ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE PRUŽNOST A PEVNOST Přednáška č. 5 Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc.
MECHANIKA PODDAJNÝCH TĚLES Úkolem PP z inženýrského hlediska je navrhnout součásti nebo konstrukce, které splňují svoji funkci a jsou bezpečné. 2 základní úlohy PP - pevnostní úloha - tuhostní úloha Základní pojmy Vnější síly - povrchové (F, M, ) - objemové (vlastní tíha,.) Vnitřní síly Vlivem působení vnějších sil se těleso deformuje a v tělese vznikají tzv. vnitřní síly.
Napětí a deformace Intenzitu vnitřních sil lze vyjádřit pomocí napětí Normálová složka napětí Smyková složka napětí σ = τ = dn da dt da 2 [ Nm = Pa] [ Pa] Deformace materiálu Zkouška tahem Zkouška materiálu při smyku x tg γ =ɺ γ = y γ zkos Poměrné prodloužení ε = l l
Závislost mezi napětím a deformací Tahový diagram Hookeův zákon σ = E ε E modul pružnosti v tahu [Pa] ocel E = 11 ( 1,9 2,2) 10 Pa tg α = E Hookeův zákon pro smyk τ = G γ G modul pružnosti ve smyku G =ɺ 0,8 10 11 Pa
V zatěžovaném tělese vzniká napjatost Jednoosá napjatost namáhání prostým tahem Rovinná napjatost σ x = F A Rovinná napjatost je popsána složkami σ σ, τ x, y Rovinná napjatost je taková napjatost, kde všechna napětí leží v jedné rovině.
Hookeův zákon pro rovinnou napjatost = τ σ σ ν ν γ ε ε y x y x G E E E E 1 0 0 0 1 0 1 G τ γ = [ ] x y x y y E E E ν σ σ σ ν σ ε = = 1 [ ] y x y x x E E E ν σ σ σ ν σ ε = = 1 1 S = C ε σ = S ε = Cσ ~ ~ ~ ~
Namáhání přímého prutu - tah (tlak) - krut jejich kombinace - ohyb Prostý tah Napětí σ = F A Dovolené napětí σ D σ = k K k σ p k p Poměrné prodloužení σ F l ε = = ; ε = l = E EA l Fl EA [ m] Pevnostní podmínka Tuhostní podmínka σ σ D l l D
Prostý krut Kroutící moment M k = F a [ Nm] Napětí M k Nm τ = = Pa 3 W m k 3 [ m ] 3 πd W k = W k průřezový modul v krutu 16 Úhel zkroucení J p 4 [ m ] ϕ = M k l G J. polární kvadratický moment Pevnostní podmínka τ D p ϕ Poměrný zkrut ϑ = ϕ l = ϑ M k G J Tuhostní podmínka τ ϕ ϕ ( ϑ ) p D ϑ D
Prostý ohyb Prut namáhaný příčnými silami nazýváme nosník. Reakce RA = RB = F 2 Max. ohybový moment F l M o max = = 2 2 Fl 4 Maximální napětí W o 3 [ m ] σ omax = M o W max o [ Pa] průřezový modul v ohybu Průběh napětí σ o podél průřezu Pevnostní podmínka σ omax σ D Tuhostní podmínka (průhyb) vmax vd
INŽENÝRSKÉ VÝPOČTY V TECHNICKÉ PRAXI Přednáška č. 5a Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc.
Inženýrské výpočty v technické praxi Obsah: Význam výpočtů v technické praxi Druhy výpočtových metod Princip a vývoj MKP MKP systémy Aplikace MKP
Význam výpočtů v technické praxi Při produkci výrobků je nutné znát vlastnosti a chování daného výrobku v reálných (provozních) podmínkách Simulace provozního procesu ( odezva výrobku na provozní podmínky)
Analyticky řešitelné úlohy pružnosti: Namáhání přímých prutů (tah, tlak, krut, vzpěr a stabilita, ) Tenkostěnné a silnostěnné rotační nádoby Rotující kotouče Desky kruhové a obdélníkové
Praktické úlohy většinou podstatněji složitější Použití přibližných diskrétních výpočtových metod Metoda sítí Metoda konečných objemů Metoda hraničních prvků Metoda konečných prvků (MKP)
Výhody použití výpočtových metod v kombinaci s CAD systémy: Zkrácení vývojového času Redukce výrobních nákladů a úspora surovin Inovace a tvořivost Zvyšování kvality Dodržování stále přísnějších norem Vyšší efektivita výroby
Flexibilita vs. náklady na změnu výroby Flexibilita Náklady na změnu výroby definování výroby koncepce výroby seriová výroba
Zatížené pružné těleso Princip MKP Vlivem zatížení dochází k deformaci tělesa Pole posuvů [ u, u u ] T u =, Pole deformací (přetvoření) ε = Pole napětí: x y z [ ε, ε, ε, γ, γ, γ ] T x y z yz zx xy σ = [ σ, σ, σ, τ, τ, τ ] T x y z yz zx xy
Princip MKP Deformační stav pružného tělesa je podle matematické teorie pružnosti popsán 15-ti rovnicemi 3 podmínky rovnováhy (Cauchyho) σ + R = 0 (3 rovnice) kde je matice operátorů, R = X, Y, Z vektor objemových sil 6 geometrických rovnic [ ] T ε T = u 6 fyzikálních rovnic (rozšířený Hookeův zákon) σ = Dε
Princip MKP Deformační varianta Hledání neznámých funkcí posunutí u (x, y, z) je nahrazeno hledáním konečného počtu hodnot těchto funkcí, z nichž lze zkonstruovat přibližné řešení. Hledané neznámé funkce posunutí aproximujeme pomocí bázových polynomických funkcí v diskrétních bodech a s jejich pomocí vyjádříme neznámé posuvy v celém kontinuu. Matematicky se tak řešení diferenciálních rovnic převádí na řešení soustav algebraických rovnic.
Princip MKP je založen na Lagrangeově principu: Těleso je v rovnováze, jestliže celková potenciální energie deformace soustavy je minimální. Celková potenciální energie E i E e Princip MKP Π = E i + E e. potenciální energie deformace vnitřních sil. potenciální energie deformace vnějších sil Minimum Π u = 0 E
Postup: Oblast A s hranicíγnahradíme konečným počtem prvků diskretizace Γ A
b) Funkce posuvů u,v vyjádříme pomocí hodnot posuvů v uzlových bodech e c) Sestavení celkové potenciální energie prvků jako funkce posuvů., v, i = 1, 2,3. d) Sestavení celkové potenciální energie soustavy Π = n i= 1 a) Funkce posuvů nahradíme polynomem ( x, y) = a + a x + a y Π e i, u 1 2 3 ( x, y) = a + a x + a y v 4 5 6 u i i Π i zavedení okrajových podmínek
e) Minimalizace celkové potenciální energie soustavy Π u = 0 soustava lineárních algebraických rovnic s neznámými posuvy v uzlových bodech f) Známe-li vektor neznámých posuvů u, potom lze vyšetřit deformace ε T = u a napětí σ = Dε Získáváme přibližné řešení úlohy
rok 2000-1990 - 1980-1970 - Vývoj MKP a její aplikace simulace výrobních procesů (lití, svařování, tváření), mechanika kompozitních a anizotropních materiálů biologie, lékařství, fyzika, geofyzika elektronika, mikromechanika průmysl spotřební, chemický (plasty), strojírenský 1960 - průmysl automobilový, loďařský, letecký, vesmírný, stavební oblasti použití
MKP systémy Kompaktní systémy Vznik v 50. a 60. letech Robustní systémy schopné řešit široké spektrum úloh Vysoká cena Např.: MARC, ANSYS, NASTRAN, ABAQUS, COSMOS, SYSTUS,
Specializované systémy: Zaměřeny na určitou oblast úloh Např.: ADAMS, FLUENT, PAM-FLOW, PAM- CRASH, DYNA, FORGE, FATIGUE Přístupné na ZČU: Např.: ANSYS, MARC, ADAMS, SYSTUS, FLUENT, PAM-CRASH, DYNA, FATIGUE
Prostorová diskretizace
Princip MKP Základním předpokladem MKP je diskretizace spojitého kontinua na prvky - konečné počtem i velikostí
Metodický postup při definování MKP úlohy: Postavení fyzikálního modelu : - stanovení cíle výpočtu - rozhodnutí o typu úlohy - rozhodnout o dimenzi úlohy - izolace tělesa a nahrazení vlivu okolí vazbami, tj. stanovení okrajových podmínek řešení
Metodický postup při definování MKP úlohy: Postavení MKP modelu - Volba typu prvku - Volba hustoty sítě - Kontrola sítě
Skladba MKP systémů Preprocesor Solver Postprocesor
Čelist s vedením Cíl řešení: dimenzovat čelist soustruhu - Řešení provedeno v prostoru - Volba okrajových podmínek - Materiál čelisti - Provedena diskretizace s přihlédnutím ke koncentrátorům napětí - Kontakt dotýkajících se ploch
Čelist s vedením Vyhodnocení chyby výpočtu Posouzení výsledků Ověření experimentem
Napěťová analýza rámu lisu
Tahová zkouška
Úlohy pružnosti a pevnosti Simulace tvárného lomu tyčky Diskretizace úlohy pomocí konečných prvků
Kumulace dutin
Vibrační a tuhostní analýza experimentálního fúzního reaktoru Wendelstein 7-X (SRN)
Vtlačování kladky do trubky
Projekty a předdiplomní projekty Bezpečnostní prvek v nárazníku
Bezpečnostní prvek nárazníku
Bezpečnostní prvek nárazníku
Nárazník absorber energie