Vzorová řešení čtvrté série úloh

Transkript

1 FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fkult Msrykovy univerzity v Brně KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 8. ročník 001/00 Vzorová řešení čtvrté série úloh (5 bodů) Vzorové řešení úlohy č. 1 (8 bodů) Volný pád Měsíce Než přistoupíme k vlstnímu řešení úlohy, připomeňme první třetí Keplerův zákon pro pohyb plnet. Podle prvního Keplerov zákon se plnety pohybují po elipsách 1 (málo odlišných od kružnic), v jejichž společném ohnisku je Slunce. Třetí Keplerův zákon pk říká, že poměr druhých mocnin oběžných dob dvou plnet je roven poměru třetích mocnin hlvních poloos jejich trjektorií, tj. T1 T = = T = konst., (1) 3 kde T je oběžná dob plnety je délk hlvní poloosy její trjektorie. Abychom určili konstntu n prvé strně vzthu (1), uvžujme těleso o hmotnosti m, které se kolem Slunce pohybuje po kružnici o poloměru r. Grvitční síl, jíž n ně působí Slunce, je silou dostředivou, proto pltí m v r = GmM r, () 1 Elipsou rozumíme množinu bodů v rovině, pro něž je součet vzdáleností od dvou pevných bodů, ohnisek, roven konstntě (dvojnásobku velké poloosy elipsy). 1

2 kde G je grvitční konstnt M je hmotnost Slunce. Dosdíme-li z oběžnou rychlost těles v = πr, dostáváme po úprvě T kombincí se vzthem (1) potom T r 3 = 4π GM (3) T 3 = 4π GM = konst. (4) Keplerovy zákony všk mjí obecnější pltnost. Můžeme je npř. plikovt n pohyb těles (družic, Měsíce) kolem Země. Ve vzthu (4) pouze stčí nhrdit M M, kde M je hmotnost Země, tj. T 3 = 4π GM = konst. (5) Nyní již můžeme přistoupit k vlstnímu řešení úlohy. Předpokládejme, že Měsíc byl jistým vnějším záshem zbven své obvodové rychlosti kolem Země zčíná tedy k Zemi volně pdt. Jeho trjektorií je opět elips, která degeneruje v úsečku. Jedno z ohnisek elipsy přitom leží ve středu Země, druhé v počátečním bodě dráhy Měsíce (n tomto místě doporučujeme znovu si připomenout definici elipsy). Hlvní poloos elipsy tedy odpovídá polovině původní vzdálenosti R Země Měsíce dob volného pádu Měsíce t je polovinou oběžné doby určené ze vzthu (5). Po úprvách doszení tbulkových hodnot jednotlivých veličin vychází t = T R ( = π GM ) 3. = 5 dní. (6) Poznámk: Možná se bude některým z vás zdát zbytečné počítt hodnotu konstnty vystupující ve třetím Keplerově zákoně. Mnozí jste totiž určovli dobu volného pádu Měsíce přímo ze vzthu T = T 3. (7) Je to skutečně možné, jenom je třeb uvědomit si některé souvislosti. Třetí Keplerův zákon popisuje pohyb těles (plnet) kolem konkrétního společného objektu. My se sice zbýváme pohybem jediného těles (Měsíce), sledujeme všk jeho pohyb ve dvou různých přípdech: při obvyklém pohybu kolem Země při volném pádu. Ve vzthu (7) je tedy T 1 oběžná dob Měsíce 1 jeho vzdálenost od Země z normálních okolností, veličiny = 1 1 T = t se pk vzthují k volnému pádu Měsíce. Dodejme, že provedený výpočet pltí pouze z předpokldu m M. V opčném přípdě bychom totiž museli vzít v úvhu součsný pohyb těles i Slunce kolem jejich společného hmotného středu (srv. poznámku pod črou v řešení úlohy 5.) výsledek by byl poněkud odlišný.

3 Vzorové řešení úlohy č. (6 bodů) Částice prchu v kometárním ohonu Grvitční síl působící n částici prchu je přímo úměrná její hmotnosti. Předpokládáme-li, že částice prchu je kulová, má grvitční síl Slunce, která n ni působí, velikost F g = G M m p = G M 4 3 πr3 ρ p, (1) R R kde m p je hmotnost prchové částice, r její poloměr, ρ p hustot R její vzdálenost od Slunce. Vidíme, že grvitční síl je přímo úměrná třetí mocnině poloměru částice, tj. F g = Ar 3, kde A = G M 4 3 πρ p R. () Síl tření způsobená slunečním větrem má (podle Stokesov vzthu) velikost F t = Br, (3) kde B je konstnt úměrnosti závislá n vlstnostech prostředí, v němž se částice nchází. Poměr velikosti třecí síly velikosti grvitční síly je roven F t = B 1 F g A r. (4) Je zřejmé, že pro dosttečně mlé hodnoty poloměru částice prchu je síl tření způsobená slunečním větrem větší než grvitční síl Slunce. Sluneční vítr (tj. tok elektricky nbitých částic proudících od Slunce) tedy odfoukává mlé prchové částice z blízkosti komety ty pk vytvářejí prchový kometární ohon. Vzorové řešení úlohy č. 3 (5 bodů) Délk ohonu komety Oznčme S Slunce, K jádro komety, O konec plzmového ohonu Z Zemi (viz obrázek). K O S α β Z 3

4 Trojúhelníky ZOS ZKS jsou prvoúhlé, proto pltí SO = ZS tn (α + β), SK = ZS tn α. (1) Odtud dostáváme pro délku ohonu komety KO = SO SK = ZS [tn (α + β) tn α] = 1, 06. j. () kde 1. j. (stronomická jednotk) odpovídá střední vzdálenosti Země od Slunce, tj. 1. j. = ZS = km. (3) Vzorové řešení úlohy č. 4 (6 bodů) Rdioktivní rozpd v obálce supernov Hmotnost jednoho tomu uvžovného izotopu kobltu je v jednom kilogrmu kobltu je tedy m. = 56 1, kg. = 9, kg, (1) N 1kg = 1 kg m Z tohoto množství se z jednu sekundu rozpdne N 1kg = N 1kg N 1kg ( 1. = 1, tomů. () kde T = 77, 7 dne je zdný poločs rozpdu kobltu. Energie uvolněná rozpdem jediného tomu je podle zdání ) 1s T. = 1, tomů, (3) ε = 3, 7 MeV. = 5, J. (4) Aby byl objsněn zářivý výkon supernov P = W, musí se z jednu sekundu rozpdnout N = P. = 1, tomů. (5) ε Supernov dného výkonu tedy musí obshovt celkem N = N N 1kg. = 1, kg. = 0, 08M kobltu. (6) Poznámk: Správněji bychom měli při výpočtu uvžovt místo t=1 s velmi krátký čsový intervl t 0. Protože je ovšem 1 s 77,7 dní, je přesnost získného odhdu dostčující. 4

5 Vzorové řešení úlohy č. 5 prémiové Stbilit dvojhvězdy Je-li celková energie systému dvou hvězd, které se v dné vztžné soustvě nepohybují které nejsou grvitčně vázné, tj. jsou velmi vzdálené, nulová (podle zdání), pk celková energie grvitčně vázného systému je záporná: hvězdám totiž musíme dodt energii k tomu, by překonly vzájemné grvitční působení přestly být vázné. Podobně je celková energie nevázného systému nezáporná. Pro grvitční potenciální energii systému dvou těles o hmotnostech M 1 M, vzdálených o, lze odvodit vzth E p = G M 1M. (1) Celková mechnická energie fyzikálního dvojhvězdného systému je tedy dán vzthem E = 1 M 1v1 + 1 M v G M 1M, () z nějž doszením zdných vzthů pro rychlosti složek získáme E = G M 1M < 0. (3) Předpokládejme nyní, že u první hvězdy proběhl sféricko-symetrická exploze, při níž nedošlo ke změně její rychlosti. Pozůsttek první složky po výbuchu nechť má hmotnost M 1. Pltí M 1 = M 1 M, (4) kde jsme jko M oznčili úbytek hmotnosti hvězdy (tj. hmotnost odvržené látky). Vzhledem ke vztžné soustvě spojené s původním hmotným středem systému se sféricko-symetrická obálk pohybuje rychlostí v 1, proto získá hmotný střed 3 pozůsttku dvojhvězdy rychlost o velikosti v 0 = M 1 v 1 + M v M 1 + M = G(M1 + M ) M M 1 + M M 1 M 1 M 1 + M. (5) Celkovou energii Ē systému po explozi musíme sledovt právě v soustvě spojené s tímto novým hmotným středem dvojhvězdy. V ní má první složk rychlost o velikosti v 1 = v 1 + v 0 = G(M1 + M ) M M 1 + M, (6) 3 Hmotný střed systému n hmotných bodů o hmotnostech m i polohových vektorech r i je definován jko bod o polohovém vektoru r 0 = n i=1 m i r i n i=1 m. i Hmotný střed systému má tedy (v dné vztžné soustvě) rychlost n i=1 v 0 = m i v i n i=1 m, i kde v i je rychlost i tého hmotného bodu. 5

6 druhá složk má rychlost o velikosti v = v v 0 = G(M1 + M ) M 1 M 1 + M. (7) Pro celkovou energii systému po explozi pltí Ē = 1 M 1 (v 1) + 1 M (v ) G M 1 M = G M 1 M [ ( ) M1 + M ( )] M1 + M. M1 + M (8) Aby systém zůstl vázný, musí být tto energie záporná, proto má podmínk pro zchování dvojhvězdného systému tvr M 1 M < M 1. (9) Protože spočtené rychlosti pohybu hvězd v 1 v neodpovídjí rychlostem pro kruhovou dráhu (srv. zdání úlohy), dráh hvězd po explozi nezůstává kruhovou. 6