DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Součást Newtonovské klasická mechanika (v<<c) Zkoumá příčiny pohybu těles, vzájemnou inteakci okolních těles. Vzájemné působení pohyb těles nebo defomace Základní veličiny dynamiky + kinematické veličiny hmotnost polohový vekto hybnost ychlost síla zychlení 1

Hmotnost m Hmotnost je kladná skalání veličina, kteá vyjadřuje míu setvačných a tíhových vlastností tělesa. Je základní vlastností všech hmotných objektů. Základní vlastnosti je dána vnitřní stuktuou těles v klasické mechanice konstantní nezávisí na volbě vztažné soustavy platí zákon zachování celkové hmotnosti Základní jednotka [ m ] = kg 2

Hybnost p Hybnost je vektoová veličina vyjadřující míu pohybového stavu. p = mv, kde m je hmotnost a v ychlost částice. Základní vlastnosti Hybnost je vekto, má velikost, smě a oientaci, vektoy jsou souhlasně ovnoběžné p v Základní jednotka [ ] 1 p = kg m s m v p 3

Síla F Síla je vektoová fyzikální veličina, kteá je míou vzájemného působení mezi hmotnými objekty. Síly Platí pincip supepozice Základní jednotka tahové, tlakové, tření (při kontaktu těles). gavitační, elektické, magnetické (vyvolané polem). F i F = N = F (newton) Pojem síla je abstakce. Síla jako taková nemůže eálně existovat, pokud neexistují hmotné objekty. 4

SÍLY V PŘÍRODĚ Tíhová síla Volný pád pobíhá jako důsledek působení stálé síly, kteou nazýváme tíhová síla G. Je výslednicí gavitační a odstředivé síly. Platí G = mg, G g Tíhovou silou působí Země na každé těleso při svém povchu a uděluje mu tíhové zychlení g : 2 2 g = a + a g = 9,80664 m.s =& 9,81 m.s g o 5

Kolmá tlaková síla Podložka působí na těleso tlakovou (nomálovou) N. Tato síla je vždy kolmá k povchu podložky. Je-li těleso na vodoovné podložce, síla N míří svisle vzhůu, tíhová síla G = mg dolů a jejich velikosti se sobě ovnají N = G = mg. 6

Tahová síla Těleso je taženo silou T, kteá směřuje podél lanka ven z tělesa a má působiště v bodě úchytu. Hovoříme o tahové nebo tažné síle. Velikosti tahových sil jsou v situacích v uvedených případech ovny T = T. 7

Třecí síla Třecí síla F t vzniká při smýkání pevného tělesa po podložce. Tato síla je ovnoběžná s podložkou a směřuje poti směu skutečného pohybu tělesa. N F v, F t G Velikost třecí síly F t je přímo úměná velikosti síly N (! Smě mají ůzný!) Ft = µ N, µ je součinitel smykového tření z intevalu < 0;1 >. 8

NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY Základem klasické mechaniky jsou 3 Newtonovy pohybové zákony, kteé popisují souvislost pohybu tělesa a sil, kteé na ně působí. 1. Zákon setvačnosti 2. Zákon síly 3. Zákon akce-eakce 9

1NPZ Zákon setvačnosti Každé těleso setvává v klidu nebo ovnoměném přímočaém pohybu, pokud není vnějšími silami přinuceno tento stav změnit. Důkaz tohoto zákona nemůžeme povést nelze ealizovat stav tělesa, kdy na něj nepůsobí žádné síly. Jeho důsledky však jsou v souladu se skutečností (pohyby nebeských těles) Důsledek: z hlediska popisu pohybu jsou klid a ovnoměný pohyb ekvivalentní (člověk ve vlaku, ve výtahu). 10

Vztažné soustavy V příodě neexistuje ani absolutní klid ani absolutní ovnoměný přímočaý pohyb. Klid a ovnoměný přímočaý pohyb závisejí na volbě souřadné soustavy (kteá je spojena s učitým vztažným tělesem). Vztažné těleso (nejčastěji Země) se může pohybovat. Souřadnicové soustavy, ve kteých platí 1. NPZ se nazývají ineciální 1. Jsou to soustavy, kteé se vůči sobě pohybují konstantní ychlostí (nebo nepohybují). 1 inetia = setvačnost 11

Sluneční soustavu, Zemi a soustavy s ní spojené, nazýváme laboatoními soustavami, tj. přibližně ineciálními soustavami. Ineciální je soustava Kopeníkova počátek je ve středu sluneční soustavy a osy směřují ke třem vzdáleným hvězdám stálicím, kteé neleží v jedné ovině. Neineciální soustava ve vztahu k ineciální soustavě se pohybuje zychleně. Příklady: zychlování, zpomalování, změna směu pohybu (statující letadlo, auto jedoucí do zatáčky, kabina výtahu při ozjezdu a zastavení, kolotoč atd.) 12

2NPZ Zákon síly Časová změna hybnosti hmotného bodu je ovna výsledné síle, kteá na těleso působí a má s ní stejný smě. kde p = mv dp dt = F je hybnost a F F F F F n = 1+ 2 +... + = n i= 1 i F dp je výslednice všech působících sil. V klasické mechanice nezávisí hmotnost na ychlosti, m = konst. 13

Platí tedy dostáváme F d( mv ) dv = = m. Potože podle definice d v dt dt dt = a, F = ma pohybová ovnice Zychlení a F, a F V tomto tvau platí pohybová ovnice jen po hmotný bod a po tanslační (posuvný) pohyb tuhého tělesa. Jednotka : F = N (kg.m.s -2 ) 1 newton je síla, kteá hmotnému bodu o hmotnosti 1 kg udělí zychlení 1 m.s -2. 14

3NPZ Zákon akce eakce Síly vzájemného působení těles jsou stejně velké, leží v téže přímce a mají vzájemně opačnou oientaci. Jestliže těleso A působí na těleso B silou silou F F, a platí FAB = FBA BA AB, potom těleso B působí na těleso A Zákon akce a eakce neboli vzájemného působení platí, i když tělesa na sebe působí postřednictvím svých polí. Síly akce a eakce jsou stejně velké, ale jejich pohybový účinek může být velmi ozdílný příklad: Země jablko. 15

POHYBOVÁ ROVNICE Pohybová ovnice F = ma je ovnicí vektoovou, kteou lze ozložit na 3 skalání ovnice. V katézské soustavě souřadnic: x 2 dvx d x = x = = 2 dt dt dv 2 y d y y 2 F ma m m Fy = ma = m = m dt dt F ma m m z 2 dvz d z = z = = 2 dt dt 3 skalání ovnice 16

Existují dvě úlohy dynamiky: Známe-li tajektoii pohybu (a hmotnost), můžeme učit působící sílu. Známe-li složky síly v každém čase t, můžeme (??) učit tajektoii pohybu. 17

Řešení úlohy Máme dán polohový vekto t () (), odkud deivace deivace = t v = v() t a = a() t Známe-li hmotnost, napíšeme tři (nebo dvě) skalání ovnice po Fx, Fy,( Fz) a tím je úloha vyřešena. Řešení úlohy Z pohybové ovnice F = ma vyjádříme vekto zychlení at (), odkud integace integace at () v= vt () = t () 18

Podobněji: F m dv = d t dv = 1 m Fdt v 1 = F dt m 1 v = F dt+ v m 0 1. integál pohybové ovnice Po jednotlivé souřadnice: 1 v = F dt+ v m 1 v = F dt+ v m 1 v = F dt+ v m x x 0x y y 0 y z z 0z Integační konstanty v 0, esp. 0, 0, 0 ychlosti. v v v, epezentují libovolný vekto x y z 19

Analogicky v = d dt = v dt+ d 0 = vdt = vdt 2. integál pohybové ovnice Po jednotlivé souřadnice: x = v dt+ x y = v dt+ y x 0 ; y 0 z = v dt+ z ; z 0, esp. 0, 0, 0, epezentuje libovolný polohový Integační konstanta 0 x y z vekto. Vektoy v0, 0 nevyplývají z řešení difeenciálních ovnic. Pokud je neznáme, má úloha nekonečně mnoho řešení. 20

Síla zychlení. V okamžiku, kdy síla začala působit, měl hmotný bod učitou polohu a učitou ychlost. Pohybová ovnice (úloha ) má jednoznačné řešení pouze tehdy, pokud jsou dány počáteční podmínky: x0 0 v v t = x( t ), y ( ) 0 = y t0, z ( ) 0 = z t0 = ( ), v = v ( t ), v = v ( t ) 0x x 0 0y y 0 0z z 0 Počáteční podmínky představují polohový vekto a vekto ychlosti hmotného bodu v učitém definovaném okamžiku t 0 (v okamžiku, kdy začala síla působit). 21

Výsledek silového působení závisí na F a na vzájemné oientaci vektoů v0, F 0 Konstantní síla (smě i velikost) a = konst. Pokud F v 0 ovnoměně zychlený pohyb F v 0 ovnoměně zpomalený přímočaý pohyb F, 0 0 v ůzný smě skládání pohybů (např. vodoovný vh) Síla o konstantní velikosti, kteá směřuje stále do jednoho bodu ovnoměný pohyb po kužnici.. Poznámka: dostředivá síla mv 2 Fd = mad = = mω R R 2 22

Těleso o hmotnosti m se nachází na nakloněné ovině, kteá svíá s vodoovným směem úhel α. Koeficient kinematického tření mezi tělesem a nakloněnou ovinou je f k. a) Učete zychlení, s jakým se těleso pohybuje po nakloněné ovině poté, co bylo uvolněno z klidu. Řešení: a) 1. Zakeslíme všechny síly, kteé působí na těleso (tíhová síla F G, nomálová síla N a síla tření F t ). Výslednice sil působících na těleso je dána jejich vektoovým součtem. Účinkem této výsledné síly se těleso bude pohybovat po nakloněné ovině zychleně. 23

2. Zvolíme souřadnicovou soustavu a vyznačíme oientaci os (pohyb se děje ve směu osy x, takže a y = 0. Jednotlivé síly napíšeme ve složkách ve zvolené souřadnicové soustavě. F = mgsinα i mgcos α j, N = N j, F = f Ni G t k 3. Aplikujeme 2. pohybový zákon F = ma Tato vektoová ovnice je ekvivalentní dvěma skaláním ovnicím: ( 1) ma x = mg sinα f k ( 2) ma y = mg cosα + N = 0 N = mg cosα N 4. Máme dvě ovnice po neznámé a x a N. Jejich řešením obdžíme hledané zychlení a x = g(sinα f k cosα) 24

Poznámka 1: Aby bylo těleso uvedeno do pohybu po nakloněné ovině směem dolů, musí x-ová složka výsledné síly být kladná, tedy mg sin α f mg cosα > 0 tgα > k f k Poznámka 2: Souřadnicovou soustavu volíme tak, aby řešení úlohy bylo co nejjednodušší. Obvykle jednu z os ztotožníme se směem pohybu. Bilance sil v kolmém směu viz ovnice (2) nám pak umožní vyjádřit sílu tření. 25

b) Za předpokladu, že těleso uvolníme z klidu, učete ychlost v d poté, co těleso uazilo po nakloněné ovině dáhu d. Řešení: b) Poloha tělesa a ychlost jeho pohybu s konstantním zychlením jsou dány vztahy ( 3) + 2 = ( 4) x = ax t + v0xt + x0 vx axt v0x Položíme počátek souřadnic do místa, odkud uvolníme těleso, takže x 0 = 0. Počáteční ychlost je v 0x = 0 (těleso podle zadání uvolníme z klidu), konečná poloha je x = d. Dosazením těchto konstant do vztahů (3) a (4) obdžíme: 1 2 d = ax t, vx = 2 Vyloučením času získáme pak z obou ovnic hodnotu ychlosti na konci dáhy d: v x ( x = d) = v = 2da = 2dg(sinα f cosα) d x 1 2 a x t k 26