h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná část: Geometrická optika je tím oborem optik, v němž se při popisu procesu šíření optického záření a při procesu optického zobrazování zanedbává vlnová povaha světla i jeho kvantové vlastnosti. Matematický popis procesů, na něž se omezuje geometrická optika, i příslušné geometrické konstrukce používají jako základní pojem geometrický paprsek. Ten je sice po geometrické stránce naprosto totožný s pojmem světelný paprsek, ale nepřipisuje se mu žádný zvláštní obsah po stránce zikální. Geometrická optika se opírá o čtři základní princip (resp. zákon):. princip přímočarého šíření světla,. zákon odrazu, 3. zákon lomu, 4. princip nezávislosti chodu světelných paprsků. U čoček se při zobrazování uplatňuje jen lom světelných paprsků. Podle charakteru zobrazení rozlišujeme čočk spojné (neboli spojk), jež mění rovnoběžný svazek paprsků ve sbíhavý, a čočk rozptlné (neboli rozptlk), jež naopak mění rovnoběžný svazek paprsků na rozbíhavý. Zobrazování tenkou spojnou čočkou Základní přímkou je u každé čočk (podobně jako i u jiných zobrazovacích zařízení) tzv. optická osa tenké čočk, jež prochází čočkou kolmo a navíc jejím optickým středem O. Bod F a F jsou předmětové a obrazové ohnisko, jejich vzdálenosti od optického středu čočk nazýváme předmětová ohnisková vzdálenost = FO a obrazová ohnisková vzdálenost = OF. Pro ideální tenkou čočku platí, že jsou tto dvě vzdálenosti stejné ( = ), a proto pro ně používáme společné označení ohnisková vzdálenost. Na rozdíl od zrcadel světlo čočkami prochází, a proto rozlišujeme prostor, z něhož světlo do čočk vstupuje tzv. předmětový prostor, a prostor, do něhož světlo po průchodu čočkou vstupuje tzv. obrazový prostor. Při konstrukci obrazu vtvořeného tenkou čočkou (viz následující obr. ) pak vužíváme tří druhů význačných paprsků: paprsek procházející optickým středem O čočk se jako jediný neláme a nemění svůj směr, paprsek rovnoběžný s optickou osou po průchodu čočkou protíná optickou osu v obrazovém ohnisku F, paprsek procházející předmětovým ohniskem F se po průchodu čočkou stává rovnoběžným s optickou osou.
B A a F O F B A a... předmětová vzdálenost... obrazová vzdálenost... výška předmětu... výška obrazu Obr. - zobrazování tenkou spojnou čočkou Vztah mezi předmětovou vzdáleností a, obrazovou vzdáleností a ohniskovou vzdáleností pak vjadřuje zobrazovací rovnice tenké čočk + = a. () Příčné zvětšení Z obrazu lze pak vjádřit několika navzájem ekvivalentními vztah. Platí, že Z = = = =. () a a Je však třeba zdůraznit, že zde platí určitá znaménková konvence (pravidla). Výškám předmětu a obrazu, přiřazujeme nad optickou osou kladnou hodnotu, pod ní pak hodnotu zápornou. To znamená: Bude-li vznikat obraz vzpřímený, bude znaménko příčného zvětšení kladné (Z > 0); vzniká-li ovšem obraz převrácený, což je právě případ vašich meření, bude jeho znaménko záporné (Z < 0).!! Ze zobrazovací rovnice pak lze po změření předmětové a obrazové vzdálenosti snadno vpočítat ohniskovou vzdálenost tenké čočk a =. (3) a +
Kromě přímé aplikace zobrazovací rovnice se však používají pro zjišťování ohniskových vzdáleností čoček i jiné (nepřímé) metod, jež jsou buď jednodušší, než je měření předmětové vzdálenosti a a obrazové vzdálenosti a, nebo jsou zatížen menší chbou než výpočet podle vzorce (3). Je třeba si uvědomit, že reálné čočk nebývají nekonečně tenké, mají určitou tloušťku a že zobrazovací rovnice () přesně platí skutečně jen pro takové čočk, jejichž tloušťka je zanedbatelně malá. Postup měření: I. Určení ohniskové vzdálenosti spojné čočk přímou metodou ze zobrazovací rovnice Změříme-li předmětovou vzdálenost a zobrazovaného předmětu a obrazovou vzdálenost a ostrého obrazu, je možno toto měření okamžitě vhodnotit podle vztahu (3). Toto měření lze však zpracovat též graick, a to následujícím způsobem. Spočívá v tom, že na vodorovnou osu x pravoúhlé soustav souřadnic nanášíme předmětovou vzdálenost a, na svislou osu pak obrazovou vzdálenost a. Takto vnesené bod pak spojíme úsečkou (viz obr. ). Provedeme-li více měření předmětové a obrazové vzdálenosti u jedné a téže čočk a zpracujeme-li je naprosto stejným způsobem, zjistíme, že se všechn takto zkonstruované úsečk protínají v jednom bodě M. Přitom bude platit, že obě souřadnice tohoto bodu M jsou rovn hledané ohniskové vzdálenosti měřené čočk (ted platí M [ ; ]). 3 M Obr. Zdůvodnění tohoto postupu je přitom velmi snadné. Přímk, jejichž částmi jsou úsečk vnesené na obr., lze posat rovnicemi, jež mají zápis v úsekovém tvaru x + =. (4) a a 0 Všechn takové přímk ale musí nutně obsahovat bod M, jehož souřadnice jsou x =, =, neboť právě dosazením těchto hodnot do rovnice (4) dostáváme vztah, jenž je jen upraveným zápisem zobrazovací rovnice tenké čočk II. Besselova metoda a a a 3 a + =. a Tato metoda je založena na poznatku, že pro jistou pevnou vzdálenost l předmětu a stínítka, na němž se vtváří obraz, existují dvě poloh čočk I a II (viz následující obr. 3), při nichž vzniká ostrý x 3
skutečný obraz. Lze snadno dokázat, že takový případ může nastat jen v tom případě, kd vzdálenost předmětu od stínítka l = a + a splňuje triviální podmínku l > 4. Je-li právě l = 4, vzniká jen jeden stejně velký skutečný převrácený obraz, při menších vzdálenostech l, než je čtřnásobek ohniskové vzdálenosti dané čočk skutečný obraz na stínítku vůbec nevzniká. V poloze I je čočka blíže předmětu a obraz je zvětšený, v poloze II je čočka blíže obrazu, a ten je naopak zmenšený. Je patrné, že obě poloh čočk budou položen smetrick vzhledem ke středu vzdálenosti mezi předmětem a stínítkem l a předmětová vzdálenost v prvním případě bude rovna obrazové vzdálenosti v druhém případě a naopak. To vplývá z tzv. záměnnosti chodu paprsků, podle níž lze na optické ose spojné čočk navzájem vměnit poloh předmětu a obrazu a s tím i smetrick polohu čočk samé. I II O I F I O II F II II a d I a Obr. 3 Označíme-li vzdálenost obou poloh čočk (I a II) jako d, potom vidíme, že platí l = a + a, d = a - a. Jednoduchou úpravou dostáváme + d a = l l d, =. Po dosazení hodnot a a a do vztahu (3) dostaneme pro hledanou ohniskovou vzdálenost a ( l + d).( l d) = = a odtud a + 4l l l d =. (5) 4l 4
Vidíme, že k určení ohniskové vzdálenosti nám u této metod stačí při pevné vzdálenosti l mezi předmětem a obrazem změřit pouze jeden délkový údaj vzdálenost d dvou poloh čočk. III. Stanovení ohniskové vzdálenosti spojné čočk z příčného zvětšení Příčné zvětšení čočk je deinováno jako poměr velikosti obrazu ku velikosti předmětu, jenž je danou čočkou zobrazován, a jeho matematické vjádření udává série vztahů (). Jednoduchou úpravou jednoho z nich Z = získáme vzorec vjadřující ohniskovou vzdálenost čočk pomocí příčného zvětšení IV. Abbeova metoda = - obrazová vzdálenost (6) Z Tato metoda je také založena na měření příčného zvětšení. Na rozdíl od předcházející metod č. III však nevžaduje měření obrazové vzdálenosti, jež je u silnějších čoček vžd zatíženo určitou chbou. Pro danou polohu předmětu P a stínítka S existuje při splnění podmínk l > 4 jistá poloha čočk, při níž vznikne na stínítku ostrý zvětšený a převrácený obraz předmětu (viz obr. 4). Měřením velikosti předmětu a jeho obrazu, můžeme určit příčné zvětšení Z =. Nní oddálíme stínítko od čočk o jistou přesně změřenou vzdálenost d do poloh S. Čočku ale přitom necháme v nezměněné poloze a najdeme takovou polohu předmětu P, při níž opět vzniká ostrý zvětšený obraz výšk. Pro toto druhé zvětšení platí Z =. F P P S d S Obr. 4. Podle předcházející metod III musí pro obě zobrazení platit 5
= a =. Z Z Odtud dostáváme d = - = ( Z ) - ( Z ) = (Z Z ), z čehož vplývá poslední vztah pro ohniskovou vzdálenosti Ú k o l : d =. (7) Z Z ) Graické zpracování přímé metod Pro konstrukci úseček použijeme čtř dvojic naměřených předmětových a obrazových vzdáleností. Umístěte stínítko do poloh, kd vznikne po zobrazení čočkou jak zvětšený, tak i zmenšený obraz předmětu (tím je v tomto, ale i v dalších úkolech čtvercová síťka na níž je znázorněna deinovaná vzdálenost). Změřte nejprve předmětovou a obrazovou vzdálenost a a pro zvětšený obraz, a poté tto hodnot označené jako a a pro zmenšený obraz. Pro všší přesnost toto měření opakujte pětkrát; předmětové a obrazové vzdálenosti měřte s přesností na jednotk milimetrů! Potom stínítko posuňte o něco dál od zobrazovaného předmětu a předcházející měření zopakujte. Nalezněte zvětšený a zmenšený obraz a měřte příslušné předmětové a obrazové vzdálenosti a 3 a 3 resp. a 4 a 4. Naměřené hodnot zapisujte do tabulk I a zpracujte graick (viz obr. ). Na vodorovnou osu nanášejte průměrné hodnot a,...., a 4 předmětových vzdáleností a na svislou osu pak průměrné hodnot a,...., a 4 vzdáleností obrazových. Pozor!!! Má-li být měření správně vhodnoceno, musejí se os grau protínat jednoznačně v počátku!!! Tabulka I: n a (mm) (mm) a (mm) (mm) a 3 (mm) 3 (mm) a 4 (mm) 4 (mm) 5 ) Besselova metoda Zvolte pevně vzdálenost l (předmět stínítko) tak, ab vznikl zvětšený i zmenšený ostrý obraz předmětu (čtvercové sítě). Pak desetkrát změříme vzdálenost d obou poloh čočk d = O I O II s přesností na jednotk milimetrů. Uvědomte si, že měření této vzdálenosti d je zejména u silnějších čoček mnohem přesnější než měření předmětové a obrazové vzdálenosti a a!!! Hodnot získané měřením zapisujte do tabulk II, podle vztahu (5) vpočítejte hledanou ohniskovou vzdálenost čočk, její průměrnou hodnotu, pravděpodobnou chbu průměru a relativní chbu měření. 6 ϑ
l =..... mm n d (mm) (mm) (mm)... 0 Tabulka II: 3) Určování ohniskové vzdálenosti ze zvětšení 7 =.... mm Stínítko dejte do poloh, kd se vtvoří ostrý zvětšený obraz předmětu. Na čvercové síťce, kterou zobrazujete, máte přesně vznačenou vzdálenost cm, takže zvětšení předmětu určíte snadno změřením velikosti obrazu právě těchto cm na stínítku. Měření provádějte pro všší přesnost desetkrát. Do tabulk III pak zaznamenávejte obrazovou vzdálenost a a zvětšení Z. Dejte pozor na to, že vzniká obraz převrácený a zvětšení je proto záporné!!! Hledanou ohniskovou vzdálenost vpočítejte ze vztahu (6). Dále postupujte jako v předcházejícím úkole - určete průměrnou hodnotu, její pravděpodobnou chbu ϑ a relativní chbu měření! Tabulka III: n (mm) Z (mm) (mm)... 0 =.... mm 4) Abbeova metoda Postupujeme podle návodu uvedeného v obecné části. Čočkou opět zobrazujte čtvercovou síťku s vznačenou vzdáleností cm. Pro zvýšení přesnosti proveďte deset měření při první poloze S stínítka a deset při druhé poloze S. Ohniskovou vzdálenost čočk počítejte podle vztahu (7), hodnot zapisujte do tabulk IV a opět určete průměrnou hodnotu, její pravděpodobnou chbu ϑ a relativní chbu měření! Tabulka IV: d =..... mm n Z Z (mm) (mm)... 0 Výsledk získané v úkolech ) - 4) zapisujte vžd ve tvaru = ± ϑ. =.... mm 5) Hodnot ohniskové vzdálenosti dané čočk vpočítané různými metodami porovnejte!