ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 3 DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc.
OBSAH 1. Úvod. Základní výpočtový model v rotujícím prostoru 3. Základní výpočtový model rotoru (Lavalův rotor) 4. Ukázka řešených aplikací
Rotující sstém Úvod do modelování v mechanice (UMM) Základní výpočtový model (n = ) v rotujícím souřadnicovém sstému Složk rchlosti tělesa v x = xɺ ω, v = ɺ + ω x Lagrangeov rovnice d dt E xɺ k E x k + E p x Kinetická energie E k 1 = m ɺ [( ) ( ) ] xɺ ω + + ω x Potenciální energie pružin = 0, d dt E E ɺ 1 p = kx x + k E k 1 k E + p = 0 Matematický model (pohbové rovnice): ( k m ) x = 0, mxɺ mωɺ + x ω ɺ m + m x + ( k mω ) = 0 ɺɺ ωɺ
Přepis do maticového tvaru Matematický model v maticovém tvaru pro ( ) 0 q K K Gq q M = + + ɺ ɺ ɺ d ω ω [ ] T x q = = + + 0 0 0 0 0 0 0 0 x m k m k x m m x m m x ω ω ω ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ antismetrická matice groskopických účinků provázanost pohbu ve směrech x, není pozitivně definitní nestabilita ( ) ω K > m k m k x, min ω
Základní výpočtový model rotoru (n = ) v pevném souřadnicovém sstému (Laval, teorie Jeffcott 1919) Pohbová rovnice ve vektorovém tvaru (.NZ) HORNÍ LOŽISKO OSA HŘÍDELE KOTOUČ ma S = F Parametr: m hmotnost kotouče k. příčná tuhost hřídele... excentricita e = SH m ɺɺ mz ɺɺ S S = k = kz H H SPODNÍ LOŽISKO Vztah mezi souřadnicemi středu hmotnosti (těžiště) kotouče S a středu hřídele H S z S = = + ecosω t Matematický model rotoru mɺɺ mɺɺ z H H z + k + kz H H H H + esinω t = meω cosω t = meω sinω t Soustava dvou nezávislých ODR. řádu
Partikulární řešení pohbových rovnic H = Y cosω t, z = Z sinω t r = Y = Z H mω Y cosω t + k Y cosω t = meω cosω t H dráha středu hřídele je kružnice o poloměru r H Amplitud (maximální výchlk) Amplitudová charakteristika meω Y = = k mω Z Kritické otáčk (pro ) ω krit = k m Y [ rad / s], = Z 30 nkrit = ω π krit [ ot / min]
APLIKACE Kmitání olopatkovaného disku vbuzené aerodnamickými silami proudem pár - Vtvořit model rotujícího olopatkovaného disku rotoru vsokotlakového dílu turbín JE Temelín - Aplikovat metodu modelování založenou na dekompozici sstému na dva subsstém disk (ANSYS) a olopatkování (MATLAB), modelování vazeb mezi lopatkami a diskem a na redukci počtu stupňů volnosti - Všetřit kmitání lopatek vvolané proudem pár (MATLAB)
Schéma olopatkovaného disku
Campbellův diagram 1000 k = 5450 45 40 35 30 5 0 18 15 f 1 f 0 14 f 19 900 f 18 13 f 17 f 16 800 1 f 15 f 14 11 f 13 f i [Hz] 700 10 f 1 f 11 f 10 600 9 f 9 f 8 500 k=8 f 7 f 6 f 5 f 4 400 0 500 1000 1500 000 500 3000 3500 4000 ω [RPM] f 3 f f 1
Modelování kmitání automobilové převodovk vbuzené kinematickými úchlkami převodového poměru - Vtvořit model automobilové převodovk Škoda MQ00 při zařazeném. převodovém stupni - Vvinout metodu modelování založenou na dekompozici sstému na 4 subsstém hnací hřídel, předlohový hřídel, diferenciál s poloosami (MATLAB) a skříň převodovk (ANSYS) - Modelovat ložiskové a zubové vazb (MATLAB) - Vtvořit komplexní model převodovk s redukovaným počtem stupňů volnosti a vužití jej pro výpočet kmitání hřídelů a hluku vzařovaného stěnami převodové skříně
Převodovka Škoda MQ00
Modelování a počítačová simulace nelineárních kmitů převodových ústrojí v důsledku rázových jevů v ozubení - Rozšířit lineární model převodového ústrojí s ozubenými kol respektováním nelinearit v ložiskových a zubových vazbách - Vvinout metodu modelování rozsáhlých sstémů s nelineárními vazbami - Všetřit hraniční křivk mezi lineárním a nelineárním (s ráz) kmitáním převodového ústrojí v závislosti na otáčkách a hnacím momentu motoru (MATLAB) - Analzovat vliv nelineárních jevů prostřednictvím fázových trajektorií a bifurkačních diagramů pro deformace ozubení (MATLAB)
Převodovka Škoda MQ00 Stupně volnosti modelu před kondenzací N1=198, N=140, N3=36, N4=166816; po kondenzaci M 1 =3, M =8, M 3 =14, M 4 =70 M=144
Bifurkační diagram deformace ozubení