5. Dsledky zákona zachování energie

5. Dsledky zákona zachování energie 5. Pohyb lyž po sjezdovce 5.. Zadání úlohy Lyža sjíždí ze svahu po sjezdovce o svislé výšce h = 8 m. Na zaátku sjezdu je jeho rychlost nulová. Jaká je jeho rychlost v na konci sjezdovky 3? (Tení a odpor vzduchu zanedbejte; použijte zaokrouhlenou hodnotu tíhového zrychlení g = m.s - ) Tedy: výška horního okraje sjezdovky h = 8 m výška dolního okraje sjezdovky h = m rychlost lyž na zaátku sjezdu v = m.s - rychlost lyž na konci sjezdu v =? hmotnost lyž m tíhové zrychlení g = m.s - 5.. Podrobný zápis ešení Zákon zachování celkové mechanické energie se zpravidla zapisuje ve tvaru nebo a po rozepsání E p E k E p E k konst. E p E k m g h m v m g h m v. Tuto rovnici je možné vydlit hmotností lyž m a vynásobit dvma a dále upravit: g h v g h v v gh h v Obecné ešení mžeme dále zjednodušit, když si uvdomíme, že h = a v = : v g h 5..3 Zjednodušený zápis ešení Pokud si hned na zaátku ešení uvdomíme, že kinetická energie na poátku pohybu lyž je nulová (E k = ) a naopak pi dojezdu na dolní okraj sjezdovky má lyža nulovou potenciální 3 Pitom vbec nezáleží na tvaru sjezdovky. Tedy nemusíme se omezovat na pohyb po naklonné rovin. Na pohyb po naklonné rovin bychom se však museli omezit, pokud bychom úlohu neešili pomocí zákona zachování energie, ale pomocí rozklad tíhy lyž a z toho plynoucího rovnomrn zrychleného pohybu. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 33

energii 4 (E p = ): E k E p m v m g h v g h Zjednodušený zápis vede rychleji k cíli, ale také nás snadno svede ke zjednodušené formulaci: Potenciální energie lyž se promní na kinetickou energii. Musíme si však uvdomovat, že situace je ve skutenosti o nco složitjší. Tíhové pole Zem koná práci, když urychluje lyž po sjezdovce. Pitom se o tuto vykonanou práci sníží potenciální energie lyž v tíhovém poli (pole koná práci) a zárove se o stejnou vykonanou práci zvýší kinetická energie lyž (lyža spotebovává práci). 5..4 íselné ešení a omezení zvoleného fyzikálního modelu Dosazením do obecného ešení dostáváme v g h. m.s.8 m 6 m. s 4 m.s. To je ovšem dost vysoká, ale ješt reálná rychlost v = 4 m.s - = 44 km.h -. Kdyby však byla svislá výška sjezdovky vtší, nap. h = 5 m, vyšla by rychlost lyž na konci sjezdovky v = m.s - = 36 km.h -, což je už naprosto nereálné. Lyžai ve speciálních rodynamických oblecích dosahují maximální rychlosti okolo km.h -, vtší rychlost jim nedovolí dosáhnout odpor vzduchu. Musíme tedy dobe zvážit, kdy lze zjednodušený fyzikální model použít a kdy by zjednodušení (nap. zanedbání tení i odporu vzduchu) vedlo k naprosto nesprávným výsledkm. 5. Rovnováha na dvojzvratné páce Pro dvojzvratnou páku se asto vyvozuje podmínka rovnováhy z rovnosti moment sil (íklad na obrázku rovnosti moment tíhy G a tíhy G ), protože výsledný moment je pro rovnovážný stav roven nule, tedy M M M M 5 ) r G r g r G sin π α r G sin π α a protože siny obou úhl lze goniometrickými úpravami pevést na cos α, mžeme rovnici zjednodušit na tvar 4 Samozejm pi vhodné volb vztažné soustavy a nulové hladiny potenciální energie (na konci sjezdovky). 5 Moment síly M by otáel pákou ve smru hodinových ruiek, což je dohodnutý záporný smr, proto je ped ním znaménko mínus, které záporný výsledek obrátí. Naopak moment síly M, psobící proti smru hodinových ruiek je sám o sob kladný. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 34

pro síly psobící na páku a pro hmotnosti závaží r G cosα = r G cosα / : cosα r G = r G r m g = r m g / : g r m = r m Podmínku rovnováhy na dvojzvratné páce mžeme ovšem snadno vyvodit ze zákona zachování energie. Navíc pi takovém vyvození nemusíme uvažovat vektorov, takže je i pro mén matematicky zdatné žáky snáze pochopitelné. Pedstavme si, že se dvojzvratná páka pootoí z polohy znázornné na obrázku do pesn vodorovné polohy (naznné árkovanou árou). K pootoení postaí nepatrná síla, kterou mžeme zanedbat (pouze k pekonání tení v bod otáení páky). Rovnováha na páce se pootoením neporuší. Závaží vlevo se zvedne o rozdíl výšek h a jeho potenciální tíhová energie se zvýší o E = G h, závaží vpravo klesne o rozdíl výšek h a jeho potenciální tíhová energie klesne o E = G h : pro síly psobící na páku a pro hmotnosti závaží E = E G h = G h / : sinα 6 ) G h : sinα = G r = G r G h : sinα m g r = m g r / : g m r = m r Podobným zpsobem je možné odvodit ze zákona zachování energie rovnice popisující fungování dalších jednoduchých stroj, a se jedná o další stroje vysvtlované pomocí moment psobících sil (jednozvratná páka, kladka pevná, kladka volná, kladkostroj, kolo na hídeli), nebo o jednoduché stroje ešené rozkladem tíhy bemene na dv navzájem kolmé složky (naklonná rovina, šroub). 6 Ob strany rovnice mžeme vydlit libovolným íslem rzným od nuly. Toto vydlení se nám hodí, abychom pešli od vertikálního posunutí závaží k délkám ramen dvojzvratné páky. Tíhu G a posunutí h mžeme také psát jako vektory. Zmna energie E je pak skalárním souinem tchto dvou vektor. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 35

5.3 Odvození vztahu pro dobu kmitu (periodu) matematického kyvadla Ve stedoškolských uebnicích fyziky bžn najdeme odvození vztahu pro dobu kmitu matematického kyvadla pomocí sil psobících na závaží (hmotný bod) vychýlené z rovnovážné polohy. Ukažme si, že tento vztah lze stejn snadno odvodit také pomocí zákona zachování energie. Závaží (kulika, hmotný bod) je pi maximální výchylce o vzdálenost h výš než pi nulové výchylce od svislého smru (závaží visící voln k zemi). Pi úhlové výchylce α a délce závsu kyvadla l je tento výškový rozdíl h = l. ( cos α) Potenciální energie závaží ve výšce h pak je E p = m.g.h, jestliže potenciální energii závaží v nejnižší poloze (pi nulové výchylce) zvolíme rovnu nule. Kinetická energie závaží je naopak nulová oloze s maximální výchylkou (závaží se tam na chvíli zastaví tzv. mrtvý bod) a maximální pi prchodu nejnižší polohou, kdy je i rychlost pohybu závaží maximální, tedy E k m v m Protože celková mechanická energie kývajícího se závaží se nemní (zákon zachování), musí platit: E k = E p ½ m v m = m g h /. /:m v m = g h v m gh Tím jsme spoítali maximální rychlost v m závaží kyvadla. Abychom vypoítali prmrnou rychlost ohybu kyvadla, musíme si uvdomit, že se jedná o harmonický 7 pohyb, a tedy okamžitá rychlost se mní s asem podle funkce kosinus 8 : v = v m. cos (ω.t + ϕ ) Pomr mezi prmrnou a maximální rychlostí je dán pomrem obsahu plochy ohraniené jednou plvlnou sinusoidy a obsahu plochy obdélníka opsaného této plvln (viz. obrázek): 7 Souvislost kmit matematického kyvadla, stejn jako kmit závaží na pružin, s rovnomrným pohybem po kružnici pedkládáme žákm jako empiricky zjištnou skutenost, i když použijeme klasické odvození pomocí rozkladu sil psobících na závaží kyvadla. 8 Ve školské fyzice zpravidla pedpokládáme, že poloha se mní s asem podle funkce sinus, tedy rychlost jako derivace polohy podle asu se mní podle derivace funkce sinus, kterou je funkce kosinus. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 36

v v m π π π cos x dx dx π cos x π π x π π 9 ) π Tedy prmrná velikost 3 rychlosti závaží bhem kmitu kyvadla v gh π Pi malé maximální úhlové výchylce α m mžeme délku oblouku píslušející tomuto úhlu nahradit vodorovnou výchylkou l. sin α m a celková délka trajektorie s bhem celého kmitu ( tam a zpátky ): s = 4. l. sin α m Dobu kmitu (periodu) T pak vypoítáme, když vydlíme délku trajektorie s prmrnou velikostí rychlosti v bhem jednoho kmitu: T s v 4 lsin α m gh π π lsin α m gh l sin α π m gl cosα m 9 Na vodorovnou osu grafu mžeme vynést as t v sekundách a na svislou osu rychlost v v metrech za sekundu. Potom plocha pod sinusoidou, resp. plocha obdélníka pedstavují dráhu s = v. t, kterou kulika urazí, resp. kterou by urazila, kdyby se celou dobu pohybovala maximální rychlostí. Protože celková doba pohybu je v obou pípadech stejná, je pomr ploch souasn pomrem prmrné a maximální rychlosti. V obrázku je naznno jak mžeme integraci pro žáky nižších roník stední školy nahradit setením plochy nkolika vhodn zvolených lichobžník. Postup je popsán v matematickém dodatku odvození. 3 Hovoíme o prmrné velikosti rychlosti, aby bylo zejmé, že pro nás v tomto konkrétním výpotu není podstatný smr (znaménko) rychlosti, ale jen její velikost. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 37

π l cos α m g cosα m π l cosα m g l π g π l g 3 ) A to je známý vztah pro dobu kmitu matematického kyvadla. 5.3. Matematický dodatek odvození výpoet plochy pod obloukem kosinusoidy Vrame se ješt k ploše pod obloukem ( plvlnou ) kosinusoidy. Umíme-li derivovat a integrovat, snadno pomocí uritého integrálu vypoteme, že obsah plochy je pesn. Grafický význam integrálu jako plochy pod kivkou vyjadující uritou funkní závislost jsou ovšem schopni pochopit i studenti prvního roníku stední školy. Pitom vbec nemusíme hovoit o integrálu, ale pouze o tom, že dráha je souinem rychlosti a asu. Plochu pod kosinusoidou pak rozdlíme na malé lichobžníky, na okraji zbudou trojúhelníky. Prmrnou rychlost ve zvoleném úseku vypoítáme, když souet poátení a koncové rychlosti vydlíme dvma. Výpoet si mžeme zjednodušit, když si uvdomíme osovou soumrnost celého obrazce. Staí nám vlastn vypoítat plochu pod tvrtvlnou a pak ji vynásobit dvma. Mezivýpoty provádíme na tyi desetinná místa, výsledek potom zaokrouhlíme na ti platné íslice, což je bžn používaná pesnost pi ešení úloh ve stedoškolské fyzice. x cos x prmr plocha pibližn - π/,,94,339-5π/,588,3794,993 - π/3,5,636,58 - π/4,77,7866,59 - π/6,866,96,398 - π/,9659,983,573, ------ ------ Celková plocha tvrtvlny = souet ploch lichobžník,994 Mezivýpoty provádíme s pesností na tyi desetinná ísla. Výsledek potom zaokrouhlíme na ti platné íslice. Plocha pod obloukem ( plvlnou ) kosinusoidy,9984, 5.4 Bernoulliova 3 rovnice pro proudní ideální kapaliny Ideální (tedy nestlaitelná) kapalina proudí z místa ve výšce h, kde má rychlost v a tlak p do místa ve výšce h, kde má rychlost v a tlak p. Pedstavme si malé množství kapaliny, které projde prezem S a prezem S za stejný as t. Protože kapalina je nestlaitelná je toto množství (vyjádené hmotností) v obou pípadech stejné: 3 V odvození využijeme jednak vzorec z goniometrie (dsledek Pythagorovy vty známý pod názvem goniometrická jednika ) sin x + cos x =, jednak fakt, že pro malé úhly je cos α m pibližn roven jedné. 3 Daniel I. Bernoulli (7 až 78), len slavného rodu Bernoulli, zakladatel hydromechaniky a kinetické teorie plyn, jeho žákem a spolupracovníkem byl vynikající matematik a fyzik Leonhard Euler (77 až 783). [36, ] Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 38

m t = m t S v t = S v t / : t S v = S v 33 ) V místech a má toto množství kapaliny obecn rznou potenciální i kinetickou energii a na první pohled by se mohlo zdát, že v této situaci zákon zachování (mechanické) energie neplatí. Ale to je samozejm nesmysl. Pouze musíme vysvtlit zmnu stavu našeho malého množství kapaliny prací, kterou vykonají tlakové síly. V místech a je totiž rzný tlak, který pedstavuje nový typ potenciální energie tlakovou potenciální energii kapaliny. Zmna soutu kinetické a tíhové potenciální energie = Práce tlakových sil E - E = W ½ m t v + m t g h - ½ m t v - m t g h = F p s F p s Tlaková síla F p koná práci ve smru (znaménko +) pohybu kapaliny po dráze s (odpovídající posunutí malého množství kapaliny, které protee prezem S za as t), tlaková síla F p koná práci proti smru (znaménko -) pohybu kapaliny po dráze s (odpovídající posunutí stejného malého množství kapaliny, které však nyní protee jiným prezem S za stejný as t). ½ m t v + m t g h - ½ m t v - m t g h = p S v t p S v t Pro další úpravu rovnice je poteba si uvdomit jednak, že m t = ρ. V t, jednak, že podle rovnice kontinuity je S. v. t = S. v. t = V t, tedy malý objem kapaliny, odpovídající malému množství (hmotnosti) kapaliny, o kterém od zaátku uvažujeme: ρ V v t ρ V t g h ρ V v t ρ v ρ v ρ g h ρ v ρ g h p ρ v ρ V t g h p V t p V t ρ g h p p ρ g h p 33 Rovnice kontinuity (rovnice spojitosti tok) Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 39

ili souet kinetické, tíhové potenciální a tlakové potenciální energie malého jednotkového objemu kapaliny V t je ve všech místech proudící kapaliny stejný. Bernoulliova rovnice je pímým dsledkem zákona zachování energie. 5.5 Airiho zákon v hydrologii Na zaátku. století postihlo echy a Moravu nkolik niivých povodní. Jak je možné, že když se proud eky nkolikanásobn zvtší svou rychlost, má náhle tak niivé úinky? Odpov najdeme v Perelmanov knize Zajímavá mechanika [38, 5-5], kde v kapitole Kameny unášené vodou uvádí tzv. Airiho zákon: Vzroste-li rychlost proudu n-krát, nabývá proud schopnosti unášet pedmty n 6 -krát tžší. Perelman dokazuje Airiho zákon pro kamenné krychle pomocí moment sil. My si vypjíme krychlový tvar kamen, ale ukážeme, že Airiho zákon vyplývá ze zákona zachování energie. Tekoucí voda musí kamenu pedat takovou energii, aby se z polohy na stn (tžišt krychle je v tu chvíli ve výšce poloviny délky hrany krychle) pootoil do polohy na hran (tžišt krychle je ve výšce poloviny odmocniny ze dvou krát délka hrany krychle). Z této polohy se kámen dál valí ve smru proudu je unášen vodou: E p m g a ρ k V g a Tuto energii musí kamenu pedat voda (kapalné tleso) o zhruba stejném objemu, jako je objem kamene. Kdyby totiž byl objem vody výrazn vtší, obtekla by voda voln kámen a pedala by mu jen nepatrnou ást své energie. Výrazn menší objem vody by v reálné situaci sám jen tžko zpsobil pohyb kamene. Pedpokládejme tedy, že kamenem pohne kapalné tleso s objemem rovným A-násobku objemu kamene, kde A je njaký empiricky zjistitelný koeficient závisející na tvaru kamene (nikoliv na rychlosti vodního proudu). Toto kapalné tleso pedá kamenu energii (koná práci na úkor své kinetické energie): E k ρ v AVv Pokud chceme zjistit hraniní velikost kamen, se kterými pohne vodní proud, musíme položit kinetickou energii vodního tlesa rovnou pírstku potenciální energie kamene (proud lehce unáší také menší kameny a kaménky, pitom zvyšuje nejen jejich potenciální, ale souasn i kinetickou energii udluje jim rychlost): E p E k ρ k V g a ρ v AVv Tuto rovnici vydlíme objemem V, vynásobíme dvma a pak upravíme: ρ k ga ρ v Av Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 4

a ρ v A ρ k g v Všechny veliiny v itateli i ve jmenovateli jsou konstanty. Lze tedy konstatovat, že lineární rozmry kamen jsou pímo úmrné druhé mocnin rychlosti: a v A protože objem kamenné krychle V = a 3, umocníme ob strany úmrnosti temi a dostáváme vztah, který je matematickým vyjádením Airiho zákona: a 3 v 6 V v 6 m v 6 Vzroste-li rychlost proudu n-krát, nabývá proud schopnosti unášet pedmty n 6 -krát tžší, ili hmotnost nejtžších pedmt unášených proudem je pímo úmrná šesté mocnin rychlosti proudu. 5.6 Rychlost družice pohybující se po eliptické dráze okolo Zem Nejprve se soustedíme na jednodušší porovnání rychlosti družice erigeu p (místo nejblíže Zemi) a apogeu a (místo nejvzdálenjší od Zem). Vzdálenost družice o hmotnosti m od stedu planety Zem o hmotnosti M je erigeu dána rozdílem délek hlavní poloosy a excentricity elipsy a e, pogeu naopak jejich soutem a + e. Celková mechanická energie (souet 34 kinetické a potenciální energie) zstává stejný: mv p κmm κm mv a κm κmm a e κm a e κm a e 4 κme V rovnici máme stále dv neznáme a. Abychom se jedné z nich zbavili, musíme šikovn použít II. Keplerv zákon 35 (zákon ploch), ze kterého plyne substituce =. (a + e)/(a e) a e 4 κme 34 Nedejme se splést znaménkem mínus. To patí k potenciální energii tlesa v radiálním gravitaním poli. Skuten se zde jedná o souet (nikoliv rozdíl) kinetické a potenciální energie. 35 Vezmeme-li malé okolí apogea a perigea, mžeme si plochy pedstavit jako malé trojúhelníky jeden se základnou. t a výškou a e, druhý se základnou. t a výškou a + e. Plocha obou trojúhelník je stejná, rovnost vynásobíme dvma a vydlíme t a jednoduchou úpravou dostaneme uvedenou substituci. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 4

a e a e 4 κme 4 4 κme a κm κm a κm a A ješt jednou použijeme substituci vyplývající z II. Keplerova zákona: κm a κm a κm a Složitjší je odvození vztahu pro rychlost v libovolném míst eliptické trajektorie družice. Problém je v tom, že vektor rychlosti zde obecn není kolmý k prvodim (jako erigeu a apogeu). Odvodíme ješt jeden speciální pípad. Vypoteme rychlost v bodech, kde eliptickou dráhu družice protínají vedlejší poloosy elipsy. Tyto body nemají zvláštní název jako perigeum a apogeum (to jsou prseíky elipsy s hlavními poloosami elipsy), rychlost družice v tchto bodech ozname v c, vzdálenost družice od centra je rovna délce hlavní poloosy a. Z II. Keplerova zákona (zákona ploch) pro pomr druhých mocnin rychlostí plyne = v. (a + e) / (a e) : mv p κmm κm mv c v c κm a κmm a a κma v c a κm v c a κma v ca κm v c a v c κma v c a v c κma κme v c κme v c a κm v c κm a Zcela obecný vztah uvedeme bez odvození 36 : 36 Vyjádit obecn sinus úhlu, který svírá prvodi s vektorem rychlosti družice, je velmi složité. Toto odvození by šlo jednoznan nad rámec stedoškolské matematiky. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 4

v κm r a A ovíme, že vyhovuje všem tem díve odvozeným speciálním pípadm. Nejprve pro perigeum dosadíme r = a e: κm a a κm a κm a Pro apogeum r = a + e : κm a a κm a κm a Pro bod c je r = a : v c κm a a κm a κm a 5.7 Kámen klouzající po hladké kulové ploše V Hajkov vysokoškolské uebnici [3] je ada pkných úloh, ešitelných pomocí zákona zachování energie i na stedoškolské úrovni. Uvádím dv související úlohy. 5.7. Zadání první úlohy Na vrcholu dokonale hladké koule je hmotný bod v metastabilní poloze. Když ho vychýlíme z rovnovážné polohy, bude se pohybovat nejprve po povrchu koule. V jaké vzdálenosti od vrcholu koule opustí hmotný bod její povrch a v jaké vzdálenosti od svislého prmru koule dopadne na vodorovnou podložku, když polomr koule r =,5 m? [3, 59] 5.7. ešení první úlohy ešení je podrobn popsáno v uebnici [3, 59-6], proto uvádím pouze hlavní myšlenky ešení a výsledky. V míst, kde se hmotný bod odpoutá od povrchu koule se musí normálová složka jeho tíhy (složka míící do stedu koule) rovnat odstedivé síle. Polohu tohoto místa uríme pomocí úhlu ϕ, který svírá jeho smr ze stedu koule se svislým smrem. Pomocí rovnice, která popisuje zákon zachování celkové mechanické energie hmotného bodu, odvodíme, že cosϕ 3. Odtud snadno dopoítáme velikost úhlu ϕ a z nj délku kruhového oblouku, který pedstavuje trajektorii hmotného bodu bhem pohybu po povrchu koule (s =, m). Po odpoutání od koule mžeme pohyb hmotného bodu ešit samostatn ve svislém smru (rovnomrn zrychlený pohyb) a ve vodorovném smru (rovnomrný pohyb). Z rovnice pro svislý smr uríme as t, který uplyne mezi odpoutáním od koule a dopadem na vodorovnou rovinu (t =,5 s). Nakonec vypoteme dráhu ve vodorovném smru a z ní vzdálenost místa dopadu od svislého prmru koule (d =, m). Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 43

5.7.3 Zadání druhé úlohy Kámen A je na vrcholu hladkého tlesa tvaru polokoule s polomrem R. Udlíme mu poátení rychlost hodnoty v ve vodorovném smru. Máme urit, v kterém míst opustí kámen povrch polokulovitého tlesa. Pi jakých hodnotách v opustí kámen povrch polokoule oátením okamžiku? (Tení zanedbejte!) [3, 7] 5.7.4 ešení druhé úlohy Celková mechanická energie E kamene oátením okamžiku (na vrcholu koule) je E m v mgr v okamžiku odpoutání od povrchu polokoule (když urazil po kružnici úhlovou dráhu ϕ) má kámen celkovou mechanickou energii E E m v mgrcosϕ (*) Vezmeme-li v úvahu, že v míst, kde se kámen odpoutá od povrchu polokoule se normálová složka jeho tíhy (složka míící do stedu koule) rovná odstedivé síle, dostaneme rovnici, z níž vyjádíme tverec rychlosti v. Ten pak dosadíme do rovnice (*): m v R mgcosϕ v grcosϕ E 3 mgrcosϕ Ze zákona zachování energie plyne, že celková mechanická energie zstává stále stejná E E 3 mgrcosϕ m v 3 grcosϕ v mgr m gr 3 Rg cosϕ 3 v 3 Rg Z výsledného vzorce pro kosinus ϕ vidíme, že kámen bude po polokouli klouzat maximáln o úhel ϕ, jehož kosinus je dv tetiny, tedy ϕ max = 48 '. Minimáln o úhel jehož kosinus je roven jedné, tedy ϕ min =. Z toho lze také urit mezní hodnotu rychlosti v. Pi rychlostech vtších než mezní opustí kámen povrch polokoule hned oátením okamžiku. m v R mg v 37 gr ) 37 V Hajkov sbírce úloh [3, 7] je u výsledku této neešené úlohy chyba v tisku chybí symbol odmocniny. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 44

5.8 Výpoet druhé kosmické rychlosti V Hajkov sbírce je také pkné vyvození druhé kosmické rychlosti [3, 65-66]: 5.8. Zadání úlohy vedoucí na výpoet druhé kosmické rychlosti Tleso bylo vrženo ze zemského povrchu svisle nahoru rychlostí v. Do jaké výšky vystoupí a jaká by musela být minimální poátení rychlost v, aby tleso nespadlo zpt na Zemi? (Odpor vzduchu zanedbejte!) 5.8. Citace ešení (peklad ze slovenštiny) Použijeme zákon o zachování mechanické energie. Celková energie tlesa v míst vrhu je dána kinetickou energií tlesa. V maximální výšce h, kterou tleso dosáhne, je zase celková energie dána potenciální energií tlesa. Pokud uvažujeme potenciální energii tlesa vzhledem k povrchu Zem, mžeme psát: m v κ m M Rh R Protože g κ M R, mžeme pedcházející rovnici upravit na tvar m v mgr h Rh Odtud pro hledané h vyplývá: h v grv R Podmínkou pro to, aby se tleso nevrátilo zpt na Zemi, je, aby se h = (respektujeme jen vliv zemského gravitaního pole), tj. gr v = takže poátení rychlost musí mít hodnotu minimáln v gr m.s což je druhá kosmická rychlost. Mgr. Michal Musílek: Zákon zachování energie ve školské fyzice (práce z teorie vyuování fyzice) 45