Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 25. května 200
Obsah Matematická analýza a 5 Výroky, důkazové techniky a množiny.................................... 5. Výroková a predikátová logika.................................... 5.2 Základní typy důkazů......................................... 7.3 Množiny a množinové operace..................................... 7.4 Zobrazení a funkce........................................... 9 2 Reálná a komplexní čísla............................................ 2. Reálná čísla............................................... 2.2 Komplexní čísla............................................. 3 3 Mohutnosti množin............................................... 4 4 Limity posloupností reálných čísel...................................... 5 4. Úvod.................................................. 5 4.2 Vlastní limita posloupnosti...................................... 5 4.3 Nevlastní limita posloupnosti..................................... 7 4.4 Monotónní posloupnosti a hlubší věty o posloupnostech...................... 9 5 Řady reálných čísel............................................... 22 5. Úvod.................................................. 22 5.2 Kritéria konvergence řad........................................ 24 6 Reálné funkce jedné reálné proměnné..................................... 26 6. Základní definice............................................ 26 6.2 Věty o limitách............................................. 28 6.3 Funkce spojité na intervalu...................................... 30 6.4 Derivace reálné funkce......................................... 3 6.5 Elementární funkce........................................... 34 6.6 Konvexní a konkávní funkce...................................... 36 6.7 Průběh funkce............................................. 37 3
4
Kapitola Matematická analýza a Výroky, důkazové techniky a množiny. Výroková a predikátová logika Definice.. Logika je věda o formální správnosti výroků. Výrok je dobře zformulované tvrzení, o kterém má smysl říci, zda je pravdivé nebo není. Příklady. Obloha je modrá. (Je výrok.) Nový Bydžov je hlavní město Kanady. (Je výrok.) Ahoj! (Není výrok.) Kéž by už byl konec hodiny! (Není výrok.) 2 π je iracionální číslo. (Neví se, ale je to výrok.) Definice.2. Definujeme následující logické spojky a operace: konjunkce A&B: platí oba výroky A i B zároveň; disjunkce A B: platí alespoň jeden z výroků A a B; implikace A = B: platí-li výrok A, pak také platí výrok B (říkáme, že A je postačující podmínka pro B a B je nutná podmínka pro A); ekvivalence A B: výrok A platí právě tehdy, když platí výrok B (říkáme, že A je nutná a postačující podmínka pro B); negace A: výrok A neplatí. Poznámky. () Logická spojka nebo (disjunkce) není vylučující, tj. disjunkce zůstává v platnosti i když platí oba výroky A a B. (2) Je-li premisa implikace A nepravdivá, pak implikace platí vždy bez ohledu na platnost důsledku B (jinými slovy, z nepravdivého výroku plyne cokoli). Definice.3. Výroková funkce V (x,..., x n ) (též výroková forma nebo predikát) je výraz, z něhož vznikne výrok poté, co do něj dosadíme prvky z daných množin A,..., A n za proměnné x,..., x n. Příklad. Výroková funkce V (x): x < 3. Pak platí V (2), ale neplatí V (5). Definice.4. Kvantifikátory: velký (též všeobecný), značíme, čteme pro každé ; malý (též existenční), značíme, čteme existuje. 5
Příklad. Obecný zápis x M y N a, b I : V (x, y, a, b) čteme pro každé x M existuje y N takové, že pro každé a, b I platí výrok V (x, y, a, b) Úmluva.5. Zápis x M : V (x) znamená x M = V (x) a zápis x M : V (x) znamená ( x M : V (x)). Poznámka. Výrok x M, A(x): B(x) znamená x M : A(x) = B(x); x M, A(x): B(x) znamená x M : A(x)&B(x); x M y N : V (x, y) znamená x M ( y N : V (x, y)); x M y N : V (x, y) znamená x M ( y N : V (x, y)). Poznámka.6. Kvantifikátory stejného typu lze libovolně přehazovat, například x y : V (x, y) y x: V (x, y) x, y : V (x, y). Na druhé straně ale kvantifikátory různého typu není možno volně přehazovat, aniž by se změnil smysl výroku. Výrok x y : V (x, y) sice implikuje výrok y x: V (x, y), ale opačná implikace obecně neplatí. Například výrok y N x N: x > y platí, ale y N x N: x > y nikoli. Poznámka. Platí: ( x M : V (x)) x M : V (x); ( x M : V (x)) x M : V (x); ( x M, A(x): B(x)) x M : A(x)& B(x). Cvičení. Nechť M je množina osob přítomných v posluchárně a nechť W (x, y) znamená: osoba x zná příjmení osoby y. Zkoumejte platnost výroků x M y M : W (x, y); Příklad. Platí y M x M : W (x, y); x M y M : W (x, y); y M x M : W (x, y). ( x R y R z R: (z > y = z > x)) ( x R y R z R: (z > y & z x)). Definice.7. Zápis! x M : V (x) čteme existuje právě jedno x M, pro které platí výrok V (x). Příklad: x 0! y 0: y 2 = x. Problém.8. Znegujte výrok: Každý si rád dá jedno pivo, ale ne vždy a ne v každé hospodě. 6
.2 Základní typy důkazů Důkaz přímo: Při důkazu výroku x M : V (x) postupujeme takto:. krok: zvolíme x M pevné, ale libovolné. 2. krok: postupnými dedukcemi vyvozujeme V (x); zatímco při důkazu výroku x M : V (x) máme dvě možnosti: buď najdeme nějaké x 0 M, pro které platí V (x) nebo takové x 0 M nenajdeme, ale dokážeme, že alespoň jedno musí existovat. Důkaz nepřímo: Místo x M : V (x) dokážeme V (x) x M. Podobně místo A B dokážeme B A. Důkaz sporem: Chceme dokázat a = b. Předpokládáme a& b a najdeme výrok v tak, že (a& b) = (v& v). Důkaz rozborem případů. Důkaz matematickou indukcí: Při důkazu tvrzení n N: V (n) dokážeme nejprve V () a potom n N: [V (n) V (n + )]. Příklady. Dokažte přímo, nepřímo a sporem následující tvrzení: je-li n N a n 2 je liché, pak také n je liché. Dokažte indukcí, že každé n N lze zapsat buď ve tvaru 2k nebo va tvaru 2k pro nějaké k N. Dokažte sporem, že neexistuje žádné racionální číslo x, splňující x 2 = 2. Příklady. Existují dvě iracionální čísla x, y taková, že x y Q. Existují dvě osoby v této posluchárně, které mají narozeniny ve stejném týdnu. Existují dvě ženy v Praze, které mají stejný počet vlasů. Problém.9. Ukažte, že počet všech podmnožin množiny {,..., n} je 2 n..3 Množiny a množinové operace Pracujeme v tzv. Zermelo-Frankelově teorii množin dané systémem axiomů. Detaily této teorie sahají hluboko za rámec této přednášky a nebudou zde uvedeny. S objekty teorie množin pracujeme intuitivním (naivním) způsobem. Značení.0. Budeme používat standardní množinové operace a standardní značení: jsou-li A a B dvě množiny, pak značíme A B nebo A B znamená, že množina A je podmnožinou množiny B, tj. [x A x B]); A = B (A rovná se B), pokud mají stejné prvky; prázdnou množinou nazveme množinu neobsahující žádný prvek a značíme ji ; A B = {x; x A & x B} je průnik množin A a B, obecněji, i I A i = {x; i I : x A i }; A B = {x; x A x B} je sjednocení množin A a B, obecněji, i I A i = {x; i I : x A i }; jestliže A B =, řeknem že jsou disjunktní; A \ B = {x A; x / B} je rozdíl A a B; je-li V (x) výroková forma a A množina, pak B = {x A: V (x)} značí množinu těch prvků x z A splňujících V (x). 7
Věta. (de Morganova pravidla). Nechť I, X, A i pro i I jsou množiny. Pak X \ A i = ( ) X \ Ai a X \ A i = ( ) X \ Ai i I i I i I i I Důkaz. Nechť x X \ A i, tj x X a x / A i. Tedy x / A i pro i I. Odtud x X \ A i pro i I. Konečně x ( ) ( ) X \ A i. Obráceně nechť x X \ Ai, pak x X \ Ai pro i I. Tedy x X a x / A i pro i I, tedy x X \ A i. Nechť x X \ A i, tj x X a x / A i. Tedy x / A j pro nějaké j I. Odtud x X \ A j. Tedy x ( ) X \ A i. Obráceně nechť x ( ) X \ A i, pak x X \ Aj pro nějaké j I. tedy x X a x / A j. Též x / A i. Tedy x X \ A i. Definice.2. Nechť A,..., A n jsou množiny. Jejich kartézským součinem rozumíme množinu tedy množinu uspořádaných n-tic [a,..., a n ]. A A n = {[a,..., a n ]; i {,..., n}: a i A i }, Binární relací R mezi množinami A a B rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu A B. Obecně značíme buď arb nebo [a, b] R a hovoříme o relaci mezi A a B nebo také o relaci z A do B. Příklad. Nerovnost mezi reálnými čísly tvoří binární relaci na [0, ]. Tuto relaci lze také graficky znázornit pomocí horního trojúhelníku ve čtverci [0, ] 2. Poznámka. Jakákoli výroková funkce V (x, y) na A B vytváří binární relaci M = {[x, y] A B, V (x, y)} a naopak. Definice.3. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť M A B je binární relace. Pak relaci M B A definovanou předpisem [x, y] M [y, x] M nazýváme inverzní relací k relaci M. Příklad. Inverzní relací k relaci na [0, ] 2 je relace. Definice.4. Nechť A je množina a nechť M A A je binární relace. Řekneme, že M je reflexivní, jestliže x M : [x, x] M, symetrická, jestliže [x, y] M [y, x] M, transitivní, jestliže ([x, y] M&[y, z] M) [x, z] M, antisymetrická, jestliže [x, y] M [y, x] M, slabě antisymetrická, jestliže ([x, y] M&[y, x] M) x = y. Definice.5. Nechť A je množina a nechť M A A je binární relace. Řekneme, že M je ekvivalence, jestliže je reflexivní, symetrická a transitivní; částečné uspořádání (někdy jen uspořádání), jestliže je reflexivní, slabě antisymetrická a transitivní; lineární uspořádání, jestliže je to částečné uspořádání a splňuje, že pro každé dva prvky x, y A nastává buď [x, y] M nebo [y, x] M. Příklady. Nechť A je libovolná neprázdná množina. Pak relace rovnost (=) je ekvivalence na A A. Nechť p N. Pak relace kongruence modulo p, definovaná předpisem je ekvivalence na N N. m n (mod p) m n je dělitelné číslem p, Relace menší nebo rovno než ( ) je lineární uspořádání na R. 8
Nechť A je množina všech funkcí z intervalu [0, ] do R a nechť je relace definovaná předpisem f g x [0, ] : f(x) g(x). pak tvoří na množině A A částečné uspořádání, které není lineární. Je-li X množina a 2 X značí množinu všech jejích podmnožin, pak relace R = {[A, B] 2 X 2 X ; A B} je částečné uspořádání na 2 X, které obecně není lineární. Problém.6. Rozhodněte o platnosti věty: Nechť A, B R jsou neprázdné a nechť platí podmínka Pak B není omezená..4 Zobrazení a funkce β > 0 x A y B : x y > β. Definice.7. Binární relaci F A B nazýváme zobrazením neboli funkcí množiny A do množiny B, jestliže platí Množinu x A y, y 2 B : ([x, y ] F & [x, y 2 ] F = y = y 2 ). {x A; y B : [x, y] F } nazýváme definičním oborem zobrazení (funkce) F a značíme D(F ) (nebo Dom(F )). Množinu {y B; x A: [x, y] F } nazýváme oborem hodnot a značíme H(F ) (nebo Rng(F )). Poznámka. Zobrazení není totéž co předpis, neboť různé předpisy mohou definovat stejné zobrazení. Například zobrazení f : R R a g : R R, definované pomocí předpisů splňují f = g. f(x) := x 2 + 2x +, g(x) := x +, x R, Definice.8. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A B je zobrazení. Pak grafem zobrazení f nazýváme množinu G f := {z A B; x A : [x, f(x)] = z} = {[x, f(x)]; x A}. Poznámky. Graf zobrazení f : A B je binární relací na A B. Mezi grafem a zobrazením rozlišujeme, ačkoli se vzájemně jednoznačně určují. V jiných matematických oborech než v analýze se občas tyto pojmy ztotožňují. Výrok f(x) = y znamená totéž jako výrok [x, y] G f. Binární relace M A B je grafem nějakého zobrazení právě tehdy, jestliže pro každé x A existuje nejvýše jedno y B takové, že [x, y] M. Cvičení. Nechť A = [0, ], B = [0, 2]. Rozhodněte, která z následujících relací je grafem nějakého zobrazení: M := { [x, y] A B; x 2 + y 2 = } ; M 2 := {[x, y] A B; y x = 0} ; M 3 := { [x, y] A B; x 2 + (y ) 2 = }. Definice.9. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A B je zobrazení. 9
Nechť M A. Pak množinu nazýváme obrazem množiny M při zobrazení f. Nechť P je libovolná množina. Pak množinu nazýváme vzorem množiny P při zobrazení f. f(m) := {y B; x M : f(x) = y} f (P ) := {x A; f(x) P } Definice.20. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A B je zobrazení. () Řekneme, že f je prosté (injektivní), jestliže (2) Řekneme, že f je na (surjektivní), jestliže x, y A: [f(x) = f(y) x = y]. y B x A: f(x) = y. (3) Řekneme, že f je bijekce (vzájemně jednoznačné), jestliže je zároveň prosté a na. Poznámka. Abychom mohli říci, zda nějaké zobrazení je na, musí být přesně zadána koncová množina B (takže (2) a (3) můžeme chápat jako vlastnosti zobrazení f a množiny B). Definice.2. Nechť A a B jsou dvě množiny, nechť f : A B je zobrazení a nechť C A. Pak zobrazení g : C B, definované předpisem g(x) = f(x), x C, nazýváme restrikcí (zúžením nebo parcializací) zobrazení f na množinu C. Nechť A, B, C jsou tři množiny a nechť f : A B, g : B C jsou dvě zobrazení. Pak zobrazení g f : A C, definované předpisem (g f)(x) := g(f(x)), x A, nazýváme složeným zobrazením (složením zobrazení f a g), přičemž g nazýváme vnějším zobrazením a f nazýváme vnitřním zobrazením. Poznámka. Skládání zobrazení je asociativní operace, ale není komutativní (cvičení). Definice.22. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A B je prosté. Pak zobrazení f : f(a) A, definované předpisem f (y) = x y = f(x), x A, y f(a), nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení f. Poznámky. K neprostému zobrazení nelze definovat inverzní zobrazení (lze definovat inverzní binární relaci, ta ale nebude zobrazením). Příkladem je funkce y = x 2 pro x R a y [0, ). Ve smyslu binárních relací platí G f = G f. Příklady. Inverzním zobrazením k zobrazení f : x log x, x (0, ), je zobrazení f : y exp y, y R. Zobrazení f : x sin x, není prosté na množině R a tedy nelze definovat zobrazení k němu inverzní. Lze však toto zobrazení zúžit na množinu [ π 2, π 2 ]. Tato restrikce již prostá je a lze definovat inverzní zobrazení f : y arcsin y, y [, ]. Příklad. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A B je zobrazení. Pak f je prosté právě tehdy, když rovnice f(x) = y má pro každé y B nejvýše jedno řešení; f je na právě tehdy, když rovnice f(x) = y má pro každé y B alespoň jedno řešení; f je bijekce právě tehdy, když rovnice f(x) = y má pro každé y B právě jedno řešení. Problém.23. Nechť f : A C a g : A B splňují g(a) = B. Najděte nutnou a postačující podmínku pro existenci zobrazení h : B C splňující f = h g. 0
2 Reálná a komplexní čísla 2. Reálná čísla Intuitivně budeme zacházet s množinami N, Z, Q. Axiomaticky si zavedeme R. Množinu reálných čísel R lze popsat jako množinu, na níž jsou definovány operace sčítání a násobení, které budeme značit obvyklým způsobem, a relace uspořádání ( ), přičemž jsou splněny následující tři skupiny vlastností. I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení III. Axiom suprema I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah x, y, z R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativita sčítání), x, y R : x + y = y + x (komutativita sčítání), w R x R : w + x = x (prvek w je určen jednoznačně, značíme ho 0 a říkáme mu nulový prvek), x R z R : x + z = 0 (z je tzv. opačné číslo k číslu x, je určeno jednoznačně a značíme ho x), x, y, z R : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení), x, y R : x y = y x (komutativita násobení), v R \ {0} x R : prvek), v x = x (prvek v je určen jednoznačně, značíme ho a říkáme mu jednotkový x R \ {0} y R : x y = (prvek y je určen jednoznačně a značíme ho x nebo x ), x, y, z R : (x + y) z = x z + y z (distributivita). II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení Značení 2.. x, y, z R : (x y & y z) = x z (tranzitivita), x, y R : (x y & y x) = x = y (slabá antisymetrie), x R : x x (reflexivita), x, y R : x y y x, x, y, z R : x y = x + z y + z, x, y R : (0 x & 0 y) = 0 x y. Označení x y znamená totéž co y x. Symbolem x < y budeme značit situaci, kdy x y, ale x y (tzv. ostrá nerovnost). Reálná čísla, pro něž x > 0 (resp. x < 0), budeme nazývat kladnými (resp. zápornými). Reálná čísla, pro něž x 0 (resp. x 0), budeme nazývat nezápornými (resp. nekladnými). Definice 2.2. Řekneme, že množina M R je omezená zdola, jestliže existuje číslo a R takové, že pro každé x M platí x a. Takové číslo a se nazývá dolní závorou množiny M. Analogicky definujeme pojmy množina omezená shora a horní závora. Řekneme, že množina M R je omezená, je-li omezená shora i zdola. Definice 2.3. Nechť M R. Číslo s R splňující x M : x s, s R, s < s x M : x > s,
nazýváme supremem množiny M. Poznámka. Nechť M R. Má-li množina M supremum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej sup M. Definice 2.4. Nechť M R. Řekneme, že a je největší prvek (maximum) množiny M, jestliže a M a a je horní závorou množiny M. Analogicky definujeme nejmenší prvek (minimum) M. Maximum a minimum jsou určeny jednoznačně (pokud existují) a značíme je max M a min M. III. Axiom suprema Každá neprázdná shora omezená podmnožina R má supremum. Věta 2.5 (Existence a jednoznačnost R). Existuje čtveřice (R, +,, ) splňující podmínky I III, přičemž je těmito podmínkami určena jednoznačně v následujícím smyslu. Pokud čtveřice ( R,,, ) splňuje mutatis mutandis podmínky I III, pak existuje bijekce ϕ : R R taková, že pro každé x, y R platí ϕ(x + y) = ϕ(x) ϕ(y), ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y), x y = ϕ(x) ϕ(y). Definice 2.6. Nechť M R. Číslo i R splňující x M : x i, i R, i > i x M : x < i, nazýváme infimem množiny M. Poznámka. Nechť M R. Má-li množina M infimum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej inf M. Definice 2.7. Nechť a < b. Pak otevřeným intervalem (a, b) nazýváme množinu (a, b) := {x R, a < x < b}. Obdobně definujeme uzavřený interval [a, b] a polouzavřené intervaly [a, b) a (a, b] předpisem [a, b] := {x R; a x b} pro < a < b <, [a, b) := {x R; a x < b} pro < a < b, (a, b] := {x R; a < x b} pro a < b <. Ve všech případech nazýváme bod a počátečním bodem a bod b koncovým bodem intervalu. Poznámky. V definici intervalu vždy předpokládáme, že počáteční bod je ostře menší než koncový bod. Takže množinu [a, a] = {a} nepovažujeme za interval. Literatura není v tomto bodě jednotná, v některých pramenech se tato množina považuje za interval, který se někdy označuje termínem degenerovaný. Počáteční nebo koncový bod nemusí být prvkem intervalu. Může být prvkem intervalu tehdy, jestliže to není jedno z nekonečen. Věta 2.8 (Existence infima). Nechť M R je neprázdná zdola omezená množina. Pak existuje infimum množiny M. Důkaz. Definujme množinu M = {x R; x M}. Potom M je neprázdná shora omezená, dle axiomu existuje s = sup( M). Číslo z splňuje vlastnosti infima M a inf M = z. Věta 2.9 (Existence celé části). Pro každé r R existuje právě jedno číslo k Z takové, že k r < k +. Důkaz. Nechť [x] = max(z (, z]). Každá neprázdná shora omezená podmožina Z má maximum. Nyní nechť [u] = k a [x] = l a l k. BÚNO k > l, k l Z. Dál l k < a 0 < l k < spor. Věta 2.0 (Archimédova vlastnost R). Ke každému x R existuje n N splňující x < n. 2
Důkaz. Nechť x R n N : n x. Pak N je neprazdná, shora omezená, tedy sup N = m. Dle vlastnosti suprema n N : m 2 < n < m. Tedy m < n + 2 < n +. Přirozená čísla jsou nejmnenší induktivní množinou, tedy n N S(n) N, spor s první vlastností suprema. Věta 2. (Hustota Q). Nechť a, b R, a < b. Pak existuje q Q takové, že a < q < b. m Důkaz. Dle Archimedovy vlastnosti n N : b a < n. Tedy m R : hustota R \ Q. Zvolme a < q < q 2 < b, potom zjevně q + q2 q 2 n (R \ Q) (a, b). (a, b). Tedy g = m n. Obdobně se ukáže Věta 2.2 (Existence n-té odmocniny). Pro každé n N a x R, x 0, existuje právě jedno y R, y 0, splňující y n = x. Důkaz. Definujme množiny M, M 2. M = {k [0, ); k n x} a y = sup M, M 2 = {k [0, ); k n x} a y 2 = sup M 2. Ukažme, že y n x a y2 n x. Nechť y n > x. Dle Archimedovy vlastnosti m N tak, že m > nyn y n x. Z vlastnosti suprema plyne k M : y m < k < y. Tedy y < k + m. Odtud y n x y n k n = (y k)(y n +... + k n ) < m (yn +... + y n ) = nyn m < yn x. Tedy y n x < y n x spor, tedy platí y n x. Oddobně se ukáže y 2 x. Ukažme, že y = y 2. Kdyby y < y 2, tak q (y, y 2 ), q / M, q / M 2. Protože však M M 2 = [0, ) spor. Definice 2.3. Pro reálné číslo x R definujeme absolutní hodnotu x := max {x, x} Poznámka. Absolutní hodnota splňuje takzvanou trojúhelníkovou nerovnost: x, y, z R: x y x z + z y. Problém 2.4. Nechť A R je omezená a neprázdná. Pak platí 2.2 Komplexní čísla sup A inf A = sup{x y; x, y A}. Definice 2.5. Množinu komplexních čísel C definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a, b R, přičemž pro komplexní čísla x = (a, b), y = (c, d) definujeme operace sčítání a násobení takto x + y = (a + c, b + d), x y = (ac bd, ad + bc). Dále definujeme 0 = (0, 0), = (, 0) (sic!) a i = (0, ). Nechť x = (a, b) C. Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x. Absolutní hodnotou komplexního čísla x rozumíme a 2 + b 2. Komplexně sdruženým číslem k x rozumíme číslo x = (a, b); symbol x značí číslo ( a, b) a symbol /x značí pro x 0 (jednoznačně určené) číslo splňující x x =. Poznámka. Absolutní hodnota splňuje takzvanou trojúhelníkovou nerovnost: x, y, z C: x y x z + z y. Problém 2.6. Nechť A n C, n N, jsou množiny. Pak platí {z C; {n N; z / A n } je konečná} = {z C; {n N; z A n } není konečná} = n= k=n n= k=n A k, A k. 3
3 Mohutnosti množin Definice 3.. Říkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost, jestliže existuje bijekce A na B. Říkáme, že množina A má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny B, jestliže existuje prosté zobrazení A do B. Definice 3.2. Nechť X je množina, množinu 2 X = exp X = {A; A X} nazýváme potenční množinou množiny X (nebo potencí množiny X). Věta 3.3 (Cantor Bernstein). Nechť A, B jsou množiny takové, že A má mohutnost menší nebo rovnu než B a B má mohutnost menší nebo rovnu než A. Pak mají stejnou mohutnost. Definice. Uspořádání (X, ) je úplný svaz, jestliže každá podmnožina X má supremum i infimum. Lemma. Buď (X, ) uplný svaz a f : X X buď neklesající funkce, tj. taková, že pro každé a, b X platí a b f(a) f(b). Potom existuje pevný bod funkce f, tj. existuje b X tak, že f(b) = b. Důkaz. Množina Y = {a X; a f(a)} je neprázdná, neboť obsahuje inf X. Buď b = sup Y. Je b f(b) jelikož f(b) majorizuje Y. Tedy f(b) f(f(b)) a f(b) Y, tudíž f(b) b, odkud plyne b = f(b). Důkaz. Buď dle definice f prosté zobrazení A do B a g prosté zobrazení B do A. Zobrazení h : 2 X 2 X definujme předpisem h(u) = A \ g[b \ f[u]]. Zřejmě je h neklesající funkce v úplném svazu (2 X, ), buď tedy V 2 X jeho pevný bod. Tedy X \ V = g[b \ f[v ]. Zobrazení H : A B definujme takto: { f(a), pro a V, H(a) = g (a), pro a A \ V. Potom H je zobrazení prosté a na. Věta 3.4 (Cantor). Nechť X je množina. Pak neexistuje zobrazení ϕ : X exp X, které je na. Důkaz. Jistě je X subvalentní 2 X. Buď zobrazení ϕ : X 2 X, které je na. Pak buď Y = {a X; a / ϕ(a)}. Pak b X : Y = ϕ(b) a b ϕ(b) b / ϕ(b). Definice 3.5. Řekneme, že množina X je nekonečná, jestliže má stejnou mohutnost jak nějaká její vlastní podmnožina. V opačném případě říkáme, že X je konečná. Řekneme, že množina X je spočetná, jestliže je konečná nebo má stejnou mohutnost jako N. Nekonečná množina, která není spočetná, se zove nespočetná. Příklady. Tato fakta nebudou na přednášce dokazována: Je-li A neprázdná množina, je A konečná právě tehdy, když existuje n N tak, že A má stejnou mohutnost jako {,..., n}. Množiny N a N N jsou spočetné. Jakákoli nekonečná podmnožina N je také spočetná. Množina racionálních čísel Q je spočetná. Množiny R, (0, ), exp N jsou nespočetné. Navíc mají všechny tyto tři množiny stejnou mohutnost. Problém 3.6. Nechť f : N N. Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení: Je-li f(n) konečná, není f prosté; Je-li f(n) nekonečná, je f prosté; Je-li N \ f(n) =, je f prosté; Je-li f prosté, je N \ f(n) =. 4
4 Limity posloupností reálných čísel 4. Úvod Definice 4.. Posloupností reálných čísel nazýváme jakékoli zobrazení z množiny N do množiny R. Posloupnost obvykle značíme symbolem {a n }, případně {a n } n= nebo {a n} n N. Pro každé konkrétní n N nazýváme reálné číslo a n n-tým členem posloupnosti {a n }. Příklady. a n = n n, n N \ {}; Fibonacciho posloupnost,, 2, 3, 5, 8, 3, 2,... je dána rekurentním předpisem Look and say sequence:,, 2, 2, 22,... a =, a 2 =, n N, n 3 : a n = a n 2 + a n. Definice 4.2. Nechť {a n } je posloupnost reálných čísel. Říkáme, že {a n } je omezená, jestliže je množina {a n ; n N} je omezená v R. Říkáme, že {a n } je neklesající, jestliže n N : a n a n+. Analogicky definujeme posloupnost zdola omezenou, shora omezenou, nerostoucí, klesající, rostoucí a monotónní. 4.2 Vlastní limita posloupnosti Definice 4.3. Nechť {a n } je posloupnost reálných čísel a A R. Řekneme, že A je vlastní limitou posloupnosti {a n }, jestliže ε > 0 n 0 N n n 0, n N : a n A < ε. Značíme lim n a n = A, lim a n = A nebo a n A. Poznámka. Pro posloupnost {a n } jsou následující výroky ekvivalentní: (i) lim a n = A, (ii) ε > 0 n 0 N n > n 0, n N : a n A < ε, (iii) ε > 0 n 0 N n n 0, n N : a n A ε, (iv) ε 0 > 0 ε (0, ε 0 ) n 0 N n n 0, n N : a n A < ε, (v) ε > 0: {n N; a n (A ε, A + ε)} je konečná. Následující tvrzení ukazuje důležitý a užitečný fakt, že v definici limity můžeme a n A < ε nahradit například a n A < 2ε nebo a n A < Kε, kde K je nějaká konstanta. Tvrzení 4.4. Nechť K > 0, nechť {a n } je posloupnost, nechť A R a platí Potom ε > 0 n 0 N n n 0, n N : a n A < Kε. lim a n = A. n Důkaz. Implikace se ověří snadno volbou K =. Opačně pro zadané ε > 0 zvolme ε = ε K. Pak n 0 N n n 0 : a n A < Kε = ε. Definice 4.5. Jestliže existuje A R tak, že lim n a n = A, pak říkáme, že posloupnost {a n } má vlastní limitu nebo že konverguje (je konvergentní). V opačném případě říkáme, že posloupnost diverguje. Poznámka. Není-li posloupnost definována pro konečně mnoho indexů n N, při vyšetřování limity ji dodefinujeme jakkoliv a zkoumáme existenci limity pro tuto novou posloupnost. Příklady. 5
() lim n n = 0; (2) lim n ( n + n ) = 0; (3) lim n n n = ; (4) vlastní limita {( ) n } a {2 n } neexistuje. Věta 4.6 (O jednoznačnosti limity posloupnosti). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz. Nechť lim n a n = A a lim n a n = B, BÚNO A < B. Zvolme B A 2 = ε. Pak n, n N n n : a n A < ε & n n 2 : a n B < ε. Potom pro n max{n, n 2 } platí a n < a + ε = b ε < a n, spor. Věta 4.7 (O omezenosti konvergentní posloupnosti). Každá konvergentní posloupnost je omezená. Důkaz. Nechť lim n a n = A. Pro ε = najdeme n 0 tak, že pro n n 0 platí a n (A, A + ). Zvolme C = max{ a,..., a n0, A +, A }. Pak a n C. Definice 4.8. Nechť {a n } n N je posloupnost reálných čísel. Řekneme, že posloupnost {b k } k N je vybraná z posloupnosti {a n } n N neboli, že posloupnost {b k } k N je podposloupnost posloupnosti {a n } n N, jestliže existuje rostoucí posloupnost přirozených čísel {n k } taková, že b k = a nk pro všechna k N. Věta 4.9 (O limitě vybrané posloupnosti). Nechť {a n } n N je posloupnost reálných čísel a nechť lim n a n = A. Nechť posloupnost {b k } k N je vybraná z posloupnosti {a n } n N. Pak lim k b k = A. Důkaz. Nechť {n k } k N je posloupnost indexů, že b k = a nk. Pro dané ε > 0 existuje n 0 N, že pro n n 0 platí a n A < ε. Najděme k 0, že n k0 n 0, pak k k 0 dostaneme n k n k0 a b k A = a nk A < ε. Věta 4.0 (Aritmetika limit). Nechť {a n } n N a {b n } n N jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť lim n a n = A R a lim n b n = B R. Pak platí: (a) lim n (a n + b n ) = A + B, (b) lim n (a n b n ) = A B, (c) je-li B 0, pak lim n a n bn = A B. Důkaz. Pro dané ε > 0 n, n N n n : a n A < ε & n n 2 : b n B < ε. Zvolme navíc C > 0, že n N a n C. (a) Pro n max{n, n 2 } máme (a n + b n ) (A + B) a n A + b n B < 2ε. (b) Zvolme ε > 0 tak, že ε (C + B ) < ε. Pak pro ε najdeme n a n 2 jako výše. Pro n max n, n 2 platí a n b n AB = a n b n a n B+a n B AB a n (b n B) + B(a n A) a n b n B + B a n A Cε + A ε < ɛ. (c) Stačí dokázat, že lim n b n = B pro B 0. Zvolme ε > 0 tak, že ε 2 B < ε pro dané ε > 0. Pak najdeme 2 n N, že b n (B B 2, B + B 2 ), tedy b n B 2 pro n n. Nyní najdeme n 2 N, že b n (B ε, B + ε ) pro n n 2. Nyní pro n max{n, n 2 } a b 0 máme b n B = B b n b n B < 2ε B B < ε. Cvičení. Dokažte, že platí implikace lim n a n = A lim n a n = A. Platí opačná implikace? Platí opačná implikace ve speciálním případě, kdy A = 0? Věta 4. (O limitě a uspořádání). Nechť {a n } n N a {b n } n N jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť lim n a n = A R a lim n b n = B R. (a) Jestliže A < B, potom n 0 N n n 0 : a n < b n. 6
(b) Jestliže n 0 N n n 0 : a n b n, Důkaz. pak A B. (a) Zvolme ε = B A 4 a n, n N n n : a n A < ε & n n 2 : b n B < ε. Pak pro n max{n, n 2 } máme a n < a + ε < b ε < b n. (b) Nechť A < B, pak dle (a) n 0 N n n 0 : a n < b n, spor. Poznámka. Z nerovnosti n 0 N n n 0 : a n > b n obecně neplyne A > B. Příkladem jsou posloupnosti {a n } = { n } n N a {b n } = 0, 0, 0,..., pro které platí n N : a n > b n, ale lim n a n = lim n b n = 0. Věta 4.2 (O dvou policajtech). Nechť {a n } n N, {b n } n N a {c n } n N jsou tři posloupnosti reálných čísel, splňující (i) n 0 N n N, n n 0 : a n c n b n, (ii) lim n a n = lim b n = A R. Pak lim c n = A. Důkaz. Pro dané ε > 0 n, n N n n : a n A < ε & n n 2 : b n A < ε. Pak pro n max{n 0, n, n 2 } platí A ε < a n c n b n < A + ε, tj, c n (A ε, A + ε). Příklad. Nechť a R, a > 0. Pak lim n a =. n Věta 4.3 (O limitě součinu omezené a mizející posloupnosti). Nechť {a n } n N a {b n } n N jsou dvě posloupnosti reálných čísel, nechť lim n a n = 0 a {b n } je omezená. Pak lim (a n b n ) = 0. n Důkaz. Buď C > 0, b n C pro n N. Pro dané ε > 0 najděme n 0 tak, že a n 0 < ε C pro n n 0. Potom a n b n 0 = a n b n < ε. 4.3 Nevlastní limita posloupnosti Definice 4.4. Řekneme, že posloupnost {a n } má limitu +, jestliže K R n 0 N n n 0, n N : a n K. Obdobně řekneme, že posloupnost {a n } má limitu, jestliže K R n 0 N n n 0, n N : a n K. Jestliže má posloupnost limitu + nebo, pak říkáme, že má nevlastní limitu. Příklady. lim n n2 = +, lim (n + )n =. n 7
Poznámka. Všechny možné situace jsou znázorněny na následujícím diagramu: Definice 4.5. Množinu limita posloupnosti nazýváme rozšířenou reálnou osou. Na množině R je definováno uspořádání předpisem neexistuje vlastní existuje nevlastní R := R {+, } { + a R : < a < +, absolutní hodnota předpisem a operace + a předpisy Následující výrazy nejsou definovány: a R \ {+ } : ± = + + a =, a R \ { } : + a =, a R, a > 0 : a R, a < 0 : a R : +, 0 (± ), a (± ) = ±, a (± ) =, a ± = 0. ± ±, cokoli. 0 Nyní se budeme zabývat platností vět v této kapitole v případě, že připustíme nevlastní limity. Poznámka 4.6. Věty 4.6, 4.9, 4. a 4.2 platí v nezměněné podobě, jestliže připustíme nevlastní limity. Věta 4.7 zřejmě neplatí, neboť je-li lim n a n = nebo lim n a n =, pak posloupnost {a n } není omezená. Větu 4.0 pro rozšířenou reálnou osu uvedeme zvlášť. Věta 4.7 (Aritmetika limit pro nevlastní limity). Nechť {a n } n N a {b n } n N jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť lim n a n = A R a lim n b n = B R. Pak platí: (a) lim n (a n + b n ) = A + B, pokud je výraz A + B definován; (b) lim n (a n b n ) = A B, pokud je výraz A B definován; (c) je-li B 0, pak lim n a n bn Důkaz. = A B, pokud je výraz A B definován. (a) Nechť lim n a n =, lim n b n = B R. Pro libovolné K najdeme n, že pro n n je b n (B K, B+K) a n 2 tak, že pro n n 2 je a n > 2K B. Pak pro n max{n, n 2 } platí a n + b n > 2K B + B K = K. (b) Nechť lim n a n =, lim n b n =. Pro libovolné K < 0 najdeme n (resp. n 2 ), že pro n n (resp. n 2 ) je a n > (resp. b n < K). Pro n max{n, n 2 } platí a n b n < a n K < K. (c) Nechť lim n a n = A R, lim n b n =. Zvolme pro dané ε > 0 n N (resp. n 2 N), že pro n n (resp. n n 2 ) platí a n (A, A + ) (resp. b n > A+ ε ). Pak pro n max{n, n 2 } platí a n 0 b n = a n A + b n < ε A+ ε. 8
Příklady. Předpoklad definovanosti výrazů na pravé straně ve Větě 4.7 nelze vynechat, jak ilustrují následující příklady. Nechť K R je libovolné reálné číslo, nechť a n = n a b n = n + K. Pak lim a n =, n lim b n = a lim (a n b n ) = K. n n To ale není možno vyvodit z Věty 4.7, neboť lim n a n lim n b n =, což není definovaný pojem. Nechť a n = ( )n n. Pak lim n a n = 0, ale lim n a n neexistuje ani nevlastní. Rozšířená reálná osa nám umožní rozšířit pojem suprema a infima pro neomezené množiny a také pro prázdnou množinu. Definice 4.8. Nechť A R je shora neomezená. Pak klademe sup A := +. Nechť A R je zdola neomezená. Pak klademe inf A :=. Nechť A =. Pak klademe sup A := a inf A := +. Poznámka. Prázdná množina je jediná množina, jejíž supremum je menší než infimum. Věta 4.9 (O limitě podílu kladné a mizející posloupnost). Nechť {a n } n N a {b n } n N jsou dvě posloupnosti reálných čísel, nechť lim n a n = A R, A > 0, a nechť lim n b n = 0. Nechť Pak n 0 N n n 0, n N : b n > 0. a n lim = +. n b n Důkaz. Dle věty 4.7 stačí ukázat lim n b n =. Pro dané K > 0 najdeme n N, že pro n n je b n < K. Pro n max{n 0, n } platí b n > K. 4.4 Monotónní posloupnosti a hlubší věty o posloupnostech Věta 4.20 (O limitě monotónní posloupnosti). Každá monotónní posloupnost má limitu. Důkaz. Nechť {a n } n N je neklesající, položme a = sup{a n ; n N}. Ukažme, že lim n a n = a. (a) a R. Pro každé ε > 0 najdeme n 0 N tak, že a n0 > a ε a pro n n 0 máme a ε < a n0 a n a. (b) a =. Dáno K R, najdeme n 0 N tak, že a n0 > K. Pak pro n n 0 platí K < a n0 a n. Obdobně se ukáže pro {a n } n N nerostoucí. Poznámka. Je-li posloupnost neklesající (nerostoucí) a navíc shora (zdola) omezená, pak má vlastní limitu. Je-li posloupnost neklesající (nerostoucí) a navíc shora (zdola) neomezená, pak má limitu + ( ). Definice 4.2. Nechť {a n } n N je posloupnost reálných čísel. Pak definujeme { lim n sup{a k ; k n}, jestliže je a n shora omezená lim sup a n :=, jestliže je a n shora neomezená. Tuto hodnotu nazýváme limes superior posloupnosti {a n } n N. Obdobně definujeme limes inferior posloupnosti {a n } n N předpisem { lim n inf{a k ; k n}, jestliže je a n zdola omezená lim inf a n :=, jestliže je a n zdola neomezená. Poznámka. 9
Je-li {a n } omezená, pak posloupnost b n = sup{a k ; k n}, n N, je zřejmě nerostoucí a podobně posloupnost c n = inf{a k ; k n} je neklesající. Z Věty 4.20 tedy vyplývá, že obě mají limitu. Navíc Tedy lim inf a n lim sup a n. c n a n b n, n N. Rovnost lim inf a n lim sup a n platí i pro obecné posloupnosti. Je-li lim sup a n =, pak {a n } je shora neomezená. Poznámka. Limes superior a limes inferior jsou dobře definované hodnoty a platí lim sup a n R, lim inf a n R. Na rozdíl od limity, která nemusí existovat, tyto dvě hodnoty existují pro libovolnou posloupnost reálných čísel. Cvičení. Nechť a n = ( ) n, n N. Pak lim sup a n = a lim inf a n =. Věta 4.22 (O vztahu limity, limes superior a limes inferior). Nechť {a n } n N je posloupnost reálných čísel a A R. Potom lim a n = A právě tehdy, když lim sup a n = lim inf a n = A. Důkaz. Nechť b n = sup{a k ; k n} a c n = inf{a k ; k n}, n N. Ukažme implikaci (ii) (i). (a) A =. Pak {a n } je zdola omezená a platí c n a n, tedy lim n a n = z věty 4.2. (b) A =. Pak {a n } je shora omezená a platí a n b n, tedy lim n a n = z věty 4.2. (c) A R. Pak {a n } je omezená a platí c n a n b n, tedy lim n a n = A z věty 4.2. Implikace (i) (ii) (a) A =. Pak {a n } není shora omezená, tedy lim sup a n =. Pro K > 0 najdeme n 0 tak, že a n > K pro n n 0. Pak c n = inf{a k ; k > n} K pro n n 0. Tedy lim inf a n =. (b) A =. Analogicky. (c) A R. Dáno ε > 0, zvolme n 0 N tak, že a n (A ε, A+ε) pro n n 0. Pak platí A ε c n a n b n A+ε a lim inf a n = lim sup a n = A. Poznámka 4.23. Nechť {a n } n N a {b n } n N jsou dvě posloupnosti reálných čísel. Potom pokud mají výrazy smysl. lim inf a n + lim inf b n lim inf(a n + b n ) lim sup(a n + b n ) lim sup a n + lim sup b n, Definice 4.24. Nechť {a n } n N je posloupnost reálných čísel. Pak A R nazveme hromadnou hodnotou posloupnosti {a n }, jestliže existuje vybraná posloupnost {a nk } k N taková, že lim k a nk = A. Množinu všech hromadných hodnot značíme H({a n }). Věta 4.25 (O vztahu limes superior, limes inferior a hromadných hodnot). Nechť {a n } n N je posloupnost reálných čísel. Potom H({a n }), lim sup a n = max H({a n }) a lim inf a n = min H({a n }) (maximum a minimum se uvažuje v R ). Důkaz. (a) {a n } je shora neomezená, pak lim sup a n = H({a n }). (b) {a n } je zdola neomezená, pak lim inf a n = H({a n }). (c) {a n } je shora omezená, pak lim sup a n H({a n }). 20
(d) {a n } je zdola omezená, pak lim inf a n H({a n }). (e) momentálně se mi to nechce celé psát... Cvičení. Je-li lim a n = A, pak H({a n }) = {A}. Pro a n = ( ) n je H({a n }) = {, }. Pro a n = sin n je H({a n }) = [, ] (možná bude na prosemináři). Věta 4.26 (Bolzanova Weierstrassova). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Důkaz. Platí < lim inf a n lim sup a n <. Protože lim sup a n H({a n }) dle věty 4.25 jsme hotovi. Věta 4.27 (Bolzanova Cauchyova podmínka). Posloupnost {a n } má vlastní limitu právě když splňuje Bolzanovu Cauchyovu podmínku, tj. ε > 0 n 0 N m, n N, n n 0, m n 0 : a n a m < ε. Důkaz. Buď lim n a n = A R. Pro dané ε zvolmen 0 N tak, že a n A < ε 2 m, n n 0 platí a n a m = a n A + A a m a n A + a m A ε. Ať {a n } splňuje BC podmínku. pro n n 0. Pak pro (a) {a n } je omezená. Najdeme n 0 N, že pro m, n n 0 platí a n a m <, pak C = max{ a,..., a n0, a n0 + } splňuje a n C pro n N. (b) Ať {a nk } je podposloupnost konvergující k A R (Bolzanova Wierstrassova. (c) lim n a n = A. Dáno ε > 0, hledáme n 0 N, že a n A < ε pro n n 0. Najdeme n N, že a n a m < ε pro n, m n. Najdeme k N, že a nk a < ε pto k k. Najdeme k 2 k 2, že n k2 n. Pak pro n n 0 = n k2 platí a n A = a n a nk2 + a nk2 A a n a nk2 + a nk2 A < ε + ε = 2ε. Problémy 4.28. Rozhodněte o platnosti tvrzení: Je-li {a n } konvergentní, pak existuje max{a n ; n N} nebo min{a n ; n N}. Nechť {a n } je posloupnost kladných čísel konvergující k 0. Dokažte, že existuje vybraná klesající podposloupnost. Nechť dvě ze tří posloupností {a n }, {b n } a {a n + b n } konvergují. Ukažte, že i zbývající konverguje. Sestrojte posloupnost kladných čísel {a n } tak, že lim a n = 0 a posloupnost {a n+k } n= není monotónní pro každé k N. Nechť lim a n = a, a R a f : N N je prosté. Ukažte, že lim a f(n) = a. Sestrojte konvergentní posloupnost {a n } tak, že pro každé ε (0, ) existuje k N splňující a 2 a + a 3 a 2 + + a k a k > ε. Najděte kladná čísla a n,k, n, k N, tak, že lim n,k = 0, n k N, lim n,k =, k n N. 2
5 Řady reálných čísel 5. Úvod Definice 5.. Nechť {a n } n N je posloupnost reálných čísel. Číslo s m = a + a 2 + + a m nazýváme m-tým částečným součtem řady n= a n. Součtem nekonečné řady n= a n nazýváme limitu posloupnosti {s m } m N, pokud tato limita existuje. Tuto limitu (tj. součet řady) budeme značit symbolem n= a n. Píšeme n= a n = lim m s m. Jestliže existuje lim m s m vlastní (tj. jestliže má řada n= a n konečný součet), pak říkáme, že řada konverguje, neboli je konvergentní. Jestliže limita neexistuje nebo existuje, ale je nevlastní, pak říkáme, že řada diverguje, neboli je divergentní. Cvičení 5.2. Řada n= ( )n diverguje, neboť posloupnost částečných součtů splňuje a tedy lim m s m neexistuje. Řada n= qn konverguje právě když q <. Řada n= n 2 konverguje a jejím součtem je číslo π2 6. s =, s 2 = 0, s 3 =,..., Řadu n= n nazýváme harmonickou řadou. Harmonická řada diverguje, neboť pro každé m N jest s m = + 2 + 3 + + m, a tedy s 2m s m = m + + m + 2 + + 2m m 2m = 2, m N, takže posloupnost částečných součtů harmonické řady nesplňuje Bolzanovu Cauchyovu podmínku, a tedy podle Věty 4.27 nemá vlastní limitu. Poznámka. Konvergence řady nezávisí na konečně mnoha členech. Přesněji, následující podmínky jsou ekvivalentní pro řadu a n : (i) n= a n konverguje; (ii) existuje k N, že n=k a n konverguje; (iii) pro každé k N řada n=k a n konverguje. Věta 5.3 (Nutná podmínka konvergence). Je-li n= a n konvergentní, pak lim n a n = 0. Poznámka. Nutná podmínka z Věty 5.3 sama o sobě není postačující pro konvergenci řady. Protipříkladem je harmonická řada, případně další řady jako například n= n, n=2 log n a podobně. Tyto řady sice divergují, ale limita obecného členu a n je ve všech případech rovna nule. Věta 5.4 (Linearita množiny konvergentních řad). 22
(a) Nechť α R \ {0}. Potom a n konverguje n= α a n n= konverguje. Pokud n= a n konverguje a α R, pak n= αa n = α n= a n. (b) Nechť řady n= a n a n= b n konvergují. Pak konverguje také řada n= (a n + b n ) a platí n= (a n + b n ) = n= a n + n= b n. Poznámka 5.5. Nechť n= a n je řada s nezápornými členy. Pak je buď konvergentní nebo má součet +. To plyne ihned z toho, že pro řadu s nezápornými členy je posloupnost částečných součtů neklesající. Věta 5.6 (Srovnávací kritérium pro konvergenci řad). Nechť n= a n a n= b n jsou dvě řady s nezápornými členy. Nechť existuje n 0 N takové, že pro všechna n N, n n 0 platí a n b n. Potom (a) n= b n konverguje, pak n= a n konverguje, (b) n= a n diverguje, pak n= b n diverguje. Věta 5.7 (Limitní srovnávací kritérium pro konvergenci řad). Nechť n= a n a n= b n jsou dvě řady s nezápornými členy. Nechť lim a n b n = K R. (a) Jestliže K (0, ), pak a n konverguje n= n= b n konverguje. (b) Jestliže K = 0, pak b n konverguje n= n= a n konverguje. (c) Jestliže K =, pak a n konverguje n= n= b n konverguje. Definice 5.8. Nechť {a n } n N je posloupnost reálných čísel a nechť řada n= a n konverguje. Pak říkáme, že řada n= a n konverguje absolutně. Jestliže řada n= a n konverguje a řada n= a n nekonverguje, pak říkáme, že řada n= a n konverguje neabsolutně. Příklad 5.9. Řada ( ) n n= n Řada ( ) n n= n 2 konverguje neabsolutně. konverguje absolutně. Věta 5.0 (Bolzanova Cauchyova podmínka pro řady). Řada n= a n konverguje právě tehdy, když ε > 0 n 0 N m, n N, m n n 0 : m a k < ε. Věta 5. (Vztah absolutní konvergence a konvergence). Absolutně konvergentní řada je konvergentní. Problém 5.2. Dokažte, že a n je absolutně konvergentní právě tehdy, když je řada a n b n absolutně konvergentní pro každou omezenou posloupnost {b n }. k=n 23
5.2 Kritéria konvergence řad Věta 5.3 (Cauchyovo odmocninové kritérium). Nechť n= a n je řada. (a) Jestliže platí pak n= a n konverguje absolutně; q (0, ) n 0 N n N, n n 0 : (b) jestliže lim sup n a n <, pak n= a n konverguje absolutně; (c) jestliže lim n a n <, pak n= a n konverguje absolutně; n an q, (d) jestliže lim sup n a n >, pak {a n } nekonverguje k 0, a proto n= a n diverguje; (e) jestliže lim n n a n >, pak {a n } nekonverguje k 0, a tedy n= a n diverguje. Poznámka. Je-li lim n n a n =, pak o konvergenci řady n= a n nelze rozhodnout. Příkladem je harmonická řada a řada n= n ; první z nich diverguje a druhá konverguje, avšak obě splňují lim n 2 n a n =. Věta 5.4 (d Alembertovo podílové kritérium). Nechť n= a n je řada. (a) Jestliže platí pak n= a n konverguje absolutně; q (0, ) n 0 N n N, n n 0 : (b) jestliže lim sup an+ a n <, pak n= a n konverguje absolutně; (c) jestliže lim n a n+ a n <, pak n= a n konverguje absolutně; a n+ a n (d) jestliže lim n a n+ a n >, pak {a n } nekonverguje k 0, a tedy n= a n diverguje. Poznámky. q, a Je-li lim n+ n a n Větě 5.3). =, pak o konvergenci řady n= a n nelze rozhodnout (protipříklady jako v poznámce po Je-li pouze lim sup n a n+ a n >, pak o konvergenci n= a n nelze rozhodnout; příkladem je řada která konverguje, ale lim sup n a n+ a n = 2. + 4 + 2 + 6 + 8 +..., Věta 5.5 (Cauchyovo kondenzační kritérium). Nechť n= a n je řada s nezápornými členy. Nechť n 0 N n n 0 : a n+ a n. Potom a n konverguje n= Věta 5.6 (Konvergence řad n= n α a n= n(log n) α ). 2 n a 2 n konverguje. n= (a) Řada konverguje právě tehdy, když α >. n= n α 24
(b) Řada konverguje právě tehdy, když α >. n=2 n(log n) α Poznámka. Obecnou mocninu a logaritmus definujeme později. Věta 5.7 (Raabeovo kritérium).. Nechť n= a n je řada s kladnými členy. ( ) a (a) Jestliže lim n n n a n+ >, pak n= a n konverguje; ( ) a (b) Jestliže lim n n n a n+ <, pak n= a n diverguje. ( ) a Poznámka. Je-li lim n n n a n+ =, pak o konvergenci řady n= a n nelze rozhodnout (protipříklady jako v poznámce po Větě 5.3). Věta 5.8 (Leibnizovo kritérium). Nechť {b n } n N je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel. Pak řada n= ( )n b n konverguje právě když lim n b n = 0. Problém 5.9. Nechť a n je konvergentní řada kladných čísel. Najděte posloupnost {b n } kladných čísel tak, že lim an b n = 0 a b n konverguje. 25
6 Reálné funkce jedné reálné proměnné 6. Základní definice Definice 6.. Reálnou funkcí jedné reálné proměnné rozumíme zobrazení f : M R, kde M R. Řekneme, že funkce f : M R je rostoucí jestliže x, y M, x > y : f(x) > f(y), klesající jestliže x, y M, x > y : f(x) < f(y), nerostoucí jestliže x, y M, x > y : f(x) f(y), neklesající jestliže x, y M, x > y : f(x) f(y). Řekneme, že funkce f : M R je sudá jestliže x M : x M & f(x) = f( x), lichá jestliže x M : x M & f(x) = f( x), periodická s periodou p > 0 jestliže x M : x p M, x + p M & f(x) = f(x + p) = f(x p). Řekneme, že funkce f : M R je shora omezená jestliže K R x M : f(x) K, zdola omezená jestliže K R x M : f(x) K, omezená jestliže K R x M : f(x) K. Definice 6.2. Nechť a R a δ > 0. Pak definujeme prstencové (redukované) okolí bodu a prstencové (redukované) okolí bodu + P δ (a) := (a δ, a + δ) \ {a}, P δ ( ) := ( δ, + ), prstencové (redukované) okolí bodu P δ ( ) := (, δ ), pravé prstencové (redukované) okolí bodu a levé prstencové (redukované) okolí bodu a okolí bodu a okolí bodu + okolí bodu pravé okolí bodu a levé okolí bodu a P+(a) δ := (a, a + δ), P (a) δ := (a δ, a), U δ (a) := (a δ, a + δ), U δ (+ ) := P δ (+ ), U δ ( ) := P δ ( ), U+(a) δ := [a, a + δ), U+(a) δ := (a δ, a]. Poznámka. Každé okolí bodu + je automaticky levé a prstencové. Obdobně, každé okolí bodu je automaticky pravé a prstencové. Definice 6.3. Nechť f : M R, M R. Řekneme, že f má v bodě a R limitu rovnou A R, jestliže platí ε > 0 δ > 0 x P δ (a) : f(x) U ε (A). V takovém případě píšeme Poznámky. lim f(x) = A. x a Z definice limity implicitně vyplývá, že f musí být definovaná alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu a. 26
Reformulace lim x a f(x) = A je ekvivalentní s výrokem ε > 0 δ : f(p δ (a)) U ε (A). Bod a nemusí být prvkem M, ale nějaké jeho prstencové okolí musí být podmnožinou M. Například je-li funkce f definovaná na (0, ) (, 2), pak má smysl definovat její limitu v bodě a = / M. Bod a může také být roven nebo ; v takovém případě je nezbytné, aby byla funkce f definovaná na nějakém okolí tohoto bodu. V bodě a může a nemusí být funkce f definovaná. Je-li v něm definovaná, pak hodnota limity v tomto bodě na této konkrétní hodnotě nezáleží. Mohou nastat tyto situace: Všechny možné situace jsou znázorněny na následujícím diagramu: lim f(x) x a neexistuje vlastní A R existuje nevlastní A = { + Limita může být definována buď ve vlastním bodě a R nebo v nevlastním bodě (a = ± ). Je-li a R a A R, pak lim f(x) = A ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ) \ {a} : f(x) (A ε, A + ε). x a Je-li a R a A =, pak lim f(x) = A K R δ > 0 x (a δ, a + δ) \ {a} : f(x) > K. x a Definice 6.4. Nechť f : M R, M R, a R \ { }. Řekneme, že f má v bodě a limitu zprava rovnou A R, jestliže platí ε > 0 δ > 0 x P δ +(a) : f(x) U ε (A). V takovém případě píšeme Analogicky definujeme limitu zleva. lim f(x) = A. x a+ Poznámka. Je-li a R a A R, pak Příklady. lim f(x) = A lim f(x) = A & lim f(x) = A. x a x a+ x a Nechť f(x) = x, x R. Pak pro každé a R jest lim x a f(x) = a. Nechť f je konstantní funkce na jistém prstencovém okolí bodu a R, tj. Pak lim x a f(x) = c. δ > 0 c R x P δ (a) : f(x) = c. Nechť funkce sign je definována předpisem pokud x < 0, sign x = 0 pokud x = 0, pokud x > 0. Pak lim x 0 sign x neexistuje neboť lim x 0+ sign x = a lim x 0 sign x =. 27
Dirichletova funkce je definovaná předpisem D(x) = { pokud x Q, 0 pokud x / Q. Tato funkce nemá v žádném bodě a R limitu (ani jednostrannou). Riemannova funkce je definovaná předpisem { q pokud x Q, x = p q, p Z, q N, p, q nesoudělná, R(x) = 0 pokud x / Q. Tato funkce má v každém bodě x R limitu rovnou 0. Platí (Důkaz bude později.) sin x e x lim =, lim =. x 0 x x 0 x Definice 6.5. Nechť f : M R, M R, a M. Řekneme, že f je spojitá v bodě a, jestliže lim f(x) = f(a). x a Poznámka. Funkce f je spojitá v bodě a právě když platí ε > 0 δ > 0 x U δ (a) : f(x) U ε (f(a)). Povšimněte si důležitého rozdílu oproti definici limity: okolí bodu a není prstencové. Promyslete si tento fakt. Definice 6.6. Nechť f : M R, M R, a M. Řekneme, že f je spojitá zprava v bodě a, jestliže Obdobně řekneme, že f je spojitá zleva v bodě a, jestliže 6.2 Věty o limitách. lim f(x) = f(a). x a+ lim f(x) = f(a). x a Věta 6.7 (Heineova). Nechť a R, A R a nechť funkce f : M R, M R, je definována na nějakém prstencovém okolí bodu a. Potom jsou následující dva výroky ekvivalentní: (i) lim f(x) = A; x a (ii) Pro každou posloupnost {x n } n N, splňující x n M, n N : x n a a lim n x n = a platí lim n f(x n ) = A. Důsledek 6.8 (Heineova věta pro spojitost). Nechť a R a nechť funkce f : M R, M R, je definována na nějakém okolí bodu a. Pak f je spojitá v bodě a právě tehdy, když pro každou posloupnost {x n } n N, splňující x n M a lim n x n = a, platí lim n f(x n ) = f(a). Poznámka. Předcházející věty 6.7 a 6.8 platí i pro jednostranné limity. Příklad. lim x 0+ sin x neexistuje. Věta 6.9 (O jednoznačnosti limity funkce). Každá funkce má v kterémkoli bodě nejvýše jednu limitu. Věta 6.0 (O vztahu limity a omezenosti funkce). Nechť funkce f má v bodě a vlastní limitu. Potom existuje δ > 0 takové, že funkce f je na P δ (a) omezená. 28
Věta 6. (O aritmetice limit). Nechť a R, lim x a f(x) = A R a lim x a g(x) = B R. Pak (a) lim x a (f(x) + g(x)) = A + B, pokud je výraz A + B definován; (b) lim x a f(x)g(x) = AB, pokud je výraz AB definován; (c) lim x a f(x) g(x) = A B, pokud je výraz A B definován. Důsledek 6.2. Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a R, pak také funkce f + g a fg jsou spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) 0, pak také funkce f g je spojitá v bodě a. Poznámka. Věta 6. a Důsledek 6.2 platí i v jednostranných variantách. Definice 6.3. Nechť n N a a 0, a,... a n R, a n 0. Potom funkci nazýváme polynomem stupně n. P (x) := a n x n + a n x n + + a x + a 0, x R, Příklad. Funkce f(x) = x je spojitá v každém bodě a R. Odtud a z předcházejícího důsledku plyne, že každý polynom je spojitý na celém R. Věta 6.4 (O limitě a uspořádání). (a) Nechť a R, lim x a f(x) > lim x a g(x). Pak existuje δ > 0 takové, že x P δ (a) : (b) Nechť existuje δ > 0 takové, že x P δ (a) : Nechť existují lim x a f(x) a lim x a g(x). Pak f(x) > g(x). f(x) g(x). lim f(x) lim g(x). x a x a (c) (dva policajti pro funkce) Nechť existuje δ > 0 takové, že x P δ (a) : f(x) g(x) h(x). Nechť Pak lim f(x) = lim h(x) = A x a x a R. lim g(x) = A. x a (d) (jeden policajt pro funkce) Nechť existuje δ > 0 takové, že x P δ (a) : f(x) g(x). Nechť Pak Příklad. lim x 0 x D(x) = 0. lim f(x) =. x a lim g(x) =. x a Věta 6.5 (O limitě složené funkce). Nechť a R a nechť funkce f a g splňují lim g(x) = A x a R, lim f(y) = B R. y A Je-li navíc splněna alespoň jedna z podmínek (P) f je spojitá v A; 29