Zkouška Dynamika výrobních strojů 10/11 ZKOUŠKA DYNAMIKA VÝROBNÍCH STROJŮ -10/11 TEST 10 OTÁZEK Z NÁSLEDUJÍCÍCH OKRUHŮ 1. CO JE TO PŘÍMÁ/NEPŘÍMÁ ÚLOHA DYNAMIKY? CO VYJADŘUJÍ POHYBOVÉ ROVNICE? JAKÝ JE ROZDÍL MEZI DYNAMICKOU ANALÝZOU/SYNTÉZOU? Přímá úloha: Známy silové účinky, počáteční stav a vyšetřujeme pohyb Nepřímá úloha: Znám pohyb v čase a vyšetřujeme působící síly a reakce s okolím. Pohybová rovnice: Pohybové rovnice vyjadřují vazby mezi parametry hmotnostními, tuhostními, silovými účinky a kinematickými veličinami pohybu dané modelové mechanické soustavy. M, B, K matice hmotnosti, tlumení a tuhosti mechanické soustavy f sloupcová matice vnějších silových účinků - sloupcové matice zobecněných souřadnic a jejich derivací Dynamická analýza: Zjištění dynamických vlastností stroje po jeho konstrukci dodatečná analýza. Posoudí se vliv jednotlivých parametrů na dynamické charakteristiky zařízení a pak provede se korekce. Dynamická syntéza: Konstruování stroje podle zvolených dynamických parametrů velice náročné, nepoužívá se. 2. KLASIFIKACE DYNAMICKÝCH DĚJŮ. 1) návrh kinematiky (máme dostatečně silný pohon) 2) nepřímá úloha dynamiky (návrh pohonu) kinetostatika 3) přímá úloha- dynamická simulace,zkoumáme jak se systém rozkmitá 4)přímá úloha+řízení simulace mechatronických systémů - 1 -
3. NAKRESLETE BLOKOVĚ STRUKTURU DYNAMICKÉHO SYSTÉMU OBRÁBĚCÍHO STROJE. - 2 -
4. STRUČNĚ POPIŠTE PRINCIP DANÉ METODY PRO SESTAVENÍ POHYBOVÝCH ROVNIC: METODA UVOLŇOVÁNÍ, METODA REDUKCE, PRINCIP VIRTUÁLNÍCH PRACÍ, LAGRANGEROVY ROVNICE II. DRUHU metoda uvolňování: Tato metoda převádí vyšetřování pohybu soustavy těles na vyšetřování pohybu jednotlivých těles. Zpravidla je nutno připojit kinematické rovnice a rovnice vazeb, aby byl počet rovnic stejný jako počet neznámých. metoda redukce: Spočívá v sestavení jediné rovnice pro fiktivní těleso, které koná čistě rotační či translační pohyb. Hmotové parametry se stanoví na základě prací a výkonů sil působících na původní těleso princip virtuální práce: Spočívá v sestavení jediné rovnice na základě principu virtuální práce (výkonů) při uvažování vnějších setrvačných zátěžných účinků Lagrangerovy rovnice II. Druhu: Spočívá v sestavení jediné rovnice na základě parciálních derivací kinetické, potenciální energie, zatlumené funkce a práce (výkonu) 5. NAPIŠTE POHYBOVOU ROVNICI PRO VOLNÉ/VYNUCENÉ KMITÁNÍ NETLUMENÉ/TLUMENÉ SOUSTAVY S DISKRÉTNÍMI PRVKY S JEDNÍM/N STUPNI VOLNOSTI Jeden stupeň volnosti: Volné netlumené kmitání: Volné tlumené kmitání: Vynucené netlumené kmitání: Vynucené tlumené kmitání: mq kq 0 mq bq kq 0 mq kq Q(t) mq bq kq Q(t) - 3 -
Zkouška Dynamika výrobních strojů 10/11 n- stupňů volnosti: Volné netlumené kmitání: Volné tlumené kmitání: Mq Bq Kq 0 Vynucené netlumené kmitání: Mq Kq Q(t) Vynucené tlumené kmitání: Mq Bq Kq Q(t) 6. VYSVĚTLETE POJMY PODKRITICKÉ/KRITICKÉ/NADKRITICKÉ TLUMENÍ a) Tlumení je velké -nadkritické,. Kořeny charakteristické rovnice jsou reálné různé, řešení má exponenciální průběh. Vznikne aperiodický přetlumený pohyb, při kterém vychýlený hmotný bod vůbec nepřejde přes rovnovážnou polohu. b) Tlumení je kritické. Charakteristická rovnice má dvojitý reálný kořen, řešení je exponenciální. Vznikne kritycky tlumený aperiodický pohyb. c) Tlumení je malé - podkritické, takže. Charakteristická rovnice má dva kořeny komplexně sdružené a řešení pohybové rovnice je periodické s klesající amplitudou. Vznikne tlumený kmitavý pohyb. Na obr. 12 jsou pro porovnání zakresleny průběhy netlumených kmitá, tlumených kmitů a aperiodického pohybu. 7. JAKÝ JE ROZDÍL MEZI VOLNÝM A VYNUCENÝM KMITÁNÍM A VOLNÝM (VLASTNÍM)/VYNUCENÝM TVAREM KMITU. Volné kmitání po vyvolání soustava kmitá Vynucené kmitání vyvoláno a udržováno působením vnějších sil - 4 -
volné netlumené, tlumené, aperiodický pohyb 8. JAKÝ JE ROZDÍL MEZI PŘECHODOVÝM A USTÁLENÝM VYNUCENÝM KMITÁNÍM. "vynucené kmitání:" to klikatý je homogenní řešení (zatlumí se) a to majoritní je partikulární řešení (nezatlumí se a zůstává). Vlevo jsou přechodové jevy, vpravo potom už ustálené vynucení kmitání. - 5 -
9. JAKÝ JE ROZDÍL MEZI SILOVÝM A KINEMATICKÝM BUZENÍM UVEĎTE PŘÍKLADY. Silové buzení: Buzení pomocí síly působící na těleso, které kmitá. Kinematické buzení: Bbuzení pomocí pohybu závěsu pružiny. Například auto jedoucí po nerovné vozovce. 10. NAKRESLETE AMPLITUDO-FREKVENČNÍ / FÁZOVĚ FREKVENČNÍ / AMPLITUDO- FÁZOVOU (NYQUIST) CHARAKTERISTIKU SOUSTAVY S JEDNÍM/N STUPNI VOLNOSTI Amplitudo-fázová charakteristika amplitudo fázová (nyquist) charakteristika pro 1 V φ fázový posuv, ω kruhová frekvence, η součinitel naladění - 6 -
amplitudo fázová (nyquist) charakteristika pro n V Amplitudo-frekvenční charakteristika amplitudo- frekvenční charakteristika 1 V β součinitel dynamického zesílení amplitudo- frekvenční charakteristika n V - 7 -
Fázově frekvenční charakteristika fázově frekvenční charakteristika 1 V 11. JAKÉ NUMERICKÉ METODY POUŽÍVÁME PRO PŘÍMOU INTEGRACI POHYBOVÝCH ROVNIC. Ne vždy lze diferenciální pohybové rovnice řešit v uzavřeném tvaru. V takovém případě se používají metody přímé integrace diferenciálních rovnic, které rozdělujeme do dvou skupin. 1. Explicitní metody, u nichž jsou odezvy soustav vyjádřeny pomocí dříve určených hodnot přemístění, rychlostí a zrychlení. Např. metoda centrálních diferencí, dvoukroková metoda a metoda Runge-Kutta. 2. implicitní metody, u nichž jsou diferenciální rovnice kombinovány s rovnicemi pohybu a přemístění je určeno přímo. Např. metoda Newmarkova. Metoda centrálních diferencí Dvoukroková iterace Metoda Runge-Kutta Newmarkova metoda 12. V ČEM SPOČÍVÁ ŘEŠENÍ POHYBOVÝCH ROVNIC VE STAVOVÉM PROSTORU, STAVOVÉ ROVNICE. CO JE TO STAVOVÁ VELIČINA UVEĎTE PŘÍKLAD, CO JE TO STAVOVÝ PROSTOR? stav: Stav dynamické soustavy je popsán stavovými proměnnými. Stavové proměnné pro břemeno na pružině jsou poloha a rychlost. stavový vektor: n stavových proměnných lze považovat za n složek vektoru x: x=[x 1 ; x 2 ;..x n ]. - 8 -
Zkouška Dynamika výrobních strojů 10/11 stavový prostor: Nazýváme n-rozměrný prostor, jehož souřadnice jsou stavové proměnné. stavová rovnice: Stavový prostor je např. Fázová rovina viz otázka 21 13. PROBLÉM VLASTNÍCH HODNOT: Vlastní hodnoty jsou pro úlohy dynamiky vlastní frekvence kmitání dynamického systému (frekvenční spektrum). - JAK JE DEFINOVÁN STANDARDNÍ A ZOBECNĚNÝ PROBLÉM VLASTNÍCH HODNOT Vychází ze soustavy algebraických rovnic ve tvaru Ax=0. Standartní: Hledají se vlastní čísla matice A tak, aby platilo det(a-e)=0. Zobecněný: Hledají se vlastní čísla matice A tak, aby platilo det(a-e)=0. Vychází z pohybové rovnice pro volné kmitání (netlumené) předpokládané řešení q q 0 e it a po dosazení: 2 ( K M ) q0 0 Zobecnění je dáno tím, že místo jednotkové matice je matice hmotnosti. Převedení na standardní se provede vynásobením M -1. - 9 -
- CO JE TO FREKVENČNÍ DETERMINANT, FREKVENČNÍ ROVNICE Zkouška Dynamika výrobních strojů 10/11 Frekvenční determinant: 1 2 det( M K E) 0 Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby soustava rovnic měla nenulové netriviální řešení je, aby determinant matice soustavy byl roven nule. - vlastní frekvence volného netlumeného kmitání Frekvenční rovnice: a n 2n a n1 2( n1) 2... a1 a0 0 -CO JE TO SPEKTRÁLNÍ MATICE / MODÁLNÍ MATICE Spektrální matice: V V, V 1 2, V,..., V 3 n V V.. Vn 11 21 1 V V 12 22....... V1 n... V nn Modální matice: 2 0 : 0 2 1 0 2 2.... 0 2 n -CO VYJADŘUJE ORTOGONALITA VLASTNÍCH VEKTORŮ Vlastní vektory příslušné různým úhlovým frekvencím jsou ortogonální vzhledem k matici hmotnosti, matici tuhosti. V T s M Vr 0 V T s k Vr 0 - CO JE TO NORMOVÁNÍ VLASTNÍCH VEKTORŮ Euklidova norma: V T Vr 1 s normujeme podle matice hmotnosti normujeme podle matice tuhosti - 10 -
- K ČEMU SLOUŽÍ PRINCIP JACOBIHO METODY/ CHOLESKÉHO ROZKLAD / HOUSEHOLDEROVA METODA Jacobiho metoda: Používá se na výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů. Matice A musí být symetrická. Chaleského rozklad: Slouží k symetrizaci matice A=M -1 k Householderova metoda: Převede matici soustavy na třídiagonální formu. - JAKÉ METODY PRO URČOVÁNÍ VLASTNÍCH HODNOT JSOU POUŽÍVÁNY V PROGRAMOVÉM SYSTÉMU ANSYS UVEĎTE JEJICH VÝHODY NEVÝHODY, OBLAST POUŽITÍ LR a OR algorytmus Použitelné pro nesymetrickou matici A. Řeší úplný problém. 14. V ČEM SPOČÍVÁ MODÁLNÍ TRANSFORMACE A K ČEMU SE POUŽÍVÁ? Transformace z fyzikálních souřadnic do hlavních. Používá se pro modální analýzu. 15. METODY REDUKCE PŘÍMÁ, FYZIKÁLNÍ, GUYANOVA, MODÁLNÍ, LANCZOSOVA. JDE O SNÍŽENÍ POČTŮ STUPŇŮ VOLNOSTI. Přímá: Přímé vynechání řádků a sloupců v matici Fyzikální redukce: Někdy též nazývána jako metoda přetvoření mech. modelu. V podstatě se používají dva druhy. Dva pružné členy se redukují na jeden a druhý, kdy se dva setrvačné členy redukují na jeden. - 11 -
Guyanova redukce: Někdy je tato metoda nazývána jako statická kondenzace. Podstata spočívá v rozdělení matice tuhosti na hlavní (m - master) a vedlejší (s - slave) prvky, přičemž vedlejší nesmí být zatíženy. Modální redukce: Podstatou je transformace pohybové rovnice z fyzikálních souřadnic do hlavních. Fyzikální souřadnice (x) mají rozměr, hlavní (q) nemají. Transformační rovnice má tvar x = Vq kde V je modální matice pravostranných vektorů Lanczosova: na Pro soustavu s velkým počtem stupňů volnosti. Využívá jen např. prvních 20 vlastních frekvencí. Lanczosova metoda redukuje soustavu tak, že zvolený počet m vypočtených vlastních čísel 2 se shoduje s m vlastními čísly původní soustavy. Výhodou této metody je, že probíhá automaticky, bez určování míst redukce. Nevýhodou je, že ztratíme fyzikální představu nového mechanického modelu, což může vadit při optimalizaci parametrů soustavy. 16. CO JE TO PROPORCIONÁLNÍ TLUMENÍ? JAK MŮŽEME EXPERIMENTÁLNĚ STANOVIT KOEFICIENTY PROPORCIONÁLNÍHO TLUMENÍ. Proporcionální tlumení: viskózní tlumení (tlumení úměrné rychlosti pohybu) u kmitající lineární (mech.) soustavy, jehož rozložení je úměrné rozložení tuhosti nebo hmotnosti soustavy. - 12 -
Experimentální zjišťování: Experimentální stanovení koeficientů proporcionálního tlumení pro j-tý tvar kmitu - hlavní (modální) tlumení - hlavní (modální) hmotnost - hlavní (modální) tuhost Tři případy stanovení koeficientů proporcionálního tlumení: zná se pouze frekvence a tlumení jednoho tvaru (druhá rovnice) znají se frekvence a tlumení u dvou tvarů (dvě rovnice) znají se frekvence a tlumení u více tvarů - 13 -
(přeurčená soustava rovnic) Zpravidla se volí koeficient = 0 10 Zpravidla se volí koeficient = 0 10-4 Koeficientem se modeluje konstrukční tlumení Koeficientem se modeluje materiálové tlumení Pozor, oba koeficienty mají rozměr 17. V ČEM SPOČÍVÁ METODA MODÁLNÍ SUPERPOZICE PŘI ŘEŠENÍ VYNUCENÉHO KMITÁNÍ KDY JE VÝHODNÉ JI POUŽÍT. 1) provedeme modální analýzu zjistíme vlastní frekvence a vlastní tvar kmitů 2) odezva na buzení se řeší jako kombinace vypočtených vlastních frekvencí a vlastní vektorů Kdy je vhodné ho využít?? - pokud chci počítat větší počet frekvencí Čas výpočtu Full metoda Modální analýza Metoda superpozice Počet frekvencí Graf: Metoda superpozice je zezačátku bržděna počáteční modální analýzou, poté už je ale čas výpočtu konstantní. Naopak full metoda (ta čára vzhůru) čas výpočtu roste s počtem frekvencí. Ta dvojitá šipka znázorňuje počet, od jakého počtu frekvencí je vhodné použít metodu superpozice. - 14 -
18. JAKÝM TYPEM MATEMATICKÝCH ROVNIC JE POPSÁNO KMITÁNÍ SOUSTAVY S DISKRÉTNÍMI PRVKY A SOUSTAVY SE SPOJITĚ ROZLOŽENÝMI PARAMETRY (KONTINUUM)-UVEĎTE PŘÍKLAD. 19. NAKRESLETE TYPICKÉ PRVNÍ TŘI TVARY OHYBOVÉHO KMITÁNÍ PRUTŮ, OBDÉLNÍKOVÝCH DESEK, KRUHOVÝCH DESEK. VYSVĚTLETE POJEM UZLOVÝ BOD/UZLOVÁ PŘÍMKA/UZLOVÝ PRŮMĚR/UZLOVÁ KRUŽNICE. Kmitání prutu - 15 -
Kmitání obdelníkové desky Kmitání kruhové desky Uzlový bod místo na nosníku (kmitání prutů), ve kterém je průhyb v každém časovém okamžiku nulový (u obrázků 1 nemá uzlový bod, 2 má jeden, 3 má dva uzlové body) Uzlová přímka přímka na membránové obdelníkové desce, ve které je průhyb v každém časovém okamžiku nulový. Přímky rozdělují desky na i,j stejných částí Uzlový průměr přímka (průměr) na membránové kruhové desce, ve které je průhyb desky v každém časovém okamžiku nulový. Uzlová kružnice kružnice na membránové kruhové desce, ve které je průhyb desky v každém časovém okamžiku nulový. - 16 -
20. MKP: - JAKÝCH PATNÁCT NEZNÁMÝCH FUNKCÍ HLEDÁM PŘI ŘEŠENÍ PŘÍMÉ ÚLOHY DYNAMIKY KONTINUA A JAKÝCH PATNÁCT ROVNIC POUŽÍVÁME PŘI ŘEŠENÍ. - 17 -
- VYSVĚTLETE ROZDÍL MEZI DIFERENCIÁLNÍ A VARIAČNÍ FORMULACÍ PŘI ŘEŠENÍ KMITÁNÍ KONTINUA Diferenční: Formuluje problém v podobě diferenciálních rovnic Variační: Hledá řešení problému jako stav, v němž energie analyzovaného tělesa dosahuje extrémní hodnoty. - JAKÝ JE ROZDÍL MEZI DEFORMAČNÍM/SILOVÝM PŘÍSTUPEM K ŘEŠENÍ Deformační: Neznámé jsou složky posuvů. Silový: Neznámé jsou složky napětí. - JAKÁ FORMULACE A JAKÝ PŘÍSTUP SE OBVYKLE POUŽÍVAJÍ PŘI ANALYTICKÉM/NUMERICKÉM ŘEŠENÍ Analytické řešení: Výsledky hledáme ve formě spojitých funkcí metodami analytické matematiky (derivace, integrály) Numerické řešení: Převádí problém hledání spojitých funkcí na problém hledání konečného počtu neznámých parametrů. Řeší se algebraickými prostředky v konečném počtu kroků na PC. - JAKÁ JE ZÁKLADNÍ MYŠLENKA MKP MKP je numerická metoda, u které převládá variační formulace a deformační přístup. Základní stavebním kamenem je prvek konečných rozměrů. - JAK ZNÍ LAGRANGEŮV VARIAČNÍ PRINCIP, JAK JE DEFINOVÁN LAGRANGEŮV FUNKCIONÁL Lagrangeův variační princip: Mezi všemi funkcemi posuvů, které zachovávají spojitost tělesa a splňují geometrické okrajové podmínky, se realizují ty, které udílejí celkové potenciální energii stacionární hodnotu W P - NA JAKOU SOUSTAVU ROVNIC VEDE POUŽITÍ MKP PŘI ŘEŠENÍ PŘÍMÉ ÚLOHY PRUŽNOSTI A V ČEM SPOČÍVÁ REALIZACE OKRAJOVÝCH PODMÍNEK - 18 -
- NA JAKOU SOUSTAVU ROVNIC VEDE POUŽITÍ MKP PŘI ŘEŠENÍ PŘÍMÉ ÚLOHY DYNAMIKY Soustava parciálních lineárních algebraických rovnic - JAKÝ JE ROZDÍL MEZI H-METODOU A P-METODOU U MKP h-metoda: Snížení chyby výpočtu pomocí zvýšení počtu prvků a uzlů sítě při zachování stejného druhu prvků. p-metoda: Snížení chyby výpočtu pomocí zvyšování stupně polynomu aproximace posuvů. 21. STABILITA: - PRO ZADANOU POLOHU VLASTNÍCH ČÍSEL V GAUSOVĚ ROVINĚ NAKRESLETE ČASOVÝ PRŮBĚH Kmitání - 19 -
- V ČEM SPOČÍVÁ HODNOCENÍ STABILITY : PODLE POLOHY VLASTNÍCH ČÍSEL, ROUTH-HURWITZOVA KRITÉRIA, NYQUISTOVA KRITÉRIA, VE SMYSLU LJAPUNOVA, VE FÁZOVÉ ROVINĚ Nyquist Stabilní otevřený systém zůstává v klidu i po uzavření zpětné vazby pokud N. Routh-Hurwitzovo: Podle Routh-Hurwitzova kritéria budou mít reálné části kořenů charakteristické rovnice záporné znaménka, budou-li: všechny koeficienty charakteristické rovnice kladná čísla; budou-li splněny následující determinantní nerovnosti: - 20 -
Ljapunov: Stabilitu periodického řešení budeme chápat jako stabilitu pohybu podél určité trajektorie, kterou je v případě periodických řešení limitní cyklus. Sledujeme, zda bod P1 (reprezentující okamžitý stav systému), který se pohybuje po trajektorii blízké limitnímu cyklu, zůstává trvale ve zvolené oblasti ε, která obsahuje oblast viz obr. 3.1b. Bod P0, reprezentující střed oblastí δ i ε, se přitom pohybuje po limitním cyklu. Zůstává-li pro každé t > t0 bod P1 trvale v oblasti, je periodické řešení ve smyslu Ljapunovovy definice (3.3) stabilní. - 21 -
Fázová rovina - CO JE TO SAMOBUZENÉ KMITÁNÍ, V ČEM SPOČÍVÁ U OBRÁBĚNÍ PRINCIP REGENERATIVNÍHO EFEKTU A PRINCIP POLOHOVÉ VAZBY samobuzené kmitání: Vzniká při třísce větší než 0.01mm a širší než 0.05mm. Při samobuzených kmitech dochází k pravidelnému pohybu mezi nástrojem a obrobkem. Jeho následkem dochází ke ztrátě stability pohybu dynamického systému stroje. - 22 -
Regenerativní efekt: Dochází při něm k postupnému rozkmitávání vlivem měnícího se průřezu třísky, tedy i velikosti řezných sil. Polohová vazba: Předpokládá závislost řezné síly na tloušťce třísky a kmitání soustavy nejméně o dvou stupních volnosti. U tohoto principu je nejdůležitější směrová orientace dynamických systémů a jejich vzájemné naladění. 22. EXPERIMENTÁLNÍ ZJIŠŤOVÁNI DYNAMICKÝCH VLASTNOSTÍ: -CO JE CÍLEM EXPERIMENTÁLNÍ MODÁLNÍ ANALÝZY Zjistit dynamické vlastnosti stroje. Zjišťují se tři základní parametry: Vlastní frekvence netlumených kmitu Tvar kmitu Modální tlumení Tyto parametry se získají z vyhodnocení odezvy systému na známé buzení. Pokud tyto parametry známe můžeme provádět experimenty ve změně některých tuhostí, hmotností a tlumení a bez jejich fyzické realizace pozorovat, zda přináší očekávaný efekt. Na základě naměřených hodnot se také stanovují mezní šířky třísky. - 23 -