F1 HARMONICKÝ OSCILÁTOR Evropský sociální fond Praha & EU: Investujee do vaší budoucnosti
F1 HARMONICKÝ OSCILÁTOR V okolí inia potenciální energie ůžee vždy očekávat kity. Síla působí do inia potenciální energie, takže po vychýlení částice bude ít vždy vratný charakter. Nejednodušší tvare inia je parabolická závislost, která vede na tzv. haronické oscilace. Pokud á iniu energie obecnější tvar, ůžee ho alespoň v první přiblížení nahradit parabolickou závislostí, která je snadno řešitelná. Haronické oscilace přibližně vykonává těleso upevněné na pružině, těleso částečně ponořené do kapaliny nebo radiální vzdálenost Zeě od Slunce (osciluje ezi 147 a 151 iliony kiloetry). Za haronické oscilátory lze také považovat fotony kvanta elektroagnetického pole. Equation Chapter (Next) Section 1 Energie, síla a pohybová rovnice Představe si částici v poli potenciální energie s inie v bodě x a hodnotou inia W = W p (x ). Proveďe Taylorův rozvoj funkce W p (x) v okolí inia do druhého řádu: 1 Wp( x) Wp( x) Wp( x) ( xx) Wp( x) ( xx). (1.1) První člen je nepodstatnou konstantou jde jen o posunutí potenciální energie, které se neprojeví na průběhu síly, neboť derivace konstanty je nulová. Druhý člen je nulový, protože první derivace v iniu je nulová. Jediný podstatný člen je třetí člen, který je zodpovědný za parabolický průběh. Pokud počátek souřadnicové soustavy posunee do inia potenciální energie, dostanee 1 Wp( x) kx ; k Wp( x). (1.) Konstanta k určuje strost paraboly, u echanických soustav se jí říká tuhost oscilací. Je rovna druhé derivaci potenciální energie v iniu. Síla působící na těleso je rovna dwp F kx. (1.3) dx Síla je tedy přío úěrná výchylce a á opačný sěr (znaénko inus). Sestave nyní pohybovou rovnici a = F: x kx. (1.4) U diferenciálních rovnic bývá zvyke seřadit proěnné podle jejich klesající derivace a koeficient u nejvyšší derivace zvolit rovný jedné: F1-
k x x. (1.5) Jde o jednoduchou diferenciální rovnici druhého řádu s konstantníi koeficienty. Exponenciela a její příbuzní Před řešení rovnice (1.5) se usíe seznáit s exponenciální funkcí. Ze zápisu (1.4) je jasné, že řešení rovnice usí být funkce, jejíž druhá derivace je úěrná saotné funkci. Hledeje proto funkci, jejíž derivace je rovna funkci saotné. Pak i druhá, třetí a libovolná derivace bude rovna původní funkci. Zkrátka tato funkce bude iunní vzhlede k derivování. Hledeje takovou zvláštní funkci jako nekonečnou řadu Její derivaci provedee člen po členu: F1-3 3 4 5 1 3 4 5 f( x) c c xc x c x c x c x. 3 4 1 3 4 5 (1.6) f( x) c c x3c x 4c x 5 c x. (1.7) Pokud ají být obě poslední funkce stejné (funkce je rovna své první derivaci), usí platit: c c, c c, 3 c c, 4 c c, 5 c c, (1.8) 1 1 3 4 3 5 4 Pokud zvolíe konstantu c, ůžee dopočítat všechny koeficienty rozvoje. Volba c = povede na nulovou funkci, jakékoli nenulové číslo ná vygeneruje nái hledanou funkci. Hodnota c je nepodstatná a bude jen násobící faktore této funkce. Proto zvolíe c = 1: c 1 1 1 1 1, c 1 1, c, 3, 4, 5. c 3 c 43 c 543 (1.9) Celke snadno odhadnee obecnou forulku: 1 c n. (1.1) n! Nalezená funkce se nazývá exponenciela a její rozvoj tedy je 3 4 5 exp( x) 1 x. (1.11)! 3! 4! 5! Lze ukázat, že exponencielu je ožné zapsat také jako ocninnou funkci, tj. 3 4 5 x e 1 x. (1.1)! 3! 4! 5! Základ této funkce (Eulerovo číslo) snadno určíe, pokud položíe x = 1: 1 1 1 1 e 1 1, 7188183 (1.13)! 3! 4! 5! V ateatice je veli časté, že funkce jsou definovány za pooci nekonečných řad a většinou se z těchto řad i počítají jejich funkční hodnoty (například i ve vaší kalkulačce). Pokud z rozvoje exponencely vyberee jen sudé ocniny, dostanee hyperbolický kosinus (vzpoeňte si, že v nule á hodnotu 1 a je otočen vzhůru, podobně jako parabola). Pokud vyberee jen sudé ocniny a budee u nich střídat znaénka, dostanee obyčejný kosinus. Střídající se znaénka budou polynoy tvořící řadu otáčet střídavě dolů a nahoru, tí získáe periodickou funkci. Pokud vyberee liché ocniny, funkce se nazývá sinus hyperbolický a pokud vyberee liché ocniny a budee u nich střídat znaénka, získáe norální sinus.
Zapaatujte si: 3 4 5 exp x1 x,! 3! 4! 5! 4 6 8 cosh x 1,! 4! 6! 8! 4 6 8 cos x 1,! 4! 6! 8! (1.14) 3 5 7 9 sinh x x, 3! 5! 7! 9! 3 5 7 9 sin x x 3! 5! 7! 9! Mezi takto definovanýi funkcei je řada zajíavých vztahů, k nejznáější patří Eulerův vztah. Zkuse nalézt exponencielu s ryze iaginární arguente (za pooci její řady): 3 4 5 (i x) (i x) (i x) (i x) exp (i x) 1 (i x)! 3! 4! 5! 3 4 5 1ix i i! 3! 4! 5! 4 3 5 1 i x i i.! 4! 3! 5! V první závorce je řada pro kosinus, ve druhé řada pro sinus. Celkově tedy platí: ix e cosx isin x. (1.15) Eulerův vztah je nesírně užitečný při vyjadřování koplexních čísel, která ůžee chápat jako uspořádanou dvojici čísel v kartézské (Gaussově) rovině, ale ůžee je také přepsat za pooci aplitudy a fáze do gonioetrického tvaru: i z ( x, y) xiy AcosiAsin A cosxisinx Ae. (1.16) x Obdobných užitečných vztahů ezi gonioetrickýi a hypergeoetrickýi funkcei je celá řada a lze je dokázat přío z definice těchto funkcí za pooci řad nebo z již dokázaného Eulerova vztahu. F1-4
Zapaatujte si: ix e cosxisinx e e e e cosh x, sinh x, ix ix ix ix e e e e cos x, sin x, i cos( x) cos x, sin( x) sin x (1.17) Řešení pohybové rovnice pro haronický oscilátor Z tvaru rovnice (1.4) už víe, že řešení usí být funkce, jejíž všechny derivace jsou úěrné původní funkci. Také víe, že takovou funkcí je exponenciela, proto hledeje řešení ve tvaru: F1-5 xt () e ; xt () e ; t t t xt () e. Po dosazení výrazů do rovnice (1.5) dostanee rovnici pro λ (exponenciely se saozřejě zkrátí, neboť všechny derivace exponeniely jsou si vzájeně úěrné): k k k 1 i ; i. Nalezli jse tedy dvě řešení naší pohybové rovnice: x i kt / i kt / 1 x e ; e. (1.18) Snadno zjistíe, že násobek každého z řešení je opět řešení, stejně tak jejich součet, rozdíl nebo jakákoli lineární kobinace (řešení tvoří tzv. lineární vektorový prostor, tj. chovají se stejně jako vektory a ůžee je také tak skládat). Obecné řešení proto bude ít tvar: Fáze pohybu bude narůstat lineárně s čase: i kt / i kt / 1 xt () c e c e. (1.19) () t k/ t. (1.) Zavedee-li úhlovou frekvenci pohybu d k, (1.1) dt ůžee řešení napsat jako i t 1 i t xt () c e c e. (1.) Snadno ukážee, že toto řešení lze také zapsat jako lineární kobinaci sinů a kosinů nebo jako posunutý kosinus či jako posunutý sinus.
Zapaatujte si: Řešení rovnice pro haronický oscilátor lze zapsat v libovolné z těchto tvarů: i t 1 i t xt () c e c e, x() t acos( t) bsin( t), xt () a cos( t ), xt () b sin( t ). (1.3) Frekvence pohybu je svázána s tuhostí oscilací jednoduchý vztahe k k (1.4) Všechny zápisy (1.3) jsou ekvivalentní pokud u posledních dvou vyjádření použijee součtové vzorce, dostanee okažitě lineární kobinaci kosinu a sinu. Pokud u prvního vyjádření použijee Eulerův vztah, dostanee opět lineární kobinaci kosinu a sinu: Haronické oscilace i t 1 i t xt () c e c e cos( ) isin( ) cos( ) isin( ) c t t c t t 1 ( c c )cos( t) (ic i c )sin( t) 1 1 acos( t) bsin( t). 1. Mají parabolický průběh potenciální energie W p = kx /.. Síla je úěrná výchylce a á opačný sěr F = kx. 3. Pohybová rovnice á tvar x x, kde ω je úhlová frekvence oscilací. 4. Řešení jsou kosinové a sinové kity x(t) = a cos ωt + b sin ωt. Kdykoli narazíe na rovnici ve tvaru x x, už ji nebudee uset řešit. Budee vědět, že řešení je lineární kobinace kosinu a sinu frekvence ω! Příklad 1.1: Nalezněte integrační konstanty pro případ, že je oscilátor spuštěn s počáteční výchylkou A (x() = A, v() = ) a poté pro situaci, že je spuštěn s počáteční rychlostí v (x() =, v() = v. Řešení: Poloha a rychlost jsou dány vztahy: xt () acos( t) bsin( t), v() t x asin( t) bcos( t). (1.5) Do obou rovnic dosadíe nulový čas a počáteční podínky. Pro první případ (nenulová výchylka) vyjde kosinové řešení a pro druhý případ (nenulová rychlost) sinové řešení: x1() t Acos( t), x() t v sin( t). (1.6) F1-6
Pro jednoduchost budee v celé této kapitole používat jen kosinové řešení (s nenulovou počáteční výchylkou). Není to na úju obecnosti, neboť víe, že obecná kobinace sinu a kosinu je jen fázově posunutý kosinus, viz (1.3). Zákon zachování energie Předpokládeje haronické oscilace ve tvaru Sestave nyní výraz pro celkovou energii x() t A cos( t), v() t A sin( t). (1.7) 1 1 1 1 E v kx A cos ( t) ka sin ( t) (1.8) V první výrazu je ω = k, tedy áe 1 1 1 E ka cos ( t) ka sin ( t) ka. (1.9) Celková energie se zachovává, přelévá se ezi kinetickou a potenciální složkou. V krajní výchylce je veškerá energie v potenciální složce (1/ ka ), v rovnovážné poloze je veškerá energie v kinetické složce. Zapaatujte si Celková energie haronického oscilátoru se zachovává (E = W k +W p = 1/ ka ) a přelévá se ezi kinetickou a potenciální složkou. Hybnost oscilátoru se nezachovává (v krajní poloze je nulová, v rovnovážné poloze je nenulová). Fázový portrét Fázový portréte nazýváe graf trajektorie systéu, v něž je na vodorovné ose poloha a na svislé ose hybnost. Pro polohu a hybnost áe: xt () A cos( t), (1.3) p() t v Asin( t). Na pravé straně rovnic ponecháe jen časové závislosti, ostatní výrazy převedee nalevo: x A cos( t), p sin( t). A Obě rovnice nyní uocníe na druhou a sečtee: (1.31) F1-7 x p A A 1. (1.3) Jde o rovnici elipsy s poloosai A a A ω. Oscilátor si ůžee představit jako alou kuličku pohybující se po obvodu elipsy. Vodorovný průět pohybu kuličky odpovídá její poloze a svislý průět její hybnosti.
Funguje ale i opačná konstrukce. Představte si, že pohyb oscilátoru sníají dvě čidla. Jedno ěří polohu a druhé rychlost a tí i hybnost. Signál z prvního čidla přivedee na vodorovnou osu osciloskopu (kosinový průběh) a signál z druhého čidla na svislou osu osciloskopu (sinový průběh). Výsledný obraz bude saozřejě nái odvozená elipsa. Z hlediska ateatiky skládáe dva kolé kity stejných frekvencí posunuté ve fázi o 9. Tluené oscilace Předpokládeje, že na oscilátor nyní působí ještě tluení. Těleso zavěšené na pružině kitá například v kádince s vodou. Tluící síla je úěrná rychlosti a á opačný sěr, na pravé straně rovnice tedy budou dvě síly, haronická a tluicí: x kx x. (1.33) V rovnici nyní uspořádáe členy podle klesajících derivací a koeficient u nejvyšší derivace upravíe tak, aby byl roven jedné: k x x x. (1.34) Koeficient u první derivace popisuje velikost tluení, označíe ho δ (jde jen o označení, ukáže se, že s faktore bude výsledný vztah jednodušší). Koeficient u druhé derivace je druhou ocninou frekvence netlueného oscilátoru, označíe ji ω. Máe tedy řešit jednoduchou rovnici xx x; (1.35) k. Jde o lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantníi koeficienty. Má-li rovnice platit, usí být hledaná funkce úěrná své první i druhé derivaci. Jediná funkce s takovou vlastností je exponenciela, proto předpokládeje, že řešení á tvar: t xt () e, t xt () e, (1.36) t xt () e. Po dosazení do pohybové rovnice (1.35) a následné zkrácení exponenciel áe rovnici která á řešení, (1.37) 1,. (1.38) F1-8
Pro velká δ > ω áe dvě reálná řešení a žádné oscilace se nekonají. Hovoříe o tzv. přetluené (aperiodické) kitu. Tluení je natolik veliké, že se oscilátor bez kitů vrátí do rovnovážné polohy. Naopak pro slabé tluení δ < ω áe dvě koplexní řešení 1, i. (1.39) Poloha oscilátoru bude dána lineární kobinací obou nalezených řešení, tj. 1t t t i t i t xt () c1e ce =e c1e ce. Superpozici kitajících exponenciel ůžee opět napsat jako superpozici kosinu a sinu t x() t e acos t bsin t. Předpokládeje kit s počáteční nulovou rychlostí a nenulovou výchylkou A : Aplituda, fáze kitů a úhlová frekvence budou t (1.4) (1.41) x() t A e cos t. (1.4) At () Ae, t () t t, (1.43) d dt Aplituda kitů klesá exponenciálně s čase. Koeficiente u času je paraetr δ zavedený výše. Fáze kitů roste lineárně s čase. Úhlová frekvence je nižší než u netluených kitů. Časový vývoj bude dát exponenciálně tluený kosine. Fázový portrét bude spirála:. Často používanou veličinou je logaritický dekreent útluu. Jde o přirozený logaritus podílu aplitudy v nějaké čase a aplitudy v čase o periodu pozdější: t Ae ( tt) At () T ln ln ln e T. At ( T) A e Energie oscilací je úěrná druhé ocnině aplitudy, proto á tvar (1.44) t Et () Ee. (1.45) F1-9
Zapaatujte si Tluené oscilace ají tvar: x(t) = A(t) cos (ωt). Frekvence je dána vztahe: ω = (ω δ ) 1/. Tluení sníží frekvenci. Aplituda exponenciálně klesá: A(t)=A exp( δt). Energie klesá s kvadráte aplitudy: E(t)=E exp( δt). Logaritus podílu aplitud po jedné periodě (dekreent útluu) je Λ = δt. Fázový portréte tluených oscilací je spirála. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru Na závěr určee klasickou hustotu pravděpodobnosti w ( x ) výskytu částice ezi krajníi polohai A, A. Pro pravděpodobnost, že se částice nachází v okolí Δx bodu x platí: Δt Δ x v( x) P Δ x, T v( x) (1.46) kde T je perioda pohybu a Δt je doba, po kterou částice pobývá v okolí bodu x. Okolí prolétá za periodu T částice dvakrát (ta a zpět), proto je v čitateli Δt. Hustota pravděpodobnosti je dp wx ( ). (1.47) d x v ( x) Závislost v (x) určíe ze zákona zachování energie Konečný vztah á tvar 1 1 1 v x A v ( x) A x. (1.48) 1 wx ( ). A x (1.49) Hustota pravděpodobnosti výskytu tělesa je nejvyšší v bodech obratu A, A a nejnižší v ístě inia potenciální energie. Nelekejte se nekonečné hodnoty hustoty pravděpodobnosti v krajních bodech. Skutečný sysl á jen pravděpodobnost výskytu tělesa v intervalu <a, b> daná vztahe: b Pab (, ) wx ( )d x. (1.5) Celková pravděpodobnost výskytu částice v oblasti ( A, A ) je rovna jedné: A A A a A 1 1 x wx ( )dx dx arcsin 1. A x A A (1.51) A F1-1
Zapaatujte si Pravděpodobnost výskytu oscilátoru je nejvyšší v ístech krajní výchylky. Hustota pravděpodobnosti je zde nekonečná, nicéně pravděpodobnost v každé konečné intervalu je konečná. Nejnižší pravděpodobnost výskytu je v rovnovážné poloze, kde á oscilátor nejvyšší rychlost Součet (integrál) všech pravděpodobností je roven 1. V závěrečné části si spočtee některé jednoduché příklady na haronické oscilace. Zkuavka ve vodě Příklad 1.: Zkuavka zatížená broky se pohupuje na vodní hladině. Určete frekvenci a periodu kitů. Průřez zkuavky je S = 1 c, hotnost zkuavky s broky = 4 g, hustota vody 1 g/c 3 a tíhové zrychlení předpokládejte 1 /s. Předpokládejte, že kity zkuavky neovlivní výšku hladiny v kádince. Řešení: Předpokládeje, že na začátku je zkuavka v klidu, tj. tíhová síla je právě kopenzována vztlakovou silou. Na zkuavce si uděláe rysku nebo nakreslíe značku, která je přesně v počátku souřadnic spojených s kádinku. Poté do zkuavky strčíe. Naše ryska se začne spolu se zkuavkou vychylovat tu na jednu a tu na druhou stranu od počátku souřadnicového systéu (v rovnovážné poloze je ryska v počátku souřadnic pevných vzhlede k okolí). Porušíe-li rovnováhu, objeví se vratná vztlaková síla a kity zkuavky ůžee popsat pohybovou rovnicí: F1-11
y ps y g y S. (1.5) Tuto rovnici uvedee na standardní tvar gs y y. (1.53) Jde o rovnici haronických kitů, koeficient u nulté derivace je druhou ocninou úhlové frekvence, tj. gs. (1.54) Periodu nyní snadno určíe ze vztahu ω = π/t: T. (1.55) gs Po dosazení číselných hodnot (nezapoeňte je převést do soustavy jednotek SI!) dostanee úhlovou frekvenci kitů zkuavky ω = 5 s 1 a periodu T 1,6 s. Tunel skrze Zei Příklad 1.3: Představte si, že napříč Zeí je vystavěn tunel, do kterého vhodíe nějaký předět. Jaký pohyb bude vykonávat? Vrátí se někdy zpět? Jestliže ano, kdy? Předpokládejte, že Zei půjde provrtat a vnitřní teplo a tlak tunel nezničí. Těleso se při průletu neroztaví. Hustota Zeě je konstantní. Poloěr Zeě je R = 6 4 k a hotnost M = 6 1 4 kg. Řešení: Lze ukázat (ateatiku k tou zatí neznáte), že na předět o hotnosti působí gravitačně jen část Zeě uvnitř poloěru r(t), na které se právě těleso nachází. Vliv vnějších částí se přesně vyruší. Podíl hotnosti vnitřní části ku hotnosti celé Zeě bude roven podílu příslušných objeů, tj. 3 3 3 r M 3 M () r M () r M R R. (1.56) Nyní již snadno sestavíe pohybovou rovnici letícího tělesa F1-1
M () r r G r. (1.57) Po dosazení za M a úpravě rovnice na standardní tvar (tj. převedee všechny členy na jednu stranu a upravíe tak, aby koeficient u nejvyšší derivace byl roven jedné) dostanee rovnici haronických kitů M r G r. (1.58) 3 R Koeficient u nulté derivace je opět druhou ocninou úhlové frekvence, tj. Periodu určíe ze vztahu ω = π/t: M G. (1.59) R 3 T 3 R. (1.6) GM Po dosazení zjistíe, že předět hozený do tunelu se vrátí za 1,4 hodiny. Vibrující olekula Příklad 1.4: Předpokládejte, že dvojatoová olekula á potenciální energii danou jednoduchý potenciále Wp W 1exp ( rr). (1.61) Proěnná r označuje vzdálenost atoů v olekule. Nakreslete průběh potenciální energie, diskutujte oblast přitažlivých a odpudivých sil. Nalezněte úhlovou frekvenci oscilací. Řešení: Z fyzikálního hlediska je vzdálenost r nezáporná, pro vyšetření průběhu ůžee ale využít celý definiční obor, tj. reálnou osu. V krajních bodech definičního oboru platí li W ( r) W. (1.6) r p Pro určení průběhu naleznee první a druhou derivaci zadané funkce: d W dr dwp W( rr)exp ( rr) ; dr. (1.63) exp ( ) 4 ( ) exp ( ). p W rr W rr rr Položíe-li první derivaci rovnou nule, získáe body podezřelé z extréu. Jediný řešení je hodnota r r, (1.64) ve které á saotná funkce nulovou hodnotu (tedy usí jít o iniu: F1-13
Jde o průběh potenciální energie s inie v r. Pro r < r je síla odpudivá a pro r > r je síla přitažlivá (íří vždy k iniu potenciální energie). Výsledný pohybe proto budou kity. Potenciál nahradíe poocí Taylorova rozvoje parabolickou závislostí 1 Wp() r k( rr) ; k Wp( r) W,. (1.65) Nezapoeňte, že pro určení tuhosti oscilací usíe do druhé derivace dosadit iniu, tedy r. Standardní způsobe nyní určíe úhlovou frekvenci kitů olekuly: k W. (1.66) Zeě jako haronický oscilátor Příklad 1.5: Zeě obíhá kole Slunce po elipse s alou excentricitou. Vzdálenost od Slunce proto periodicky kolísá. Určete frekvenci a periodu těchto oscilací ze znalosti průběhu efektivní potenciální energie (součtu potenciální a rotační energie). Předpokládejte, že oent hybnosti Zeě je b =,7 1 4 kg s 1, hotnost Zeě = 6 1 4 kg, hotnost Slunce M = 1 3 kg a gravitační konstanta G = 6,7 1 11 N kg. Řešení: Při odvození eliptické dráhy planety jse odvodili energii obíhající planety (8.9): 1 b E r G r M. (1.67) r Druhý člen je závislý pouze na poloze a ůžee ho proto přiřadit k potenciální energii. Interpretace členu jako kinetického nebo potenciálního je relativní a závisí na úhlu našeho pohledu. Zaveďe tzv. efektivní potenciální energii: 1 E r Weff (); r Weff r G r b M (). r Z první rovnice snadno určíe radiální rychlost tělesa (1.68) r EWeff () r (1.69) F1-14
Je zjevné, že pohyb se ůže konat jedině v takových oblastech efektivní potenciální energie, kde je arguent odocniny nezáporný, tj. platí E W eff () r. (1.7) Průběh efektivní potenciální energie je znázorněn na obrázku. Z něho je patrné, že pro E > je pohyb neoezený, r <r in, ), pohyb se koná po hyperbole. Naopak pro E < je pohyb oezený, r <r in, r ax > a pohyb se koná po elipse. Liitníi případy jsou E = (pohyb po parabole) a E = E in (pohyb po kružnici r = r ). Bílou oblastí je označen vázaný pohyb. Pohyb Zeě kole Slunce lze tedy chápat jako pohyb v efektivní potenciální energii v okolí inia. Takový pohyb je přibližně haronický radiální vzdálenost Zeě od Slunce nepatrně periodicky kolísá, v přísluní je Zeě blíže ke Slunci, v odsluní dále. Potenciální energii lze v okolí inia nahradit parabolickou závislostí. Standardní postupe určíe iniu efektivní potenciální energie a tuhost oscilací. Z tuhosti pak již snadno naleznee periodu pohybu: r b 6 151 k ; G M 4 7 4 G M k Weff ( r ) ; 6 b (1.71) T b 365 dní. 4 6 4 6 3 k / G M / b G M 3 Hodně štěstí u zkoušek, Petr Kulhánek, 1. března 13 F1-15