= 2888,9 cm -1. Relativní atomové hmotnosti. leží stejný přechod pro molekulu H 37 Cl? Výsledek vyjádřete jako

Transkript

1 Přijímcí zkoušk n nvzující mgisterské studium Studijní progrm Fyzik - všechny obory kromě Učitelství fyziky-mtemtiky pro střední školy, Vrint A Příkld 1 Určete periodu periodického pohybu těles, které se klouzvě pohybuje po dvou nkloněných rovinách svírjících s vodorovnou rovinou úhel, resp. (viz. obrázek). V čse t = 0 je těleso volně puštěné z bodu A ve výšce h. Znedbejte všechn tření při pohybu i ztráty kinetické energie těles při dopdu z jedné roviny n druhou. A h B C Příkld Kondenzátor je tvořen dvěm soustřednými kulovými elektrodmi o poloměrech b ( < b). Spodní polovin objemu mezi elektrodmi je vyplněn dielektrikem o permitivitě 1. Vrchní polovin kondenzátoru je vyplněn dielektrikem o permitivitě. N vnitřní elektrodu je přiveden náboj Q. ) Pomocí zdných veličin (Q, 1, ) vyjádřete velikost volného náboje Q1 n té části vnitřní elektrody, která je v kontktu s dielektrikem o permitivitě 1. b) Určete velikost směr intenzity elektrického pole, respektive, v části kondenzátoru vyplněné dielektrikem o permitivitě 1, respektive, obě intenzity porovnejte. c) Odvoďte výrz pro kpcitu tohoto kondenzátoru. Příkld 3 Určete nkreslete průběh intenzity světl I(y) n stínítku při Youngově interferenčním pokusu, kdy n dvě velmi úzké rovnoběžné štěrbiny vzdálené od sebe d dopdá kolmo rovinná hrmonická vln. Stínítko je umístěno ve vzdálenosti L (L d), viz obr. Řešte pro mlé úhly od osy (y L) neuvžujte ohyb n štěrbinách. Jká je šířk s proužků interferenčního obrzce? Dosďte L = 1 m, λ = 500 nm, d = 1 mm. Příkld 4 Chlór se v přírodě vyskytuje jko izotop 35 Cl jko izotop 37 Cl. Přechod (0 1) vibrčního spektr molekuly H 35 Cl leží při vlnočtu 1 λ = 888,9 cm -1. Reltivní tomové hmotnosti 35Cl vodíku izotopu 35 Cl 37 Cl jsou A r(h) = 1, A r( 35 Cl) = 35 Ar( 37 Cl)=37. ) Při jkém vlnočtu 1 λ leží stejný přechod pro molekulu H 37 Cl? Výsledek vyjádřete jko 37Cl poměr λ 37Cl λ35cl Vodík uvžujte pouze jko izotop 1 H. Znedbejte nhrmonicitu i změny rotčních stvů molekuly (dochází i ke změně rotčního stvu o ΔJ=±1). Molekulu HCl je tedy v prvním přiblížení možné povžovt z kvntový hrmonický oscilátor. b) Kolik trnslčních, rotčních vibrčních stupňů volnosti má molekul chlóru? E 1 E

2 Příkld 1 Určete periodu periodického pohybu těles, které se klouzvě pohybuje po dvou nkloněných rovinách svírjících s vodorovnou rovinou úhel, resp. (viz. obrázek). V čse t = 0 je těleso volně puštěné z bodu A ve výšce h. Znedbejte všechn tření při pohybu i ztráty kinetické energie těles při dopdu z jedné roviny n druhou. A h B C Řešení: Předpokládejme, že n zčátku je těleso v místě A ve výšce h nd vodorovnou rovinou společnou pro A C g obě nkloněné roviny. Dle zákon zchování h B mechnické energie dorzí do míst B těleso s rychlostí v 0 = gh dále se pohybuje po dráze BC s rychlostí, která se mění během čsu podle vzthu v = v 0 t = v 0 gtsinβ Mximální výšky v místě C dosáhne těleso v čse t1, pro který pltí t 1 = v 0 gsinβ Čs, z který se vrátí těleso z bodu C do bodu B bude ten smý t1. Celkový čs pohybu po úseku BC tm zpět bude tedy T 1 = t 1 = v 0 gsinβ Anlogicky celkový čs pohybu těles tm zpět po úseku BA bude T = v 0 gsinα Period pohybu tedy bude T = T 1 + T = v 0 g ( 1 sinα + 1 sinβ ) = h g ( 1 sinα + 1 sinβ )

3 Příkld Kondenzátor je tvořen dvěm soustřednými kulovými elektrodmi o poloměrech b ( < b). Spodní polovin objemu mezi elektrodmi je vyplněn dielektrikem o permitivitě 1. Vrchní polovin kondenzátoru je vyplněn dielektrikem o permitivitě. N vnitřní elektrodu je přiveden náboj Q. ) Pomocí zdných veličin (Q, 1, ) vyjádřete velikost volného náboje Q1 n té části vnitřní elektrody, která je v kontktu s dielektrikem o permitivitě 1. b) Určete velikost směr intenzity elektrického pole, respektive, v části kondenzátoru vyplněné dielektrikem o permitivitě 1, respektive, obě intenzity porovnejte. c) Odvoďte výrz pro kpcitu tohoto kondenzátoru. E 1 E Řešení Obě elektrody předstvují ekvipotenciální plochy protože jsou nvíc rozloženy s kulovou symetrií kolem společného středu, musí být intenzit elektrického pole mezi nimi všude stejná. Náboj se přerozdělí tk, by jeho hustot byl větší v části vyplněné dielektrikem s větší hodnotou dielektrické konstnty. Q1 1 1 ) Musí pltit Q Q 1 Q zároveň z čehož plyne Q Q1 Q1 Q1 Q tedy Q 1 Q 1 b) Podle Gussov zákon pro dielektrik můžeme psát D ds Q. Z důvodu symetrie musí být směr vektoru elektrické indukce D intenzity elektrického pole E rdiální pro jejich velikost pltí: D1 r D r 1E1 r E r Q Q Protože musí pltit E E 1 E, dostáváme E ( 1 ) r což lze s využitím výsledku části ) zpst též tkto: Q1 Q E E1 E 1r r Q c) Kpcit je definován jko C. N kondenzátor lze pohlížet jko n prlelní zpojení U dvou polokulových kondenzátorů o kpcitách C1 C, kždý vyplněný jiným dielektrikem. Pro výpočet výsledné kpcity musíme nejprve spočíst npětí mezi oběm elektrodmi. K tomu lze využít výsledků získných v části ). Stejně jko intenzit elektrického pole musí i npětí mezi elektrodmi být všude stejné. Pokud je náboje Q kldný, bude větší potenciál n vnitřní elektrodě. Chceme-li získt kldnou hodnotu npětí, musíme integrovt od b do : U Edr b b Q Q 1 Q 1 1 dr ( 1 ) r ( 1 ) r b ( 1 ) b (7 bodů)

4 Kpcit části kondenzátoru vyplněné dielektrikem o permitivitě 1 tedy bude Q1 1 ( 1 ) b b C1 Q 1 U 1 Q b b Kpcitu C spočteme stejným způsobem výsledná kpcit tedy bude: b C C1 C ( 1 1) (8 bodů) b

5 Příkld 3 Určete nkreslete průběh intenzity světl I(y) n stínítku při Youngově interferenčním pokusu, kdy n dvě velmi úzké rovnoběžné štěrbiny vzdálené od sebe d dopdá kolmo rovinná hrmonická vln. Stínítko je umístěno ve vzdálenosti L (L d), viz obr. Řešte pro mlé úhly od osy (y L) neuvžujte ohyb n štěrbinách. Jká je šířk s proužků interferenčního obrzce? Dosďte L = 1 m, λ = 500 nm, d = 1 mm. Řešení Intenzit světl je dán I = cnε 0 E Celková elektrická intenzit n stínítku vzniká superpozicí dvou vln od štěrbin E = A 1 e i(kd 1 ωt) + A e i(kd ωt) (4 body) Z toho pro intenzitu dostáváme I = cnε 0 EE = cnε 0 (A 1e i(kd 1 ωt) + A e i(kd ωt) )(A 1 e i(kd 1 ωt) + A e i(kd ωt) ) = cnε 0 ( A 1 + A + A 1 A e ik d + c. c. ) = cnε 0 ( A 1 + A + A 1 A cos k d) = I 1 + I + I 1 I cos k d Protože I1 = I I0 I = I 0 ( + cos k d) = 4I 0 cos k d (8 bodů) Dráhový rozdíl d spočteme z rozdílu vzdáleností dného míst n stínítku od obou štěrbin v krtézských souřdnicích s uvážením y,d L nebo, jednodušeji, z prvoúhlého trojúhelníku Tkže Obrázek: I(y) = 4I 0 cos kdy L d = d sin α d y L = 4I 0 cos kdy L (4 body)

6 Šířk proužku je vzdálenost mezi minimy. První minimum nstává, když rgument cosinu je roven π/, tkže pro ymin pltí y min = Lπ kd = Lλ d s = y min = Lλ d (4 body) Po doszení s = 0,5 mm. ( body)

7 Příkld 4 Chlór se v přírodě vyskytuje jko izotop 35 Cl jko izotop 37 Cl. Přechod (0 1) vibrčního spektr molekuly H 35 Cl leží při vlnočtu 1 λ = 888,9 cm -1. Reltivní tomové hmotnosti 35Cl vodíku izotopu 35 Cl 37 Cl jsou A r(h) = 1, A r( 35 Cl) = 35 Ar( 37 Cl)=37. ) Při jkém vlnočtu 1 λ leží stejný přechod pro molekulu H 37 Cl? Výsledek vyjádřete jko 37Cl poměr λ 37Cl λ35cl Vodík uvžujte pouze jko izotop 1 H. Znedbejte nhrmonicitu i změny rotčních stvů molekuly (dochází i ke změně rotčního stvu o ΔJ=±1). Molekulu HCl je tedy v prvním přiblížení možné povžovt z kvntový hrmonický oscilátor. b) Kolik trnslčních, rotčních vibrčních stupňů volnosti má molekul chlóru? Řešení ) Vyjdeme z předpokldu, že při přechodu (v v ) dochází k bsorpci fotonu o energii: E fot = hc = E(v ) E(v), λ kde E(v) = (v + 1 ) ħ ω jsou energie vibrčních stvů molekul, v = 0, 1,,... (h je Plnckov konstnt, ħ je redukovná Plnckov konstnt c je rychlost světl) ve vzthu ω = k µ molekulu). vystupuje redukovná hmotnost µ = m 1m m 1 +m Pro přechod (0 1) molekuly H 35 Cl pk dostneme: hc = E(1) E(0) = (1 + 1 ) ħ ω (0 + 1 ) ħ ω = ħ ω = ħ k, λ 35Cl µ 35Cl obdobně pro přechod (0 1) molekuly H 37 Cl pk dostneme: Z toho již sndno dostneme poměr po doszení µ 35Cl = m Hm 35Cl µ 37Cl = m Hm 37Cl (pro dvoutomovou hc = ħ k λ 37Cl µ 37Cl λ 35Cl λ 37Cl = µ 35Cl µ 37Cl = A r (H)A r (35Cl)m u = 1 35 m H +m 35Cl A r (H)+A r (35Cl)m u = A r (H)A r (37Cl)m u = 1 37 m H +m 37Cl A r (H)+A r (37Cl)m u 1+35 m u = m u = m u 38 m u λ 35Cl = λ 37Cl ( body) b) Jedná se o lineární molekulu o dvou tomech, tedy 6-ti stupni volnosti. Trnslční stupně volnosti jsou 3, rotční vibrční 1 (=6-3-).