8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou třeb vyčíst řdu vlstností původního útvru. všk bod P v jedné průmětně je obrzem nekonečně mnoh bodů (totiž všech, které leží n promítcí přímce se stopníkem P ). Kvůli jednoznčnosti promítání se zvádí buď více promítání n jednu průmětnu, nebo jedno promítání n více průměten. K nejčstěji používným promítáním n dvě průmětny ptří Mongeov projekce. 8. Zobrzení bodu V prostoru 3 E nyní uvžujme dvě nvzájem kolmé průmětny π ; π (půdorysnu nárysnu), jejich průsečnici x = π π nzveme zákldnicí. Libovolný bod 3 = [ x; y; z] E promítneme kolmo do půdorysny kolmo do nárysny. Získáme tk dv průměty bodu - půdorys nárys. Promítcí přímky s ; s bodu při promítání do půdorysny resp. do nárysny jsou n sebe kolmé rovin σ, která je jimi určen, je kolmá n obě průmětny π; π, protože obshuje kolmice n obě tyto roviny. Přímky s ; s jsou různoběžné kolmé n zákldnici, kolmá n zákldnici je tedy i rovin σ s ; s.oznčíme-li = σ x, pk body ; leží n kolmici k zákldnici (podobně i body ; ). Při výše popsném promítání leží průměty bodů ve dvou různých rovinách nším cílem je zobrzit prostorový útvr v jedné rovině. Průmětnu π proto otočíme kolem zákldnice do o průmětny π. Použijeme tedy zobrzení R ( x;90 ), tj. otočíme kolem zákldnice o prvý úhel. Bod se přitom otočí do bodu, který rovněž nzveme půdorys bodu. Je zřejmé, že body ; ; leží n téže přímce kolmé k zákldnici. Uvžujme nopk průmětnu π v ní ležící zákldnici dv body ;, které leží n kolnici k zákldnici. Bod otočíme o prvý úhel okolo zákldnice (v opčném smyslu než v předchozím postupu) dostneme tk bod sestrojíme přímky s ; s procházející body ; kolmé n π ; π. Protože se jedná o různoběžky, mjí společný bod, který oznčme. 9

3 Výše uvedeným způsobem jsme sestrojili prosté zobrzení, které kždému bodu E ; π π. Jedná se tedy o bijekci jednoznčně přiřzuje uspořádnou dvojici bodů [ ] 3 M : E π π. Tuto bijekci nzýváme Mongeovým promítáním. Body ; nzýváme sdružené průměty bodu, kolmici, kterou určují, nzýváme ordinál. Velikosti úseček resp. jsou zřejmě rovny vzdálenosti bodu od průmětny π resp. π. Pro bod P π je speciálně P x, pro N π je N x. N připojeném obrázku jsou sestrojeny sdružené průměty bodů s různými polohmi vůči průmětnám. 30

8. Zobrzení přímky roviny. Jedn přímk: Průmětem přímky je podle odst. 3 kpt. 3. 6. buď přímk, nebo bod. Půdorysný i nárysný stopník přímky má (jko kždý bod v Mongeově projekci) svůj půdorys nárys. Hovoříme pk npř. o půdorysu půdorysného stopníku přímky ( P ), nárysu půdorysného stopníku přímky ( P ), podobně pro nárysný stopník. N připojeném obrázku jsou sestrojeny průměty přímek s různými polohmi vůči průmětnám. Přímk, která je ilustrován prostorově, nemá vůči průmětnám ni zákldnici žádnou speciální polohu. Dále pltí: b π ; c x; d π ; e x. Vlstnosti průmětů dvou přímek jsou důsledkem odst. 3 kpt. 3. 6.. Rovnoběžky: Půdorysem nárysem dvou různých rovnoběžek jsou opět rovnoběžky (v jednom z těchto průmětů mohou splynout do jesdné přímky). 3. Různoběžky: Půdorysem nárysem dvou různoběžek jsou buď dvě dvojice různoběžek, přičemž průsečík půdorysů nárysů jsou sdružné průměty téhož bodu (průsečíku), nebo jedním průmětem jsou různoběžky druhým jediná přímk (to v přípdě, že různoběžky leží v promítcí rovině). 4. Mimoběžky: Půdorysem nárysem dvou mimoběžek jsou buď dvě dvojice různoběžek, přičemž průsečík půdorysů nárysů nejsou sdružné průměty téhož bodu, nebo jedním průmětem jsou různoběžky druhým dvě různé rovnoběžky (to v přípdě, že kždá z mimoběžek leží v promítcí rovině). 3

Rovin α má v Mongeově projekci dvě stopy půdorysnou p α nárysnou n α. Není-li tto rovin rovnoběžná se žádnou s průměten, jsou obě tyto stopy vlstní. N připojeném obrázku jsou sestrojeny některé roviny. Rovin α (která je znázorněn i prostorově) nemá vůči průmětnám ni zákldnici žádnou speciální polohu. V tom přípdě je α x = X α α α α rovněž p n = X. Dále pltí β π ; γ x ; δ π (její nárysná stop je nevlstní). 5. Přímk bod v rovině: Sestrojíme-li v rovině α libovolnou přímku, pk pro její půdorysný stopník P pltí P α součsně P π. Znmená to, že P p α. Podobně N n α. Tyto vlstnosti umožňují zrekonstruovt přímku ležící v rovině zdné svými stopmi n zákldě znlosti jednoho průmětu. Rovněž tk bod: známým průmětem (npř. ) proložíme příslušný průmět libovolné přímky (npř. ), která leží v dné rovině Zrekonstrujeme průmět chybějící (zde ) ordinálou tké chybějící průmět bodu (zde ) viz připojený obrázek. Bod tk leží n přímce, přímk v rovině α. Podle xiomu I7 tedy bod leží v rovině α. 3

6. Hlvní přímky: Výše uvedeným způsobem se všk postupuje většinou jen v přípdě roviny rovnoběžné se zákldnicí. V přípdě α x se hojně využívá hlvních přímek. Kždým bodem α prochází právě jedn přímk, která leží v rovině α je součsně rovnoběžná s půdorysnou - hlvní přímk první osnovy I h α právě jedn přímk roviny α rovnoběžná s nárysnou - hlvní přímk druhé osnovy II h α. Hlvní přímk první osnovy je rovnoběžná s půdorysnou stopou, podle 3. 6. 4. je tedy její půdosys rovnoběžný s půdorysem půdorysné stopy. Z nlogického důvodu je nárys hlvní přímky druhé osnovy rovnoběžný s nárysem nárysné stopy. N připojeném obrázku je rekonstruován bod ležící v rovině α pomocí hlvní přímky první osnovy. Zcel nlogicky lze použít též hlvní přímku druhé osnovy. Nárys hlvní přímky druhé osnovy je rovnoběžný s nárysnou stopou, její půdorys se zákldnicí. 7. Spádové přímky: Spádová přímk první osnovy je kolmá k půdorysné stopě roviny. Půdorysná stop roviny je rovnoběžná s půdorysnou (dokonce v ní leží), podle 3. 6. 6. je tedy půdorys spádové přímky první osnovy kolmý n půdorysnou stopu. nlogicky nárys spádové přímky druhé osnovy je kolmý n nárysnou stopu roviny. 8. Rovin určen dvěm přímkmi, třemi body: Je-li rovin určen dvěm přímkmi, sestrojíme jejich stopníky, kterými musejí procházet stopy roviny. N připojeném obrázku jsou sestrojeny půdorysné stopníky přímek ; b, nárysný stopník stčí pk jen jeden. Je-li rovin určen třemi svými body, vezmeme libovolné dvě strny tkto dného trojúhelník plikujeme předchozí konstrukci. 33

8. 3 Zákldní polohové úlohy Polohové úlohy, jk sám název npovídá, řeší vzájemnou polohu geometrických útvrů. K zákldním polohovým úlohám ptří: ) Dným bodem vést k dné přímce rovnoběžku b) Dným bodem vést k dné rovině rovnoběžnou rovinu c) Sestrojení průsečnice dvou dných rovin d) Sestrojení průsečíku dné přímky s dnou rovinou ) Dným bodem vést přímku rovnoběžnou s dnou přímkou b : Promítání do půdorysny i nárysny je rovnoběžné. Průmětem rovnoběžek jsou tedy podle.6.4. dv body, nebo dvě rovnoběžky. Průmětem přímky je bod právě tehdy, jedná-li se o promítcí přímku. Půdorysem dvojice přímek kolmých n půdorysnu je tedy dvojice bodů, jejich nárysem pk dvojice kolmic n 7zákldnici. V přípdě kolmic n nárysnu (tento přípd je znázorněn n dlším obrázku vlevo) je nárysem dvojice bodů, půdorysem dvojice kolmic n zákldnici. V přípdě, že přímk má vzhledem k průmětnám obecnou polohu, je půdorysem i nárysem dvojice rovnoběžek (uprostřed). b) Dným bodem vést rovinu α rovnoběžnou s dnou rovinou β : Průsečnice dvojice rovnoběžných rovin s třetí rovinou jsou rovnoběžné. Jestliže tedy pro roviny α; β je α β I α I β α β II α II β π α β π, je tké p p h h ; n n h h. Toho využijeme při řešení úlohy: Dným bodem vedeme I α β h h p, nárysem N jejího nárysného stopníku prochází nárys nárysné stopy hledné roviny (viz připojený obrázek vprvo). c) Nlézt průsečnici r dných dvou rovin α ; β : Nejčstěji ncházíme stopníky průsečnice r α β r α β využíváme skutečnosti, že P p p ; N n n. Je-li některý stopník nepřístupný, využijeme rovinu λ rovnoběžnou s některou z průměten. T protne roviny α ; β : v hlvních přímkách průsečík těchto hlvních přímek leží n hledné průsečnici. Jsou-li nepřístupné ob stopníky, prokládáme podobným způsobem dvě roviny. N připojeném obrázku je ilustrován nepřístupný půdorysný stopník sestrojení průsečnice pomocí roviny λ π 34

. d) Nlézt průsečík R dné přímky s dnou rovinou α : Metod promítcí roviny: Přímkou proložíme promítcí rovinu σ sestrojíme její průsečnici r s dnou rovinou α. T protne přímku v hledné průsečíku R. Metod krycí přímky: Půdorysná stop p σ promítcí roviny σ splyne s půdorysem dné přímky rovněž s půdorysem r přímky r. Proto lze stejnou konstrukci zdůvodnit tké tzv. krycí přímkou: Sestrojíme přímku r, jejíž půdorys r se kryje s půdorysem přímky tk, by přímk r ležel v rovině α. Průsečík R přímek ; r je hledný průsečík přímky s rovinou α. Přímku lze nlogickým způsobem pokrýt i v nárysu. N připojeném obrázku je ilustrován promítcí rovin kolmá n půdorysnu pokrytí přímky v půdorysu. Vprvo je znázorněn přípd, kdy rovin není zdán stopmi, le třemi body. Je zvolen přímk r, jejíž půdorys se kryje s půdorysem přímky. Půdorys r protíná strny B ; BC v bodech K; L. Protože r α BC, musí být K B, L BC. 35

8. 4 Zákldní metrické úlohy Z kpitoly. 3. víme, že měření úseček úhlů bylo umožněno zvedením shodnosti. Metrické úlohy jsou tedy úlohy, ve kterých využíváme právě xiomy shodnosti. ť už přímo měření úseček úhlů není ničím jiným, než porovnáváním úsečky s jednotkovou úsečkou, popř. úhlu s jednotkovým úhlem, nebo nepřímo: xiomy shodnosti potřebujeme npř. při práci s prvým úhlem (shodnost je totiž skryt v jeho definici viz def.. 3. 5). K zákldním metrickým úlohám ptří: ) Dným bodem vést přímku kolmou k dné rovině b) Dným bodem vést rovinu kolmou k dné přímce c) Sklápění promítcí roviny d) Otáčení obecné roviny ) Dným bodem K sestrojit kolmici k k dné rovině α : Má-li být k α, pk přímk k I musí být kolmá ke všem přímkám roviny α. Protože je speciálně k h α součsně I h α I π, je k h α speciálně pk k p α II. Z téhož důvodu je k h α k n α (viz obrázek vlevo). 36

b) Dným bodem K sestrojit rovinu α kolmou k dné přímce k : Využijeme stejných vlstností jko v předchozím přípdě: Bodem K vedeme buď I h α ( I h α k), nebo II h α ( II h α k). Nárys n α nárysné stopy n α roviny α pk prochází nárysem nárysného stopníku přímky I h α (půdorys p α půdprysné stopy p α roviny α prochází půdorysem půdorysného stopníku přímky II h α ). Průměty stop roviny α jsou v obou přípdech kolmé k příslušným průmětům přímky k (viz obrázek vprvo). c) Sklápění promítcí roviny: používáme při konstrukci velikostí úseček odchylek přímek rovin od průměten. Kolmé promítání obecně nezchovává velikosti úseček ni úhlů. Tyto velikosti se zchovjí pouze v přípdě, leží-li úsečk či úhel v rovině rovnoběžné s průmětnou (nebo speciálně přímo v průmětně). Mějme dány body B ; sestrojme velikost úsečky B, odchylky ϕ ; ϕ od průměten. Uvžujme promítcí rovinu σ přímky B, která je kolmá n půdorysnu, otočme ji o kolem půdorysu přímky o prvý úhel, tj. zobrzme ji ve zobrzení R ( ;90 ). sestrojme B B = BB = b ; body [ ];[ ] [ ] [ ] B tkto: [ ] ; [ ] = = ; [ ] z z B. B. viz připojený obrázek vlevo. Díky shodnostem trojúhelníků P P[ ] ; PBB P[ B] B je B = [ ][ B] ; [ ] P = P = ϕ. Sklopení přímky do půdorysny je pk zřejmé ze situce vprvo. Hledná velikost B úsečky B je rovn velikosti [ ][ B ] úsečky [ ][ ] B. Odchylk přímky od půdorysny je pk rovn úhlu ϕ. Zcel nlogicky provedeme sklopení do nárysny. Zde je [ ][ ] [ ]'[ ] B = B = B ' odchylk přímky od nárysny je rovn úhlu ψ. d) Otáčení obecné roviny: používáme při řešení konstrukčních úloh v obecné rovině (viz následující kpitol). N připojeném obrázku je sestrojeno otočení ( ) bodu α do půdorysny kolem půdorysné stopy p α roviny α. Roviny π; α dvojice bodů α ; ( ) π určují osovou finitu mezi rovinmi, jejíž průmět do půdorysny je podle (dohledt) osovou finitou v půdorysně. Tuto finitu určuje půdorys půdorysné stopy p α dvojice. K otáčení dlších bodů roviny α lze tedy použít této finity. odpovídjících si bodů ( ) ; 37

8. 5 Plnimetrické úlohy v obecné rovině Příkld. Čtverec v obecné rovině: Sestrojme čtverec BCD v rovině α, je-li rovin dán svými stopmi je znám půdorys úhlopříčky čtverce. Řešení: Jedná se o plnimetrickou úlohu, kterou je třeb řešit v rovině kolmé ke směru promítání rovinu α je tedy třeb otočit buď do půdorysny, nebo do nárysny my budeme otáčet do půdorysny. Pomocí hlvních přímek nejdříve doplníme chybějící nárys úhlopříčky. Dále otočíme bod nebo C do půdorysny v nšem přípdě je otočen bod (poloměr otáčení r zjištěn sklopením bodu ). Dále využijeme skutečnosti, že přímk ( ) definuje směr osové finity mezi rovinmi α ; π, jejímž průmětem do α roviny π je osová finit f p ; ; ( ) ( ) s osou v půdorysné stopě p α roviny α dvojicí odpovídjících si bodů ; ( ). V této finitě sestrojíme bodu C jeho obrz ( C ). Nd úhlopříčkou ( ) ( C ) nyní sestrojíme čtverec ( )( B)( C)( D ). Půdorys BCD hledného čtverce pk setrojíme pomocí finity f : ( B)( D) BD. Nkonec pomocí hlvních přímek doplníme nárys. Příkld. Kružnice v obecné rovině: k S; r v dné rovině α. Sestrojme kružnici ( ) 38

Řešení: Předpokládejme, že rovin je dány svými stopmi. V tom přípdě bývá střed S zdán jedním ze svých průmětů, druhý je třeb sestrojit (viz 4..5 resp. 4..6). Rovinu α všk v tomto přípdě není třeb otáčet. Půdorysem i nárysem hledné kružnice je elips, jejíž hlvní os leží n hlvní přímce první resp. druhé osnovy má délku r. Oznčíme-li koncové body příslušného průměru v půdorysu Q; R (v nárysu U ; V ) z podmínky QR ; α ( UV ; α ) sestrojíme nárysy Q ; R (půdorysy U; V ). Půdorys (nárys) kružnice pk sestrojíme jko elipsu s hlvní osou QR ( UV ), která prochází body U ; V ( Q; R ) v obou přípdech použijeme proužkovou konstrukci. 3 Příkld: V rovině α jsou dány body CS. ; Sestrojte rovnostrnný trojúhelník BC ; ; ležící v α tk, že úsečk CS je jeho výškou. Tomuto trojúhelníku opište kružnici. Řešení: spočívá ve správné posloupnost zákldních úloh tk, jk byly uvedeny v kpitolách 7. 3. 7. 4. Zdnou rovinu je třeb pomocí zdných bodů otočit do některé z průměten. V ní vyřešíme zdnou plnimetrickou úlohu b řešení pk otpčíme zpět do zdné roviny. Předpokládejme, že rovin α je opět dán svými stopmi body CS ; jedním ze svých průmětů. Nejdříve je třeb sestrojit chybějící průměty bodů CS, ; bychom mohli otáčet podle příkldu viz 7. 4. 4. N připojeném obrázku jsme otáčeli do půdorysny, to konkrétně bod S, k otočení bodu C pk byl využit osová finit. B C opíšeme mu V tomto otočení úlohu vyřešíme, tj. sestrojíme rovnostrnný ( )( )( ) kružnici ( k ). Tto úloh je velmi jednoduchá, proto jsme vynechli body poždovné úlohou 5. 5. 8. Trojúhelník otočíme zpět do půdorysny sestrojíme chybějící průmět trojúhelník. Dále otočíme do půdorysny střed ( O ) kružnice opsné její půdors resp. nárys sestrojíme dle předchozího příkldu. 8. 6 Některé dlší úlohy Příkld. Je dán bod, který rotuje kolem dné přímky. Sestrojte jeho dráhu. Řešení: Dráhou bodu bude kružnice k, která leží v rovině α ; α. Je tedy třeb sestrojit tuto rovinu, dále bod O α - ten je středem hledné kružnice, pro její poloměr pltí r = O. Dlší postup viz příkld. Dráh bodu se v nšem přípdě dotýká půdorysny v bodě T (půdorys tohoto bodu leží n půdorysné stopě roviny α, nárys n zákldnici), což je ovšem náhod. V podobných úlohách je žádoucí vyřešit i viditelnost. Průsečíky průmětů přímky kružnice nejsou průsečíky skutečných útvrů. N obrázku jsou vyznčeny body T k; U, jejichž půdorysy splynou. Z nárysu je všk zřejmé, že bod 39

U má větší z -ovou souřdnici, v půdorysu bude tedy viditelný právě bod U. Viditelnost v nárysu určíme nlogicky. Příkld. Jsou dány trojúhelníky BC ; KLM. Sestrojte jejich zásek. Řešení: Zásek sestrojíme tk, že nlezneme průsečíky dvou strn jednoho trojúhelník s rovinou trojúhelník druhého. Tím prkticky jen dvkrát zopkujeme zákldní úlohu 4.3.d. Viditelnost v půdorysu i v nárysu je řešen pomocí dvou bodů, jejichž půdorysy resp. nárysy splývjí. N prřipojeném obrázku splývjí půdorysy bodů G KL H BC. V půdorysu bude vidět ten z nich, který má větší z-ovou souřdnici. Tu zjistíme z nárysů těchto bodů. Je H G zřejmě z > z, v půdorysu je tedy vidět bod H BC. Z toho je zřejmá i viditelnost osttních bodů. Pro řešení viditelnosti v nárysu jsme zvolili body I B J KL. V nárysu bude vidět ten z nich, který má větší y-ovou souřdnici, tj. bod J (nárysy bodů I; J jsou z nedosttku míst n obrázku bez indexů). Viditelnost dlších bodů je pk opět zřejmá. 40