Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Transkript

1 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62

2 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady 3 Alternující číselné řady a kritérium konvergence 4 Odhad chyby 5 Funkční řady 6 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 62

3 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Nekonečné řady Rozšíření operace sčítání na nekonečně mnoho sčítanců. Možné otázky: Jak sečíst nekonečně mnoho čísel? Platí pro nekonečné součty stejná pravidla, jako v konečném případě Jak je na tom asociativní, komutativní a distributivní zákon? Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 62

4 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Nekonečné číselné řady Necht {a n } = {a, a 2,..., a n,...} je posloupnost reálných čísel. Nekonečnou číselnou řadou nazýváme symbol a n = a + a a n +. n 2 + n = n 2 + n + Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 62

5 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Posloupnost {s n } definovanou jako s = a, s 2 = a + a 2,. s n = a + a a n nazýváme posloupností částečných součtů této řady. n 2 + n = }{{} 2 s = }{{} n 2 + n + s 2 = 2 3 }{{} s 3 = 3 4 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 62

6 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Jak určit součet nekonečné číselné řady? Kdybychom znali posloupnost částečných součtů s n, tak bychom mohli zkusit poslat n do nekonečna. s n = n 2 + n = n ( n ) = n + n(n + ) = n ( = n ( s = lim ) = n n + ( n ) n + n n n + = ) ( n + n + ) = n + Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 62

7 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Součet nekonečné číselné řady Existuje-li vlastní limita lim s n = s, n řekneme, že řada a n konverguje a má součet s. Neexistuje-li vlastní limita lim s n, řekneme, že řada a n diverguje. n V případě, kdy řada diverguje, rozlišujeme tři případy: Je-li lim n s n =, říkáme, že řada diverguje k. Je-li lim n s n =, říkáme, že řada diverguje k. Jestliže lim n s n neexistuje, říkáme, že řada osciluje. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 62

8 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Určete součet řady ln ( + n). Řešení: ( ln + ) = n ( ) n + ln = n [ln (n + ) ln (n)] s n = n n n [ln (n + ) ln (n)] = ln (n + ) ln (n) = s = = [ln (2) + ln (3) + + ln (n) + ln (n + )] = ln (n + ) ln () lim ln (n + ) = n [ln () + ln (2) + ln (3) + + ln (n)] = Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 62

9 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Geometrická řada Řadu a + aq + + aq n + = aq n, kde a > 0, q 0, nazveme nekonečnou geometrickou řadou s kvocientem q. Jaký má součet? () q = : a n = a + a + a + s n = n a s = lim n s n = (diverguje) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 62

10 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů (2) q = : a( ) n = a + ( a) + a + + a( ) n + (3) q : s n = { a pro liché n, 0 pro sudé n. s = lim n s n = neex. (osciluje) () : s n = a + aq + aq aq n (2) : q s n = aq + aq aq n + aq n () (2) : s n ( q) = a ( q n ) s n = a qn q s = lim n a qn q =? (záleží na hodnotě q) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 0 / 62

11 (3a) q < : Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů (3b) q > : lim n qn = 0 s = lim a qn n q = a q (konverguje) (3c) q < : lim n qn = s = lim n a qn q = (diverguje) lim n qn = neex. s = lim n a qn q = neex. (osciluje) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62

12 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Geometrická řada - shrnutí Necht a + aq + + aq n + = aq n, kde a > 0, q 0, je nekonečná geometrická řada s kvocientem q. Potom (a) pro q (, řada osciluje. (b) pro q (, ) řada konverguje a má součet s = aq n = (c) pro q, ) řada diverguje k. a q. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 62

13 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů Geometrická řada trochu jinak Nekonečně mnoho matematiků přijde do baru. První si objedná pivo. Druhý si objedná půl piva. Třetí čtvrt piva... Barman odpoví Znám vaše limity! a natočí jim dvě piva = ( ) n = 2 2 = 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 62

14 Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů S využitím geometrické řady vyjádřete číslo 0, 490 jako zlomek. Řešení: 0, 490 = n+ + = s n = n + ( n 2 + s = = = ) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 62

15 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Budeme uvažovat pouze řady s nezápornými členy, tj. pro každou řadu a n, platí a n 0 pro všechna n N. Nutná podmínka konvergence Jestliže řada a n konverguje, pak platí lim a n = 0. n Rozhodněte o konvergenci či divergenci následujících řad: (a) (b) arctg n [diverguje] 00n+ [nelze rozhodnout (zatím)] Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 62

16 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Integrální kritérium Necht f je funkce definovaná na intervalu, ), která je na tomto intervalu nezáporná a nerostoucí. Necht a n = f (n) pro n N. Potom řada a n (a) konverguje, právě když konverguje integrál f (x) dx. (b) diverguje, právě když diverguje integrál f (x) dx. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 62

17 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Pomocí integrálního kritéria rozhodněte o konvergenci či divergenci řady n a, a > 0. Řešení: f (x) = x a, x, ) (klesající funkce pro a > 0) a = : 0 < a < : a > : dx x = lim t t t dx x a = lim t t dx x a = lim t x dx = lim [ln(t)] = (div.) t ) ( x a dx = lim t a t a a x a dx = a (konv.) = (div.) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 62

18 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady A zase do baru... Nekonečně mnoho matematiků přijde do baru. První si objedná pivo. Druhý si objedná půl piva. Třetí třetinu piva... Barman je seřve: Koukejte odsud vypadnout, chcete mě zruinovat?! = n = (diverguje) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 62

19 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Srovnávací kritérium Necht a n, b n jsou řady s nezápornými členy a necht existuje n 0 N, takové že a n b n pro všechna n n 0. Potom platí: (a) Konverguje-li řada b n, potom konverguje i řada a n. (b) Diverguje-li řada a n, potom diverguje i řada b n. Často srovnáváme s řadami n 2 (konverguje) a n (diverguje). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 62

20 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Pomocí srovnávacího kritéria určete, zda konverguje či diverguje: (a) (b) (c) Řešení: 00n+ ( 3 n 2n 8) n+ n n (a) 00n+ > 00n+00 = 00 ( (b) 3 ) n ( 2n 8 < 3 n, ( 3 n 3 8) 8) = (c) n+, 00 n+ = 00 = 3 5 (konverguje) n+ n n n++ n n++ n = n( n++ n) < n 2 <, n n 3 2 n+ (diverguje) n 3 2 (konverguje) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 20 / 62

21 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Limitní odmocninové kritérium Necht a n je řada s nezápornými členy. Pokud (a) lim n a n <, řada konverguje. n (b) lim n a n >, řada diverguje. n (c) lim n a n =, nelze na základě tohoto kritéria rozhodnout. n Pomocí odmocninového kritéria určete, zda konverguje či diverguje: ) n [ (a) 2 π (konverguje)] (b) ( arctg n n (2+ n) n [ 2 (konverguje)] Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 62

22 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Limitní podílové kritérium Necht (a) (b) (c) a n je řada s kladnými členy. Pokud a lim n+ n a n a lim n+ n a n a lim n+ n a n <, řada konverguje. >, řada diverguje. =, nelze na základě tohoto kritéria rozhodnout. Pomocí podílového kritéria určete, zda konverguje či diverguje: ( ) ] n 3 (a) n n! n [3 lim n n n n+ = 3 e (diverguje) (b) (n!) 2 (2n)! [ lim n ] n+ 2(2n+) = 4 (konverguje) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 22 / 62

23 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Absolutní konvergence Necht a n je řada s obecnými členy (nejen nezápornými). Současně s touto řadou můžeme vyšetřovat i řadu absolutních hodnot jejích členů a n. Jestliže konverguje řada a n, a n R, říkáme, že řada konverguje absolutně. a n Jestliže řada a n diverguje a řada a n konverguje, říkáme, že řada a n konverguje neabsolutně. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 23 / 62

24 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Absolutní konvergence Necht a n = s <. s n = a + a 2 + a a n a + a 2 + a a n = s n s = lim n s n lim n s n = s Necht je dána řada s libovolnými znaménky a n. Jestliže řada a n konverguje, potom také původní řada a n konverguje. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 24 / 62

25 Kritéria konvergence pro nezáporné číselné řady Rozhodněte o absolutní konvergenci řady sin (n) n 2. Řešení: sin (n) n 2 sin (n) n 2 n 2 sin (n) n 2 = sin (n) n 2 < n 2 (konverguje) (konverguje absolutně) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 25 / 62

26 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Alternující číselné řady Nekonečná řada se nazývá alternující, právě když libovolné dva po sobě jdoucí členy mají opačná znaménka. Alternující řadu zapisujeme ve tvaru ( ) n a n, kde a n > 0 pro všechna n N. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 26 / 62

27 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Leibnizovo kritérium konvergence Necht {a n } je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Potom alternující řada ( ) n a n konverguje, právě když lim a n = 0. n Rozhodněte o (absolutní) konvergenci řady ( ( ) n 2n+ Řešení: ( ) n 2n+ ( )n 3n+ = 3n+) n. ( 2n+ 3n+) n (konverguje - odmoc. krit.) (2n + 3)(6n 2 + n + 3) n (3n + 4)(6n 2 + n + 4) n ( n ( ) n 2n+ 3n+) (konverguje absolutně) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 27 / 62

28 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Rozhodněte o konvergenci či divergenci následujících řad. Pokud řada konverguje, určete zda konverguje absolutně či neabsolutně. ( ) (a) ( ) n 3n+ (b) (c) Řešení: ( ) n+ n 2n 3 ( ) n arctg(n) n (a) diverguje (Leibniz. - nutná podmínka konv.) (b) konverguje (Leibniz.), ale neabsolutně (integrální) (c) konverguje (Leibniz.), ale neabsolutně (srovnávací s /n) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 28 / 62

29 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Operace s konvergentními řadami Jsou-li a n = a, b n = b konvergentní řady, potom pro k R platí k a n = k a n = ka (a n + b n ) = a n + b n = a + b Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Tj. z konvergence (a n + b n ) neplyne konvergence a n, b n. Např. řada (( ) n + ( ) n ) = 0, ale ( ) n ani nekonvergují. ( ) n Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 29 / 62

30 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Najděte součet řady Řešení: 2 n = 2 ( 2 n + 2 ) 3 n. = n = 2 = 3 3 ( 2 n + 2 ) 3 n = 2 n n = 5 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 30 / 62

31 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Asociativita u konvergentních řad Necht řada a n = a + a a n + konverguje. Potom konverguje (a má stejný součet) i řada b n, která vznikne z řady a n libovolným uzávorkováním její pravé strany: (a + a a n ) + (a n+ + a n a n2 ) + }{{}}{{} b b 2 Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Viz např.: [ + ( )] + [ + ( )] + + ( ) + + ( ) +. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 62

32 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Komutativita u konvergentních řad Leibnizova řada (konvergentní): ( ) n n = = s ( ) n 2n = = s 2 Řady sečteme: s = s 2 = s = (konvergentní řada - obsahuje všechny členy Leibnizovy řady v jiném pořadí) Přerovnáním řady o součtu s jsme dostali řadu o součtu 3 2 s. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 32 / 62

33 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Zatím jsme zjistili... Členy konvergentní řady můžeme libovolným způsobem (bez přemístění) sdružovat do závorek, součet se nezmění. Členy absolutně konvergentní řady můžeme libovolným způsobem přerovnat, součet se nezmění. Přerovnáním členů v neabsolutně konvergentní řadě může vzniknout řada s libovolným součtem i řada divergentní. A co distributivní zákon? Jak roznásobit (a + a 2 + a 3 + ) (b + b 2 + b 3 + )? Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 33 / 62

34 Alternující číselné řady a kritérium konvergence Distributivní zákon Cauchyovským součinem řad a n a b n rozumíme řadu c n, kde c n = a 0 b n + a b n + a 2 b n a n b 0. c n = a 0 b 0 + (a b 0 + a 0 b ) + (a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 ) +, a 0 b 0 a b 0 a 2 b 0... a 0 b a b a 2 b... a 0 b 2 a b 2 a 2 b Jsou-li řady a n = a a b n = b absolutně konvergentní, pak jejich Cauchyovský součin je absolutně konvergentní řada se součtem a b. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 34 / 62

35 Odhad chyby Odhad chyby Co když se mi nepodaří najít (přesný) součet řady? Mohl bych určit aspoň přibližný (částečný) součet s n. Ale jaké chyby se dopustím? Necht a n je konvergentní řada se součtem kde a je zbytek po n-tém členu řady. s = s n + R n, s n = a + a a n R n = a n+ + a n+2 + Pak R n udává velikost chyby při aproximaci řady částečným součtem s n a platí lim R n = 0. n Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 35 / 62

36 Odhad chyby Odhad chyby - alternující řada Pro konvergentní alternující řadu ( ) n a n platí R n < a n+. Tedy chyba v alternující řadě je (v absolutní hodnotě) menší než absolutní hodnota prvního vynechaného členu. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 36 / 62

37 Určete součet řady Odhad chyby ( ) n n 2 n s přesností 0 4. Řešení: ( ) n = n 2 n s k = k ( ) n = n 2 n ( )k k 2 k s s k < 0 4, k =? Chyba je (v absolutní hodnotě) menší než první vynechaný člen: a k = k 2 k < 0 4. k = 0 : 0 2 = 0, k = : 2 = 0, < 0 4 (tento už vynecháme) 0 0 ( ) n n 2 n = = = 0, Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 37 / 62

38 Odhad chyby Co když řada není alternující? Necht a n je číselná řada, pro kterou platí a n+ a n q < n N. Pak pro zbytek R n platí R n a n q q. Určete chybu, které se dopustíme, sečteme-li pouze prvních 5 členů řady n!. Řešení: 5 s 5 = n! =! + 2! + + 5! = =, 76 a n+ a n = n+ < n N a 6 a 5 = 6 < q = 6 q. s s 5 < a 5 = 0, 006 q = 600 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 38 / 62

39 Nějaký další způsob? Necht Odhad chyby a n je řada s nezápornými členy. Necht a n = f (n), kde f je nezáporná a nerostoucí funkce na intervalu, ). Pak pro zbytek R n platí R n f (x) dx. n Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 39 / 62

40 Odhad chyby Kolik členů řady a), b) n 2, c) n 3 její součet aproximovali s chybou nejvýše 0,00? Řešení: a) b) c) R n n dx x a = a [ ] x a = n n 2 R n n n = 000 členů n 3 R n 2n 2 n = 23 členů n 4 R n 3n 3 n = 7 členů n 4, je třeba sečíst, abychom (a ) n a Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 40 / 62

41 Funkční řady Funkční řady Vyřešte rovnici Řešení: ( x ) 2 ( x ) 4 ( x ) 2n = x. Pro která x má smysl řešit? Pravá strana: x 0 Levá strana: geometrická řada ) 2 a =, q = ( x 3 q < ( x 2 3) < x 2 < 9 x ( 3, 3) Celkem: x ( 3, 0) (0, 3) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 62

42 Funkční řady (pokračování) Součet geometrické řady: s = a q = ( ) x 2 = 9, x ( 3, 3) 9 x x 2 = 2, x ( 3, 0) (0, 3) x 9x = 2(9 x 2 ) 2x 2 + 9x 8 = 0 x,2 = 9 ± = 3 2 ( 3, 0) (0, 3) 6 / ( 3, 0) (0, 3) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 42 / 62

43 Funkční řady Mocninné řady Necht {a n } je posloupnost reálných čísel a x 0 R. Řada a n (x x 0 ) n = a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + se nazývá mocninná řada se středem v bodě x 0. Množinu všech čísel x, pro která odpovídající číselná řada konverguje, nazýváme oborem konvergence mocninné řady. Oborem konvergence je symetrický otevřený interval (x 0 r, x 0 + r) se středem v x 0 a poloměrem konvergence r 0, na kterém řada vždy absolutně konverguje (v krajních bodech může konvergovat absolutně či neabsolutně). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 43 / 62

44 Funkční řady Jak určit poloměr konvergence? Užití kriteria (podílové, odmocninové) pro absolutní konvergenci. Určete obor konvergence řady Řešení: x n n 2. ( x Podílové kriterium: lim n+ 2 n2 n (n+) 2 x = x lim n n n n+) = x Konverguje (absolutně) pro x < x (, ) Krajní body: x = : x = : n 2 konverguje absolutně (integrální krit.) ( ) n n 2 konverguje absolutně (integrální krit.) Řada konverguje absolutně pro x,. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 44 / 62

45 Funkční řady Určete obor konvergence řady Řešení: x n n!. x Podílové kriterium: lim n+ n! ( n (n+)! x = x lim n n n+) = 0 Jelikož 0 < x R, obor konvergence je R. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 45 / 62

46 Funkční řady Určete obor konvergence řady nx n. Řešení: Odmocninové kriterium: lim n n nx n = lim n x n n = x Konverguje (absolutně) pro x < x (, ) Krajní body: x = : n diverguje x = : n( ) n diverguje Řada konverguje absolutně pro x (, ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 46 / 62

47 Necht Funkční řady a n (x x 0 ) n je mocninná řada s poloměrem konvergence r. Potom mohou nastat tři případy: (a) r = 0 a řada konverguje jen ve svém středu, tj. v bodě x = x 0. (b) r (0, ) a řada konverguje absolutně pro x (x 0 r, x 0 + r). (c) r = a řada konverguje pro x (, ). Pro poloměr konvergence r platí r = lim n an n nebo r = lim n a n+ a n. Pokud ani jedna z výše uvedených limit neexistuje, použijeme vztah r = lim sup n a n. Pokud limita vyjde (resp. 0), klademe r = 0 (respektive r = ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 47 / 62

48 Funkční řady Určete obor konvergence řady x n n 2. Řešení: a n =, x n 2 0 = 0 a r = lim n+ n a n = lim n 2 = n (n+) 2 Pro x x 0 < r konverguje absolutně x < x (, ) Krajní body: x = : x = : n 2 konverguje absolutně (integrální krit.) ( ) n n 2 konverguje absolutně (integrální krit.) Řada konverguje absolutně pro x,. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 48 / 62

49 Funkční řady Určete obor konvergence řady nx n. Řešení: a n = n, x 0 = 0 a r = lim n+ n a n = lim n+ n n = Pro x x 0 < r konverguje absolutně x < x (, ) Krajní body: x = : n diverguje x = : n( ) n diverguje Řada konverguje absolutně pro x (, ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 49 / 62

50 Funkční řady Určete obor konvergence řady n!(x ) n. Řešení: a n = n!, x 0 = a r = lim n+ n a n = lim (n+)! n n! = r = 0 Řada konverguje (absolutně) pro x =. Určete obor konvergence řady (2+( ) n ) n 3 n x n. Řešení: a n = (2+( )n ) n 3 n, x 0 = 0 r = lim n n a n = lim n 2+( ) n 3 = neex. r = lim sup n a n = lim sup 2+( )n 3 = Řada konverguje absolutně pro x (, ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 50 / 62

51 Funkční řady Derivování a integrování mocninných řad Má-li mocninná řada a n (x x 0 ) n poloměr konvergence r > 0, pak: (a) Součet řady je spojitá funkce na intervalu (x 0 r, x 0 + r) a spojitá zleva (zprava) v krajním bodě intervalu, je-li zde řada konvergentní. (b) Pro všechna x (x 0 r, x 0 + r) platí ( x ) x a n (t x 0 ) n dt = a n (t x 0 ) n (x x 0 ) n+ dt = a n x 0 x 0 n + ( ) a n (x x 0 ) n = (a n (x x 0 ) n ) = n a n (x x 0 ) n přičemž mocninné řady na pravé straně mají stejný poloměr konvergence r. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 62

52 Funkční řady Určete součet mocninné řady nx n. Řešení: Obor (absolutní) konvergence x (, ) (viz předcházející příklady) nx n = (x n ) = ( ) x n = ( ) x = x ( x) 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 52 / 62

53 Funkční řady Určete součet mocninné řady nx n a číselné řady Řešení: Obor (absolutní) konvergence x (, ) (viz předcházející příklady) n 2 n =? nx n x= 2 n 2 n. nx n = x nx n = x ( x) 2 = x ( x) 2 = n 2 = 2 [ n 2 (, )] Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 53 / 62

54 Funkční řady Určete součet mocninné řady x n n a číselné řady Řešení: a n = n, x 0 = 0 a r = lim n+ n a n = lim n n n+ = n3 n. Pro x x 0 < r konverguje absolutně x < x (, ) Krajní body: x = : x = : n diverguje ( ) n n konverguje (ale neabsolutně) Řada konverguje absolutně pro x (, ) a neabsolutně pro x, ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 54 / 62

55 Funkční řady Určete součet mocninné řady Řešení: (pokračování) x n n = x 0 t n dt = x 0 x n n a číselné řady ( ) t n dt = = [ ln t ] x 0 = ln x x 0 n3 n. t dt = n3 n =? x n n x= 3 = n3 n = ln 3 2 [ 3, )] Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 55 / 62

56 Funkční řady S chybou menší než 0 3 určete přibližnou hodnotu integrálu Řešení: +x 0 je součet geometrické řady q = x 0, konverguje pro x (, ) 2 0 dx +x 0 = 2 ( x 0 ) n dx = 0 ( 0, 2) (, ) můžeme zaměnit sumu a integrál = ( ) n 2 0 x 0n dx = ( ) n = (0n+) 2 0n+ 2 alternující řada: R n < a n+ 2 = < dx = +x R, R < dx. +x Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 56 / 62

57 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Taylorův a Maclaurinův polynom slouží k libovolně přesné aproximaci funkce f v okolí bodu x 0 polynomem stupně n N. Nyní bude n =. Necht má funkce f v bodě x 0 derivace všech řádů. Mocninnou řadu f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n = f (x 0 )+ f (x 0 )! nazýváme Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. (x x 0 )+ + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + n! Je-li x 0 = 0, mluvíme též o Maclaurinově řadě, která je tedy tvaru f (n) (0) n! x n = f (0) + f (0)! x + + f (n) (0) x n +. n! Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 57 / 62

58 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Součet Taylorovy řady Necht r > 0 a funkce f má na intervalu (x 0 r, x 0 + r) derivace všech řádů. Necht existuje číslo k R takové, že f (n) (x) < k pro každé n N a x (x 0 r, x 0 + r) Potom pro libovolné x (x 0 r, x 0 + r) platí f (x) = f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Pokud víme, že mocninná řada je Taylorovou řadou nějaké funkce f na intervalu (x 0 r, x 0 + r) a chceme-li určit součet číselné řady pro konkrétní x (x 0 r, x 0 + r), stačí pouze určit hodnotu f (x). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 58 / 62

59 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Taylorovy (Maclaurinovy) řady elementárních funkcí e x = + x! + x 2 2! + = x n n!, x R sin x = x! x 3 3! + = ( ) n x 2n+ cos x = x 2 2! + x 4 4! = ( + x) a = + ( ( a ) x + a ) 2 x 2 + = ln( + x) = x x 2 ( ) ln +x x 2 + x 3 ( ) n x 2n (2n+)!, (2n)!, x R x R ( a ) n x n, (*) x (, ) 3 = ( ) n+ x n n, x (, ( ) = 2 x + x x = = arctg(x) = x x x 5 (*) a R, x 2n+ 2n+, x (, ) ( ) n x 2n+, x, 2n+ ( ) a a(a ) (a n + ) = n n! Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 59 / 62

60 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada ( ) Funkci ln +x x Řešení: rozložte do řady se středem x 0 = 0. Mohl bych dosadit do vzorce f (x) = vyčerpání. ( ) ln +x x = ln( + x) ln( x) ln( + x) = ( )n x n, x (, n f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n a derivovat do ln( x) = ( )n ( x) n n = x n n, x, ) ( ) ( ) ( ) ln +x x = x x x 3 3 x x 2 2 x 3 3 = = 2 x + 2 x x = 2 x 2n 2n, x < Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 60 / 62

61 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Funkci arctg(x) rozložte do řady se středem x 0 = 0. Řešení: Mohl bych dosadit do vzorce f (x) = vyčerpání. f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n a derivovat do (arctg x) = +x 2 (součet geometrické řady s kvocientem q = x 2 ) +x 2 = x 2 + x 4, x < arctg(x) = x 0 ( t2 +t 4 ) dt = x x x 5 5 = x 2n+ ( )n 2n+ Pokud vyšetříme krajní body konvergenčního intervalu x = ±, dostaneme alternující číselné řady, které konvergují, a tedy nalezený rozvoj platí pro x,. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 62

62 Taylorova a Maclaurinova mocninná řada Funkci ( + x) e x rozložte do řady se středem x 0 = 0. Řešení: e x = ( + x) x n n!, x R e x = = + = + ( x) n n! = ( ) n x n n! + ( ) n x n n! ( x) n n! + x ( ) n x n (n )! ( ) n x n (n )! = + ( ( ) n x n n! = + ( ) n x n n n! (n )! ) ( x) n n! ( x) n n! = ( ) n x n n! + ( ) n x n+ n! Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 62 / 62