Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62"

Transkript

1 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, 0. přednáška z AMA Michal Fusek / 62

2 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady 3 Alternující číselné řady a kritérium konvergence 4 Odhad chyby 5 Funkční řady 6 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Michal Fusek 2 / 62

3 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Nekonečné řady Rozšíření operace sčítání na nekonečně mnoho sčítanců. Možné otázky: Jak sečíst nekonečně mnoho čísel? Platí pro nekonečné součty stejná pravidla, jako v konečném případě Jak je na tom asociativní, komutativní a distributivní zákon? Michal Fusek 3 / 62

4 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Nekonečné číselné řady Necht {a n } = {a, a 2,..., a n,...} je posloupnost reálných čísel. Nekonečnou číselnou řadou nazýváme symbol a n = a + a a n +. n 2 + n = n 2 + n + Michal Fusek 4 / 62

5 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Posloupnost {s n } definovanou jako s = a, s 2 = a + a 2,. s n = a + a a n nazýváme posloupností částečných součtů této řady. n 2 + n = }{{} 2 s = }{{} n 2 + n + s 2 = 2 3 }{{} s 3 = 3 4 Michal Fusek 5 / 62

6 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Jak určit součet nekonečné číselné řady? Kdybychom znali posloupnost částečných součtů s n, tak bychom mohli zkusit poslat n do nekonečna. s n = n 2 + n = n ( n ) = n + n(n + ) = n ( = n ( s = lim ) = n n + ( n ) n + n n n + = ) ( n + n + ) = n + Michal Fusek 6 / 62

7 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Součet nekonečné číselné řady Existuje-li vlastní limita lim s n = s, n řekneme, že řada a n konverguje a má součet s. Neexistuje-li vlastní limita lim s n, řekneme, že řada a n diverguje. n V případě, kdy řada diverguje, rozlišujeme tři případy: Je-li lim n s n =, říkáme, že řada diverguje k. Je-li lim n s n =, říkáme, že řada diverguje k. Jestliže lim n s n neexistuje, říkáme, že řada osciluje. Michal Fusek 7 / 62

8 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Určete součet řady ln ( + n). Řešení: ( ln + ) = n ( ) n + ln = n [ln (n + ) ln (n)] s n = n n n [ln (n + ) ln (n)] = ln (n + ) ln (n) = s = = [ln (2) + ln (3) + + ln (n) + ln (n + )] = ln (n + ) ln () lim ln (n + ) = n [ln () + ln (2) + ln (3) + + ln (n)] = Michal Fusek 8 / 62

9 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Geometrická řada Řadu a + aq + + aq n + = aq n, kde a > 0, q 0, nazveme nekonečnou geometrickou řadou s kvocientem q. Jaký má součet? () q = : a n = a + a + a + s n = n a s = lim n s n = (diverguje) Michal Fusek 9 / 62

10 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů (2) q = : a( ) n = a + ( a) + a + + a( ) n + (3) q : s n = { a pro liché n, 0 pro sudé n. s = lim n s n = neex. (osciluje) () : s n = a + aq + aq aq n (2) : q s n = aq + aq aq n + aq n () (2) : s n ( q) = a ( q n ) s n = a qn q s = lim n a qn q =? (záleží na hodnotě q) Michal Fusek 0 / 62

11 (3a) q < : Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů (3b) q > : lim n qn = 0 s = lim a qn n q = a q (konverguje) (3c) q < : lim n qn = s = lim n a qn q = (diverguje) lim n qn = neex. s = lim n a qn q = neex. (osciluje) Michal Fusek / 62

12 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Geometrická řada - shrnutí Necht a + aq + + aq n + = aq n, kde a > 0, q 0, je nekonečná geometrická řada s kvocientem q. Potom (a) pro q (, řada osciluje. (b) pro q (, ) řada konverguje a má součet s = aq n = (c) pro q, ) řada diverguje k. a q. Michal Fusek 2 / 62

13 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Geometrická řada trochu jinak Nekonečně mnoho matematiků přijde do baru. První si objedná pivo. Druhý si objedná půl piva. Třetí čtvrt piva... Barman odpoví Znám vaše limity! a natočí jim dvě piva = ( ) n = 2 2 = 2 Michal Fusek 3 / 62

14 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů S využitím geometrické řady vyjádřete číslo 0, 490 jako zlomek. Řešení: 0, 490 = n+ + = s n = n + ( n 2 + s = = = ) Michal Fusek 4 / 62

15 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Budeme uvažovat pouze řady s nezápornými členy, tj. pro každou řadu a n, platí a n 0 pro všechna n N. Nutná podmínka konvergence Jestliže řada a n konverguje, pak platí lim a n = 0. n Rozhodněte o konvergenci či divergenci následujících řad: (a) (b) arctg n [diverguje] 00n+ [nelze rozhodnout (zatím)] Michal Fusek 5 / 62

16 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Integrální kritérium Necht f je funkce definovaná na intervalu, ), která je na tomto intervalu nezáporná a nerostoucí. Necht a n = f (n) pro n N. Potom řada a n (a) konverguje, právě když konverguje integrál f (x) dx. (b) diverguje, právě když diverguje integrál f (x) dx. Michal Fusek 6 / 62

17 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Pomocí integrálního kritéria rozhodněte o konvergenci či divergenci řady n a, a > 0. Řešení: f (x) = x a, x, ) (klesající funkce pro a > 0) a = : 0 < a < : a > : dx x = lim t t t dx x a = lim t t dx x a = lim t x dx = lim [ln(t)] = (div.) t ) ( x a dx = lim t a t a a x a dx = a (konv.) = (div.) Michal Fusek 7 / 62

18 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady A zase do baru... Nekonečně mnoho matematiků přijde do baru. První si objedná pivo. Druhý si objedná půl piva. Třetí třetinu piva... Barman je seřve: Koukejte odsud vypadnout, chcete mě zruinovat?! = n = (diverguje) Michal Fusek 8 / 62

19 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Srovnávací kritérium Necht a n, b n jsou řady s nezápornými členy a necht existuje n 0 N, takové že a n b n pro všechna n n 0. Potom platí: (a) Konverguje-li řada b n, potom konverguje i řada a n. (b) Diverguje-li řada a n, potom diverguje i řada b n. Často srovnáváme s řadami n 2 (konverguje) a n (diverguje). Michal Fusek 9 / 62

20 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Pomocí srovnávacího kritéria určete, zda konverguje či diverguje: (a) (b) (c) Řešení: 00n+ ( 3 n 2n 8) n+ n n (a) 00n+ > 00n+00 = 00 ( (b) 3 ) n ( 2n 8 < 3 n, ( 3 n 3 8) 8) = (c) n+, 00 n+ = 00 = 3 5 (konverguje) n+ n n n++ n n++ n = n( n++ n) < n 2 <, n n 3 2 n+ (diverguje) n 3 2 (konverguje) Michal Fusek 20 / 62

21 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Limitní odmocninové kritérium Necht a n je řada s nezápornými členy. Pokud (a) lim n a n <, řada konverguje. n (b) lim n a n >, řada diverguje. n (c) lim n a n =, nelze na základě tohoto kritéria rozhodnout. n Pomocí odmocninového kritéria určete, zda konverguje či diverguje: ) n [ (a) 2 π (konverguje)] (b) ( arctg n n (2+ n) n [ 2 (konverguje)] Michal Fusek 2 / 62

22 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Limitní podílové kritérium Necht (a) (b) (c) a n je řada s kladnými členy. Pokud a lim n+ n a n a lim n+ n a n a lim n+ n a n <, řada konverguje. >, řada diverguje. =, nelze na základě tohoto kritéria rozhodnout. Pomocí podílového kritéria určete, zda konverguje či diverguje: ( ) ] n 3 (a) n n! n [3 lim n n n n+ = 3 e (diverguje) (b) (n!) 2 (2n)! [ lim n ] n+ 2(2n+) = 4 (konverguje) Michal Fusek 22 / 62

23 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Absolutní konvergence Necht a n je řada s obecnými členy (nejen nezápornými). Současně s touto řadou můžeme vyšetřovat i řadu absolutních hodnot jejích členů a n. Jestliže konverguje řada a n, a n R, říkáme, že řada konverguje absolutně. a n Jestliže řada a n diverguje a řada a n konverguje, říkáme, že řada a n konverguje neabsolutně. Michal Fusek 23 / 62

24 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Absolutní konvergence Necht a n = s <. s n = a + a 2 + a a n a + a 2 + a a n = s n s = lim n s n lim n s n = s Necht je dána řada s libovolnými znaménky a n. Jestliže řada a n konverguje, potom také původní řada a n konverguje. Michal Fusek 24 / 62

25 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Rozhodněte o absolutní konvergenci řady sin (n) n 2. Řešení: sin (n) n 2 sin (n) n 2 n 2 sin (n) n 2 = sin (n) n 2 < n 2 (konverguje) (konverguje absolutně) Michal Fusek 25 / 62

26 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Alternující číselné řady Nekonečná řada se nazývá alternující, právě když libovolné dva po sobě jdoucí členy mají opačná znaménka. Alternující řadu zapisujeme ve tvaru ( ) n a n, kde a n > 0 pro všechna n N. Michal Fusek 26 / 62

27 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Leibnizovo kritérium konvergence Necht {a n } je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Potom alternující řada ( ) n a n konverguje, právě když lim a n = 0. n Rozhodněte o (absolutní) konvergenci řady ( ( ) n 2n+ Řešení: ( ) n 2n+ ( )n 3n+ = 3n+) n. ( 2n+ 3n+) n (konverguje - odmoc. krit.) (2n + 3)(6n 2 + n + 3) n (3n + 4)(6n 2 + n + 4) n ( n ( ) n 2n+ 3n+) (konverguje absolutně) Michal Fusek 27 / 62

28 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Rozhodněte o konvergenci či divergenci následujících řad. Pokud řada konverguje, určete zda konverguje absolutně či neabsolutně. ( ) (a) ( ) n 3n+ (b) (c) Řešení: ( ) n+ n 2n 3 ( ) n arctg(n) n (a) diverguje (Leibniz. - nutná podmínka konv.) (b) konverguje (Leibniz.), ale neabsolutně (integrální) (c) konverguje (Leibniz.), ale neabsolutně (srovnávací s /n) Michal Fusek 28 / 62

29 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Operace s konvergentními řadami Jsou-li a n = a, b n = b konvergentní řady, potom pro k R platí k a n = k a n = ka (a n + b n ) = a n + b n = a + b Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Tj. z konvergence (a n + b n ) neplyne konvergence a n, b n. Např. řada (( ) n + ( ) n ) = 0, ale ( ) n ani nekonvergují. ( ) n Michal Fusek 29 / 62

30 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Najděte součet řady Řešení: 2 n = 2 ( 2 n + 2 ) 3 n. = n = 2 = 3 3 ( 2 n + 2 ) 3 n = 2 n n = 5 Michal Fusek 30 / 62

31 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Asociativita u konvergentních řad Necht řada a n = a + a a n + konverguje. Potom konverguje (a má stejný součet) i řada b n, která vznikne z řady a n libovolným uzávorkováním její pravé strany: (a + a a n ) + (a n+ + a n a n2 ) + }{{}}{{} b b 2 Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Viz např.: [ + ( )] + [ + ( )] + + ( ) + + ( ) +. Michal Fusek 3 / 62

32 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Komutativita u konvergentních řad Leibnizova řada (konvergentní): ( ) n n = = s ( ) n 2n = = s 2 Řady sečteme: s = s 2 = s = (konvergentní řada - obsahuje všechny členy Leibnizovy řady v jiném pořadí) Přerovnáním řady o součtu s jsme dostali řadu o součtu 3 2 s. Michal Fusek 32 / 62

33 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Zatím jsme zjistili... Členy konvergentní řady můžeme libovolným způsobem (bez přemístění) sdružovat do závorek, součet se nezmění. Členy absolutně konvergentní řady můžeme libovolným způsobem přerovnat, součet se nezmění. Přerovnáním členů v neabsolutně konvergentní řadě může vzniknout řada s libovolným součtem i řada divergentní. A co distributivní zákon? Jak roznásobit (a + a 2 + a 3 + ) (b + b 2 + b 3 + )? Michal Fusek 33 / 62

34 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Distributivní zákon Cauchyovským součinem řad a n a b n rozumíme řadu c n, kde c n = a 0 b n + a b n + a 2 b n a n b 0. c n = a 0 b 0 + (a b 0 + a 0 b ) + (a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 ) +, a 0 b 0 a b 0 a 2 b 0... a 0 b a b a 2 b... a 0 b 2 a b 2 a 2 b Jsou-li řady a n = a a b n = b absolutně konvergentní, pak jejich Cauchyovský součin je absolutně konvergentní řada se součtem a b. Michal Fusek 34 / 62

35 Odhad chyby Odhad chyby Co když se mi nepodaří najít (přesný) součet řady? Mohl bych určit aspoň přibližný (částečný) součet s n. Ale jaké chyby se dopustím? Necht a n je konvergentní řada se součtem kde a je zbytek po n-tém členu řady. s = s n + R n, s n = a + a a n R n = a n+ + a n+2 + Pak R n udává velikost chyby při aproximaci řady částečným součtem s n a platí lim R n = 0. n Michal Fusek 35 / 62

36 Odhad chyby Odhad chyby - alternující řada Pro konvergentní alternující řadu ( ) n a n platí R n < a n+. Tedy chyba v alternující řadě je (v absolutní hodnotě) menší než absolutní hodnota prvního vynechaného členu. Michal Fusek 36 / 62

37 Určete součet řady Odhad chyby ( ) n n 2 n s přesností 0 4. Řešení: ( ) n = n 2 n s k = k ( ) n = n 2 n ( )k k 2 k s s k < 0 4, k =? Chyba je (v absolutní hodnotě) menší než první vynechaný člen: a k = k 2 k < 0 4. k = 0 : 0 2 = 0, k = : 2 = 0, < 0 4 (tento už vynecháme) 0 0 ( ) n n 2 n = = = 0, Michal Fusek 37 / 62

38 Odhad chyby Co když řada není alternující? Necht a n je číselná řada, pro kterou platí a n+ a n q < n N. Pak pro zbytek R n platí R n a n q q. Určete chybu, které se dopustíme, sečteme-li pouze prvních 5 členů řady n!. Řešení: 5 s 5 = n! =! + 2! + + 5! = =, 76 a n+ a n = n+ < n N a 6 a 5 = 6 < q = 6 q. s s 5 < a 5 = 0, 006 q = 600 Michal Fusek 38 / 62

39 Nějaký další způsob? Necht Odhad chyby a n je řada s nezápornými členy. Necht a n = f (n), kde f je nezáporná a nerostoucí funkce na intervalu, ). Pak pro zbytek R n platí R n f (x) dx. n Michal Fusek 39 / 62

40 Odhad chyby Kolik členů řady a), b) n 2, c) n 3 její součet aproximovali s chybou nejvýše 0,00? Řešení: a) b) c) R n n dx x a = a [ ] x a = n n 2 R n n n = 000 členů n 3 R n 2n 2 n = 23 členů n 4 R n 3n 3 n = 7 členů n 4, je třeba sečíst, abychom (a ) n a Michal Fusek 40 / 62

41 Funkční řady Funkční řady Vyřešte rovnici Řešení: ( x ) 2 ( x ) 4 ( x ) 2n = x. Pro která x má smysl řešit? Pravá strana: x 0 Levá strana: geometrická řada ) 2 a =, q = ( x 3 q < ( x 2 3) < x 2 < 9 x ( 3, 3) Celkem: x ( 3, 0) (0, 3) Michal Fusek 4 / 62

42 Funkční řady (pokračování) Součet geometrické řady: s = a q = ( ) x 2 = 9, x ( 3, 3) 9 x x 2 = 2, x ( 3, 0) (0, 3) x 9x = 2(9 x 2 ) 2x 2 + 9x 8 = 0 x,2 = 9 ± = 3 2 ( 3, 0) (0, 3) 6 / ( 3, 0) (0, 3) Michal Fusek 42 / 62

43 Funkční řady Mocninné řady Necht {a n } je posloupnost reálných čísel a x 0 R. Řada a n (x x 0 ) n = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + se nazývá mocninná řada se středem v bodě x 0. Množinu všech čísel x, pro která odpovídající číselná řada konverguje, nazýváme oborem konvergence mocninné řady. Oborem konvergence je symetrický otevřený interval (x 0 r, x 0 + r) se středem v x 0 a poloměrem konvergence r 0, na kterém řada vždy absolutně konverguje (v krajních bodech může konvergovat absolutně či neabsolutně). Michal Fusek 43 / 62

44 Funkční řady Jak určit poloměr konvergence? Užití kriteria (podílové, odmocninové) pro absolutní konvergenci. Určete obor konvergence řady Řešení: x n n 2. ( x Podílové kriterium: lim n+ 2 n2 n (n+) 2 x = x lim n n n n+) = x Konverguje (absolutně) pro x < x (, ) Krajní body: x = : x = : n 2 konverguje absolutně (integrální krit.) ( ) n n 2 konverguje absolutně (integrální krit.) Řada konverguje absolutně pro x,. Michal Fusek 44 / 62

45 Funkční řady Určete obor konvergence řady Řešení: x n n!. x Podílové kriterium: lim n+ n! ( n (n+)! x = x lim n n n+) = 0 Jelikož 0 < x R, obor konvergence je R. Michal Fusek 45 / 62

46 Funkční řady Určete obor konvergence řady nx n. Řešení: Odmocninové kriterium: lim n n nx n = lim n x n n = x Konverguje (absolutně) pro x < x (, ) Krajní body: x = : n diverguje x = : n( ) n diverguje Řada konverguje absolutně pro x (, ). Michal Fusek 46 / 62

47 Necht Funkční řady a n (x x 0 ) n je mocninná řada s poloměrem konvergence r. Potom mohou nastat tři případy: (a) r = 0 a řada konverguje jen ve svém středu, tj. v bodě x = x 0. (b) r (0, ) a řada konverguje absolutně pro x (x 0 r, x 0 + r). (c) r = a řada konverguje pro x (, ). Pro poloměr konvergence r platí r = lim n an n nebo r = lim n a n+ a n. Pokud ani jedna z výše uvedených limit neexistuje, použijeme vztah r = lim sup n a n. Pokud limita vyjde (resp. 0), klademe r = 0 (respektive r = ). Michal Fusek 47 / 62

48 Funkční řady Určete obor konvergence řady x n n 2. Řešení: a n =, x n 2 0 = 0 a r = lim n+ n a n = lim n 2 = n (n+) 2 Pro x x 0 < r konverguje absolutně x < x (, ) Krajní body: x = : x = : n 2 konverguje absolutně (integrální krit.) ( ) n n 2 konverguje absolutně (integrální krit.) Řada konverguje absolutně pro x,. Michal Fusek 48 / 62

49 Funkční řady Určete obor konvergence řady nx n. Řešení: a n = n, x 0 = 0 a r = lim n+ n a n = lim n+ n n = Pro x x 0 < r konverguje absolutně x < x (, ) Krajní body: x = : n diverguje x = : n( ) n diverguje Řada konverguje absolutně pro x (, ). Michal Fusek 49 / 62

50 Funkční řady Určete obor konvergence řady n!(x ) n. Řešení: a n = n!, x 0 = a r = lim n+ n a n = lim (n+)! n n! = r = 0 Řada konverguje (absolutně) pro x =. Určete obor konvergence řady (2+( ) n ) n 3 n x n. Řešení: a n = (2+( )n ) n 3 n, x 0 = 0 r = lim n n a n = lim n 2+( ) n 3 = neex. r = lim sup n a n = lim sup 2+( )n 3 = Řada konverguje absolutně pro x (, ). Michal Fusek 50 / 62

51 Funkční řady Derivování a integrování mocninných řad Má-li mocninná řada a n (x x 0 ) n poloměr konvergence r > 0, pak: (a) Součet řady je spojitá funkce na intervalu (x 0 r, x 0 + r) a spojitá zleva (zprava) v krajním bodě intervalu, je-li zde řada konvergentní. (b) Pro všechna x (x 0 r, x 0 + r) platí ( x ) x a n (t x 0 ) n dt = a n (t x 0 ) n (x x 0 ) n+ dt = a n x 0 x 0 n + ( ) a n (x x 0 ) n = (a n (x x 0 ) n ) = n a n (x x 0 ) n přičemž mocninné řady na pravé straně mají stejný poloměr konvergence r. Michal Fusek 5 / 62

52 Funkční řady Určete součet mocninné řady nx n. Řešení: Obor (absolutní) konvergence x (, ) (viz předcházející příklady) nx n = (x n ) = ( ) x n = ( ) x = x ( x) 2 Michal Fusek 52 / 62

53 Funkční řady Určete součet mocninné řady nx n a číselné řady Řešení: Obor (absolutní) konvergence x (, ) (viz předcházející příklady) n 2 n =? nx n x= 2 n 2 n. nx n = x nx n = x ( x) 2 = x ( x) 2 = n 2 = 2 [ n 2 (, )] Michal Fusek 53 / 62

54 Funkční řady Určete součet mocninné řady x n n a číselné řady Řešení: a n = n, x 0 = 0 a r = lim n+ n a n = lim n n n+ = n3 n. Pro x x 0 < r konverguje absolutně x < x (, ) Krajní body: x = : x = : n diverguje ( ) n n konverguje (ale neabsolutně) Řada konverguje absolutně pro x (, ) a neabsolutně pro x, ). Michal Fusek 54 / 62

55 Funkční řady Určete součet mocninné řady Řešení: (pokračování) x n n = x 0 t n dt = x 0 x n n a číselné řady ( ) t n dt = = [ ln t ] x 0 = ln x x 0 n3 n. t dt = n3 n =? x n n x= 3 = n3 n = ln 3 2 [ 3, )] Michal Fusek 55 / 62

56 Funkční řady S chybou menší než 0 3 určete přibližnou hodnotu integrálu Řešení: +x 0 je součet geometrické řady q = x 0, konverguje pro x (, ) 2 0 dx +x 0 = 2 ( x 0 ) n dx = 0 ( 0, 2) (, ) můžeme zaměnit sumu a integrál = ( ) n 2 0 x 0n dx = ( ) n = (0n+) 2 0n+ 2 alternující řada: R n < a n+ 2 = < dx = +x R, R < dx. +x Michal Fusek 56 / 62

57 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Taylorův a Maclaurinův polynom slouží k libovolně přesné aproximaci funkce f v okolí bodu x 0 polynomem stupně n N. Nyní bude n =. Necht má funkce f v bodě x 0 derivace všech řádů. Mocninnou řadu f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n = f (x 0 )+ f (x 0 )! nazýváme Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. (x x 0 )+ + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + n! Je-li x 0 = 0, mluvíme též o Maclaurinově řadě, která je tedy tvaru f (n) (0) n! x n = f (0) + f (0)! x + + f (n) (0) x n +. n! Michal Fusek 57 / 62

58 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Součet Taylorovy řady Necht r > 0 a funkce f má na intervalu (x 0 r, x 0 + r) derivace všech řádů. Necht existuje číslo k R takové, že f (n) (x) < k pro každé n N a x (x 0 r, x 0 + r) Potom pro libovolné x (x 0 r, x 0 + r) platí f (x) = f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Pokud víme, že mocninná řada je Taylorovou řadou nějaké funkce f na intervalu (x 0 r, x 0 + r) a chceme-li určit součet číselné řady pro konkrétní x (x 0 r, x 0 + r), stačí pouze určit hodnotu f (x). Michal Fusek 58 / 62

59 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Taylorovy (Maclaurinovy) řady elementárních funkcí e x = + x! + x 2 2! + = x n n!, x R sin x = x! x 3 3! + = ( ) n x 2n+ cos x = x 2 2! + x 4 4! = ( + x) a = + ( ( a ) x + a ) 2 x 2 + = ln( + x) = x x 2 ( ) ln +x x 2 + x 3 ( ) n x 2n (2n+)!, (2n)!, x R x R ( a ) n x n, (*) x (, ) 3 = ( ) n+ x n n, x (, ( ) = 2 x + x x = = arctg(x) = x x x 5 (*) a R, x 2n+ 2n+, x (, ) ( ) n x 2n+, x, 2n+ ( ) a a(a ) (a n + ) = n n! Michal Fusek 59 / 62

60 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada ( ) Funkci ln +x x Řešení: rozložte do řady se středem x 0 = 0. Mohl bych dosadit do vzorce f (x) = vyčerpání. ( ) ln +x x = ln( + x) ln( x) ln( + x) = ( )n x n, x (, n f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n a derivovat do ln( x) = ( )n ( x) n n = x n n, x, ) ( ) ( ) ( ) ln +x x = x x x 3 3 x x 2 2 x 3 3 = = 2 x + 2 x x = 2 x 2n 2n, x < Michal Fusek 60 / 62

61 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Funkci arctg(x) rozložte do řady se středem x 0 = 0. Řešení: Mohl bych dosadit do vzorce f (x) = vyčerpání. f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n a derivovat do (arctg x) = +x 2 (součet geometrické řady s kvocientem q = x 2 ) +x 2 = x 2 + x 4, x < arctg(x) = x 0 ( t2 +t 4 ) dt = x x x 5 5 = x 2n+ ( )n 2n+ Pokud vyšetříme krajní body konvergenčního intervalu x = ±, dostaneme alternující číselné řady, které konvergují, a tedy nalezený rozvoj platí pro x,. Michal Fusek 6 / 62

62 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Funkci ( + x) e x rozložte do řady se středem x 0 = 0. Řešení: e x = ( + x) x n n!, x R e x = = + = + ( x) n n! = ( ) n x n n! + ( ) n x n n! ( x) n n! + x ( ) n x n (n )! ( ) n x n (n )! = + ( ( ) n x n n! = + ( ) n x n n n! (n )! ) ( x) n n! ( x) n n! = ( ) n x n n! + ( ) n x n+ n! Michal Fusek 62 / 62

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

Funkcionální řady. January 13, 2016

Funkcionální řady. January 13, 2016 Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3

1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3 VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady...... 2 1.2 Základnívlastnostiřad..... 3 2 Řady s nezápornými členy 3 2.1 Kritériakonvergenceadivergence...... 3 3 Řady absolutně

Více

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx = . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je

Více

(verze 12. května 2015)

(verze 12. května 2015) Pár informací o nekonečných řadách (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 3) Pavel Řehák (verze 12. května 2015) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada.

Kapitola 15. Číselné řady. 15.1 Základní pojmy. Definice 15.1.1.Symbol a 1 + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se. nazývá číselná řada. Kapitola 5 Číselné řady 5. Základní pojmy Definice 5...Symbol a + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se nazývá číselná řada. Jiná označení: n= a n, a n (vynecháme-lipodmínku pro n,uvažujemečlenyodnejmenšího n

Více

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce 1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá

Více

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

Otázky z kapitoly Posloupnosti

Otázky z kapitoly Posloupnosti Otázky z kapitoly Posloupnosti 8. září 08 Obsah Aritmetická posloupnost (8 otázek). Obtížnost (0 otázek)........................................ Obtížnost (0 otázek).......................................

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor

Více

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Funkce. Limita a spojitost

Funkce. Limita a spojitost Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,

Více

Posloupnosti a řady. a n+1 = a n + 4, a 1 = 5 a n+1 = a n + 5, a 1 = 5. a n+1 = a n+1 = n + 1 n a n, a 1 = 1 2

Posloupnosti a řady. a n+1 = a n + 4, a 1 = 5 a n+1 = a n + 5, a 1 = 5. a n+1 = a n+1 = n + 1 n a n, a 1 = 1 2 Vlastnosti posloupností 90000680 (level ): Je dána posloupnost (an + b), ve které platí, že a = a a 4 = 8. Potom: Posloupnosti a řady 900006807 (level ): Které z čísel 5, 5, 8, 47 není členem posloupnosti

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí 1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční

Více

Konvergence kuncova/

Konvergence  kuncova/ Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu

Více

Číselné posloupnosti

Číselné posloupnosti Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Součet řady je definován jediným možným rozumným

Součet řady je definován jediným možným rozumným Řady ŘADY ČÍSEL Zatím byly probrány dva druhy operací s posloupnostmi: 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n

+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Separovatelné diferenciální rovnice

Separovatelné diferenciální rovnice Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 8. 6. 2009) Separovatelné diferenciální rovnice. Řešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou x = e x t, x() = 0. 2. Řešte diferenciální rovnici

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo 7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

1 L Hospitalovo pravidlo

1 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Přednáška 3: Limita a spojitost

Přednáška 3: Limita a spojitost 3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0 Mocniné řady Nechť 0, a 0, a, a 2,... jsou konečná komplexní čísla. Pak řadu funkcí a n ( 0 ) n, C, () naýváme mocninou řadou. Číslo 0 koeficienty mocniné řady. Onačme dále: se naývá střed mocniné řady,

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Nevšiml jsem si. Jedinou větší výjimkou byly Taylorovy

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více