnějším polem (n 1 ) a pro polarizaci k vnějšímu poli kolmou (n ) n n K E 1 = λ Zde E je intenzita vnějšího elektrického pole, λ vlnová délka světla a K konstanta charakterizující použitý materiál 18 Uvedený jev nazýváme podle jeho objevitele jevem Kerrovým Pod Pockelsovým jevem rozumíme změnu optické anizotropie pevných látek prostřednictvím elektrostatického pole rovnoběžného se směrem šíření světelného paprsku 85 Polarizátor Polarizátor jsou nástroje sloužící k přeměně nepolarizovaného světla na světlo lineárně polarizované 19 Jako nejznámější příklad uveďme Nikolův hranol, polarizační filtr Nikolův hranol je kosý hranol islandského vápence (jednoosý krstal) diagonálně rozříznutý a následně slepený kanadským balzámem (viz obrázek) Paprsek dopadající na Nikolův hranol se v něm rozdělí na paprsek řádný ( ) a mimořádný ( ) Index lomu je pro řádný paprsek v islandském vápenci natolik velký, že na rozhraní islandský vápenec kanadský balzám (diagonální řez) dochází k totálnímu odrazu řádného paprsku a jeho následné absorpci v objímce hranolu Hranolem ted prochází pouze paprsek mimořádný a ten je, jak víme, lineárně polarizován Ať již ted do Nikolova hranolu vstupuje jakkoliv polarizova- 17 Pojem jednoosý krstal používáme v souvislosti s optickou anizotropií studované látk Kapalina zůstane kapalinou a pochopitelně ve vnějším elektrostatickém poli nekrstalizuje 18 1 Pro nitrobenzen je např K = 4,4 1 m/v 19 Připomeňme, že s možností získat světlo lineárně polarizované ze světla nepolarizovaného jsme se setkali již v kapitole sedmé viz odraz pod Brewsterovým úhlem A jeho technické modifikace např hranol Glanův-Thompsonův Princip fungování je u těchto modifikací stejný, liší se pouze jejich technické provedení
6 Anizotropní prostředí ný (nebo nepolarizovaný) paprsek, vstupuje z něj vžd paprsek lineárně polarizovaný Směr polarizace vstupujícího (ted mimořádného) paprsku se obvkle nazývá propustným směrem hranolu, směr kolmý k propustnému se pak nazývá směrem závěrným 1 Polarizační filtr jsou tenké fólie polmerních látek (např celofán) s molekulami srovnanými tak, ab bl navzájem co nejvíce rovnoběžné Zabudováním iontů do konců takových rovnoběžných polmerních řetězců se výrazně zvýší jejich absorpce pro světlo polarizované rovnoběžně se směrem molekul Naopak pro světlo polarizované kolmo k tomuto směru zůstává absorpce zanedbatelně malá Vstupuje-li ted do takto upravené fólie obecně polarizované světlo, je jeho složka polarizovaná ve směru molekul po průchodu fólií značně zeslabena (viz obrázek) Světlo je ted po průchodu polarizačním filtrem (až na zanedbatelný zbtek) polarizováno lineárně, a to kolmo ke směru polmerních řetězců látk, z níž je filtr vroben 86 Optická aktivita Některé látk mají schopnost stáčet směr polarizace lineárně polarizovaného světla Tento jev bl pozorován jak u látek optick anizotropních (např křemen), tak i u látek optick izotropních (např vodné roztok cukrů) Dále blo zjištěno, že každá taková látka se vsktuje ve dvou modifikacích, z nichž jedna stáčí směr polarizace proti směru pohbu hodinových ručiček a druhá ve směru pohbu hodinových ručiček Dokonce i látk, které tuto schopnost nemají, ji mohou získat, jsou-li pod vlivem vnějšího pole, tentokrát pole magnetického Schopnost látek stáčet směr polarizace lineárně polarizovaného světla se nazývá optická aktivita Nejčastěji je optická aktivita ilustrována na křemenné destičce, a to v uspořádání zobrazeném na připojeném obrázku V tomto uspořádání je světlo vcházející ze zdroje Z lineárně polarizováno polarizátorem P Po průchodu křemennou destičkou D zůstává světlo lineárně polarizováno, pouze jeho polarizační směr se pootočí o úhel α 3 Jak již blo uvedeno výše, existují dva tp křemenných krstalů - jeden stáčí směr polarizace lineárně polarizovaného světla doprava, druhý doleva Zdůrazněme též, že v uspořádání z obrázku je optická osa křemenné destičk rovnoběžná se směrem paprsků vcházejících ze zdroje Z Bez ohledu na svou polarizaci jsou ted všechn paprsk řádné a optická anizotropie krstalu křemene nehraje v tomto případě žádnou roli Optická aktivita látek souvisí s jejich vnitřní zrcadlovou asmetrií Přesněji molekul optick aktivních látek či krstalické mřížk optick aktivních krstalů není možno pomocí prostorových posunutí a otočení ztotožnit s jejich zrcadlovými obraz 4 V makroskopickém popisu optick aktivních látek se to projeví odlišností 1 Světlo polarizované kolmo k propustnému směru se šíří Nikolovým hranolem jako řádný paprsek, a je ted v objímce hranolu pohlceno Hranolem proto neprochází, hranol je pro průchod takto polarizovaného světla uzavřen Tzv Faradaův jev 3 Velikost tohoto úhlu je přímo úměrná tloušťce této destičk, α = Kd 4 Podobně jako nemůžeme pomocí prostorových posunutí a otočení převést levou ruku na pravou nebo levou botu na pravou
Trivium z optik 63 indexů lomu pro levotočivou a pravotočivou kruhovou polarizaci procházejícího světla 5 Dá se totiž dokázat, že lineárně polarizované světlo je vžd možno rozložit na dvě protisměrně kruhově polarizované složk C Po průchodu optick aktivní látkou vznikne v důsledku rozdílnosti indexů lomu pro pravotočivou a levotočivou složku mezi těmito složkami nenulový fázový posun, který se projeví pootočením polarizačního směru výsledné vln D Matematické doplňk A Úhel γ, který svírají směr šíření a polarizace rovinné monochromatické vln, je možno v tomto případě najít řešením rovnic n1 vxex+ n v e =, ve + ve = cos γ, x x v nichž v x a v reprezentují jako výše složk jednotkového vektoru ve směru šíření vln a ex Ex / E a e E / E složk jednotkového vektoru ve směru polarizace Z uvedených rovnic plne cos γ = 1 v n1 ( n ) n1 ( n ) vv x + v x B Krstalem se šíří ve směru souřadnicové os dvě rovinné, monochromatické a lineárně polarizované vln, z nichž jedna má polarizaci kolmou k optické ose ( E ) a druhá polarizaci s optickou osou rovnoběžnou ( E ): E = E cos( k ωt ), E = E cos( k ωt ), kde k = ω/ c ' = nω/ c a k = ω/ c' 1 = n1ω/ c Při vstupu do krstalu ( = ) mají obě vln vzájemný fázový posuv roven nule, při výstupu z krstalu ( = d) je fázový posun mezi oběma složkami a po dosazení za k a k ϕ = ( k d ωt) ( k d ωt) = k d k d ϕ = n n d = n n d = n n d ω ω ω π c c 1 c 1 λ 1 C Předpokládejme, že se prostorem šíří ve směru os x dvě kruhově polarizované rovinné monochromatické vln vlna pravotočivá EP = [, Ecos( kx ωt), Ecos( kx ωt + π /)] = [, Ecos( kx ωt), Esin( kx ωt) ] a levotočivá E =, E cos( kx ωt), E cos( kx ωt π /) =, E cos( kx ωt), E sin( kx ω t) L [ ] [ ] Složením těchto dvou kruhově polarizovaných vln získáme vlnu E E + E =,E cos( kx ω t),, P L [ ] 5 Rchlost světla závisí v optick aktivních látkách na jeho polarizaci (tentokrát ovšem kruhové) Svou povahou ted výklad optické aktivit skutečně patří do kapitol věnované optické anizotropii
64 Anizotropní prostředí která je lineárně polarizovaná ve směru souřadnicové os Na získaný výsledek můžeme ovšem pohlížet rovněž tak, že lineárně polarizovanou vlnu E můžeme rozložit na dvě kruhově polarizované vln E P a E L D Pokud budou kruhově polarizované vln z doplňku C fázově posunut E P = [, Ecos( kx ωt), Esin( kx ω t) ], E L = [, Ecos( kx ωt + ϕ), Esin( kx ωt + ϕ )], vznikne jejich složením vlna E E + E = E ϕ kx ωt + ϕ E ϕ kx ωt + ϕ, P L [, cos( /)cos( /), sin( /)cos( /)] která je podobně jako E z předcházející poznámk polarizovaná lineárně, ale jejíž polarizační směr je vůči polarizačnímu směru E pootočen o úhel α = ϕ/ Fázový posun mezi protisměrnými kruhovými polarizacemi dává ted v konečném důsledku pootočení polarizačního směru složené lineárně polarizované vln