Financial calculus Chapter 6 Bigger models

Financial calculus Chapter 6 Bigger models Tomáš Hanzák Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK Praha Seminář Stochastické modelování v ekonomii a financích 1.11. 2010 Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 1 / 32

Obsah 6.1 Obecný akciový model 1 6.1 Obecný akciový model 2 3 4 5 6 Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 2 / 32

Black-Scholesův model Black-Scholesův model Zobecněný model Ocenění kontraktu Připomeňme si základní Black-Scholesův model trhu jedné akcie a jednoho dluhopisu. Použijme zápis pomocí příslušých stochastických diferenciálních rovnic (SDE): db t = rb t dt, ds t = S t (σdw t + µdt). B t = exp(rt) [ je cena dluhopisu v čase t, S t = S 0 exp σ t 0 dw s + ( ] µ 1 2 σ2) t je cena akcie v čase t a W t je Brownův pohyb vzhledem k míře P. Dále r je bezriziková úroková míra dluhopisu, σ volatilita ceny akcie a µ její drift. Důležité: r, σ a µ jsou pevné konstanty. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 3 / 32

Zobecněný model 6.1 Obecný akciový model Black-Scholesův model Zobecněný model Ocenění kontraktu Zobecněme model o promněnlivost a náhodnost úrokové míry, volatility a driftu: db t = r t B t dt, ds t = S t (σ t dw t + µ t dt). Konstanty r, σ a µ jsou nyní nahrazeny obecnými (pouze potřebně integrovatelnými) F t -adaptovanými procesy r t, σ t a µ t (F t je filtrace W t ). Řešením výše uvedených SDE je ( t ) B t = exp r s ds, 0 [ t S t = S 0 exp 0 t σ s dw s + 0 ( µ s 1 ) ] 2 σ2 s ds. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 4 / 32

Ocenění kontraktu (1) Black-Scholesův model Zobecněný model Ocenění kontraktu Nyní chceme ocenit kontrakt (finační derivát) X s maturitou T a najít k němu příslušnou replikační strategii. Postupujeme ve stejných krocích jako vždy předtím. Nejprve potřebujeme najít míru Q P takovou, že diskontovaná cena akcie v čase t, Z t = Bt 1 S t, bude vůči ní martingal. Podle C-M-G věty existuje pro γ t µt rt σ t (tržní cena rizika) míra Q taková, že W t W t + t 0 γ sds je Q-Brownův pohyb. Pak dz t = σ t Z t d W t a Z t je Q-martingal. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 5 / 32

Ocenění kontraktu (2) Black-Scholesův model Zobecněný model Ocenění kontraktu Proces E t E Q ( B 1 T X F t) je Q-martingal. Podle věty o reprezentaci martingalů pak lze psát E t = E 0 + t 0 φ sdz s, kde φ t je F t -adaptovaný proces. Toto φ t bude množství akcie v čase t v replikačním portfoliu a ψ t E t φ t Z t bude množství drženého dluhopisu v čase t. Portfolio (φ, ψ) je samofinancující a jeho hodnota v čase t je V t φ t S t + ψ t B t = B t E t. Platí V T = X a V t je arbitrážní cena kontraktu X v čase t. Při obecném tvaru r t, σ t a µ t neumíme V t vyjádřit analyticky a počítáme ji numericky. Dále lze použít aproximace ψ t Vt S t. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 6 / 32

Log-normální modely Příklad: Black-Scholesův model Příklad: měnová call opce Sdružené log-normální rozdělení cen Je-li cena modelovaného volatilního aktiva log-normálně rozdělená vzhledem k jeho ekvivalentní martingalové míře (EMM) Q, pak dokážeme odvodit analytický vzorec pro cenu call opce X na toto aktivum (viz příklady dále). Příjemné je, že driftová změna míry z P na Q zachovává log-normalitu marginálních rozdělení cen aktiv. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 7 / 32

Příklad: Black-Scholesův model Příklad: měnová call opce Sdružené log-normální rozdělení cen Black-Scholesův vzorec pro cenu call opce V základním Black-Scholesově modelu B t = exp(rt), S t = S 0 exp (σw t + µt). s konstantními r, σ a µ je S t log-normálně rozdělená n.v. Forwardová cena v čase 0 na nákup akcie v čase T je F S 0 e rt. Hodnota call opce v čase 0 na nákup akcie v čase T za cenu k je ( log V 0 = e [F rt F k Φ + ) ( 1 2 σ2 T log F σ k kφ )] 1 2 σ2 T T σ. T Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 8 / 32

Cena měnové call opce Příklad: Black-Scholesův model Příklad: měnová call opce Sdružené log-normální rozdělení cen Necht B t = e rt je dolarový dluhopis, D t = e ut librový dluhopis a směnný kurz USD/GBP je C t = C 0 exp (σw t + µt). Dolarově diskontovaná cena librového dluhopisu Z t = C 0 exp [σw t + (µ + u r)t] je log-normálně rozdělená n.v. vzhledem k původní míře P i k EMM Q. Hodnota call opce v čase 0 na nákup librového dluhopisu v čase T za cenu k dolarů je ( log V 0 = e [F rt F k Φ + ) ( 1 2 σ2 T log F σ k kφ )] 1 2 σ2 T T σ, T kde F = E Q (C T ) je opět příslušná forwardová cena. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 9 / 32

Sdružené log-normální rozdělení cen Příklad: Black-Scholesův model Příklad: měnová call opce Sdružené log-normální rozdělení cen Cena akcie S T a cena dluhopisu B T v čase T jsou sdruženě log-normálně rozdělené vzhledem k EMM Q, var log(s T ) = σ1 2T, var log(b 1 T ) = σ2 2T a ρ je jejich korelace. Tvrzení Forwardová cena v čase 0 za nákup S T v čase T je F = E Q(B 1 T S T ) E Q (B 1 T ) = exp(ρσ 1 σ 2 T )E Q (S T ) a cena call opce v čase 0 na nákup S T za cenu k v čase T je [ ( log V 0 = E Q (B 1 F T ) k F Φ + 1 2 σ2 1 T ) ( log F k kφ 1 2 σ2 1 T )]. σ 1 T σ 1 T Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 10 / 32

Vícefaktorový model více akcíı Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Black-Scholesův model obsahuje dluhopis a (jen) jednu akcii s volatilní cenou. Zdrojem její volatility je (jen) jeden Brownův pohyb. Rozšíření: více akcíı s volatilní cenou v rámci jednoho modelu. Modelujeme nejen cenu každé akcie zvlášt, ale také vzájemnou korelaci vývoje jejich cen. Aby tato korelace nebyla patologicky stoprocentní, potřebujeme zavést také více nezávislých zdrojů volatility. Potřebujeme tedy model vystavět na n-rozměrném Brownově pohyb. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 11 / 32

n-rozměrný Brownův pohyb Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Uvažujme na stejném pravděpodobnostním prostoru n Brownových pohybů Wt i, i = 1, 2,..., n vzhledem ke společné míře P. Procesy W i t necht jsou vzájemně zcela nezávislé. Pak (W 1 t,..., W n t ) bude n-rozměrný Brownův pohyb. Vzájemnou korelovanost vývoje cen akcíı zajistíme mixem různých W i t v rovnici pro jednu akcii. F t bude nyní označovat filtraci celého n-rozměrného náhodného procesu (Wt 1,..., Wt n ). Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 12 / 32

Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Proces adaptovaný na n-rozměrný Brownův pohyb (1) Definice Stochastický proces X je spojitý proces (X t : t 0), který lze napsat jako n t t X t = X 0 + σ i (s)dws i + µ(s)ds, 0 0 t 0 i=1 kde [ σ 1,..., σ n a µ jsou náhodné F t -adaptované procesy takové, že i σ2 i (s) + µ s ] ds < + s.j. t. Diferenciální tvar rovnice pro X t je n dx t = σ i (t)dwt i + µ(t)dt. i=1 Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 13 / 32

Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Proces adaptovaný na n-rozměrný Brownův pohyb (2) Drift µ t procesu X t zůstává ve stejné podobě. Místo skalární volatility σ(t) však nyní pracujeme s vektorovou volatilitou σ 1 (t),..., σ n (t), jedna složka pro každý z n faktorů. Celková volatilita X t v čase t je σ1 2(t) +... + σ2 n(t) (plyne z nezávislosti W i t ). Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 14 / 32

Vícefaktorový Itôův vzorec Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Vícefaktorový Itôův vzorec Je-li X stochastický proces splňující dx t = n i=1 σ i(s)dwt i + µ(t)dt a f je deterministická dvakrát spojitě diferencovatelná funkce, pak Y t f (X t ) je také stochastický proces s SDE tvaru [ ] n dy t = σ i (t)f (X t )dwt i + µ(t)f (X t ) + 1 n σi 2 (t)f (X t ) dt. 2 i=1 i=1 Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 15 / 32

Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Diferenciál součinu stochastických procesů (vícefaktorový) Diferenciál součinu (vícefaktorový) Je-li X stochastický proces splňující dx t = n i=1 σ i(s)dwt i + µ(t)dt a Y jiný stochastický proces splňující dy t = n i=1 ρ i(s)dwt i + ν(t)dt, pak X t Y t je také stochastický proces a platí [ n ] d(x t Y t ) = X t dy t + Y t dx t + σ i (t)ρ i (t) dt. i=1 Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 16 / 32

Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Věta (Cameron-Martin-Girsanov, vícefaktorová) Věta (Cameron-Martin-Girsanov, vícefaktorová) Necht W = (W 1,..., W n ) je n-rozměrný Brownův pohyb podle míry P a γ t = (γ ( t 1,..., γt n ) je F t -adaptovaný n-rozměrný proces splňující E P exp 1 ) T 2 0 γ t 2 dt <. Bud W t i Wt i + t 0 γi sds. Pak existuje míra Q ekvivalentní míře P taková, že W = ( W 1,..., W n ) je n-rozměrný Brownův pohyb pro t [0, T ] vzhledem k míře Q. Platí i opačné tvrzení, přesně jako v jednofaktorovém případě. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 17 / 32

Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Věta o reprezentaci martingalů (vícefaktorová) Věta o reprezentaci martingalů (vícefaktorová) Necht W je n-rozměrný Brownův pohyb podle míry Q a M t = (M 1 (t),..., M n (t)) je Q-martingal splňující dm j (t) = i σ ij(t)d W i (t) a matice volatilit (σ ij (t)) je s.j. regulární t. Dále bud N t jednorozměrný Q-martingal. Pak existuje n-rozměrný F t -adaptovaný proces φ t = (φ 1 (t),..., φ n (t)) takový, že [ T ] 2 0 j σ ij(t)φ j (t) dt < a N t = N 0 + n j=1 t 0 φ j (s)dm j (s). Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 18 / 32

Obecný n-faktorový model n akcíı Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Nyní uvažujme n-faktorový model n volatilních cen aktiv a jednoho dluhopisu. Model zapsaný pomocí SDE vypadá takto: db t = r t B t dt, n dst i = St i σ ij (t)dwt j + µ i tdt, i = 1,..., n. j=1 Zde r t je process okažité úrokové míry, µ i t je drift ceny i-tého aktiva a (σ ij ) n j=1 je její vektor volatilit. Tyto řádkové vektory volatilit pak vytváření matici volatility (σ ij (t)). Stejný počet n volatilních aktiv jako faktorů v modelu zajišt uje absenci arbitráže a možnost replikovat jakýkoli kontrakt. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 19 / 32

Ocenění kontraktu (1) Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Hledáme ekvivalentní míru Q takovou, že všechny diskontované ceny aktiv budou vzhledem k ní martingaly. Vícefaktorová C-M-G věta nám zajišt uje existenci Q. Změnou míry přidáme drift γ t = (γt 1,..., γt n ) k W t. Aby Zt i Bt 1 St i byly vzhledem k míře Q bez driftu, musím pro γ t platit n σ ij (t)γt j = µ i t r t, t, i = 1,..., n. j=1 Je-li matice Σ t (σ ij (t)) regulární, pak existuje!1 takové γ t : γ t = Σ 1 t (µ t r t 1). Složky γ t představují ceny n druhů rizika (n faktorů). Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 20 / 32

Ocenění kontraktu (2) Definice a technické nástroje Model Ocenění kontraktu Nyní chceme replikovat a ocenit kontrakt X s maturitou T. Proces E t E Q ( B 1 T X F t) je Q-martingal. Je-li matice Σ 1 t regulární, pak podle vícefaktorové věty o reprezentaci martingalů lze psát n t E t = E 0 + φ j sdzs j, j=1 kde φ t = (φ 1 t... φ n t ) je F t -adaptovaný proces udávající množství volatilních aktiv v čase t v samofinancujícím replikačním portfoliu (φ 1 t,..., φ n t, E t n j=1 φj tzt j ) s hodnotou V t n j=1 φj tst j + ψ t B t = B t E t v čase t. Platí V T = X a V t je arbitrážní cena kontraktu X v čase t. 0 Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 21 / 32

Numéraire 6.1 Obecný akciový model Numéraire s volatilitou - samofinancovatelnost Změna numéraire Numéraire (fran. mince či hotovost) představuje aktivum, k jehož hodnotě vyjadřujeme hodnotu všech ostatních aktiv v modelu. Doposud byl naším numéraire vždy peněžní dluhopis (bez volatility). V modelu dvou měn (kapitola 4.1) jsme měli na výběr použít jako numéraire dluhopis denominovaný v jedné z uvažovaných měn. Viděli jsme však, že tato volba neměla vliv na arbitrážní ceny stejného kontraktu X. Toto platí obecně (ukážeme pro dvě různé akcie jako numériare). Jako numéraire je však možné použít jakékoli obchodovatelné aktivum (i s volatilní cenou). Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 22 / 32

Numéraire s volatilitou - samofinancovatelnost Změna numéraire Numéraire s volatilitou - samofinancovatelnost Uvažujme model s jednou akcíı S t a dluhopisem-numéraire s volatilní cenou B t (volatilita σ t ). Necht B t -diskontovaná cena aktiva S t, Z t = B 1 t S t, má volatilitu ρ t. Portfolio (φ t, ψ t ) má hodnotu V t = φ t S t + ψ t B t a B t -diskontovanou hodnotu E t = B 1 t V t = φ t Z t + ψ t. Potřebujeme ukázat, že z de t = φ t dz t plyne samofinancovatelnost portfolia (φ t, ψ t ). Počítejme: dv t = d(b t E t ) = B t de t + E t db t + σ t (φ t ρ t )dt = = φ t (B t dz t + Z t db t + σ t ρ t dt) + ψ t db t. Výraz v závorkách je však roven d(b t Z t ) = ds t. Tedy dv t = φ t ds t + ψ t db t. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 23 / 32

Změna numéraire 6.1 Obecný akciový model Numéraire s volatilitou - samofinancovatelnost Změna numéraire Uvažujme model s n aktivy S 1 t,..., S n t a dalšími dvěma, B t a C t, které mohou sloužit jako numéraire. V prvním případě hledáme míru Q B takovou, aby B t -diskontované ceny Bt 1 St i a Bt 1 C t byly Q B -martingaly. Ve druhém případě hledáme míru Q C takovou, aby C t -diskontované ceny Ct 1 St i a Ct 1 B t byly Q C -martingaly. Lze ukázat, že dqc dq B = C T B T a že pro kontrakt X naštěstí V B t B t E Q B (B 1 T X F t) = C t E Q C (C 1 T X F t) Vt C. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 24 / 32

Úrokově-měnový model - značení Značení Model, obchodovatelná aktiva P(t, T ) : cena v dolarech dluhopisu v čase t zaručující výplatu 1 dolaru v čase T f (t, T ) : dolarová forwardová úroková míra v čase T σ(t, T ) : volatilita f (t, T ) α(t, T ) : drift f (t, T ) r t B t : dolarová okamžitá úroková sazba v čase t (= f (t, t)) : cena dolarového dluhopisu v čase t (= exp R t rsds) 0 Q(t, T ) : cena v librách dluhopisu v čase t zaručující výplatu 1 libry v čase T g(t, T ) : librová forwardová úroková míra v čase T τ(t, T ) : volatilita g(t, T ) β(t, T ) : drift g(t, T ) u t D t C t ρ t λ t : librová okamžitá úroková sazba v čase t (= g(t, t)) : cena librového dluhopisu v čase t (= exp R t usds) 0 : směnný kurz USD/GBP v čase t : volatilita C t : drift C t Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 25 / 32

Model, obchodovatelná aktiva Značení Model, obchodovatelná aktiva Modely pro f (t, T ) a f (t, T ): vícefaktorový HJM model. Model pro směnný kurz C t : vícefaktorový geometrický Brownův pohyb. Obchodovatelná aktiva pro dolarového investora: Dolarový dluhopis (cash bond) B t (numéraire) Dolarový dluhopis (bond) P(t, T ) Cena librového dluhopisu v dolarech (cash bond): C t D t Cena librového dluhopisu v dolarech (bond): C t Q(t, T ) Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 26 / 32

Pojmy Věta (Harrison, Pliska) Částečný důkaz věty Bezarbitrážní úplné tržní modely - pojmy Model bez arbitráže. Je takový model, ve kterém neexistují arbitrážní příležitosti, tj. není možné dosáhnout z nuly bez rizika kladného zisku. Úplný model. Je takový model, ve kterém jakýkoli kontrakt je možné replikovat samofinancujícím portfoliem aktiv obsažených v modelu. Ekvivaletní martingalová míra (EMM). Je naše míra Q evivalentní skutečné míře P, vůči níž jsou diskontované ceny všech aktiv martingaly. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 27 / 32

Věta (Harrison, Pliska) Pojmy Věta (Harrison, Pliska) Částečný důkaz věty Následující věta dostává na pevný základ jednotlivá pozorování či tušení ohledně provázanosti těchto pojmů: Věta (Harrison, Pliska) Mějme model trhu aktiv a dluhopisu-numéraire. Pak 1 model je bez arbitráže právě tehdy, když v něm existuje alespoň jedna EMM Q, a 2 v tom případě platí, že model je úplný právě tehdy, když v něm existuje pouze jediná EMM Q. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 28 / 32

Existence EMM žádná arbitráž Pojmy Věta (Harrison, Pliska) Částečný důkaz věty Mějme pro jednoduchost model jednoho aktiva S t a dluhopisu B t. Necht Q je EMM, tj. Bt 1 S t je Q-martingal. Předpokládejme existenci samofinancujícího portfolia (φ, ψ), jehož hodnota splňuje V 0 = 0 a V T 0 (kandidát na arbitráž). Pak diskontovaná hodnota portfolia, E t = Bt 1 V t, je také Q-martingal a tedy platí E Q (E T ) = E Q (E T F 0 ) = E 0 = V 0 = 0. Tedy musí platit V T 0, tj. nejde o arbitrážní příležitot, ale o jistý nulový zisk z vkladu nula. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 29 / 32

Pojmy Věta (Harrison, Pliska) Částečný důkaz věty Možnost replikace jednoznačnost EMM Necht máme dvě EMM, Q a Q. Ukážeme, že se shodují. Uvažjme kontrakt X = B T I A pro libovolný jev A F T. Tento derivát tedy musí být replikovatelný. Jeho diskontovaná hodnota E t je nyní Q-martingal i Q -martingal. Musí platit Ovšem E T = I A a tedy E Q (E T ) = E Q (E T ) = E 0. E Q (E T ) = Q(A) = Q (A) = E Q (E T ). Tedy platí Q(A) = Q (A) A F 0 a tedy Q = Q. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 30 / 32

Literatura 6.1 Obecný akciový model M. Baxter, A. Rennie: Financial Calculus: An introduction to derivative pricing. Cambridge university press, 1996. Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 31 / 32

Děkuji za pozornost! Tomáš Hanzák Financial calculus Chapter 6 Bigger models 32 / 32