Projekt OP VK CZ..7/..7/. Podpora odborného vzdělávání na tředních školách SK Střední škola průmylová a umělecká, Opava, přípěvková organizace Prakova 8/99 76, Opava www.pu-opava.cz tel.: 55 6 58 e-mail: pkola@opava.cz www.pravnymer.cz echanika II Výukový manuál Ing. Vítězlav Doleží, Ing. Dušan Gali Tento projekt je polufinancován Evropkým ociálním fondem a tátním rozpočtem Čeké republiky
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Ing. Vítězlav Doleží, Ing. Dušan Gali Opava 9
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Střední škola průmylová a umělecká, Opava, přípěvková organizace Ing. Vítězlav Doleží, Ing. Dušan Gali Tato práce louží pro výuku předmětu echaniky II na Střední škole průmylové a umělecké, Opava, přípěvkové organizaci. Opava 9
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Obah Úvod... 5. Plán učiva... 5. Pomůcky... 5. Poznámky... 6 Opakování prvního ročníku... 6. Skládání il graficky a početně... 6. Rozložení íly do dvou kolmých měrů... 6. Podmínky rovnováhy... 7. Řešení reakcí noníků na dvou podporách... 7.5 Smykové tření... 7.6 Těžiště... 8.7 Diagram tahové zkoušky... 8.8 Dovolené napětí a bezpečnot... 9.9 Tah, tlak... 9. Smyk.... Příklady... Kvadratické momenty průřezových ploch... 6. omenty... 7.. Statický moment íly... 7.. Statický moment plochy... 7.. Kvadratický moment plochy... 7.. Steinerova věta... 9. Kvadratické momenty geometrických ploch... 9. Kvadratické momenty ložených ploch.... Poloměr kvadratického momentu (kvadratický poloměr)..... Obdélník..... Kruh..... Poloměr kvadratického momentu i k mimotěžišťové oe....5 Průřezové moduly v ohybu a krutu....6 Průřezový modul v ohybu... 5 Krut... 7. Základní rovnice pro krut... 8. Pevnotní podmínka pro krut... 8. Hookeův zákon pro myk... 8. Deformační podmínka pro krut:... 9.5 Závilot krouticího momentu K na výkonu P....6 Kroucené pružiny....6. Torzní tyč:....6. Šroubová válcová pružina....7 Krut nekruhových průřezů... 5 Ohyb... 6 5. Pevnotní podmínka pro ohyb... 6 5. Uložení noníků... 7 5.. Způoby uložení:... 7 5. Vnitřní íly a momenty... 9 5. Průběh poouvajících il a ohybových momentů... 5.. Vetknutý noník... 5.5 Určování poouvajících il a ohybových momentů... 5.5. Analytická metoda:...
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 5.5. etoda uperpozice:... 5.6 Schwedlerova věta... 7 5.7 Noníky e pojitým zatížením... 9 5.8 Noník na dvou podporách... 5 5.9 Noníky tálé pevnoti... 55 5.9. Vetknutý noník... 55 5.9. Noník na dvou podporách... 58 5. Deformace v ohybu... 59 5.. Poloměr křivoti ρ... 59 5.. Úhel natočení α... 59 5.. Průhyb y... 6 5.. etoda uperpozice... 6 5. Deformační podmínka pro ohyb... 67 5. Staticky neurčité noníky... 68 5. Ohýbané pružiny... 69 5.. Výpočet litových pružin:... 7 6 Složená namáhání... 7 6. Kombinace normálných napětí... 7 6.. Šikmý ohyb:... 7 6.. Tah nebo tlak + ohyb... 75 6.. Ecentrický tah (tlak):... 76 6. Kombinace normálných il a tečných napětí... 78 6. Teorie pevnoti... 78 6.. Teorie maimálních normálných napětí a... 78 6.. Teorie maimálních poměrných deformací e a... 78 6.. Teorie maimálních mykových napětí t a... 78 6.. Teorie energetická podle celkové měrné deformační energie... 79 6..5 Teorie energetická podle měrné deformační energie pro změnu tvaru... 79 6. Redukovaný moment... 8 7 Vzpěr... 86 7. Výpočet podle Eulera (pružný vzpěr)... 88 7. Výpočet podle Tetmajera (nepružný vzpěr)... 9 7. Součinitel vzpěrnoti... 9 7. Shrnutí vzpěru:... 9 8 Cyklické namáhání únava... 9 8. Wöhlerova křivka (tudium prakání kolejnic)... 95 8. Smithův diagram... 96 8. Tvarová pevnot... 97 8.. Vliv tvaru oučáti:... 97 8.. Vliv velikoti:... 98 8.. Vliv povrchu oučáti:... 99 8. Výpočet hřídele na únavu... 99 9 Kinematika... 9. Přímočaré pohyby... 9. Přímočarý rovnoměrný pohyb příklady... 9. Rovnoměrně zrychlený a zpožděný přímočarý pohyb... 6 9. Volný pád... 8 9.5 Svilý vrh... 8 9.6 Křivočaré pohyby...
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 9.6. Obecný rovnoměrný křivočarý pohyb... 9.6. Rovnoměrný pohyb bodu po kružnici... 9.7 Rovnoměrný rotační pohyb těle kolem tálé oy... 9.8 Rovnoměrně zrychlený rotační pohyb... 9.9 Skládání pohybů... 6 9. Pohyb ve dvou rovnoběžných přímkách... 7 9. Pohyb v různoběžných přímkách... 7 9. Vodorovný vrh... 9. Šikmý vrh... 9. Svilý vrh... 9.5 Rozkládání pohybů... 9.5. Valení válce po rovině... 9.5. Oba dílčí pohyby otáčivé... 5 9.6 Unášivý pohyb rotační, relativní pouvný... 5 9.7 Harmonický pohyb... 6 9.8 Rotační pohyb... 7 9.9 Kinematika outavy těle... 9 9. Stupně volnoti:... 9 9. Převody... 9. Řemenový nebo řetězový převod... 9. Převody ozubenými koly... 9. Složený řemenový převod... 9.5 Složený převod ozubenými koly...
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Úvod. Plán učiva. Úvod.. Opakování látky z. ročníku.. Kvadratické momenty a průřezové moduly.. Krut. 5. Ohyb. 6. Složené namáhání. 7. Stabilita vzpěr. 8. Cyklické namáhání únava. 9. Kinematika.. Na konci roku před uzavřením známek kontrola všech ešitů, ešity muí být v abolutním pořádku, e všemi nakrelenými obrázky, e vším dopaným učivem, okraji tuší.. Opakování učiva.. Pomůcky. Kniha ECHANIKA Pružnot a pevnot pro SPŠ trojnické, L. rňák, A. Drdla, SNTL.. Kniha ECHANIKA II Kinematika pro SPŠ trojnické,. ulina,. Kovář, V. Venclík, SNTL.. Kniha ECHANIKA Sbírka úloh, I. Turek, O. Skala, Haluška, SNTL.. Kniha Strojnické tabulky, an Leinveber a Pavel Vávra, ALBRA. 5. Čtverečkovaný ešit A tlutý, okraje tuší cm od vnější trany. 6. Pero a pentelka,5 mm. 7. Guma na gumování. 8. Trojúhelníkové pravítko. 9. Kalkulačka. 5/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6. Poznámky odul pružnoti V tahu Ve myku Ocel E, 5 Pa G 8 Pa Litina E, 5 Pa G Pa Opakování prvního ročníku. Skládání il graficky a početně. Rozložení íly do dvou kolmých měrů coα y inα + y 6/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6. Podmínky rovnováhy n i i n i i. Řešení reakcí noníků na dvou podporách coα y inα n i n y i ; n A i ; n B i RA RBy y a ; a + b RAy b y a + b.5 Smykové tření f t n n m g (Poznámka: platí v případě vodorovné podložky) f oučinitel mykového tření, ocel/ocel,5,; f o oučinitel mykového tření v klidu; f oučinitel mykového tření v pohybu; g 9,8 m 7/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6.6 Těžiště.7 Diagram tahové zkoušky ε e pružná, elatická deformace; ε p platická deformace; U, U mez úměrnoti; E, E mez pružnoti, elatičnoti; K, K, R e mez kluzu, vzniká již trvalá deformace, dá e přeně zjitit u houževnatých materiálů, je výchozí hodnotou pro výpočty; P, P, R m mez pevnoti, materiál praká, je důležitá u křehkých materiálů; C dochází k přetržení zkušební tyčinky. t S Hookeův zákon: ε E l ε poměrné prodloužení, deformace ε ; E modul pružnoti v tahu. Obdobně platí pro myk (trojnické tabulky tr. 5): τ S γ G γ zko G modul pružnoti ve myku. ez kluzu ve myku τ KS, 6 R e Pro ocel i litinu platí: (pevnot v tahu e rovná pevnoti v tlaku). pt pd l o 8/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6.8 Dovolené napětí a bezpečnot Počítáme:, bezpečnot, rozměr, ílu. Dovolené napětí v tahu: Re Dovt (mez kluzu / bezpečnoti). k R m a R e najdeme ve trojnických tabulkách tr. 8 R e,6 R m ( p Dov (,7,9) Dovt.9 Tah, tlak K, 6 ) Tah počítáme v nejužším průřezu: P S t Dovt ěrný tlak počítáme na průmět plochy kolmý k půobící íle: p S p Dov p Dov (,7,9) Dovt D S π ( D d S π ) 9/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6. Smyk τ S S τ DovS τ PS,6 Pt τ KS,6 τ PS,6. (,6 Pt ),6 Pt τ τ DovS k KS. Příklady Př.: ak velkou vilou ilou muíme půobit v mítě A, aby e outava nepohybovala. aká bude reakce v bodě B? 5 N, N. n B i + A A 5 N n y i RB + A RB 75 N /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: Určete reakce noníku. 5N n A i RB. + 5 5 + 55 RB 875N n y i RA RB + RA 5 875 + 5 5 N Př.: aké je napětí v jednotlivých prutech konzoly? Pruty mají průměr d mm? 5 tg α α 6, 5 tgα N tgα tg6,5 inα inα in 6,5 6N S π d 5, 6Pa S π d 8, 5Pa /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: akým momentem A muíme půobit, aby byla outava v rovnováze? N n i i RA + N n i + i 6N 6Nm 6 - Nmm A A + Př.: Určete těžiště obrazce, rozměry jou dány v mm. Určíme T a T : Vypočteme plochy S a S : S 8 6 8 mm S 6 mm /5
Souřadnice těžiště: mm, y mm, 8 mm, y mm Výpočet výlednice: S S + S 6 mm je přímo úměrná ploše, zavedeme: 6 N 8 N 6 N T + y T y + y 8 + 68 T, 5mm 6 8 + 6 y T 5mm 6 Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: Určete těžiště obrazce, rozměry jou dány v mm: S 6 8 mm 8 N π d S π mm, 5 mm 8 N T mm N 8 5 T, mm 86 Těžiště leží na oe ouměrnoti y T (bod zvolen na oe). /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: akou ilou muíme tlačit bednu o hmotnoti kg, aby e začala pohybovat? Součinitel mykového tření f,. T N f m g f 9,8, 96, N Př.: Který jeřábník zvolil z pevnotního hledika vhodnější délku řetězu? Situaci prověřte graficky. První varianta je dle grafického rozkladu výhodnější. Př.: akou ilou tlačí levá podní tyč na bočnici a na dno palety. Tíha jedné roury je N, průměr roury je 5 mm. /5
Rovnotranný trojúhelník 6 α G G co co co Síla půobící na dno pod levou tyčí: DNA + G + N Síla půobící na bočnici: 5,7N in in 5.7in Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 577,5N Př.: aká velká íla je potřebná k vytřižení pětikoruny z plechu. τ PS 5 Pa. Průměr d mm, t mm. τ S τ PS τ S τ π d t PS 5 π 68 N 6,8 kn,6 t PS S Př.: Táhlo otvory je namáháno na tah ilou kn. ateriál táhla 5 má R e 5 Pa. Určete tloušťku táhla při bezpečnoti k mezi kluzu k,5. R k 5,5 e Dovt, Pa t Dovt S S Dovt 7,78mm, S 7, S ( ) t t 78,9 mm 5/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: Oazený konec tyče je namáhán ilou kn, vypočtěte napětí v patřičných mítech. D 7 mm, d 5 mm, t mm. t 5, Pa S π d π 5 τ, Pa S S π d t π 5 p 5, Pa S π ( D d ) π (7 5 ) Př.: akou velkou ilou je třeba táhnout ocelovou tyč, aby e prodloužila o mm? Tyč má průměr mm a délku m (Hookeův zákon). l ε l, t ε E,, 5 Pa t S 6,5kN t π d S t π Kvadratické momenty průřezových ploch Při namáhání v tahu, tlaku a myku jme poznali, že charakteritickými veličinami, na kterých záviela únonot oučáti a její deformace, byly velikot íly a plocha průřezu. Nezáleželo na poloze a tvaru. inak tomu bude u krutu a ohybu. Například pravítko na ležato a na tojato. U ohybu i dalších namáhání tedy únonot a deformace závií nejen na íle a průřezu, ale i na poloze, tvaru a rozložení podél průřezové oy. Charakteritickou veličinou tedy není průřez, ale kvadratický moment průřezu. 6/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 7/5. omenty.. Statický moment íly [ ] m N a.. Statický moment plochy [ ] m S S.. Kvadratický moment plochy... Oový: [ ] m S y ] [ ) ( m S i n i i i n i i i n i y S i ) (!!! n i T i T i y S y S!!! Kvadratický oový moment plošky S vzhledem k nějaké oe e rovná oučinu obahu této plošky a čtverce vzdálenoti těžiště y této plošky od oy.
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Kvadratický oový moment celé plochy S ložené z plošek S e rovná oučtu dílčích kvadratických momentů všech plošek S. Pozor! Na rozdíl od lineárního momentu, kde jme mohli oučet dílčích momentů nahradit výlednou plochou náobenou vzdálenotí těžiště, u kvadratického momentu by jme dotali jiný výledek!... Polární p S r odtud pak: p S ( + y ) S + S y y + n n n p y i + i i + i i i y Kvadratický polární moment plošky S vzhledem k libovolnému bodu (pólu) e rovná oučinu obahu této plošky a čtverce vzdálenoti této plošky od pólu (r ). Polární moment celé plochy S e rovná oučtu dílčích polárních momentů Polární moment p. p plochy S e rovná oučtu oových kvadratických momentů téže plochy S ke dvěma oám, které jou kolmé a procházejí pólem. 8/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6.. Steinerova věta Udává vztah mezi oovými momenty ke dvěma rovnoběžným oám, z nichž jedna prochází těžištěm. T + S a [mm ] Kvadratický moment k mimotěžišťové oe e rovná kvadratickému momentu k těžišťové oe T rovnoběžnému oou, zvětšenému o oučin S a, kde S je obah plochy a a je vzdálenot o. Důledek: K těžišťové oe je kvadratický moment minimální.. Kvadratické momenty geometrických ploch Kvadratické momenty geometrických ploch Kvadratický Velikot průřezu moment průřezu k oe těžiště Obdélník Polární moment průřezu S b h T b h Čtverec S a a T 9/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Trojúhelník S b h S T b h 6 Kruh S π d T π d 6 p π d ezikruží S π (D d ) T π (D 6 d ) p π (D d ) Dutý obdélník S B H b h T B H b h Elipa S π π a a b b T 6 /5
. Kvadratické momenty ložených ploch Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Kvadratické momenty mohu čítat a odčítat pouze, půobí li ke tejné oe. Obvykle počítáme kvadratický moment k těžišťové oe celého průřezu. Např.: ezikruží. πd πd π - (D - d ) 6 6 6 P πd πd π - (D - d ) Př.: Určete kvadratický moment k oe. T bh + + S a bh bh + bh + bh h bh bh bh Př.: Určete kvadratický moment k oe. - bh 5 T 66666, 7 mm T + S a 6666666, 7mm 66666, 7 + bh 8 T 76666, 7 T + S a 76666, 7 + 5 5 mm 8 686666, 7mm - 6666666, 7-686666, 7 98mm /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: Určete kvadratický moment k oe. de o dva profily U ČSN 557, Strojnické tabulky tr. 95. Z tabulek určíme: U 6cm S u 5mm ( U + S U ( 6 + a U ) 5 5 ) 87 mm Př.: Určete kvadratický moment k oe. de o dva profily L556 ČSN 55, Strojnické tabulky tr. 89, 9 + profil. Z tabulek určíme: T, 88cm S 5, 69cm e y, cm T + S a T + S y, 88 + 5, 69,, 68cm bh h + S a + bh + 5, T +, 68,, 68 8, 69 + + + cm cm /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6. Poloměr kvadratického momentu (kvadratický poloměr) Protože neplatí vztah S y T, nahrazujeme jej pro nutné případy vztahem: S i n i S y T S i S y T i poloměr kvadratického momentu, kvadratický poloměr S y T.. Obdélník i S h i bh bh.. Kruh S π d 6 πd i d i d 6.. Poloměr kvadratického momentu i k mimotěžišťové oe i S T + S a S /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6.5 Průřezové moduly v ohybu a krutu Pevnotní podmínky: S p pdov S τ τ DovS S o o W t,d Dovt, d τ k W k k o τ DovO DovK Průřezový modul W O, W K nám reprezentuje v pevnotní podmínce pro krut a ohyb rozměry oučátí, tejně jako plocha průřezu reprezentuje rozměry oučátí v tahu nebo myku. Průřezový modul v krutu W K e p p polární moment průřezu k neutrální oe. kvadratický moment průřezu k neutrální oe. e vzdálenot krajního vlákna od neutrální oy. W K modul průřezu v krutu. Neutrální oa je oa, ve které nepůobí žádné napětí. U kružnice je to uprotřed. W W e πd d p K K e p πd 6 W K π d [mm ] 6 π (D d ) π (D d ) tedy WKcelk WK W D 6 D Průřezové moduly nelze nikdy čítat ani odečítat! Poznámka: obvykle u krutu neuvažujeme jiné průřezy. K /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: π d π W K 96 mm 6 6.6 Průřezový modul v ohybu o W W min e W e kvadratický moment k neutrální oe. Neutrální oa je oa, kde není žádné napětí, při ohybu prochází těžištěm průřezu. e, e vzdálenot krajních vláken průřezu. W o, W o moduly průřezu v ohybu, do pevnotní rovnice uvažuji minimálním modulem. Potup výpočtu modulu průřezu v ohybu:. Určím těžiště průřezu a tím i neutrální ou.. Vypočtu kvadratický moment průřezu ohledem k těžištní oe.. Vypočtu moduly průřezu W a W e U průřezů ymetrických podle oy platí e e W W W W + W celk čáti čáti + (ke tejné oe) celk čáti čáti e 5/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Strojnické tabulky, tr. 9 Průřezové moduly v ohybu základních geometrických obrazců K oe Obdélník K oe y bh 6 W W y b h 6 Čtverec W a 6 W y a 6 Kruh πd W πd W y ezikruží π D d π D d D W y D W 6/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Krut e namáhání kroutícím momentem, který půobí v rovině na podélnou ou oučáti. Deformace λ r ϕ r λ' ρ ϕ ρ r ϕ Pro malé úhly platí: γ l ϕ r γ l γ zko. ϑ [théta] zkrut (úhel zkroucení hřídele jednotkové délky). ϕ úhel zkroucení. Rovinné řezy zůtávají rovinné, pouze e proti obě natočí. Při natočení e řezy po obě naží poouvat, tedy vzniká tečné napětí τk. e zřejmé, že deformace λ uvnitř tyče je menší než deformace po obvodě tyče. Protože platí Hookeův zákon, je deformace přímo úměrná napětí, tedy i napětí rote přímo úměrně e vzdálenotí od neutrální oy. Tedy při krutu je napětí rozloženo rovnoměrně a má maimální hodnotu na povrchu průřezu. 7/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6. Základní rovnice pro krut τ K ma W K K kde W K r p d pro kruh: W Ko π 6. Pevnotní podmínka pro krut τ K W K K τ KDov Ocel τ DovK, 6 Dovt Litina τdovk Dovt W K modul průřezu v krutu. Výhodnější jou duté hřídele, kde při tejné hmotnoti přeneou podtatně větší K (materiál u neutrální oy není využitý).. Hookeův zákon pro myk τ ma γ G G modul pružnoti ve myku. Ocel G 8 Pa. Litina G Pa. γ zko, r ϕ γ l τ ma K r r ϕ γ G G ϕ l p W K r K r l K l r G G p p P Úhel kroucení: K l G ϕ [ rad ] [ ] p 8 π ϑ [théta] zkrut (měrný úhel zkroucení) úhel zkroucení tyče délky m. ϕ l G K ϑ [ ] p 8 π rad [ ] 8/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6. Deformační podmínka pro krut: U dlouhých tenkých hřídelů máme obvykle požadavek i na dotatečnou tuhot hřídele. Poddajný hřídel, který e hodně deformuje, může způobit torzní kmity (pružina), které způobují nežádoucí vibrace troje. Proto v těchto případech kontrolujeme hřídel i z deformační podmínky. Úhel zkroucení: ϕ 8 l K ϕdov π G p Zkrut ϑ 8 π G p ϑ K Dov Př.: Vypočítejte napětí v krutu τ K a úhel zkroucení pro tyče průměru 5 mm a délky m, K 5 N.m, G 8. Pa. π d π 5 WK 68mm 6 6 K 5 τ K 6,8Pa W 68 K π d P K l ϕ G p π 5 85mm 8 5 8, 9 π 8 8 π ( pro trubku by platily vzorce : W K π 6 (D d D ), p π (D d ) ) Př.: Určete výledný úhel zkroucení φ. ) ϕ celk ) ) ) ϕ + ϕ + ϕ G K l p l + p l + p P π d P P π d π d 9/5
.5 Závilot krouticího momentu K na výkonu P Obvykle u hřídele známe přenášený výkon P a jeho otáčky n: Výkon: P A t odtud: t K v r ω ω P ω Úhlová rychlot: ω π n K Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Tedy při tejném výkonu čím větší máme otáčky, tím menší je kroutící moment. P P P n > n K < K d < d.6 Kroucené pružiny.6. Torzní tyč: e to pružina ve tvaru přímé tyče, používá e u automobilů (odpružení). Torzní pružina má mnohem lepší využití materiálu, než pružina ohýbaná. Využívají e tedy hlavně tam, kde záleží na lehkoti kontrukce. /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Pevnotní rovnice: τ K W K K πd 6 K τ DovK Deformační podmínka: ) K l ϕ G p ) ϕ ma π d, ( p ) Obvykle víme.6. Šroubová válcová pružina K, ϕ ma, materiál a muíme vypočítat průměr d, délku l. Tato pružina e používá nejčatěji, může být tažná (má oka) a tlačná (rovné zakončení závitů). e vinuta z drátu. d normalizovaný průměr drátu pružiny. R poloměr vinutí pružiny R ( 5) d Pevnotní rovnice: τ K W K K R πd 6 π τ ma τ 6 DovK d k DovK Deformační podmínka: y tlačení pružiny [mm]. n počet činných závitů. A deformační práce. ) ϕ natočení drátu pružiny. A y ) K l ϕ ϕ ma G p K ϕ ) /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 K R πd po l π R n y K G l p R l G p R l π R n R 6 R n y G G π d G d yma d G n 6 R p ma y 6 R n G d y y k Tuhot pružiny k: k G d 6 R n Výpočet volné délky tlačné pružiny l o : Při maimálním provozním tlačení pružiny y ma má být mezi závity ještě minimální vůle v min,5 mm. Závity tedy nemí doednout na ebe. Celkový počet závitů: n C n + n Z n C celkový počet závitů n počet činných závitů n Z počet závěrných závitů (n Z,5 ) l n C d + (n C ) v min + y ma /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: Navrhněte tlačnou pružinu pro: ma N, R 5 mm, maimální provozní zatížení pružiny yma mm. ateriál je patentovaný ocelový drát τ DovK Pa, 5 G, 8 Pa. průměr drátu: τ K W K K R π d 6 τ ma DovK d 6 π τ DovK R 6 5 π ma, 6mm Podle normy volím drát průměru,55 mm (taré ST tr. 6, nové ST tr. 67). Počet činných závitů: 5 yma d G, 55, 8 n 5, 88 závitů 6 R 6 5 ma n z nc 8 závitů.7 Krut nekruhových průřezů Nekruhové průřezy e při kroucení bortí, proto e jejich použití vyhýbáme. Pro průřezy přibližně kruhové (šetihran, hřídel perem, drážkovaný hřídel) počítáme přibližně průměrem vepané kružnice. U obecných průřezů (čtverec, obdélník) lze najít přílušné vzorečky v literatuře a jou pouze přibližné. Př.: Zjitěte úhel zkroucení f a zkrut u [théta] tyče v obloukové míře a ve tupních, jetliže délka tyče je L m, průměr d 6 mm a modul pružnoti ve myku je 5 G, 8 Pa, a mm, N. /5
K a, Nm ) K l ϕ, 886rad G p 5 π 6, 8 8 ) 8 ϕ ϕ, 886, 6 5 π π ) ) ϕ, 886 rad ϑ, 886 l m ϕ 5 ϑ 5 na metr délky l Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Nmm Př.: Vyvrtávajícím trojem je obráběn válec dvěmi noži dle obrázku. Řezná íla N půobí kolmo na poloměr R mm. Vypočtěte vřetena, které otáčí vyvrtávacím nožem, a to tak, aby celkový úhel zkroucení na délce l, m nepřekročil hodnotu Dov,5, je li 5 G,77 Pa. Určete zkrut u. ) K l ϕ G p 8 K l ϕ, 5 π G p p d π K R 6 Nmm 8 K l ϕ, 5 π πd G 6 8 K l 8 d 9, 6mm 5 π G π, 5 π, 77, 5 ϕ,5 ϑ, l, na metr délky /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: Porovnejte úporu materiálu u plného a dutého hřídele tejné délky, přenášejícího tejný krouticí moment při tejném dovoleném napětí. Dané hodnoty: K 5 6 Nmm, poměr α d/d,7; τ DovK 6 Pa. a) Plný hřídel: τ W W ma K K W τ K DovK πd 6 K K τ DovK 5 6 d b) Dutý hřídel: W K D π 6 6W π D d D 6 8, 6W π K π 6 K ( α ) π (, 7 ) D mm 6 8, 6 8, π 75mm ( α D) π D π ( α ) D ( α ) D & 8mm d D α 8,7 57, mm Poměr hmotnotí obou hřídelů e při tejné délce a materiálu rovná poměru průřezů. m m S S m m V ρ S l ρ V ρ S πd π l ρ π 75 mm π ( D d ) 8 (, 7 ) 69mm 67 6, S l ρ S l ρ S S 6 % 9 % dutý hřídel tejných parametrů má o 9 % menší hmotnot. 6 D 6 5/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 5 Ohyb Ohyb vzniká u oučátí zatěžovaných ohybovým momentem, tj. momentem půobícím v rovině oy oučáti. U ohýbaných oučáti je napětí rozloženo po průřezu nerovnoměrně. Největší tahové napětí je na vnější traně ohybu (krajní vlákno ) a největší tlakové napětí na vnitřní traně ohybu (krajní vlákno ). ezi krajními vlákny je míto, kde je nulové napětí. Tomuto mítu pak říkáme neutrální oa. Neutrální oa je průečnice neutrální vrtvy rovinou řezu oučáti. Neutrální oa prochází těžištěm průřezu a je v ní nulové ohybové napětí (od ohybového momentu). 5. Pevnotní podmínka pro ohyb Podmínka rovnováhy momentů: O OV O ohybový moment; OV moment vnitřních il. 6/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 n n n n O OV i yi t Si yi yi yi yi i i i e e i e O W O O W O S i y i e O n S i yi i e W O O O ma DovO WO ma DovO Dovt W o průřezový modul, W O d π, W O b h 6 Pozn.: U litiny e někdy počítá napětí v obou krajních vláken, tedy tahové i tlakové napětí, protože litina má mez kluzu v tahu ai trojnáobnou meze kluzu v tlaku Dovt DovD 5. Uložení noníků 5.. Způoby uložení: Volná podpora (pouvná): Umožňuje natáčení a vodorovný poun, přenáší vilé íly. Pevná podpora (kloub): 7/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Umožňuje pouze natáčení. Přenáší obecné šikmé íly, které e rozkládají do měrů, y,b, R, R A Ay Vetknutí: Neumožňuje žádný pohyb. Přenáší šikmé íly a moment (po rozložení, ). Vazební íly jou reakční íly půobící v mítě uchycení ohýbaných oučátí (noníků). U vetknutí vzniká navíc i vazební moment. Použití podpor nebo vetknutí závií na kontrukčním upořádání noníků. RA RAy 8/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 5. Vnitřní íly a momenty Vnější íly: zatížení + reakce v uložení. Vnitřní íly: jou uvnitř v materiálu (metoda uvolňování).. Normálná íla N : Normálná íla je íla půobící v rovině řezu, která udržuje v rovnováze íly půobící ve měru oy noníku. Normálná íla v určitém mítě noníku je oučet všech normálných vnějších il po jedné traně noníku. 9/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6. Poouvající íly T : Poouvající íla půobí v mítě řezu ve měru kolmém na ou noníku a naží e tedy pounout obě čáti řezu proti obě. Kladná je ta poouvající íla, která e naží pounout levou čát nahoru proti pravé čáti. Poouvající íla v určitém mítě noníku je oučet všech příčných vnějších il po jedné traně noníku.. Ohybový moment: Ohybový moment půobí v mítě řezu a je kolmý na ou noníku. Ohybový moment v určitém mítě noníku je oučet všech ohybových momentů po jedné traně řezu. e to vnitřní moment, který je v rovnováze vnějšími momenty. /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 A B l OA OB RB (l ) l RB l + 5. Průběh poouvajících il a ohybových momentů 5.. Vetknutý noník /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Rovnováha il: RA Rovnováha momentů k B: X 5.5 Určování poouvajících il a ohybových momentů 5.5. Analytická metoda: a) Poouvající íla v libovolném průřezu e rovná algebraickému oučtu všech vnějších příčných il půobících po jedné traně noníku od míta řezu. b) Ohybový moment v libovolném průřezu noníku e rovná algebraickému oučtu momentů všech vnějších il půobících po jedné traně noníku od míta řezu. Př.: Určete průběhy poouvajících il a ohybových momentů analytickou metodou. /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 n i RA + RA RA l l o ma O O 5.5. etoda uperpozice: Používá e u noníku zatíženého větším počtem il. Analyticky určíme momentové plochy od každé íly zvlášť. Výledná momentová plocha vznikne ložením dílčích ploch (ohybové momenty od jednotlivých il e ve tejném mítě čítají). /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: reakce: n ia i a + RB (a + b) a RB a + b b RA a + b X pro b RB b OX OB Oa RB RA a /5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: 5/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 RA RB Řešení od íly : n i i RA RB oment od íly v mítě íly l l 9 o, RA oment od íly v mítě íly l l l 9 o, RB Řešení od íly : l n i i RA RB oment od íly v mítě íly l l 9 o, RA l l 9 o, RB Superpozice ( ) o, o, l l l l l 9 9 9 9 9 o ma ( ) o, o, l 9 o ma 6/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 5.6 Schwedlerova věta Udává vztah mezi plochou poouvajících il a ohybovým momentem: oment v libovolném mítě noníku e rovná obahu plochy poouvajících il po jedné traně noníku od uvažovaného míta. Z toho plyne Schwedlerova věta: Oa je v mítě, kde poouvající íla mění vé znaménko, nebo tam, kde je rovna. Pokud noník nemá pojité zatížení, je Oa vždy pod nějakou vnější ilou (včetně reakcí). Než krelení průběhů momentových ploch a provádění uperpozice, bývá rychlejší vypočítat O pod všemi ilami. 7/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: 8kN, kn, l,m, l m, l, 7m,, 6m. Určete oa a ox ( l + l ) + l 8 5, 7 +, 7 RA, 5kN l + l + l 8 ( l + l ) l + 8, + 5, RB, 55kN l + l + l 8 oa RB l 55, 7 985 Nm ( ) ( l + l ) 985 ( 55) ( 5,, 6) Nm o oa RB 8 nebo ( l ) ( l ) 5, + (5 8) (,6,) Nm o RA l + RA 8 nebo ( l ) 5, 6 8 (,6,) Nm o RA 8 8/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 5.7 Noníky e pojitým zatížením Zatížení noníku je určeno buď celkovou velikotí zatížení, kterou značíme Q nebo měrným zatížením q vztaženým na jednotku délky. Q q l N m Celou tíhu můžu nahradit myšlenou výlednicí v těžišti. n iy i A Q A Q n i i l A Q A Q V mítě : T Q q l přímka o Q q q parabola l l oa Q q l q l 9/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 5.8 Noník na dvou podporách Q RA RB Q q T RB Kontrola: Q q l l pro T o pro q l q q l q l q RB Q q parabola l q l q l q l Q l o ma 8 8 8 5/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Př.: a A b A a b ( a b) B b + ( a b) + B b Oa a b A Př.: 5/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 n ia i b Q B b + ( a + b) b ( a + b) + Q B b n ib i A b Q A b b Q a b X Q q X + a A q Q A B a Výpočet ouřadnice :. Součet il po jedné traně noníku: A Q A q q. tgα A A B b 5/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 A ( b ) ( ) b A A A b B + A B B A ( ) b + n i i B B b + A A A b Q A A Q + B q A Př.: Q q b n ib i A b + + ( a b + c) Q c 5/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 5/5 ( ) c b a b c Q A + + + n i i B A Q n i ix ( ) ( ) q a Q a A A + + q Q A A ( ) ( ) q a q q q q a q a A A A A A A A + + + Př.: Vpočtěte rozměry b a h dle obrázku. b : h :, b/h / b h DovO O O O W DovO O O W DovO l h b 6 DovO l h 6 DovO l h
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 5.9 Noníky tálé pevnoti Tyto noníky mají proměnný průřez v záviloti na ohybovém momentu. Průřez je takový, aby napětí bylo ve všech bodech přibližně kontantní. 5.9. Vetknutý noník 5.9.. Kontantní šířka O kont. W ma a W W ma pak: W W ma ma kont. b h 6 b h 6 ma l h h ma l 55/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 5.9.. Kontantní tloušťka W W ma ma b 6 b 6 ma h h l b b ma l 56/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 Teoretický tvar noníku nepoužíváme proto, že je výrobně nákladný a v mítě oamělých il nemůžeme zanedbat myk. Proto e na volném konci používá výška profilu h in h a Úpora materiálu je u teoretického noníku ai %, u praktického ai 5 %. Použití: ušetřím materiál (např. konzoly). 57/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 5.9. Noník na dvou podporách Řešíme jako dva vetknuté noníky, zatížené reakcemi. Teoretický tvar celého noníku je daný pojením teoretického tvaru obou vetknutých noníků. Praktický tvar muí ležet vždy vně teoretického tvaru, aby napětí bylo vždy menší než a U noníků kruhovým průřezem hřídelů, e obvykle používá praktický tvar noníku jako odtupňovaný. 58/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 5. Deformace v ohybu Po deformaci bude neutrální oa noníku zakřivená, říkáme jí pak průhybová čára (ohybová čára). K zakřivení dochází vlivem ohybového momentu. Deformační veličiny: ρ poloměr křivoti; α úhel natočení; y průhyb. 5.. Poloměr křivoti ρ ρ in Ε a kvadratický moment; E modul pružnoti v tahu. 5.. Úhel natočení α α S Ε S plocha momentového obrazce. 59/5
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 6/5 5.. Průhyb y S y Ε S je tatický moment plochy momentového obrazce k mítu íly. T S S T S S y Ε Ε Př.: l oa Plocha momentového obrazce: l l S oa
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 6/5 Statický moment: l l l S T S l Ε Ε ma ρ min l S Ε Ε α ma S l y Ε Ε ma Př.: ma l q l l q l Q Plocha momentového obrazce: 6 6 6 l q l l q l Q l S oa
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 6/5 Statický moment: 8 8 6 l q l Q l l Q S T S min l q E l Q E E a ρ l q l Q S Ε Ε Ε 6 6 α ma S l q l Q y Ε Ε Ε 8 8 ma Př.: Noník na dvou podporách.
Prakova 8, 76 Opava, tel.: 55 6 58, fa: 55 6 6 A B a l l S l l l 6 S ρ min S l l 8 Ε ma Ε l α ma S E l 6 Ε y ma S E l 8Ε Př.: y a y Od pojitého zatížení y Od reakce Při výpočtu průhybu noníku obvykle vzorce neodvozujeme, ale najdeme je v tabulkách. Pokud je noník zatížen více ilami nebo pojitým zatížením, používáme metodu uperpozice. 6/5