SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z FYZIKY II

VYSOKÁ ŠKOLA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ V PRAZE FAKULTA CHEMICKO-INŽENÝRSKÁ SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z FYZIKY II Doc. Ing. Joslv Hofmnn, CSc. RND. D. Pt Al z z L z + L 6 m + L z + m + L z m L L z L z m y L z m L y L

Úvod Sbík příkldů z Fyziky II j učn posluchčům Vysoké školy chmicko-tchnologické v Pz jko studijní pomůck k sminářům uvdného přdmětu. Přdmět Fyzik II j zřzn do studijních plánů bklářských pogmů jko povinně volitlný, příp. volitlný. Nvzuj n povinný přdmět Fyzik I, ktý ozšiřuj zjmén v oblstch modní fyziky spciální toi ltivity, toi lktomgntického pol, úvod do kvntové mchniky úvod do jdné částicové fyziky. Sbík obshuj řšné i nřšné příkldy. U všch nřšných příkldů jsou uvdny výsldky. Zdání vybných příkldů bylo upvno nbo přvzto z dostupné čské i zhniční littuy, ktá j citován n konci sbíky. Autoři děkují pní Pozníčkové z pomoc při fomální úpvě ttu nkslní obázků všm čtnářům z přípdné připomínky náměty. Joslv Hofmnn Pt Al Adsy utoů: Doc. Ing. Joslv Hofmnn, CSc. Joslv.Hofmnn@vscht.cz RND. D. Pt Al Pt.Al@vscht.cz Ústv fyziky měřicí tchniky VŠCHT Ph

Obsh. RELATIVNOST POHYBU, POHYB V NEINERCIÁLNÍCH SYSTÉMECH 4. Rltivnost pohybu 4. Pohyb v ninciálních vztžných systémch 4 SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY 7. Kontkc délk, diltc čsu 7. Rltivistická dynmik 7 ELEKTROMAGNETICKÉ POLE 9. Elktosttické pol v dilktiku, ngi lktosttického pol 9. Engi mgntického pol, indukovné lktické mgntické pol. Elktomgntické vlnění 4 ÚVOD DO KVANTOVÉ FYZIKY 5 4. Elktony fotony 5 4. Vlnové vlstnosti částic, d Bogliov hypotéz 6 4. Úvod do kvntové toi, vlnová funkc, opátoy 8 4.4 Řšní Schödingovy ovnic v jdnoduchých přípdch 5 KVANTOVÉ ŘEŠENÍ VODÍKOVÉHO ATOMU 5 5. Bohův modl vodíkového tomu 5 5. Kvntově mchnické řšní tomů vodíkového typu 8 6 JADERNÁ A ČÁSTICOVÁ FYZIKA 6. Zákldní vlstnosti tomových jd 6. Rdioktivit 6. Vzbná ngi jd

. Rltivnost pohybu, pohyb v ninciálních systémch. Rltivnost pohybu. Po řc pluj motoový člun ychlostí v 6 km h -. Rychlost poudu řky j v 5 m s -. Učt: ) Pod jkým úhlm α musí plout člun poti poudu, by přistál n potější stně břhu. b) Z jk dlouho přpluj člun řku šiokou d km. [α 6 ; t,9 s]. Plvc plv v řc vzhldm k vodě stálou ychlostí v,5 m s -. Rychlost poudu v řc j v,5 m s -. Učt: ) Jkou ychlostí v s plvc pohybuj vzhldm k břhům řky, jstliž plv po poudu. b) Jkou ychlostí v 4 s plvc pohybuj vzhldm k břhům řky, jstliž plv poti poudu. [v 5 m s - ; v 4 m s - ]. Po vodoovné tti jd vlk konstntní ychlostí v 5 m s -. Kpky dště pdjí v svislém směu ychlostí v 8 m s -. ) Jká j ychlost v kpk vzhldm k oknům vlku? b) Jký úhl α svíjí stopy dšťových kpk n okně vlku s svislým směm? [v 7 m s - ; α 6 ]. Pohyb v ninciálních vztžných systémch.4 Výth o hmotnosti m t s pohybuj směm vzhůu s zychlním m s -. ) Učt vlikost síly F (zdánlivou tíhu), ktou působí n podlhu člověk o hmotnosti m 8 kg. b) Učt vlikost síly F (zdánlivou tíhu), ktou působí n podlhu člověk o hmotnosti m 8 kg, pohybuj-li s výth s stjným zychlním směm dolů. [F 944,8 N; F 64,8 N].5 K stopu vgonu j n niti zvěšn kuličk o hmotnosti m. Vgon s pohybuj ovnoměně zychlně tk, ž jho ychlost s z dobu t s zvýší z hodnoty v 6 km h - n hodnotu v 8 km h -. Kuličk s odkloní od svislého směu o úhl α (viz ob..). ) Zpišt pohybový zákon po kuličku v inciálním souřdnicovém systému S, ktý j spojn s zmí. b) Zpišt pohybový zákon po kuličku v ninciálním souřdnicovém systému S, ktý j spojn s podlhou vgonu. c) Učt úhl α. ) Kuličk s vzhldm k inciálnímu systému S pohybuj s zychlním. N kuličku působí výsldnic sil R F složná z tíhové síly F G thu ln T (viz ob..) 4

y y S: S : T T m α α -m m mg mg α ) b) c) Ob.. Pohyb v inciálním ninciálním systému Pltí: F G + T m Po ozpsání do -ových y-ových složk dostnm T sin α m m g + T cosα b) Vzhldm k ninciálnímu systému spojnému s vgonm j kuličk v klidu. Pohybový zákon (podmínku ovnováhy) musí pozoovtl v ninciálním systému zpst R s uvážním výsldnic sil F zdánlivé stvčné síly F s m. Pltí: F + + G T Fs Po ozpsání do -ových y-ových složk dostnm T sin α m m g + T cosα c) Úhl α učím podělním přdchozích vzthů: v v tg α g g t odtud v v 8 6 α ctg ctg 6, 46 g t 9, 8, 6.6 Ltdlo s pohybuj ychlostí v 6 km h - opisuj přitom kužnici o poloměu m v svislé ovině. Učt ) Jkou silou F působí pilot o hmotnosti m 75 kg n sddlo v njvyšším bodě tjktoi? b) Jkou silou F působí pilot o hmotnosti m 75 kg n sddlo v njnižším bodě tjktoi? Úlohu vyřším v ninciální vztžné soustvě spojné s sddlm ltdl. Pilot j vzhldm k sddlu v klidu, podmínku ovnováhy sil působících n pilot zpíšm s uvážním tíhové síly F G, kolmé kc sddl F N zdánlivé stvčné síly F s, kt- 5

á j silou odstřdivou. V kždém bodě tjktoi z pohldu ninciální vztžné soustvy pltí, ž výsldnic sil působících n pilot F R j dán: R F F + + G Fs FN Silou FN ( FG + FS ) působí sddlo n pilot, podl zákon kc kc pilot působí n sddlo silou F F G + FS. Vlikost F této síly v njvyšším bodě tjktoi j ovn: v 6 F m g + m 75 ( 9,8+ ) 4 N,6 Vlikost síly F, ktou působí pilot n sddlo v njnižším bodě tjktoi, s vypočt: v 6 F m g + m 75 ( 9, 8+ ) 4 486 N, 6.7 Tělso o hmotnosti m kg lží n zmském ovníku. Rovníkový polomě Změ j přibližně R Z 6 4 km, úhlová ychlost zmské otc ω 7,. -5 d s -. Učt zdánlivou stvčnou sílu F s (odstřdivou sílu), ktá působí n tělso. [F s,4 N].8 Při výcviku kosmonutů s otáčl cntifug s piodou T s. Tělo kosmonut opisovlo přitom kužnici o poloměu 6 m. Vypočtět přtížní (učného násobkm tíhového zychlní g), ktému bylo vystvno tělo kosmonut. [ 6 g] ω.9 N 45 změpisné šířky dopdá kolmo n zmský povch ychlostí v m s - tělso o hmotnosti m kg. Učt vlikost zdánlivé odstřdivé síly F s vlikost Coiolisovy síly F C. Polomě Změ j R z přibližně R Z 6 4 km, úhlová ychlost zmské otc ω 7,. -5 d s - ϕ. Změpisná šířk j udán úhlm φ, ktý svíá nomál k zmskému povchu s ovinou ovníku (viz ob..). Vlikost zdánlivé odstřdivé síly F s po dnou změpisnou šířku (φ 45 ) odpovídjící polomě kužnic j ovn: 5 F s mω mω RZ cosϕ ( 7, ) 6, 4 cos 45,4 N Coiolisov síl j dán vzthm F mv C ω 5 Vlikost Coiolisovy síly F C m vω sin ( 9 + ϕ) 7,, N 6 Ob.. Uční změpisné šířky 6

Spciální toi ltivity. Kontkc délk, diltc čsu. Učt ychlostní pmty β v/c, po kté j Lontzův fkto γ, (,), (). [β,4;,995;,9999998]. Střdní dob život nhybných mionů byl nměřn jko t, µs. Střdní dob život vlmi ychlých mionů v výtysku kosmických ppsků pozoovná z Změ byl nměřn jko t 6 µs. Učt ychlost v těchto kosmických mionů vzhldm k Zmi. [v,97. 8 m s - ]. Nstbilní vysokongtická částic vstupuj do dtktou poběhn úsk L,5 mm, nž s ozpdn. Jjí ychlost vzhldm k dtktou j v,99c. Jká j jjí dob život t, tj. jk dlouho by částic stvl v dtktou do ozpdu, kdyby v něm byl v klidu? [t 4,45. - s].4 Elkton s ychlostním pmtm β,999987 s pohybuj podél osy vkuové tubic, ktá má délku L, m, jk ji měří v lbotoři pozoovtl S, ktý j vzhldm k tubici v klidu. Pozoovtl S, ktý j v klidu vzhldm k lktonu, všk zjišťuj, ž tubic s pohybuj ychlostí v βc. Jkou délku L tubic pozoovtl S nměří? [L,5 m]. Rltivistická dynmik.5 Učt ychlostní pmt β v/c Lontzův fkto γ po lkton, jhož kintická ngi j ) E k, kv b) E k, GV [) β,65 γ, b) β,9999998 γ 958].6 Učt ychlost v lktonu, jhož kintická ngi j E k MV. [v,99996. 8 m s - ].7 Částic má ychlost v,99c v lbotoní vztžné soustvě. Učt jjí kintickou ngii E k, clkovou ngii E hybnost p. Uvžujt, ž částicí j ) poton b) lkton Řšní po poton: Kintická ngi potonu j podl ltivistického vzthu j dán ozdílm clkové ngi E klidové ngi E E k E E m c ( γ ) γ v c 7

7 8 E k, 67 ( ) ( ) 5, 7 GV, 99 Clková ngi potonu j potom 7 8, 67 ( ) 9 E m c + Ek ( + 5, 7 )V (, 94 + 5, 7)GV 6,66 GV 9, 6 Hybnost potonu učím z vzthu E ( p c) + ( m c ) E ( m c ) 6, 66, 94 p GV/ c 6, 59 GV / c c c [b) po lkton E k, MV; E,6 MV; p,59 MV/c].8 Jká pác W s musí vykont, by s ychlost lktonu zvýšil o,c ) z,8c n,9c b) z,98c n,99c [) W, kv,6. -6 J b) W,5 MV,7. - J].9 Půměná dob život mionů v klidu j t, µs. Lbotoní měřní mionů pohybujících s v svzku vystupujícím z uychlovč poskytují půměnou dobu život mionů t 6,9 µs. Hmotnost mionu j 7 kát větší nž hmotnost lktonu. Učt ) ychlost v mionu vzhldm k lbotoři b) kintickou ngii E k c) hybnost p [v,84. 8 m s - ; E k 6 MV,6. - J; p 5 MV/c,68. -9 kg m s - ]. Učt kintickou ngii E k potonu vyjádřnou v MV, ktou získá poton v cyklotonu, jstliž odpovídjící poměné zvýšní hmotnosti potonu j 5 %. [E k 47 MV]. Učt ngii W v MV, ktá j kvivlntní klidové hmotnosti lktonu. [W,5 MV]. Jkou ychlostí v s musí pohybovt částic, by jjí kintická ngi E k byl kvivlntní klidové hmotnosti m částic? [v c ] 4 8

Elktomgntické pol. Elktosttické pol v dilktiku, ngi lktosttického pol. Vodivá koul o poloměu R cm ns nznámý náboj Q. Intnzit lktosttického pol v dilktiku o ltivní pmitivitě ε, v vzdálnosti 5 cm od střdu koul má vlikost E,. N C - směřuj do střdu koul. Pomocí Gussovy věty lktosttiky učt náboj Q n povchu koul. [Q -,5. -8 C]. Koiální lktický kbl s skládá z vnitřního vodič o poloměu, cm souosé válcové vodivé plochy o poloměu, cm. Posto mzi vodiči j vyplněn dilktikm o ltivní pmitivitě ε,. Souosé válcové vodič jsou nbity nábojm Q opčné polity npětí mzi nimi j U 5 V (Ob..). ) Učt hodnotu náboj Q vztžnou n jdnotku délky kblu. b) Vypočtět kpcitu C vztžnou n jdnotku délky kblu. Ob.. Koiální kbl Po výpočt intnzity lktosttického pol v postou mzi lktodmi použijm Gussovu větu. Zvolím Gussovu plochu v tvu souosé válcové plochy o poloměu. Siločáy uvžovného lktosttického pol vystupují kolmo z povchu vnitřního vodič potínjí pouz plášť Gussovy plochy, tok vktou intnzity pol oběm podstvmi válc j poto nulový ( E d S, E d S ). Výsldný tok vktou E uzvřnou válcovou plochou j dán tokm vktou E pláštěm válc o plošném obshu tdy Q E d S E d S E d S cos E π ε ε S plášť Odtud vlikost intnzity v vzdálnosti j ovn Q E π ε ε Npětí U mzi válcovými lktodmi vypočtm intgcí π, pltí Q d Q U E d π ε ε π ε ε Odtud ln 9

Q U π ε ε ln π 8, 85 5, ln,, 6 nc/m Kpcit válcového kondnzátou vztžná n jdnotku délky kblu Q C U π ε ε ln pf/m. Dvě vlké ovnoběžné kovové dsky o plošném obshu S, m jsou v dilktiku o ltivní pmitivitě ε, od sb vzdálny d 5, cm jsou nbity stjně vlkým nábojm opčného znménk. ) Učt bsolutní hodnotu náboj Q n dskách, j-li mzi dskmi homognní pol o intnzitě E 55 N C -. b) Učt npětí U mzi dskmi. [) Q,5. -9 C b) U,8 V].4 Posto mzi dskmi ovinného kondnzátou j vyplněn dilktikm o ltivní pmitivitě ε. Vlikost intnzity lktického pol v dilktiku j E kv mm -. Učt: ) Vlikost lktické indukc D v dilktiku. b) Plošnou hustotu σ volného náboj n dskách kondnzátou. c) Vlikost vktou polizc P dilktik. d) Plošnou hustotu σ p vázného náboj n povchu dilktik. ) Vlikost intnzity lktického pol E příslušnou volnému náboji n dskách. [D σ 6,6 µc m - ; P σ p 7,7 µc m - ; E MV m - ].5 Dskový kondnzáto j tvořn opčně nbitými kovovými dskmi o plošném obshu S cm, kté jsou v vzdálnosti d mm. Mzi kovovými dskmi j ovnoběžně zsunut dsk dilktik tloušťky d mm o ltivní pmitivitě ε (ob..), okolním postřdím j vkuum o ltivní pmitivitě ε. Npětí mzi kovovými dskmi U kv. Učt: ) Vlikost intnzity lktického pol E v vkuu E v dsc dilktik. b) Vlikost indukc D v postou mzi kovovými dskmi. c) Kpcitu C dskového kondnzátou. +Q ε ε Ob.. Složné dilktikum -Q Npětí mzi dskmi j dáno vzthm U E d + E d Vlikost vktou lktické indukc D s mzi dskmi nmění, poto pltí ε ε E ε ε E

Z těchto dvou vzthů učím příslušné intnzity U E 75 V mm ε d + d + ε U E 5 V mm ε d + d + ε Vlikost vktou lktické indukc D D ε ε E 8,85 75 6,64 µc m - Kpcitu kondnzátou C učím z vzthu 6 4 Q D S 6, 64 C 66, 4 pf U U.6 Učt obcně potnciální ngii E p soustvy bodových nábojů tvořných nábojm lktonu - kldným nábojm jád tomu Z, kté jsou v vzdálnosti od sb. Potnciální ngii E p této soustvy po uvžujt E p, Z j potonové číslo. [E p -k Z /].7 Podl kvkového modlu j poton složn z tří kvků: z dvou kvků up, z nichž kždý má lktický náboj Q u +/, z jdnoho kvku down s nábojm Q d -/. Přdpokládjt, ž všchny kvky jsou stjně dlko od sb v vzdálnosti,. -5 m. Učt potnciální ngii E p soustvy tří kvků z přdpokldu, ž po j nulová. [E p J].8 Učt objmovou hustotu w ngi lktického pol v vkuu, j-li intnzit lktického pol E 5 V/m. [w,. -7 J m - ]. Engi mgntického pol, indukovné lktické mgntické pol I.9 Solnoidm o délc l 85, cm, půřzu S 7, cm počtu závitů Z 95 potéká poud I 6,6 A (ob..). Učt objmovou hustotu ngi w m mgntického pol uvnitř solnoidu, j-li uvnitř solnoidu vkuum. [w m 4, J m - ]. Kuhovou vodivou smyčkou o poloměu R 5 mm potéká poud I A. J-li okolním postřdím vkuum, učt: ) Mgntickou indukci B v střdu smyčky. b) Mgntický momnt m vodivé smyčky. c) Objmovou hustotu ngi w m mgntického pol v střdu smyčky. [) B, mt b) m,79 A m c) w m,6 J m - ] B Ob.. Solnoid

du. Učt, jká musí být ychlost čsové změny npětí n dt lktodách při nbíjní vkuového dskového kondnzátou o kpcitě C, µf, by vyvoll Mwllův poud I p,5 A (ob..4). i + E - i Mwllův (posuvný) poud I p vzniká při nbíjní kondnzátou jko důsldk čsové změny toku vktou lktické indukc D plochou S mzi lktodmi kondnzátou. Vlikost vktou lktické indukc D souvisí podl Gussovy věty lktosttiky s volným nábojm Q n dskách kondnzátou. Při nbíjní kondnzátou s náboj Q s čsm mění. Pltí: d d du I p D ds Q C dt dt dt du dt C I p S,5 5 7,5 Vs 6 + i p - Ob..4 Mwllův poud di. Při čsové změně poudu 5, A s -, ktý pochází cívkou, s při smoindukci indukuj do cívky npětí ε i, mv. Učt vlstní indukčnost L cívky. dt [L 6,. - H]. Učt vlikost intnzity E indukovného lktického pol v vzdálnosti 5, cm od střdu měděného pstnc o poloměu R 8,5 cm. Pstnc j umístěn v homognním mgntickém poli kolmo n smě indukčních č (ob..5). Mgntická indukc s mění s čsm tk, ž, T s. db dt Indukovné lktické pol vzniká v důsldku jvu lktomgntické indukc. Použijm poto Fdyův indukční d zákon v tvu E d B ds, z ktého po vzdálnost od střdu pstnc plyn: dt l S db E π π dt Odtud hldná vlikost intnzity lktického pol E, pokud < R db, 5 E,, 4 mv m dt.4 Podobným postupm, jko v přdchozím příkldě., učt vlikost intnzity E indukovného lktického pol v vzdálnosti,5 cm od střdu měděného pstnc o poloměu R 8,5 cm, j-li mgntické pol pouz uvnitř pstnc, pltí údj z přdchozího příkldu.. [E 8 µv/m ] E E B R E E Ob..5 Indukovné lktické pol

. Elktomgntické vlnění dw.5 Ověřt, ž intnzit lktomgntického vlnění I wv, kd w j objmová ds dt hustot ngi v ychlost šířní lktomgntického vlnění..6 Učt intnzitu I postupné ovinné lktomgntické vlny v vkuu, jstliž mplitud mgntické indukc j B m,. -4 T. y smě šířní i E B z Ob..6 Rovinná lktomgntická vln V toii lktomgntického pol bývá zvykm chktizovt ngii přnsnou z jdnotku čsu vztžnou n jdnotkovou plochu kolmou n smě šířní v vkuu tzv. Poyntingovým vktom S S E B µ Smě Poyntingov vktou j shodný s směm šířní lktomgntického vlnění (ob..6). Potož vktoy E B E jsou n sb kolmé, B, j vlikost Poyntingov vktou c dán S E B E µ µ c Přdpokládám-li, ž vlikost intnzity E lktického pol mgntické indukc B s mění hmonicky, E m B m jsou jjich mplitudy, E E m cos ( ω t k ) B Bm cos ( ω t k ), j pktické po lináně polizovné zářní učovt střdní hodnotu Poyntingov vktou z piodu T intnzitu vlnění I dfinovt vzthm I T T T S dt E dt E µ m T T c µ c T E µ c m c B µ m 4π cos 8 4 (, ) 7 ( ω t k ) dt, MW m

kd T T cos ( ω t k ) d t E B m m c.7 Amplitud intnzity lktického pol ovinné ádiové vlny v vkuu j E m 5, V/m. Učt odpovídjící mplitudu mgntické indukc B m intnzitu vlnění I. [B m,7. -8 T I mw m - ].8 Dopdá-li světlný ppsk n ovinné ozhní dvou postřdí, částčně s v postřdí o indu lomu n odáží částčně s lám do postřdí o indu lomu n. Jký musí být úhl dopdu α B (tzv. Bwstův úhl), by odžný ppsk svíl s lomným ppskm pvý úhl? Nkslt obázk s příslušnými ppsky. [Ob..7; α n B ctg n ].9 Spočtět, pod jkým úhlm α B má dopdnout světlný ppsk v vodě n sklněnou dsku, by byl odžný ppsk úplně polizován. Ind lomu vody j n V,, ind lomu skl n S,5. [α B 48 6 ] dopdjící npolizovný ppsk α B α B β B π/ Ob..7 Polizc světl odzm odžný ppsk vzduch sklo lomný ppsk n n. Pod jkým úhlm α B musí být Slunc nd obzom, by světlo odžné od klidné vodní hldiny bylo úplně polizovné? Ind lomu vody j n V,. [α B 6 56 ]. Učt měnou stáčivost [α] vodného oztoku glukozy o koncntci k 6 g l -, jstliž s v kyvtě polimtu o délc d, m nplněné tímto oztokm nměří úhl stoční oviny polizc α 7,6. Měná stáčivost oztoku opticky ktivní látky j dfinován vzthm α 7, 6 [ ], m α kg d k, 6. Učt úhl stoční α polizční oviny světl způsobný oztokm glukozy o koncntci k g l - v kyvtě o délc d,4 m, j-li měná stáčivost oztoku glukozy [α], m kg -. [α ] 4

4 Úvod do kvntové fyziky 4. Elktony fotony 4. Zjistět v vkuu vlnovou délku λ fkvnci υ, kté odpovídjí vlstnostm fotonu o ngii E MV. [λ,4. -4 m υ,4. Hz] 4. Učt, kolik fotonů světl žluté bvy o vlnové délc λ 6 nm má v vkuu clkovou ngii E J. [. 8 ] 4. Svzk ppsků ntgnového zářní s při Comptonově jvu ozptyluj n volných lktonch pod úhlm ϑ 45 vzhldm k původnímu směu šířní (ob. 4.). Vlnová délk ozptýlného zářní v vkuu j λ,. - m. Učt: ) Engii E fotonu ozptýlného ntgnového zářní. b) Vlnovou délku λ dopdjícího ntgnového zářní. c) Hybnost p fotonu dopdjícího ntgnového zářní. Při Comptonově jvu dochází při intkci dopdjícího fotonu s volným lktonm k změně vlnové délky ozptýlného fotonu (ob. 4.). y y p' λ p - ϑ λ ϕ ) b) p - v Ob. 4. Intkc fotonu s volným lktonm při Comptonově jvu Z zákonů zchování ngi hybnosti po dokonl pužnou sážku fotonu volného lktonu o hmotnosti m lz po úhl ozptylu fotonu ϑ odvodit vzth po změnu vlnové délky λ h λ λ λ ( cosϑ) m c ) Engi fotonu ozptýlného zářní j dán v vkuu vzthm 5

4 h c 6, 6 4 E 9, 4 J λ, b) Vlnová délk dopdjícího zářní λ 4 h 6,6 λ λ cosϑ, m c 9, c) Hybnost p dopdjícího fotonu 4 h 6, 6 p 4, 45 J s m - λ, 49 8 ( ) ( cos 45 ),49 m 4.4 Foton o fkvnci υ. 9 Hz s při Comptonově jvu szí s volným lktonm ozptýlí s v směu, odchýlném od původního směu o úhl ϑ 9. Učt fkvnci υ ozptýlného fotonu. [ν,4. 9 Hz] 4.5 Mimální změn vlnové délky pozoovná při ozptylu zářní n potonch při Comptonově jvu j λ,6. -6 nm. Učt hmotnost m p potonu. [m p,7. -7 kg] 8 4. Vlnové vlstnosti částic, d Bogliov hypotéz 4.6 Učt d Bogliovu vlnovou délku těls o hmotnosti m kg, kté má ychlost v m s -. [ λ 6,6. -4 m] 4.7 Odvoďt vzthy po d Bogliovu vlnovou délku λ v závislosti n hodnotě kintické ngi E k částic. Diskutujt, zd j nutné použít ltivistické vzthy. D Bogliov vlnová délk λ j po částici o hybnosti p dán vzthm h λ p Clková ngi E částic j dán ltivistickým vzthm jko součt klidové ngi kintické ngi E m c + E k Mzi clkovou ngií E ltivistickou hybností částic p pltí E ( p c) + ( m c ) Odtud j ltivistická hybnost p částic dán vzthm E m c p c D Bogliov délk λ j potom 4 λ h p E hc m c 4 6

Doszním z clkovou ngii E dostnm vzth hc hc λ Ek + m c Ek m c Ek + E k Po ltivně pomlé částic pltí, ž kintická ngi E k j podsttně mnší nž klidová ngi m c, poto můžm tnto vzth zjdnodušit n nltivistický h λ m E k Po ltivně ychlé částic, u ktých j kintická ngi E k podsttně větší nž klidová ngi m c (clková ngi E j přibližně ovn E k ), můžm nopk vzth po d Bogliovu vlnovou délku λ zjdnodušit n ultltivistický hc hc λ E E k 4.8 Elkton j uychln npětím U 5 kv. Učt příslušnou d Bogliovu vlnovou délku λ pomocí nltivistických vzthů. Kintická ngi E k lktonu o hmotnosti m po mlé ychlosti v j dán vzthm p E k mv m D Bogliov vlnová délk λ j potom 4 h h h 6, 6 λ 7, 75 pm p m E 9 k mu 9,, 6 5 kd E k U 4.9 Učt d Bogliovu vlnovou délku λ potonu s kintickou ngií E k 5 V. Rozhodnět, zd j nutno použít ltivistické vzthy, j-li hmotnost potonu m p,67. -7 kg. [nní nutno použít ltivistické vzthy; λ 7,4. - m] 4. Engi E fotonu j stjná jko kintická ngi E k lktonu. Učt vlnovou délku fotonu λ f vlnovou délku lktonu λ po přípdy ) E, V b) E, GV Ověřt, ž přípd ) lz řšit nltivisticky, přípd b) pomocí ltivistických vzthů. [) λ f 4 nm, λ, nm b) λ f,4. -6 nm, λ,4. -6 nm] 4. Dosžitlná ozlišovcí schopnost lktonového mikoskopu j dán vlnovou délkou uychlných lktonů. Učt potřbné uychlovcí npětí U, by lktonový mikoskop měl stjnou ozlišovcí schopnost, jkou můžm získt pomocí γ-zářní o ngii E kv. Rozlišovcí schopnost lktonového mikoskopu při uychlovcím npětí U j dán d Bogliovou vlnovou délkou λ uychlného lktonu o hmotnosti m 7

h h h λ p m Ek mu Vlnová délk γ-zářní o ngii E s učí z vzthu hc λ E Poovnáním obou vzthů dostnm po uychlovcí npětí U 9 E (., 6 ) U 9, 76 kv 9 8 mc 9,, 6 (. ) 4. Nučitost polohy lktonu j 5 pm. Pomocí Hisnbgov pincipu nučitosti stnovt njmnší nučitost -ové složky hybnosti lktonu p dosžitlnou při součsném měřní polohy hybnosti lktonu. Z Hisnbgovy lc nučitosti p učím minimální nučitost -ové složky hybnosti lktonu p 4 6,6 4 p,6 kg ms 4π 5 4. Při součsném stnovní polohy hybnosti lktonu s kintickou ngií E k kv byl nučitost polohy lktonu, nm. Učt odpovídjící minimální ltivní p njistotu -ové složky hybnosti lktonu. Počítjt pomocí nltivistických p vzthů. p [,] p 4. Úvod do kvntové toi, vlnová funkc, opátoy 4.4 Zdůvodnět, kté z násldujících funkcí ψ () mohou být vlnovými funkcmi stcionáních stvů částic n intvlu (, ). Poznámk: Změřt s n splnění podmínky po končnost funkc spojitost jjí divc n uvdném intvlu. Spojitost divc s vyžduj při končné změně potnciálu. ψ ( ) po ) b) ψ ( ) sin c) ψ ( ) ψ ( ) po [) nní končná po nmá spojitou divci v b) nmá spojitou divci v c) no, popisuj zákldní stv hmonického oscilátou] 8

d 4.5 Vypočítjt kvdát opátou + d Poznámk: Aplikujt dvkát opáto d d dψ + ( + ψ ) d d + n vlnovou funkci ψ ( ) vyjádřt d d d d [ ( + ) + + + ] d d d 4.6 Opáto přiřzný -ové složc hybnosti j v souřdnicové pzntci dfinován výzm p i. Učt opáto p. [ p ] 4.7 Vkto momntu hybnosti částic vzhldm k počátku ktézského souřdnicového systému j dfinován vzthm L p. Učt opáto L z přiřzný z-ové složc vktou momntu hybnosti. Poznámk: Vyjádřt z-ovou složku momntu hybnosti použijt výz po opáto přiřzný -ové nlogicky y-ové složc hybnosti. [ Lz p y yp i( y ) ] y d 4.8 Nlznět vlstní funkc vlstní hodnoty opátou A, kté splňují opátoovou ovnici A ψ ψ d. Poznámk: Řšt ovnici funkci. d ψ ψ diskutujt splnění podmínk po vlnovou d [ ψ ±i po ] 4.9 Ověřt, ž opátoy -ové složky hybnosti pˆ i -ové souřdnic ˆ plikovné n vlnovou funkci ψ splňují vzth ˆ ( pˆ ψ ) pˆ ( ˆ ψ ) i ψ Poznámk: Obcně pltí, ž pokud uvdný komutční vzth s opátoy nní nulový, njsou příslušné vličiny, jimž jsou opátoy přiřzny, součsně měřitlné s libovolnou přsností (Hisnbgův pincip). ψ ψ ψ ˆ ( pˆ ψ ) pˆ ( ˆ ψ ) i + i ( ψ ) i + i ψ + i i ψ 9

4.4 Řšní Schödingovy ovnic v jdnoduchých přípdch 4. Zjistět njmnší ngii E lktonu v jdnoozměné nkončně hluboké potnciálové jámě o šířc L -4 m. Spktum ngií E n částic o hmotnosti m v jdnoozměné nkončně hluboké potnciálové jámě šířky L j dáno vzthm: π E n n m L Njnižší ngi po kvntové číslo n 4 π π ( 6, 6 ) E 6 J,75 GV 8 m L 8π 9, 4. Učt šířku L nkončně hluboké potnciálové jámy, má-li lkton zchycný v jámě ngii E 4,7 V v stvu po kvntové číslo n. [ L 85 pm] 4. Elkton v nkončně hluboké potnciálové jámě o šířc L 5 pm j v zákldním stvu. Jk vlkou ngii W musí bsobovt, by s dostl do stvu s kvntovým číslm n 4? [W,45. -7 J 9,5 V] 4. Elkton j v nkončně hluboké potnciálové jámě o šířc L pm. Jho clková ngi v počátčním stvu odpovídá kvntovému číslu n. Učt vlnovou délku λ v vkuu, ktou musí mít foton, by jho pohlcním přšl lkton z stvu n do stvu n 6. [λ, nm] 4.4 Částic j vázán v nkončně hluboké jámě o šířc L j v zákldním stvu (n ). Učt obcným výzm pvděpodobnost, ž s částic nlézá mzi body o souřdnicích ) L/ b) L/ L/ Stv částic v jdnoozměné nkončně hluboké potnciálové jámě o šířc L j po kvntové číslo n popsán vlnovou funkcí nπ ψ n ( ) sin ( ) n,... L L Pvděpodobnost nlzní částic v zákldním stvu (n ) mzi body o souřdnicích vypočtm z vzthu π π sin ( ) d L L L L ψ ( ) d sin ( ) d

) π L / L / cos( ) / L π P sin ( ) L π d d sin, 96 L L L L π L π L / L / cos( ) / L π b) sin ( ) L π P d d sin, 69 L L L L / L / L π L L / π 4.5 Ověřt pomocí nomovcí podmínky, ž mplitud A vlnové funkc ψ () Asin L popisující zákldní stv částic v jdnoozměné nkončně hluboké jámě o šířc L j ovn A. L 4.6 Elkton j zchycn v dvojozměné pvoúhlé nkončně hluboké potnciálové jámě o hně délky ψ4,, ψ,4 7 E L 8 pm. ) Učt ngii E, lktonu v zákldním stvu ψ,, ψ, E v lktonvoltch. b) Učt ngii pvního citovného stvu učt ψ,, ψ, E násobk dgnc této ngtické hldiny. c) Nkslt schém ngtických hldin do 5. citovného stvu. ψ, 8 E d) Učt ozdíl E ngií duhého třtího citovného stvu. ψ,, ψ, 5 E Spktum ngií částic o hmotnosti m v nkončně ψ, hluboké dvojozměné potnciálové jámě o hně L j dáno vzthm π En, n ( n ) + n y y m L n, n y,,. Ob. 4. Engtické hldiny Stv částic v této jámě j popsán vlnovou funkcí n n π y π ψ n n (, y) sin sin y, y L L L n, n y,,. ) Engi lktonu v zákldním stvu (n, n y ) 4 π π ( 6, 6 ) E, + E m L 8 π 9, ( 8 ) 9, 89 J,8 ( ) V b) Engtická hldin pvního citovného stvu j dgnovná π 9 E, E, ( + ) 5 E 4, 7 J,95 V m L c) Schém ngtických hldin do 5. citovného stvu (7 E ) j n ob. 4. d) Rozdíl ngií duhého třtího citovného stvu E E, E, E ( 8) E, 89 J,8 V 9 E ngi

4.7 Elkton j zchycn v tříozměné pvoúhlé nkončně hluboké potnciálové jámě o hně délky L 8 pm. ) Učt ngii E,, lktonu v zákldním stvu v lktonvoltch. b) Učt ngii duhého citovného stvu E,, učt násobk dgnc této ngtické hldiny. c) Nkslt schém ngtických hldin do. citovného stvu. d) Učt ozdíl ngií E pvního citovného stvu zákldního stvu. [) E,,,76 V b) E,, 5,9 V; dgnovná c) Ob. 4. d) E,76 V] ψ ψ ψ, ψ, ψ,,,,,,, ψ, ψ,,,,,,, ψ, ψ,,,,,, ψ,, E 9 E 6 E E Ob. 4. Engtické hldiny 4.8 Kvk o klidové ngii E 5 MV j uzvřn v tříozměné pvoúhlé nkončně hluboké potnciálové jámě o hně L -5 m. ) Učt jho klidovou hmotnost m. b) Učt citční ngii E z zákldního do pvního citovného stvu v MV. [) m 5 MV/c,67. -7 kg b) E 8 MV] 4.9 Kvntové řšní lináního hmonického oscilátou: ) Zpišt Schödingovu ovnici (SCHR) po linání hmonický osciláto s uvážním potnciální ngi oscilátou E k p, kd k j silová konstnt. b) Po zákldní stv oscilátou přdpokládjt řšní SCHR β v tvu ψ ( ) A, doszním do SCHR učt β ngii E oscilátou v zákldním stvu. c) Zkslt hldiny ngií E n oscilátou po kvntová čísl n,,,, pltí-li E n ( n + ) hν, kd ν j fkvnc oscilátou. d) Učt ozdíl ngií E oscilátou mzi dvěm sousdními hldinmi. d ψ ) + k ψ Eψ m d ngi n n n n m k k b) β ± E β ω hν m m c) kvidistntní hldiny (ob. 4.4) d) E hν 4. Atomy bináních molkul vykonávjí hmonické kmity, jž jsou kvivlntní kmitům lináního hmonického oscilátou o hmotnosti ovné tzv. dukovné hmotnosti molkuly. V vibčním spktu molkuly HCl přisuzujm spktální čáu o fkvnci ν E hυ Ob. 4.4 Engtické hldiny oscilátou E 7 hυ E E 5 hυ E hυ hυ

8,65 khz přchodu mzi dvěm sousdními ngtickými stvy hmonického oscilátou. Spktum ngtických hldin oscilátou o dukovné hmotnosti µ j dáno vzthm k E n ( n + ) hν ( n + ) n,,,. µ Učt silovou konstntu k. Poznámk: Rdukovnou hmotnost molkuly m C 5u, kd u,66. -7 kg. [ k 4,8. -8 N m - ] H C µ učt z údjů m H,u m m H m + m C 4. Obcné řšní půchodu částic potnciálovou biéou U < E (ob. 4.5): ) Zpišt Schödingovu ovnici po částici, ktá s pohybuj v směu osy jjíž potnciální ngi s mění skokm: E p po < E p U po. b) Zpišt stcionání řšní ψ() v obou oblstch osy, přičmž uvžujt, ž clková ngi částic E > U. c) S uvážním podmínky po spojitost vlnové funkc jjí pvní divc učt mplitudy vlnových funkcí v obou oblstch osy diskutujt pvděpodobnost odzu částic od biéy poovnáním s očkávným výsldkm klsického řšní. λ π/k E E-U E k λ π/k E E k U oblst I oblst II Ob. 4.5 Půchod částic potnciálovou biéou U <E d ψ m ) + E ψ d d ψ m + ( E U ) ψ d po < po b) i k i k m A ψ B I + k E po < i k i k m ψ II C + D k ( E U ) po

k + k k k c) A C B C D (částic dopdá n k k biéu zlv) Pvděpodobnost, s jkou s částic odzí od biéy, j dán poměm čtvců mplitud R B ( k k ) (klsické řšní: R ) A ( k + k ) 4. Obcné řšní půchodu částic potnciálovou biéou U > E (ob. 4.6) : ) Zpišt Schödingovu ovnici po částici, ktá s pohybuj v směu osy jjíž potnciální ngi s mění skokm: E p po < E p U po. b) Zpišt stcionání řšní ψ() v obou oblstch osy, přičmž uvžujt, ž clková ngi částic E < U. c) S uvážním podmínky po spojitost vlnové funkc, jjí pvní divc končnosti vlnové funkc učt mplitudy vlnových funkcí v obou oblstch osy diskutujt půběh hustoty pvděpodobnosti výskytu částic v oblsti. -K E - U E k < E U E E k Ob. 4.6 Půchod částic potnciálovou biéou U > E d ψ m ) + E ψ d d ψ m + ( E U ) ψ d po < po i k i k m b) ψ I A + B k E po < m K K ψ II C + D K ( U E) c) C (funkc nní končná) Hustot pvděpodobnosti v oblsti > ponnciálně klsá s po ψ II ( ) D K 4

5. Kvntové řšní vodíkového tomu 5. Bohův modl vodíkového tomu 5. Pomocí postulátů Bohov modlu tomu vodíku odvoďt vzth po clkovou ngii E n lktonu n n-tém obitu. Clkovou ngii E lktonu o hmotnosti m náboji -, ktý s ychlostí v pohybuj po kužnicové tjktoii o poloměu, vyjádřím jko součt kintické potnciální ngi E E k + E p m v 4π ε Elktosttická síl, ktou působí jádo tomu n lkton, j silou dostřdivou pltí pohybový zákon po ovnoměný pohyb po kužnici m v 4π ε Tnto vzth můžm upvit m v 4π ε dosdit do vzthu po clkovou ngii E E 8π ε 4π ε 8π ε Dosdím-li dál do přdposldního vzthu z ychlost v výz z Bohov postulátu v n n,,. m získám vzth po poloměy n obitů, po ktých s lktony podl Bohov modlu tomu vodíku pohybují 4π n n n,,. m ε Dosdím-li nyní tnto výsldk z polomě do vzthu po clkovou ngii lktonu E, dostnm tuto ngii jko funkci hlvního kvntového čísl n. E n m n,,. 4 π ε n E n n n,6 E - V 9 E -,6 V 4 E -,6 V 5. N zákldě vzthů odvozných v příkldu 5. vyjádřt clkovou Ob. 5. Hldiny ngií 5

ngii lktonu n n- té hldině v tomu vodíku v lktonvoltch vypočtět polomě obitu, ktý odpovídá kvntovému číslu n. Zkslt hldiny ngií po n,., 6 [E n V ; 5,. - m; Ob. 5.] n 5. Učt hodnotu Rydbgovy konstnty R H v Rydbgově vzthu R H. Po výpočt vlnové λ n m délky λ diskutujt přípd, kdy j při přchodu lktonů mzi dvěm obity vyzářn ngi odpovídjící čvné bvě spktální čáy v Blmově séii. Blmov séi spktálních č j v viditlné části spkt vlnové délky této séi odpovídjí přchodům lktonů z vyšších hldin ngií n hldinu ngi odpovídjící kvntovému číslu n (ob. 5.). Čvná bv spktální čáy potom odpovídá njmnšímu ozdílu těchto ngií, tdy přchodu lktonu z hldiny po m n hldinu po n. Příslušný ozdíl těchto hldin ngií j,6,6 E -9 E V,89 V, J hc E E λ E E R λ h c R H 9 ( E E ) 6, 6 7, 9 m 4 8 Blmov h c 5 6, 6 5 5.4 Učt clkovou ngii E lktonu v tomu vodíku po kvntové číslo n ionizční páci W, tj. páci potřbnou k uvolnění lktonu z této hldiny. [E -,5 V W,5 V] 5.5 Elkton v tomu vodíku j n hldině s njnižší ngií (v zákldním stvu). Učt: ) Engii njnižší hldiny E. b) Páci W potřbnou k přsunu lktonu z zákldního stvu n hldinu ngi po n. c) Páci W potřbnou k přsunu lktonu z zákldního stvu n hldinu ngi po n. [) E -,6. -8 J b) W,6. -8 J c) W,9. -8 J] 5.6 Učt v vkuu vlnovou délku λ v nm pvých tří spktálních č séi: ) Lymnovy (n ) b) Blmovy (n ) c) Pschnovy (n ) n 6 n 5 n 4 n n n Ob. 5. Blmov séi spkt tomu vodíku 6

d) hny těchto séií (m ) [),5,5 97, b) 656, 486, 4,9 c) 874,6 8,4 9,5 d) 9, 64,5 8,] 5.7 Vypočítjt vlnovou délku λ spktální čáy v vkuu, ktá odpovídá přchodu lktonu v tomu vodíku z stvu s kvntovým číslm m 4 do stvu s kvntovým číslm n. [λ 48 nm] 5.8 Odvoďt pomocí Bohových postulátů vzth po ngii E n n té hldiny ngtického spkt tomů vodíkového typu (mjí jdn lkton jádo s nábojm +Z). [ E n 4 m ε Z n,, ] π n 5.9 Vypočítjt vlnovou délku λ spktální čáy v vkuu, ktá odpovídá přchodu lktonu v iontu Li + z stvu s kvntovým číslm m 4 do stvu s kvntovým číslm n. [λ 5, nm] 5. Učt tzv. obitální gyomgntický pomě, tj. koficint úměnosti mzi vlikostmi obitálního mgntického momntu m obitálního momntu hybnosti L lktonu, ktý s pohybuj po obitu o poloměu. Zpišt vzth mzi oběm vktoy. Elktony obíhjící po kužnicových tjktoiích kolm jád přdstvují mlou poudovou smyčku. Elkton ns záponý náboj o vlikosti vytváří tk lktický poud I, ktý učím jko náboj pošlý půřzm (n ob. 5. npř. ploškou S) z jdnotku čsu I T π / v Vkto m obitálního mgntického momntu lktonu, ktý j spojn s uvdnou poudovou smyčkou, j kolmý k ovině tjktoi (obitu) jho ointc j dná znménkovou konvncí po smě poudu pvidlm pvé uky. Jho vlikost j I L m Ob. 5. Elkton obíhjící kolm jád po obitu S v m I S I π v Elkton o hmotnosti m pohybující s po kužnici j chktizován vktom momntu hybnosti L. Jho hodnot vzhldm k střdu kužnic j učn vzthm L m v Smě vktou L, ktý učím pvidlm pvé uky, j opčný nž smě vktou m. Vlikost momntu hybnosti L L m v 7

Pltí tdy m m L Obitální gyomgntický pomě j dán vzthm m 5. Kvntově mchnické řšní tomů vodíkového typu 5. Obitální kvntové číslo lktonu v tomu vodíku j. Učt: ) Hlvní kvntová čísl n, po ktá můž být. b) Vlikost obitálního momntu hybnosti L lktonu vzhldm k jádu. c) Půměty vktou obitálního momntu hybnosti L z do směu mgntické indukc, ktá j ointovná v směu osy z. Nkslt obázk postoového kvntování obitálního momntu hybnosti. [) n b) L 6 c) L z m m, ±, ± Ob. 5.4] L z L z L z L z z + + L z L 6 m + m + m m m 5. Učt, jký j mimální počt lktonů, kté mjí hlvní kvntové číslo n 5. Ob. 5.4 Postoové kvntování obitálního momntu hybnosti Stv lktonů v tomu vodíku j popsán čtvřicí kvntových čísl n,, m, ms : n,, ;,,, n ; m, +,,,, -, ; m s ± Po kždé kvntové číslo istuj ( + ) ůzných čísl m. Clkový počt ůzných stvů po dné n j tdy s uvžováním spinu n ( + ) [ + +... + ( n ) + ] Dn Tnto výz j itmtická posloupnost o n člnch. Jjí součt j dán vzthm + n Sn n, kd n jsou pvní n-tý čln. + ( n ) + D n n n 5 8

5. Vypočtět dv možné úhly α α mzi spinovým momntm hybnosti S kldnou poloosou z (ob. 5.5). z Vlikost spinového momntu hybnosti lktonu (spinu) j po s / Sz + S s (s + ) 4 z-ová složk spinového momntu hybnosti lktonu (spinu) α α S /4h S z ± S α ccos S z S α ccos S z ccos ccos( 54, 7 ) 5, 5.4 Nlznět hodnoty kvntových čísl m, po kté vlnová funkc φ (ϕ ) j řšním ovnic + m φ d φ splňuj stnddní podmínky. dϕ Poznámk: Uvdná ovnic j jdnou z tří difnciálních ovnic, kté s získjí při řšní Schödingovy ovnic po tom vodíku mtodou spc poměnných. [ m, ±, ± ], Ob. 5.5 Postoové kvntování spinového momntu hybnosti 5.5 S využitím násldující tbulky vlnových funkcí tomu vodíku učt souřdnici lktonu, po ktou doshuj diální hustot pvděpodobnosti R ( ) mimální hodnoty. Řšt po stv ) s b) p Poznámk: Po uvdné stvy má diální hustot pvděpodobnosti R ( ) v závislosti n jdno mimum. S z 9

Tbulk: Vlnové funkc tomu vodíku v jdnolktonovém přiblížní v cntálním poli n m R () Θ (ϑ) Φ (ϕ) π π 4 cosϑ π ± 4 sinϑ 4 ϕ π ±i [) 5,. - m b) 4 ] 5.6 Po zákldní stv lktonu v tomu vodíku ověřt, ž pltí: ) ( d R Po zákldní stv s j funkc R() d d d R 4 4 ) ( Intgál d vyřším mtodou p pts + d d 4 d + d R ) (

5.7 S využitím tbulky vlnových funkcí zpišt vzth po hustotu pvděpodobnosti ψψ výskytu lktonu v tomu vodíku ) po stv s b) po stv s / / [) ψψ b) ψψ π 8 ] π 5.8 Zpišt pvděpodobnost výskytu dp lktonu v tomu vodíku v objmovém lmntu dv, ktý j vymzn intvly sféických souřdnic (+d, ), (φ+dφ, φ) ( ϑ + dϑ, ϑ) Diskutujt závislost pvděpodobnosti výskytu lktonu n sféických souřdnicích řšt po: ) zákldní stv s b) stv p [) dp / π d sinϑ dϑ dφ / 4 b) dp d sin ϑ dϑ dφ ] 5 64π 6. Jdná částicová fyzik 6. Zákldní vlstnosti tomových jd 6. Lod Ruthfod bombdovl tnkou zltou fólii α-částicmi s kintickou ngií E k 5,5 MV. N jkou njmnší vzdálnost min s α-částic přiblížily k jádu zlt? Potonové číslo zlt Z 79. Rozmě α-částic zndbjt. α-částic s nábojm Q α jádo Au s nábojm Q Au 79 n sb působí odpudivou lktosttickou silou. Z zákon zchování ngi dostnm 9 Q Q E α Au k E p 4πε Qα QAu 79,6 4 4 8,85 5,5 4fm min 6 πε E π min 6. Spočtět, jkou minimální kintickou ngii E k musí mít podl klsické fyziky (nuvžujt tunlový jv) α-částic, by s přiblížil jádu 97 Au n vzdálnost ovnou jho poloměu. Přpokládjt, ž po polomě R jd pltí vzth: R, A / fm. [) E k MV] 6. Typická nutonová hvězd má hmotnost m,4 m Slunc hustotu ρ stjnou jko j hustot tomových jd (ρ,. 7 kg m - ). Spočtět polomě R nutonové hvězdy. Hmotnost Slunc m Slunc,99. kg. [) R 4 km] k

6. Rdioktivit 6.4 Rdioktivní izotop tuti 97 Hg s ozpdá β-ozpdm n izotop zlt 97 Au s ozpdovou konstntou λ,8 h -. N počátku j clková hmotnost izotopů tuti 97 Hg v vzoku m, mg. Spočtět: ) poločs ozpdu T / izotopu tuti 97 Hg, b) počt N izotopů tuti, kté zůstnou v vzoku po době t T /, c) ktivitu A izotopů tuti, kté zůstnou v vzoku po době t, dní. ) Po poločs ozpdu T / pltí: T/ ln / λ 64, h b) Po počt N izotopů 97 Hg n počátku ozpdu pltí: 6 m 8 N,6, kd u j tomová hmotnostní jdnotk. 7 97u 97,66 λt ln N 7 Z ozpdového zákon N N pk dostávám: N N,8 8 λt c) Aktivitu A spočtm z vzthu: A λ N λ N 6,9 Bq 6.5 Poločs α-ozpdu izotopu plutoni 9 Pu T / 4 lt. Spočtět hmotnost m izotopu hli 4 H, kté vznikn z vzoku plutoni 9 Pu o hmotnosti m, g z dobu t lt. [m 87,9 mg] 6.6 Rdionuklid P s poločsm ozpdu T / 4,8 d s používá jko znčný izotop po sldování půběhu biochmických kcí, ktých s účstní fosfo. N počátku měřní byl ktivit P A 5 Bq. Z jkou dobu t poklsn ktivit n hodnotu A 7 Bq? [t 6, d] 6.7 Vzok KCl o hmotnosti m,7 g j dioktivní ozpdá s s konstntní ktivitou A 4 49 Bq. Ukzuj s, ž s ozpdá izotop dslíku 4 K, ktý tvoří,7 % nomálního složní dslíku. Vypočtět poločs ozpdu T / dslíku 4 K. Molání hmotnost dslíku j M K 9, g mol -, molání hmotnost chlóu M Cl 5,45 g mol -. Počt N K izotopů 4 K v vzoku učím z vzthu,7 m,7,7 N N 6,,56 K A M K + M Cl 9, + 5,45 Po ozpdovou konstntu λ pltí A λ N K λ ln / T/ N K ln,56 ln 6 9 Tdy T /,95 s,5 lt A 449 6.8 Měřní vzoku honiny z Měsíc n hmotnostním spktomtu ukázl, ž pomě počtu stbilních izotopů gonu 4 A k počtu dioktivních izotopů dslíku 4 K v honině j R,. Učt stáří t honiny z přdpokldu, ž všchny izotopy gonu 4 A vznikly

dioktivním ozpdm izotopu dslíku 4 K, ktý má poločs ozpdu T /,5. 9 lt. Poznámk: λt λt Z vzthů N K N N A N ( ) po počt izotopů 4 K 4 A v čs t vyloučím nznámý počátční počt N izotopů 4 K. [t 4,7. 9 lt] 6.9 Vzok dřvěného uhlí o hmotnosti m 5, g z dávného ohniště má ktivitu izotopu uhlíku 4 C A 6, ozpdů z minutu. Vzok živého stomu o hmotnosti m, g má ktivitu izotopu uhlíku 4 C A 5, ozpdů z minutu. Učt stáří t vzoku dřvěného uhlí z přdpokldu, ž poločs ozpdu izotopu uhlíku 4 C T / 57 lt. [t 65 lt] 6. Vzbná ngi jd 6. Spočtět, kolik ngi B j třb k oddělní všch nuklonů z jád izotopu Sn, učt vzbnou ngii n jdn nuklon B/A po tnto izotop. Hmotnost potonu j m p 98,7 MV/c, hmotnost nutonu m n 99,57 MV/c, hmotnost izotopu Sn m( Sn) 66,86 MV. Po vzbnou ngii B izotopu Sn pltí: B Z m p c + N m n c - m( Sn) c 5 98,7 + 7 99,57 66,86, 54 MV Vzbná ngi n jdn nuklon j pk B/A 8,545 MV 6. Izotop unu 8 U s ozpdá α-ozpdm: 8 U 4 Th + 4 H. ) Spočtět ngii Q uvolněnou při α-ozpdu 8 U. b) Ukžt, ž 8 U s nmůž ozpdnout tk, by mitovl poton (tj. nmůž pobíht ozpd: 8 U 7 P + H). Hmotnost potonu j m p 98,7 MV/c, hmotnost nutonu m n 99,57 MV/c, vzbné ngi B( 8 U) 8,69 MV, B( 4 Th) 777,67 MV, B( 7 P) 794,7 MV, B( 4 H) 8, MV. [) Q 4,8 MV b) ngi uvolněná při ozpdu j záponá]

Někté fyzikální konstnty Konstnt Znčk Názv jdnotky Hodnot lmntání náboj coulomb,6 9 C pmitivit vku ε fd n mt ε 8,854 F m - pmbilit vku µ hny n mt µ 4π 7 H m - ychlost šířní lktomgntického vlnění v vkuu Stfnov-Boltzmnnov konstnt 8 c mt z skundu c,999 m s - σ wtt n čtvčný mt klvin n čtvtou 5,67 8 σ W m - K -4 Boltzmnnov konstnt k joul n klvin k,8 J K - Plnckov konstnt h joulskund Plnckov konstnt joulskund h 6,66 4 J s h,55 4 J s π 7 Rydbgov konstnt R H cipoký mt R H,97 m - klidová hmotnost lktonu m kilogm m 9, kg klidová hmotnost potonu m p kilogm m p,67 klidová hmotnost nutonu m n kilogm m n,675 Atomová hmotnostní jdnotk u kilogm u,66 7 7 7 Bohův polomě mt 5,9 m Bohův mgnton µ B joul n tsl µ B 9,74 kg kg kg 4 J T - Avogdov konstnt N A cipoký mol N A 6,. mol - 4

Sznm použité littuy. Hofmnn J., Ubnová M.: Fyzik I. VŠCHT Ph,. Ubnová M., Hofmnn J.: Fyzik II. VŠCHT Ph,. Hofmnn J., Šob K.: Sbík příkldů z fyziky. VŠCHT Ph, 998 4. Hllidy D., Rsnick R., Wlk J.: Fyzik. VUT v Bně-Nkldtlství VUTIUM PROMETHEUS Ph,. 5. Skál L.: Úvod do kvntové mchniky. ACADEMIA Ph, 5 6. Fománk J.: Úvod do kvntové toi.academia Ph, 4 5