Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných zdrojů a veřejně dostupných internetových zdrojů. Využití této prezentace nebo jejich částí pro jiné účely, stejně jako její veřejné šíření je nepřípustné. 1
Sdílení tepla: vedením (kondukce) prouděním (konvekce) sálání (radiace) (Zdroj: ms.gsospg.cz) 2
Rovnice vedení tepla: T τ = a 2 T + q v ρc 2 T = 2 T + 2 T + 2 T 2 x 2 y 2 z T(x, y, z) q v (x, y, z) zdroj tepla v místě (x, y, z) Počáteční podmínky (např. v čase τ = 0) Okrajové podmínky (zdroj: http://tor.cz) 3
Stacionární vedení tepla v rovinné stěně s vnitřním zdrojem (1D úloha!) 0 = a 2 T + q v ρ c p 0 = λ 2 T ρ c p x 2 + q v ρ c p konstantní zdroj T = f x d 2 T dx 2 = q v λ dt dx = q v λ x + C 1 T = q v 2λ x2 + C 1 x + C 2 4
Porovnání s předchozím výsledkem (bez tepelného zdroje, jen využitím Fourierova zákona) q = λ grad T /. S Q = λ S dt dx dt = Q λ S dx T = Q x + C λ S x = 0; T = T 1 ; T 1 = 0 + C x = δ; T = T 2 ; T 2 = Q λ S δ + T 1 Q = S λ δ T 1 T 2 5
Jaký má být vnitřní ohřev desky, aby byl nulový tok tepla do desky zleva? Pak pro x = 0 je ( dt = q v dx λ x + C 1) dt dx = 0 c 1 = 0 Pro teploty T 1 a T 2 : x = 0; x = δ; T 1 = q v 2λ 0 + C 2 T 2 = q v 2λ δ2 + C 2 q v = 2λ δ 2 T 1 T 2 6
Fourierova metoda řešení nestacionárního vedení tepla Pro q v = 0 T τ = a 2 T Řešení hledáme ve tvaru: Dosazení: C ε x γ τ T(x, τ) = C γ τ ε x = a C γ τ ε (x) γ τ γ τ ε x = a ε x = konst K ε x = a 1 K ε x Víme, že. cos kx = k 2 cos kx sin kx = k 2 sin(kx) K = a k 2 7
γ τ γ τ = K = a k2 γ τ = γ τ ak 2 γ τ = e ak2 τ a ε x ε x = a k2 T(x, τ) = C e ak2 τ cos kx + D e ak2 τ sin kx Pozor, počáteční podmínka je ovšem: T(x, 0) = C cos kx + D sin kx 8
Numerické řešení 1 dim. nestacionární vedení tepla, λ = konst T T d T a τ τ T b = T a + T x x + 1 2 2 T x 2 x2 + T c = T a + T x x + 1 2 2 T x 2 x 2 + 9
Dosazení do rovnice vedení tepla: T b + T c 2 T a + 2 T x2 x2 2 T x 2 1 x 2 T b + T c 2 T a T d T a τ = a 1 x 2 T b + T c 2 T a T d T a = a τ x 2 T b + T c 2 T a T d (T a, T b, T c ) 10
Sdílení tepla prouděním (konvekcí) Přenos tepla v tekutině je často spojen se současným prouděním tekutiny. Rozlišujeme: PŘIROZENOU KONVEKCI: proudění je vyvoláno změnou hustoty vlivem ohřevu tekutiny a gravitací NUCENOU KONVEKCI: pohyb tekutiny vyvolán vnějším účinkem (čerpadlo, ventilátor, apod.) Řešeno složitým systémem rovnic Podmínky jednoznačnosti: 1. geometrické (tvar a velikost tělesa) 2. fyzikální (hodnota fyzikálních veličin) 3. časové (časový průběh teploty na stěně) 4. okrajové: 1. druhu: teplota stěny 2. druhu: tepelný tok na stěně 3. druhu: teplota tekutiny a součinitel přestupu tepla α 11
Jak vzniká přirozená konvekce? Příklad odspoda zahřívaného systému Vrstvy kapaliny v horní části systému jsou hustší než ve spodní části. Dosáhne-li rozdíl teplot určité hodnoty, tíha horní vrstvy kapaliny převládne nad dosud stabilizujícími viskózními silami. V systému nastává konvekční proudění. T c Ohřev spodních vrstev kapaliny vede k jejich expanzi, snížení hustoty a jejich stoupání působením vztlaku směrem vzhůru. Chladnější vrstvy v horních částech kapaliny klesají směrem ke dnu. T h (> T c ) 12
Rayleighova Bénardova nestabilita 13
Teorie podobnosti? 14
Teorie podobnosti Nutno zvýšit svalový průřez 15
Teorie podobnosti 16
Teorie podobnosti 1. Experimentátor provádí měření na modelu. 2. Jak přenést výsledky z modelu na reálné dílo? 3. Základní předpoklad: jevy na modelu i na díle jsou popsány stejnými rovnicemi. Zavedeme měřítka Měřítko geometrické: Měřítko času: A podobně dále c l = l M l D c τ = τ M τ D c T = T M T D c w = w M w D 17
Rovnice vedení tepla pro model: T M + T M w τ M x xm + T M w M y ym + T M 2 T M w M z zm = a M 2 M x + M Substituce: T M = c T T D τ M = c τ τ D w M = c w w D a M = c a a D x M = c l x D y M = c l y D z M = c l z D Změna měřítka T D c T τ D c τ + T D c T x D c l w xd c w + T D c T y D c l w yd c w + = a D c a 2 T D c T x D 2 c l 2 + Rovnice vedení tepla pro dílo: T D τ D + T D x D w xd + T D y D w yd + = a D 2 T D x D 2 + 18
Má-li rovnice pro model být identická s rovnicí pro dílo, pak: Porovnáním: Dosazením: Odtud: Podobnostní číslo: c T c τ = c T c w c l c T = c a c T c τ c 2 l a M τ M l D 2 = c a c T c l 2 c a c τ c l 2 a D τ D l M 2 = 1 a M τ M l M 2 = a D τ D l D 2 = 1 a τ = Fo (Fourierovo) l2 19
Podobně: c T c w c l = c a c T c l 2 c T c τ = c T c w c l = c a c T c l 2 c w c l c a = 1 w l a = Pe (Pecletovo) 20
Okrajová podmínka 3. druhu: λ s grad T s = α T s T t λ s dt dx = α T s T t c λs c T c l = c α c T c α c l c λs = 1 α l λ s = Bi (Biotovo) 21
Rovnice přecházení tepla: λ t grad T t = α T s T t c λt c T c l = c α c T α l λ t = Nu (Nusseltovo) 22
Navier-Stokesovy rovnice: w x τ + w x x + 1 3 ν x w x + w x y w x x + w x y + w x z w y + w x z + ν w z = g z 1 ρ 2 w x x 2 + 2 w y y 2 p x + + 2 w z z 2 c w 2 = c w = c c τ c g = c p = c c w l c ρ c ν l c l 2 23
Porovnáním: 1.-2.: c w = c 2 w c τ c l c w c τ c l = 1 2.-3.: 2.-4.: 2.-5.: c w 2 c l c w 2 c w 2 c l c l = c p c ρ c l w τ l = c g = Sh (Strouhal) g l w2 = Fr (Froude) = c c w ν c 2 w l l ν p ρ w2 = Eu (Euler) = Re (Reynolds) 24
Podobnostní čísla bezrozměrné veličiny! Každá bezrozměrná kombinace veličin podobnostní číslo Příklad: 1 V V t p β T podobnostní číslo gl 3 ν2 = Ga Galileo β T gl3 ν2 = Ga Grasshoff Pr = Pe Re = wl a ν wl = ν a Prandtl 25
Kriteriální rovnice Výsledky experimentu na modelu α = f β, T, w, ν, λ t, τ, se zpracují ve formě podob. čísel (kritérií podobnosti): Pro stacionární (ustálený stav): Nu = f Gr, Pr, Re, Fo POZOR! charakteristický rozměr Nu = f Gr, Pr, Re Pro přirozenou konvekci: Nu = f Gr, Pr Pro nucenou konvekci: Nu = f Pr, Re w l ν = Re charakteristická rychlost 26
zahřívaná deska Sdílení tepla Přirozená konvekce v neomezeném prostoru zahřívaná deska 27
Přirozená konvekce v neomezeném prostoru Kolem vodorovného potrubí: Pro 10 3 < Gr t,d Pr t < 10 8 Nu t,d = 0, 50 Gr t,d Pr t 0,25 Pr t Pr s 0,25 Kolem svislé plochy: a) 10 3 < Gr t,h Pr t < 10 9 (lamin. ) 0,25 Pr t Nu t,h = 0, 76 Gr t,h Pr t Pr s b) Gr t,x Pr t > 10 9 (turbul. ) 0,25 Nu t,x = Nu t,h = 0, 15 Gr t,x Pr t 0,33 Pr t Pr s 0,25 28
Konec Děkuji za pozornost 29