MASARYKOVA UNIVERZITA

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY Dělitelnost v různých číselných soustavách Bakalářská práce Brno 2016 Vedoucí práce: PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D. Vypracovala: Michaela Juříková

Bibliografický záznam JUŘÍKOVÁ, Michaela. Dělitelnost v různých číselných soustavách: bakalářská práce. Brno: Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra matematiky, 2016, str. 59, Vedoucí bakalářské práce PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D.

Anotace Bakalářská práce Dělitelnost v různých číselných soustavách se v první části zabývá základními pojmy z dělitelnosti čísel, jako jsou prvočísla, složená čísla, násobky, dělitelé, jejich hledáním a určováním, dále kongruencí, číselnými soustavami a převody čísel mezi nimi. V druhé části jsou uvedena kritéria dělitelnosti ve 3 vybraných soustavách. Ke všemu jsou uvedeny názorné příklady i se cvičením. Annotation Bachelor thesis "divisibility in different number systems" in the first part deals with the basic concepts of the divisibility of numbers, such as prime numbers, composite numbers, multiples, divisors, their searching and identifying furthercongruence, number systems and conversions of numbers between them. The second section provides criteria for divisibility in three selected systems. For all things are given with illustrative examples and exercises. Klíčová slova Dělitelnost, prvočíslo, složené číslo, násobek, dělitel, kongruence, číselné soustavy, převody čísel mezi soustavami, kritéria dělitelnosti Keywords Divisibility,prime number, composite number, multiple, divisor, congruence, number systems, conversions of numbers between number systems, criteria for divisibility

Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně, s využitím pouze citovaných pramenů, dalších informací a zdrojů v souladu s Disciplinárním řádem pro studenty Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity a se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů. V Brně dne 4. března 2016 Michaela Juříková

Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala PhDr. Jiřina Novotná, Ph.D., za cenné rady, věcné připomínky a vstřícnost při konzultacích a vypracování bakalářské práce.

Obsah Úvod... 7 Používané symboly a označení... 8 1. Historie... 10 1.1. Eratosthenovo síto... 10 1.2. Mersennova prvočísla... 11 2. Základní pojmy z teorie dělitelnosti přirozených čísel... 13 2.1. Největší společný dělitel... 15 2.2. Nejmenší společný násobek... 17 2.3. Kongruence... 21 3. Číselné soustavy... 25 3.1. Poziční soustavy... 25 3.1.1. Převod číslic z desítkové soustavy do jiné poziční soustavy... 26 3.1.2. Převod z jiné poziční soustavy zpět do desítkové soustavy... 27 3.1.3. Přímý převod mezi soustavami... 28 3.1.4. Základní početní operace v číselných soustavách... 30 4. Kritéria dělitelnosti v desítkové soustavě... 34 4.1. Kritérium dělitelnosti: využitím rozkladu přirozeného čísla na součet dvou jeho sčítanců... 34 4.2.Kritérium dělitelnosti: využitím vlastností mocnin 10... 35 4.3. Kritérium dělitelnosti: využitím kongruencí... 38 4.4. Malá čísla určují dělitelnost velkými čísly... 41 5. Kritéria dělitelnosti v osmičkové soustavě... 42 5.1. Kritérium dělitelnosti: využitím rozkladu přirozeného čísla na součet dvou jeho sčítanců... 42 5.2. Kritérium dělitelnosti: využitím kongruencí... 43 6. Kritéria dělitelnosti ve dvanáctkové soustavě... 48 6.1.Kritérium dělitelnosti: využitím rozkladu přirozeného čísla na součet dvou jeho sčítanců... 48 6.2. kritérium dělitelnosti: využitím kongruencí... 49 7. Výuka číselných soustav a dělitelnosti na základní škole... 54 Závěr... 57 Seznam použité literatury... 58

Úvod V bakalářské práci Dělitelnost v různých číselných soustavách můžeme již podle názvu očekávat, že se budeme zabývat číselnými soustavami a dělitelností v nich. S teorií dělitelnosti jsme se setkali již na základní škole, kde jsme se naučili základní pojmy a základní příklady. V této práci si všechny pojmy více upřesníme a názorně předvedeme na vzorových příkladech. V životě všichni běžně používáme desítkovou soustavu neboli soustavu o základu 10. Jelikož je to základní početní soustava a ostatní si myslíme, že v životě nepotřebujeme (například s dvojkovou soustavu přicházíme do kontaktu, jelikož ji využívá počítač), většina z nás o jiných soustavách nic víc neví a lidé z nich mají strach a nerozumí jim. Touto prací bych chtěla všem, i těm, kteří matematiku nemají moc v lásce, ukázat, že není nutné z ní mít strach a může ji pochopit každý. Bakalářská práce je rozdělena do 2 částí. V první části se podíváme blíže na pojmy z teorie dělitelnosti a číselných soustav, vše na názorných příkladech, a ukážeme si převody mezi těmito soustavami, které se běžně nepoužívají, a základní početní operace v nich. V druhé části si zavedeme kritéria dělitelností ve 3 různých číselných soustavách, které se od sebe samozřejmě liší. Na konci každé kapitoly je cvičení s příklady, které souvisí s danou probranou látkou. Může sloužit také jako materiál pro vyučování. Práce obsahuje jednu kapitolu (poslední), která popisuje, jak se s číselnými soustavami a dělitelností setkáváme při výuce na základní škole. 7

Používané symboly a označení Pro srozumitelnost textu zavedeme hned na začátku pár znaků, matematických symbolů, které se budou v textu opakovat. = rovnost nerovnost je přibližně rovno < je menší než > je větší než je menší nebo rovno je větší nebo rovno implikace, logická spojka jestliže, pak ekvivalence, logická spojka právě tehdy, když konjunkce, logická spojka a disjunkce, logická spojka nebo ~ ekvivalence kvantifikátor, platí pro všechna kvantifikátor, existuje nějaké! kvantifikátor, existuje právě jedno {, } množinové závorky náleží množině / dělí / nedělí 8

Z N kongruence množina celých čísel množina přirozených čísel N 0 množina přirozených čísel včetně nuly R množina reálných čísel Základní pojmy: Celá čísla: označujeme písmenem Z Množina :{..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } Přirozená čísla: označujeme písmenem N Některé studia zahrnují do přirozených čísel i 0, potom označujeme N 0, častěji se však používá bez 0: { 1, 2, 3, 4, } Z toho nám vyplývá věta číslo 1: Věta 1: Čísla., -2, -1, 0, 1, 2 nazýváme celými čísly. Jestliže z množiny všech celých čísel vypustíme záporná čísla celá čísla, dostaneme množinu všech nezáporných celých čísel 0, 1, 2,. Jestliže z množiny všechna nezáporných celých čísel vypustíme číslo 0, dostaneme množinu všech přirozených čísel 1, 2, 3 1 Samozřejmě existuje více číselných oborů, avšak nám pro tuto práci budou stačit pouze ta, která jsou výše zmíněna. 1 BIAŁAS, Aleksander. O dělitelnosti čísel. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1966, Matematická knižnice. Str. 5 9

1. Historie Pokud bychom se chtěli podívat na historii čísel, můžeme jistě hovořit již o pravěku, avšak o matematice jako takové můžeme hovořit až později. Matematika vznikala a byla používána z důvodů vyměřování země, astronomie, určování času, aj. Matematika byla popsána mnoha způsoby. Nazývali ji vědou čísel a velikostí, vědou vzorů a vztahů nebo jazykem vědy. Galileo Galilei, slavný italský vědec, který žil v letech 1564 až 1642, tvrdil, že zákony Přírody jsou napsány v jazyce matematiky. 2 1.1. Eratosthenovo síto Již v historii (okolo roku 300 př. n. l.) se zabýval řecký matematik Eratosthénes z Kyrény prvočísly. Použil metodu, jak nalézt všechny prvočísla, která jsou menší než nějaké dané číslo. Tato metoda (algoritmus) je po něm pojmenována, jedná se o tzv. Eratosthenovo síto. Princip je založen na postupném proškrtávání seznamu čísel. Pro názornost si uvedeme příklad. Příklad: Nalezte všechna prvočísla menší než 30. Vypíšeme si seznam obsahující všechna přirozená čísla menší než 30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Všechna čísla máme neoznačená a začneme je postupně obarvovat a škrtat. Číslo 1 rovnou můžeme škrtnout, jelikož jej nepovažujeme za prvočíslo. Nejmenším 2 WILLERS, Michael. Algebra bez (m)učení: od arabských matematiků k tajným šifrám: matematika v každodenním životě : fascinující čísla a rovnice. 1. vyd. Praha: Grada, 2012, Str. 6 10

prvočíslem máme tedy číslo 2, proto si jej obarvíme červeně, a všechny jeho násobky vyškrtáme (4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 a 30). Další prvočíslo (hned první neškrtnuté číslo za posledním červeným) je číslo 3. Opět jej obarvíme na červeno a vyškrtáme všechny jeho násobky, které ještě nejsou vyškrtnuté (9, 15, 21 a 27). Následující prvočíslo je číslo 5. Obarvíme jej na červeno a vyškrtáme všechny jeho násobky, které nejsou vyškrtnuté (25). Tímto postup končíme, protože platí věta 1: Věta 1.1.: Hledání všech prvočísel menších než n Eratosthenovým sítem ukončíme ve chvíli, kdy dospějeme k prvočíslu, které vynásobeno samo se sebou dává výsledek větší než n. 3 My jsme ukončili hledání číslem 5, protože následující prvočíslo je číslo 7, pro které platí věta 1. Když vynásobíme číslo 7 samo sebou, dostáváme číslo 49, které je větší než číslo 30, do kterého prvočísla hledáme. Zbytek nevyškrtnutých čísel jsou tedy všechna prvočísla a můžeme je obarvit červeně. Dostáváme seznam všech prvočísel menších než 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 a 29. 1.2. Mersennova prvočísla Další později (okolo roku 1600) se zabýval prvočísly francouzský matematik Marin Mersenne, podle něj pojmenována Mersennova prvočísla. Jsou to prvočísla ve tvaru: M p =2 n -1, kde n je přirozené číslo. 3 PŮLPÁN, Zdeněk a Michal ČIHÁK. Matematika 6 pro základní školy. 1. vyd. Praha: SPN - pedagogické nakladatelství, 2007, Str. 64. 11

Nutnou podmínkou, aby výsledné číslo bylo opravdu prvočíslem, je prvočíselnost n, tedy samo n musí být také prvočíslem. Například pro n=4, máme M=2 4-1=16-1=15.Číslo 15 však není prvočíslo, ale číslo složené (více v kapitole č. 2). Tato čísla označujeme obecně jako Mersennova čísla. Příklad Mersennova prvočísla můžeme tedy uvést první prvočíslo: M p =2 2-1=3. Další: M p =2 3-1=7. Do dnešního dne bylo nalezeno již přes 40 Mersennových prvočísel. Cvičení 1: 1) Pokuste se najít pomocí Eratosthenova síta všechna prvočísla, menší než 100. Řešení: Všechna prvočísla menší než 100 :2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 a 97. Pro nalezení si vypíšeme všechny čísla od 1 do 100 a postupně vyškrtáváme násobky prvočísel. Tento postup nám stačí opakovat po číslo 7, protože následující prvočíslo je 11, které vynásobením samo sebou dává součin větší než 100, tedy námi zadaná horní mez. 12

2. Základní pojmy z teorie dělitelnosti přirozených čísel Definice 2.1.: Jestliže existuje prvek r N takový, že a=b r, pak říkáme, že b dělí a (prvek a je dělitelný prvkem b) a píšeme b/a. V opačném případě říkáme, že prvek a není dělitelný prvkem b a píšeme b/a. 4 Příklad: Zjistíme, zda číslo 3 dělí číslo 12. Podle definice 1 musíme najít takové číslo r, aby platilo 12=3 r V tomto případě najdeme číslo 4: 12=3 4 Z toho vyplývá, že číslo 3 opravdu dělí číslo 12( 3/12). Definice 2.2.: Číslo a (z definice 1.1.) se nazývá násobkem čísla b (a také zároveň čísla r). Příklad: Číslo 12 je násobkem čísla 3 (a také čísla 4) Definice 2.3.: Pokud číslo a není násobkem čísla b, existuje jediná taková dvojice čísel p a q, pro které platí: a=b p+q, kde p je přirozené číslo nebo nula a q je přirozené číslo menší než b. Číslo p se nazývá neúplný podíl, číslo q se nazývá zbytek. 5 Příklad: Číslo 21 není násobkem čísla 5. Můžeme tedy zapsat 21=5 4+1, kde 1 je menší než číslo 5 a nazývá se zbytek. Definice 2.4.: Číslo b (z definice 1.1.) se nazývá dělitelem čísla a. Příklad: Číslo 3 se nazývá dělitelem čísla 12. Definice 2.5.: Přirozené číslo se nazývá prvočíslo právě tehdy, když má právě dva různé dělitele, a to číslo 1 a sebe sama. (O nalezení prvočísel již něco víme z kapitoly 1). Příklad: Číslo 3 je prvočíslo, protože má právě dva různé dělitele a to 1 a 3. 4 BERÁNEK, Jaroslav. Vybrané kapitoly z algebry. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2012, Str. 39 5 RICHTÁRIKOVÁ, Soňa, Darina KYSELOVÁ a Monika ŽOVINCOVÁ. Matematika + ukázkové texty: pro maturanty a uchazeče o studium na vysokých školách. Nitra: Enigma, 2009. Maturita v kapse (Enigma), Str. 18 13

Definice 2.6.: Přirozené číslo se nazývá složené číslo právě tehdy, když má právě více než 2 dělitele. Příklad: Máme například číslo 12. Toto číslo se nazývá složené číslo, protože má více než 2 dělitele a to: 1, 2, 3, 4, 6 a 12. Věta 2.1.: Každé složené číslo n je dělitelné aspoň jedním prvočíslem p, pro které platí p n. 6 Pokud chceme zjistit, zda je dané číslo prvočíslo nebo složené číslo, u velkých čísel, využijeme právě větu 2.1. Ukážeme si na příkladu: Příklad: Určete, zda je číslo 527 prvočíslo nebo složené číslo. Vypočítáme si druhou odmocninu zadaného čísla: 527 22,96. Podle věty2.1. víme, že pokud je číslo složené, je dělitelné alespoň jedním prvočíslem, které je menší nebo rovno druhé odmocnině tohoto čísla. Vypíšeme si proto všechna prvočísla, která jsou menší nebo rovny číslu 22: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 a 19, a nyní zjišťujeme, zda je číslo 527 dělitelné některým z těchto prvočísel. Zjišťujeme, že číslo 527 je dělitelné číslem 17, to znamená, že číslo 527 je číslo složené. Definice 2.7.: Máme čísla a 1, a 2,, a n. Prvek u je jejich společný dělitel, právě když u/a 1, u/a 2,,u/a n. 7 Příklad: Máme čísla 9,12 a 15. Společným dělitelem těchto čísel je například číslo 3, protože platí :3/9, 3/12 a také 3/15. Definice 2.8.: Obdobně : prvek v se nazývá společný násobek prvkůa 1, a 2,, a n, platí-li současně a 1 /v, a 2 /v, a n /v. 8 6 BUŠEK, Ivan. Středoškolská matematika ve vzorcích a větách. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2007, Str. 14 7 BLAŽEK, Jaroslav a Milan KOMAN, VOJTÁŠKOVÁ, Blanka (ed.). Algebra a teoretická aritmetika. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství). Str.107 8 Tamtéž str. 107 14

Příklad: Máme čísla 3,4 a 6. Společným násobkem těchto čísel je například číslo 12, protože platí: 3/12, 4/12 a také 6/12. 2.1. Největší společný dělitel Definice 2.9.: Společný dělitel čísel a a b, je číslo d, pro které platí d/a a zároveň d/b. Největší společný dělitel a a b je největší číslo d ze společných dělitelů. Označujeme jej NSD (a,b). Příklad: Čísla 24 a 36. Společné dělitelé jsou 2, 4, 6 a 12. Vybereme největší ze společných dělitelů, to je číslo 12 NSD (a,b)=12. Při hledání největšího společného dělitele u velkých čísel, by bylo však vypisování všech společných dělitelů zdlouhavé, namáhavé a dalo by se lehce některý společný dělitel vynechat, proto si ukážeme dva způsob, jak určit největší společný dělitel, a to metodou rozkladu na prvočísla a Eukleidovským algoritmem Pozn. Rozklad na prvočísla si vyzkoušíme nejprve na čísle 315. Číslo 315 je dělitelné číslem 5(kritéria dělitelnosti základními prvočísly si ukážeme více v kapitole 4), tedy můžeme napsat 5 63. Číslo 5 je již prvočíslo, ale číslo 63 můžeme dále rozložit. Víme, že číslo 63 je dělitelné dále číslem 3, proto můžeme dále rozklad zapsat jako 5 3 21. Čísla 3 a 5 jsou prvočísla a číslo 21 můžeme dělit dále číslem 3 a dostáváme tedy 3 5 3 7. Tento rozklad je již konečný. Skládá se pouze z prvočísel. Příklad: Najdeme NSD(24, 36) pomocí rozkladu na prvočísla. 24=2 12=2 2 6=2 2 2 3 36=2 18=2 3 6=2 3 2 3=2 2 3 3 Nyní jsme si čísla rozepsali na prvočísla a vypíšeme si všechna, která se vyskytují v obou rozkladech a ta nám budou tvořit největšího společného dělitele. Společná prvočísla=2 2 3 a vypočítáme. Dostáváme číslo 12=NSD (a,b). Příklad: Najdeme NSD(24, 36) pomocí Euklidova algoritmu. Princip Euklidova algoritmu je založen na postupném dělení čísel, u kterých bychom chtěli největší společný dělitel najít. Dělíme větší číslo menším číslem a zapíšeme si zbytek dělení. Dále dělíme menší číslo z předešlého dělení tímto zbytkem, stále 15

dokola, dokud nám nevznikne nulový zbytek. Poslední nenulový zbytek je náš hledaný největší společný dělitel. 36:24=1 a zbytek 12 dělíme větší číslo menším, dostáváme zbytek 12 24:12=2 a zbytek 0 menší číslo dělíme zbytkem 12, dostáváme zbytek 0 Náš hledaný největší společný dělitel je tedy číslo 12, protože je to poslední nenulový zbytek. Pro větší názornost ještě jeden příklad s většími čísly. Příklad: Najdeme NSD (252, 132) pomocí Euklidova algoritmu. 252:132=1 a zbytek 120 dělíme opět větší číslo menším, dostáváme zbytek 120 132:120=1 a zbytek 12 dělíme menší číslo z předešlého dělení zbytkem 120 a dostáváme zbytek 12 120:12=10 a zbytek 0 dělíme menší číslo z předešlého dělení zbytkem 12 a dostáváme zbytek 0 Poslední nenulový zbytek je opět číslo 12. Náš hledaný největší společný dělitel čísel 252 a 132 je tedy číslo 12. Věta 2.2.: Existuje-li takové číslo m, pro které platí m/a a zároveň m/b, potom m/d, kde d=nsd(a,b). Ukážeme si na stejném příkladu: Máme čísla 24 a 36. Pro číslo 6 platí, že dělí číslo 24 i číslo 36, potom číslo 6 dělí i číslo 12 (=NSD (a,b) ), jejich největší společný dělitel. Pozn. :Největšího společného dělitele můžeme najít i pro více čísel než jen 2, pomocí rozkladu na prvočísla použijeme stejný princip. Ukážeme si pro názornost jeden příklad. 16

Příklad: Najdeme NSD (42, 48, 72, 108). Čísla si tedy rozepíšeme na rozklad na prvočísla: 42=2 21=2 3 7 48=2 24=2 2 12=2 2 2 6=2 2 2 2 3 72=2 36=2 4 9=2 2 2 3 3 108=3 36=3 4 9=2 2 3 3 3 Nyní stejně jako u dvou čísel si vypíšeme spolčené prvočísla u všech čísel. Společná prvočísla=2 3. Tedy NSD (42, 48, 72, 108)=6. 2.2. Nejmenší společný násobek Definice 2.10.: Společný násobek čísel a a b je číslo n, pro které platí a/n a zároveň b/n. Nejmenší společný násobek a a b je nejmenší číslo n ze společných násobků. Označujeme jej nsn (12,24). Příklad: Čísla 24 a 36. Společné násobky jsou 72, 144, 216, Vybereme nejmenší ze společných násobků, to je číslo 72 nsn (a,b)=24. Při hledání nejmenšího společného násobku stejně jako u hledání největšího společného dělitele můžeme využít metodu rozkladu na prvočísla. Příklad: Najdeme nsn (24,36) pomocí rozkladu na prvočísla.(použijeme již rozklad čísel z předchozího příkladu). 24=2 2 2 3 36=2 2 3 3 Nyní si vypíšeme všechna prvočísla z rozkladu prvního čísla (v našem případě čísla 24) a z druhého rozkladu (u nás 36) si vypíšeme pouze ta prvočísla, která se nám s prvním rozkladem neopakují. Ta čísla, která se nám u obou rozkladů opakují, tedy vypíšeme pouze jednou. Prvočísla=2 2 2 3 3 a vypočítáme. Dostáváme číslo 72=nsn (a,b). Věta 2.3.: Existuje-li takové číslo n, pro které platí a/k a zároveň b/k, potom n/k. 17

Ukážeme si na stále stejném příkladu: Máme čísla 24 a 36. Pro číslo 144 platí, že číslo 24 dělí 144 a i číslo 36 dělí 144, potom i číslo 72 (=nsn (a,b) ) dělí číslo 144. Pozn.: Stejně jako u největšího společného dělitele, můžeme najít nejmenší společný násobek u více než 2 čísel. Ukážeme si příklad pomocí rozkladu na prvočísla. Příklad: Najdeme nsn (12, 24, 72). Čísla si rozepíšeme na rozklad na prvočísla: 12=2 2 3 24=2 2 2 3 72=2 2 2 3 3 Vypíšeme si všechny prvočísla, avšak ty, která se opakují, vypíšeme pouze jednou. Dostáváme: 2 2 2 3 3. Vypočítáním získáme číslo 72, které je náš hledaný nejmenší společný násobek. Samozřejmě existuje vztah mezi Největším společným dělitelem a nejmenším společným násobkem, který můžeme také využít při výpočtu. NSD (a,b) nsn (a,b)=a b Příklad: Máme čísla 24 a 36, u kterých jsme si již zjistili největšího společného dělitele, tedy 12. Po dosazení do vzorce dostáváme 12 nsn (a,b)= 24 36 po úpravě dostáváme nsn (a,b) = 24 36/12 zkrátíme zlomek a dostáváme nsn (a,b) = 2 36=72 číslo 72=nsn (a,b). Definice 2.11.: Každé číslo a má dělitele: +1, -1, +a, -a. Tito dělitelé se nazývají nevlastní dělitelé čísla a, ostatní dělitelé se nazývají vlastní dělitelé a. Zřejmě číslo 1 má jen nevlastní dělitele. 9 Pozn. Z definice 2.11. vyplývá: Pokud číslo a nemá vlastní dělitele, hovoříme o prvočísle. 9 SKULA, Ladislav. Algebra a teoretická aritmetika. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1983, str. 53 18

Definice 2.12.: Jestliže pro dvě celá čísla platí NSD (a,b)=1, a tedy nemají kromě čísla 1 žádného společného přirozeného dělitele, pak taková čísla nazýváme nesoudělnými čísly. 10 Pozn. V opačném případě samozřejmě hovoříme o číslech soudělných. Příklad: Rozhodneme, zda jsou čísla 12 a 7 čísla soudělná či nesoudělná. Číslo 12 rozložíme na prvočísla, o čísle 7 víme, že se jedná o prvočíslo, nemůžeme tedy dál číslo rozkládat. 12=3 2 2 Vidíme, že čísla nemají kromě 1 žádného společného dělitele, proto můžeme říct, že jsou nesoudělná. Věta 2.4.: Největší společný násobek dvou nesoudělných čísel a, b je roven součinu těchto čísel. 11 Příklad: Například čísla 33 a 25 jsou čísla nesoudělná, protože jejich jediný společný dělitel je číslo 1. (Můžeme se ujistit rozkladem na prvočísla.33=3 11, 25=5 5.) Jejich nejmenší společný násobek se tedy rovná 33 25=825. (Kontrolu provedeme opět přes rozklad na prvočísla. 3 11 5 5=825) Věta 2.5.: Je-li číslo dělitelné dvěma navzájem nesoudělnými čísly, je dělitelné i jejich součinem. 12 Příklad: Číslo 68 je dělitelné čísly 2 a 17. Tato čísla jsou navzájem nesoudělná, proto číslo 68 je také dělitelné číslem 34, tedy jejich součinem (2 17). 10 BIAŁAS, Aleksander. O dělitelnosti čísel. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1966, Matematická knižnice., str.21 11 Tamtéž str.21 12 EISLER, Jaroslav. Matematika 6-9 pro vyšší stupeň ZŠ a nižší ročníky víceletých gymnázií: [výklad, příklady, opakování, přijímací zkoušky]. 1. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 1999, Str. 18 19

A k čemu nám vlastně slouží určení nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele? Existuje spoustu příkladů ze života, při kterých se setkáváme s těmito výpočty, ani si to neuvědomujeme. Jeden vzorový příklad uvedl například Alexandr Bialas : Příklad: Z místa A jezdí pravidelně dva autobusy: jeden do místa B, druhý do místa C. První autobus potřebuje na cestu z A do B a zpět i se zastávkami 2 hodiny. Druhý autobus urazí cestu z A do C a zpět i se zastávkami za 3 hodiny. V 5 hodin ráno oba autobusy vyjíždějí- první do B, druhý do C. V kolik hodin autobusy znovu vyjedou z A současně? Kolik jízd (tam a zpět) ujede každý autobus, než se opět setkají v A? 13 Řešení: Pokud si vypíšeme všechny odjezdy těchto dvou autobusů od 5 hodin ráno, najdeme si tak hodinu, kdy se setkají oba autobusy opět v bodě A a také zjistíme, kolik jízd každý autobus ujel. Používáme vlastně zároveň výpočet nejmenšího společného násobku, avšak je omezen nějakým počátkem (v tomto případě 5 hodinou ranní). Tedy víme, že autobus do bodu B jezdí každé 2 hodiny a autobus do bodu C jezdí každé 3 hodiny. Můžeme si tedy nakreslit tabulku: Tabulka 1 Autobus do B (čas odjezdů z bodu A) 5 hodin 7 hodin 9 hodin 11 hodin 13 hodin 15 hodin 17 hodin 19 hodin 21 hodin 23 hodin Autobus do C (čas odjezdů z bodu A) 5 hodin 8 hodin 11 hodin 14 hodin 17 hodin 20 hodin 23 hodin 13 BIAŁAS, Aleksander. O dělitelnosti čísel. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1966, Matematická knižnice.,str.21 20

Vidíme, že autobusy se potkají v 11 hodin, 17 hodin a 23 hodin. Tedy tyto 3 čísla jsou tedy společným násobkem. Počet jízd můžeme snadno vidět podle řádků. Například, když se autobusy setkají v 11 hodin, můžeme vidět, že autobus jezdící co bodu B ujel 3 jízdy (vypsány 3 řádky) a autobus jezdící do bodu C ujel pouze 2 jízdy( vypsány 2 řádky). Toto dokážeme vypočítat také bez pomocí řádků. Tedy pokud autobus jezdící do bodu B vyjel v 5 hodin a první setkání s autobusem jezdícím do bodu C je v 11 hodin, uplynulo 6 hodin. A pokud potřebuje na cestu tam i zpět 2 hodiny, víme že ujel 3 jízdy ( tedy 6 hodin děleno 2 hodinami). Stejně tak můžeme vypočítat druhý autobus a další hodiny setkání. 2.3. Kongruence Definice 2.13. Jestliže rozdíl a - b (a, b Z) je dělitelný číslem m N, říkáme, že číslo a je kongruentní s číslem b podle modulu m a píšeme a b mod m. Každá množina těch celých čísel, která při dělení číslem m N dávají týž nejmenší nezáporný zbytek, se nazývá zbytková třída podle modulu m nebo zbytková třída mod m. 14 Příklad: Máme čísla 13 a 7, rozdíl čísel je dělitelný číslem 3 (13-7=6). Číslo 13 je kongruentní s číslem 7 podle modulu 3, zapíšeme 13 7 (mod 3). Čísla 13 a 7 musí tedy při dělení číslem 3 dát tentýž zbytek. Když vydělíme číslo 13 dostáváme zbytek 1, a po vydělení čísla 7 dostáváme opět zbytek 1. Vlastnosti kongruencí ( podle J. Beránek 15 ) 1) K jedné straně kongruence můžeme přičíst celé číslo, které je násobkem modulu. Příklad: 9 3 (mod 6), přičteme k jedné straně dvojnásobek modulu 9 15 (mod 6) 14 BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Vyd. 4., V nakl. Academia 1. (reprint). Praha: Academia, 2006, Str. 122 15 BERÁNEK, Jaroslav. Vybrané kapitoly z algebry. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2012, Str. 48 21

2) Obě strany kongruence můžeme vynásobit stejným číslem a k oběma stranám kongruence můžeme přičíst stejné číslo z množiny celých čísel. Příklad: 9 23 (mod 7), vynásobíme obě strany číslem 2 a dostáváme 18 46 (mod 7) 3) Obě strany kongruence můžeme umocnit na stejný přirozený exponent. Příklad: 2 7 (mod 5) 2 2 7 2 (mod 5) 4 49 (mod 5) 4) Vydělit obě strany kongruence můžeme pouze číslem, které je nesoudělné s modulem. Příklad: 36 60 (mod 8) (podle definice 2.12.) víme, že dvě čísla jsou nesoudělná, právě tehdy, když jejich největší společný dělitel je číslo 1, proto můžeme obě strany vydělit například číslem 3 12 20 (mod 8) 5) Obě strany kongruence včetně modulu můžeme vynásobit stejným přirozeným číslem. Příklad: 9 2 (mod 7) vynásobíme obě strany i modul čísle 3 27 6 (mod 21) 6) Obě strany kongruence včetně modulu můžeme vydělit stejným přirozeným číslem různým od nuly. Příklad: 12 30 (mod 9) vydělíme číslem 3 obě strany i modul 4 10 (mod 3) 7) Jestliže máme kongruence téhož modulu, můžeme je sčítat a násobit. Příklad: 9 2 (mod 7) 18 4 (mod 7) 9+18 2+4 (mod 7) 27 6 (mod 7) 22

8) Jestliže se modul kongruence rovná mocnině prvočísla, potom platí i kongruence podle modulu tohoto prvočísla. Příklad: 65 2 (mod 9) =(mod 3 2 ) 65 2 (mod 3) 9) Jestliže platí kongruence podle více modulů, potom platí i kongruence podle modulu, který se rovná nejmenšímu společnému násobku těchto modulů. Příklad: 25 1 (mod 3) 25 1 (mod 4) 25 1 (mod 12) 10) Jestliže platí kongruence podle modulu m, potom platí i kongruence podle modulu, který se rovná kladnému libovolnému děliteli čísla m, který je větší než 1. Příklad: 14 26 (mod 12), kladný dělitel čísla 12 je například číslo 4, proto platí: 14 26 (mod 4). Cvičení 2: 1) Určete, zda jde o prvočísla nebo o čísla složená: a) 13 b) 25 c) 521 d) 723 2) Rozložte na prvočísla a) 18 b) 30 c) 84 d) 125 23

3) Určete největšího společného dělitele čísel: a) 18 a 30 b) 30 a 84 c) 30, 125 a 250 4) Určete nejmenší společný násobek čísel: a) 18 a 30 b) 30 a 84 c) 30, 125 a 250 5) Určete neúplný podíl a zbytek po dělení čísla 26 číslem: a) 3 b) 4 c) 5 6) Určete, zda čísla 25 a 37 jsou kongruentní podle modulu: a) 4 b) 5 c) 6 7) Kterou číslici můžete doplnit místo hvězdičky v čísle b, aby byla čísla a a b soudělná? (pokud lze doplnit více číslic, vypište je všechny) a) a=26, b=4* b) a=13, b=2* Řešení: 1. a) prvočíslo, b) složené číslo, c) prvočíslo, d) složené číslo 2. a) 18=2 3 3, b) 30=2 3 5, c) 84=2 2 3 7, d)125=5 5 5 3. a) NSD (18,30)=6, b) NSD (30,84)=6, c) NSD (30, 125, 250)=5 4. a) nsn (18, 30)=90, b) nsn (30, 84)=420, c) nsn (30, 125, 250)=750 5. a) neúplný podíl 8 a zbytek 2, b) neúplný podíl 6 a zbytek 2, c) neúplný podíl 5 a zbytek 1 6. a) ano, b) ne, c) ano 7. a) 0, 2, 4, 6, 8, b) 6 24

3. Číselné soustavy Číselné soustavy jsou pravidla, která nám určují, jak zapsat číslo pomocí číslic. Číselné soustavy rozdělujeme na poziční a nepoziční soustavy. Mezi poziční počítáme ty soustavy, ve kterých mají číslice řád. Každá číslice má přesně danou svoji pozici. Je to naše běžně používaná desítková soustava, dále dvojková soustava používaná v počítačích a další. Mezi nepoziční počítáme například římské číslice. 3.1. Poziční soustavy Jak jsme již zmínili, mezi poziční soustavy patří používaná desítková soustava, ale i dvojková, čtyřková, osmičková, devítková soustava a další, tedy soustavy o nějakém základu. Písmenem z N označujeme základ soustavy. Tedy v desítkové soustavě z=10, ve dvojkové soustavě z=2, atd. Číselná soustava vždy používá k zápisu čísel z číslic( cifer) 16. Pokud máme tedy soustavu o základu 10, používáme 10 cifer a to: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, v soustavě o základu 4 budeme mít 4 cifry: 0,1,2,3. Pro soustavy o základu z > 10 se velké číslice nahrazují písmeny. Pro přehled tabulka: Tabulka 2 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 Číslo 5 zapíšeme v šestnáctkové soustavě jako číslo 5. Číslo 9 můžeme zapsat také jako číslo 9, ale vyšší čísla zapisujeme pomocí písmen v tabulce. Přesný návod, jak přepsat čísla do jiné soustavy, si ukážeme v následující podkapitole. Aby při zápisu čísla bylo jasné, ve které číselné soustavě je zapsáno, označujeme číslo s malým indexem, který označuje základ soustavy. Například ve dvojkové 16 KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Mrákotová, 2006. Maturita (Petra Mrákotová), Str. 17 25

soustavě dáme číslu index 2: 110 2, 101 2, v osmičkové soustavě označíme indexem 8: 472 8, 1702 8, atd. U desítkové soustavy index nepíšeme. Věta 3.1. : Čísla v poziční soustavě lze vyjádřit jako součet mocnin základu dané soustavy vynásobených příslušnými číslicemi. Příklad: u desítkové soustavy, kterou běžně používáme, můžeme tedy každé číslo rozepsat takto: 57=5 10 1 +7 10 0 U dvojkové soustavy můžeme čísla zapsat zase takto: 1101=1 2 3 +1 2 2 +0 2 1 +1 2 0 U trojkové soustavy: 201=2 3 2 +0 3 1 +1 3 0 A stejným způsobem bychom mohli zapsat čísla i v dalších číselných soustavách, například v osmičkové, šestnáctkové, atd. soustavě. 3.1.1. Převod číslic z desítkové soustavy do jiné poziční soustavy Klasický postup pro převod čísla z desítkové soustavy do jiné číselné poziční soustavy je postupné dělení základem. Vysvětlení si ukážeme přímo na příkladě. Příklad: Zapište číslo 13 ve dvojkové soustavě. 13:2=6+zbytek 1 vydělíme dané číslo základem, ve kterém chceme číslo zapsat a zapíšeme zbytek 6:2=3+zbytek 0 výsledek vydělíme základem a zapíšeme zbytek 3:2=1+zbytek 1 výsledek opět vydělíme základem a zapíšeme zbytek 1:2=0+zbytek 1 při nulovém výsledku končíme Nyní zapíšeme postupně zbytky, které nám zůstávaly, avšak od konce. Musíme jej zapisovat v obráceném pořadí. Číslo 13 zapíšeme tedy ve dvojkové soustavě 1101 2. Stejným způsobem bychom převáděli číslo 13 třeba do čtyřkové,osmičkové nebo šestnáctkové soustavy. Jen dělíme číslem, které označuje základ soustavy, ve které chceme číslo zapsat. Pro názornost ještě jeden příklad. 26

Příklad: Zapište číslo 102 v osmičkové soustavě. 102:8=12+zbytek 6 12:8=1+zbytek 4 1:8=0+zbytek 1 Po vypsání zbytků v obráceném pořadí získáme výsledek: 146 8. Stejným způsobem se počítá se soustavami o základu větší než 10, jen čísla větší než 9, nahrazujeme písmeny z tabulky 2. 3.1.2. Převod z jiné poziční soustavy zpět do desítkové soustavy Již jsme si ukázali, jak zapsat číslo v jiné číselné soustavě, a teď si ukážeme, jak zapsat číslo zpět do desítkové soustavy. Jak jsme si již řekli, každé číslo v pozičních soustavách můžeme rozepsat jako součet mocnin základu dané soustavy vynásobených danými platnými číslicemi. Toho nyní využijeme. Ukážeme si to na příkladu. Příklad: Zapište číslo 146 8 do desítkové soustavy. 146 8 =1 8 2 +4 8 1 +6 8 0 číslo 146 si rozepíšeme na součet mocnin základu 146 8 =63+32+6=102 a vypočítáme V desítkové soustavě tedy dostáváme číslo 102. Výsledek si můžeme porovnat a zkontrolovat s předešlým příkladem, kde jsme číslo 102 převáděli do osmičkové soustavy. Stejným způsobem můžeme převádět čísla z jiných číselných soustav. Stále jen rozepisujeme číslo na součet mocnin základu. Pro lepší pochopení si vypočítáme ještě jeden příklad. Příklad: Zapište číslo B1F 16 do desítkové soustavy. B1F 16 =11 16 2 +1 16 1 +15 16 0 rozepíšeme číslo na součet mocnin základu (z tabulky víme, že písmeno B značí číslo 11 a písmeno F číslo 15) B1F 16 =2816+16+15=2847 a vypočítáme. 27

V desítkové soustavě zapíšeme číslo B1F 16 jako číslo 2847. Jako zkoušku nebo kontrolu správnosti počítání si převedeme číslo zpět z desítkové soustavy pomocí postupného dělení v kapitole 3.1.1. 3.1.3. Přímý převod mezi soustavami Pro přímý převod mezi soustavami využíváme tabulky. Pro příklad uvedeme tabulku přímých převodů mezi dvojkovou a čtyřkovou soustavou, mezi dvojkovou a osmičkovou soustavou a mezi trojkovou a devítkovou soustavou. Jde vidět, že tento převod můžeme využít pouze mezi soustavami, kde základ jedné je mocnina základu druhé nebo obráceně. Tabulka 3 Tabulka 4 Tabulka 5 Z=2 Z=4 00 0 01 1 10 2 11 3 Z=3 Z=9 00 0 01 1 02 2 10 3 11 4 12 5 20 6 21 7 22 8 Z=2 Z=8 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 Příklad: Zapište číslo 1101100101 2 a) do čtyřkové a b) do osmičkové soustavy pomocí přímého převodu. Pozn. Při převádění čísel z dvojkové do jiné číselné soustavy, budeme se řídit pravidlem, které si nyní uvedeme. Ze soustavy o základu 2 chceme například převést do soustavy o základu 4. Tedy Základ jedné je 2=2 2 základ druhé. Podle exponentu u číslice určíme, po kolika 28

cifrách od zadu budeme dané číslo seskupovat. Tedy v tomto případě po dvou cifrách. A dále tyto skupiny cifer převádíme podle uvedených tabulek. a) Máme-li číslo 1101100101 2 a chceme jej převést do soustavy o základu 4, rozdělíme si ho na skupinky po dvou cifrách tedy: 11 01 10 01 01. Tyto skupinky čísel již dokážeme podle výše uvedených tabulek převést do čtyřkové soustavy. Tedy 11 přepíšeme jako 3, 01 jako 1, 10 jako 2, 01 jako 1 a poslední 01 jako 1. Dohromady dostáváme číslo 31211 4. Pokud chceme převést ze soustavy o základu 2 do soustavy o základu 8. Základ jedné je 2=2 3 základ druhé. Seskupíme cifry po třech, protože exponent se rovná 3 b) Máme-li číslo 1101100101 2 a chceme jej převést do soustavy o základu 8, rozdělíme si ho, podle výše zmíněného pravidla, na skupinky po třech cifrách tedy: 1 101 100 101. Nesmíme zapomenout, že rozdělujeme od zadu. Tyto skupinky převedeme podle tabulek a vznikne nám číslo 1545 8. Příklad: Zapište číslo 1210 3 do soustavy o základu 9. Stejným způsobem si zjistíme, po kolika cifrách budeme seskupovat. Protože máme základ 3=3 2 základ druhého, budeme seskupovat po dvou cifrách. Číslo 1210 3 si rozdělíme na 12 10 a převedeme podle tabulek na 53 9. Převod zpět je jen obrácený postup. Tedy každé číslo jen přepíšeme postupně do soustav o základu, který potřebujeme. Opět podle tabulek. Tentokrát nám exponent neurčuje počet cifer, které chceme převést, ale počet cifer, na které se dané číslo přepíše. Příklad: Zapište číslo 53 9 do soustavy o základu 3. Z předešlého příkladu víme, že základ jednoho 3=3 2 základ druhého. Čísla budeme tedy přepisovat na dvouciferná čísla podle tabulek. Číslo 5 si přepíšeme jako 12 a číslo 3 jako 10. Dohromady dostáváme číslo 1210 3 29

3.1.4. Základní početní operace v číselných soustavách Sčítání (podle H. Bartsch) 17 Sčítání provedeme podobně jako v běžně používané desítkové soustavě. Jakmile však při sčítání dostaneme v jakémkoliv řádu součet rovný nebo větší než je základ soustavy, ve které počítáme, musíme provést převod do nejblíže většího řádu. Předvedeme si n příkladu: Příklad: Sečtěte čísla 231 5 a 123 5. Čísla si napíšeme pod sebe pro větší přehlednost a začneme běžným způsobem sčítat číslice stejného řádu od zadu: 231 5 123 5 404 5 Vidíme, že čísla na pozici jednotek můžeme sečíst běžným způsobem, avšak na pozici desítek přichází první problém. Čísla 2+3 dávají součet 5, který je roven základu dané soustavy, proto musíme provést převod do řádu stovek. Zapíšeme si tedy v řádu desítek číslo 0 (můžeme si představit 5=10 5, proto si zapíšeme 0 a číslo jedna převedeme dál) a v řádu stovek sečteme tedy 2+1+1, (poslední jednička je ta, kterou jsme si převedli z řádu desítek) a dostáváme číslo 4, které můžeme opět běžným způsobem zapsat. Dostáváme tedy číslo 404 5. Jako zkoušku si zaměníme sčítance a zkusíme vypočítat příklad znovu: 123 5 231 5 404 5 17 BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Vyd. 4., V nakl. Academia 1. (reprint). Praha: Academia, 2006, Str. 117 30

Odčítání Odčítání je opačná operace ke sčítání, proto provedeme odčítání analogicky. Stejně jako u sčítání, v případě součtu rovného nebo většího než je základ dané soustavy, budeme provádět převod do nejblíže většího řádu. Příklad: Vypočítejte 254 7 135 7. Opět si čísla zapíšeme pod sebe: 254 7 135 7 116 7 Hned v řádu jednotek máme 4-5, což si můžeme přepsat jako: 4+7=11. Od čísla 11 si nyní odečteme číslo 5. Dostáváme číslo 6, ale nyní v řádu desítek musíme jedničku odečíst a máme tedy 4-1=3. Dále můžeme pokračovat běžným způsobem a získáme rozdíl 116 7. Jako zkoušku provádíme zpětně sčítání. (v našem případě například 116 7 +135 7 ) Násobení Operace násobení je také obdobná klasickému násobení. Jestliže však dostaneme součin rovný nebo větší základu dané soustavy, musíme jej převést klasickým převodem do požadované soustavy. Příklad: Vynásobte čísla 42 7 a 23 7. Zapíšeme si čísla pod sebe: 42 7 23 7 156 7 114 7 1326 7 Začneme klasicky násobit. 3 2=6 a zapíšeme. 3 4=12. Toto číslo je však větší než základ soustavy a proto jej musíme převést do soustavy o základu 6. Převádět čísla již umíme, dostáváme tedy 12=15 7 a zapíšeme si. Nyní začneme násobit druhým číslem. 2 2=4, můžeme zapsat a 2 4=8, je opět číslo větší než základ, proto jej musíme převést do zadané soustavy. 8=11 7 a zapíšeme si. Získáme dvě čísla, které musíme sečíst, podle výše zmíněných pravidel sčítání v soustavách. 31

Pro zkoušku správnosti násobení zaměníme činitele a znovu vypočítáme. Dělení Operace dělení je asi nejobtížnější. Pro usnadnění si vždy sepíšeme před dělením tabulku, ve které si sepíšeme násobky dělitele soustavě, ve které budeme chtít dělit. Příklad:Vydělte číslo 6214 8 číslem 4 8. Nyní si vypíšeme do tabulky násobky dělitele (4) v osmičkové soustavě. 1 krát 2 krát 3 krát 4 krát 5 krát Desítková 4 8 12 16 20 soustava Osmičková soustava 4 8 10 8 14 8 20 8 24 8 A začneme dělit, tak jak to známe. Zapíšeme si příklad: 6214 8 : 4 8 =1443 8-4 8 22 8-20 8 21 8-20 8 14 8-14 8 0 Vidíme, že dělíme klasickým způsobem, jen přitom využíváme tabulku, kterou jsme si vytvořili před počítáním. Například při vydělení čísla 22 8 číslem 4 8 využijeme z tabulky, že číslo 4 8 se vejde do čísla 22 8 4 krát. Při odečítání však nesmíme zapomenout odečítat v osmičkové soustavě způsobem, jaký jsme si ukázali. 32

Cvičení 3: 1) Zapište číslo 15 do: a) Dvojkové soustavy b) Osmičkové soustavy 2) Zapište číslo 38 9 do: a) Desítkové soustavy b) Trojkové soustavy 3) Zapište číslo A5C 16 do a) Desítkové soustavy b) Čtyřkové soustavy 4) Vypočítejte: a) 116 7 + 135 7 b) 422 6 231 6 c) 203 4 21 4 d) 121 3 : 2 3 Řešení: 1. a) 1111 2, b) 17 8 2. a) 35, b) 1102 3 3. a) 2 652, b) 221130 4 (pro přímý převod mezi šestnáctkovou a čtyřkovou soustavou si vytvořte tabulku analogicky podle tabulek 2-4) 4. a) 254 7, b) 151 6, c) 10323 4, d) 22 3 33

4. Kritéria dělitelnosti v desítkové soustavě 4.1. Kritérium dělitelnosti: využitím rozkladu přirozeného čísla na součet dvou jeho sčítanců Pro určení kritérií dělitelnosti čísly 2,4,5 a 8 musíme nejprve zavést pár důležitých poznatků. Tvrzení 4.1.: Každé přirozené číslo můžeme, pomocí rozkladu čísla na součet jeho sčítanců, zapsat obecně ve tvaru: a n 10 n +a n-1 10 n-1 +..+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 Příklady: číslo 5078 můžeme tedy zapsat: 5 10 3 +0 10 2 +7 10+8 číslo 25 406 můžeme zapsat: 2 10 4 +5 10 3 +4 10 2 +0 10+6 Věta 4.1.: Každé přirozené číslo je dělitelné číslem 2 a číslem 5 právě tehdy, když jeho poslední číslice je také dělitelná číslem 2 a číslem 5. Pozn. Toto kritérium dělitelnosti platí také pro dělitelnost číslem 10. Důkaz: Dle tvrzení 4.1. si číslo můžeme tedy rozepsat ve tvaru: a n 10 n +a n-1 10 n-1 +..+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 Po vytknutí čísla 10 dostáváme: 10 (a n 10 n-1 +a n-1 10 n-2 +...+a 2 10+a 1 )+a 0 Číslo 10 je dělitelné čísly 2 i 5, tedy jediná podmínka pro dělitelnost 2 a 5 nám zůstává na poslední číslici (a 0 ). Věta 4.2.: Každé přirozené číslo je dělitelné číslem 4 právě tehdy, když jeho poslední dvojčíslí je také dělitelné číslem 4. Pozn. Toto kritérium dělitelnosti platí také pro dělitelnost čísly 25 a 100. Důkaz: Číslo si opět rozepíšeme ve tvaru: a n 10 n +a n-1 10 n-1 +...+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 34

Po vytknutí čísla 10 2 dostáváme: 100 (a n 10 n-2 +a n-1 10 n-3 +..+a 2 )+a 1 10+a 0 Číslo 100 je dělitelné 4, tedy jediná podmínka pro dělitelnost 4 nám zůstává na posledním dvojčíslí (a 1 10+a 0 ). Věta 4.3.: Každé přirozené číslo je dělitelné číslem 8 právě tehdy, když jeho poslední trojčíslí je také dělitelné číslem 8. Důkaz: Číslo si opět rozepíšeme ve tvaru: a n 10 n +a n-1 10 n-1 +..+a 3 10 3 +a 2 10 2 +a 1 10+a 0 Po vytknutí čísla 10 3 dostáváme: 1000 (a n 10 n-3 +a n-1 10 n-4 +..+a 3 )+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 Číslo 1000 je dělitelné 8, tedy jediná podmínka pro dělitelnost 8 nám zůstává na posledním trojčíslí (a 2 10 2 +a 1 10+a 0 ) 4.2.Kritérium dělitelnosti: využitím vlastností mocnin 10 Pro určení kritérií dělitelnosti čísly 3,9 a 11 musíme nejprve zavést pár důležitých poznatků. Tvrzení 4.2.: Každou mocninu 10 můžeme zapsat ve tvaru: 10 n =J n 9+1 n N, kde J n je přirozené číslo, které je tvořeno n jedničkami. Např. J 3 =111. Důkaz (matematickou indukcí): 1. pro n=1 10 1 =1 9+1 2. Předpokládáme, že platí i pro libovolné k N: 10 k =J k 9+1, kde J k je přirozené číslo, které je tvořeno k jedničkami. 3.Chceme ukázat, že platí i pro k+1 10 k +1=10 k 10=(J k 9+1) (9+1)= roznásobíme =(J k 9 9)+(J k 9 1)+9+1= vytkneme číslo 9 =9 (9 J k +J k +1)+1= 35

=9 J k+1 +1 platí pro k+1 Pro lepší názornost důkazu zavedeme pomocnou větu: Lemma 4.1.: Jestliže J k =1..1 (tvořeno k jedničkami), pak výraz 9J k +J k +1 je přirozené číslo tvořeno k+1 jedničkami=j k+1. (9J k +J k +1 si můžeme také zapsat jako 10J k +1, kde hned lépe vidíme, že je rovnu J k+1.) Matematickou indukcí, jsme dokázali, že zápis mocniny ve tvaru 10 n =J n 9+1 n N platí. Příklad: 10 0 můžeme tedy zapsat jako 0 9+1 10 1 potom 1 9+1 10 2 potom 11 9+1 dále 10 5 tedy 11111 9+1 atd. Další důležitý poznatek, který budeme potřebovat při důkazu kritéria dělitelnosti: Tvrzení 4.3.: Každé přirozené číslo a můžeme zapsat ve tvaru 9 b+cs, kde b je přirozené číslo a cs je ciferný součet. Důkaz: Dle tvrzení 4.1. můžeme číslo zapsat ve tvaru a n 10 n +a n-1 10 n-1 +..+a 3 10 3 +a 2 10 2 +a 1 10+a 0 = dle tvrzení 4.2. rozepíšeme mocniny 10 =a n (9 J n +1)+a n-1 (9 J n-1 +1)+..+a 2 (9 11+1)+a 1 (9 1+1)+a 0 = roznásobíme =a n 9 J n +a n +a n-1 9 J n-1 +a n-1 +..+a 2 9 11+a 2 +a 1 9 1+a 1 +a 0 = vytkneme číslo 9 =9 (a n J n +a n-1 J n-1 +..+a 2 11+a 1 1)+(a n +a n-1 +..+a 2 +a 1 +a 0 )= =9 b+cs b N cs 36

Věta 4.4.: Každé přirozené číslo je dělitelné číslem 3 právě tehdy, když je dělitelný číslem 3 i jeho ciferný součet. Číslo označíme písmenem a, potom platí: a N :3/a 3/cs (číslo 3 dělí číslo a, právě tehdy, když číslo 3 dělí jeho ciferný součet) Důkaz: 3/cs k N : cs=3k a=9 b+cs a=9 b+3k a=3 (3b+k) m N: a=3m 3/a N Dokázali jsme, že pokud číslo 3 dělí ciferný součet čísla a, potom dělí i samotné číslo a. Obrácený důkaz: 3/a k N: a=3k a=9 b+cs 3k=9 b+cs cs=3k-9b cs=3 (k-3b) N m N: cs=3m 3/cs Obráceným důkazem jsme dokázali, že pokud je číslo a dělitelné číslem 3, potom je dělitelný číslem 3 i jeho ciferný součet. Věta 4.5.: Každé přirozené číslo je dělitelné číslem 9 právě tehdy, když je dělitelný číslem 9 i jeho ciferný součet. Číslo označíme opět písmenem a, potom platí: a N :9/a 9/cs (číslo 9 dělí číslo a, právě tehdy, když číslo 9 dělí jeho ciferný součet) Důkaz: 9/cs k N : cs=9k a=9 b+cs a=9 b+9k a=9 (b+k) m N : a=9m 9/a N Dokázali jsme, že pokud číslo 9 dělí ciferný součet čísla a, potom dělí i samotné číslo a. 37

Obrácený důkaz: 9/a k N: a=9k a=9 b+cs 9k=9 b+cs cs=9k-9b cs=9 (k-b) N m N: cs=9m 9/cs Obráceným důkazem jsme dokázali, že pokud je číslo a dělitelné číslem 9, potom je dělitelný číslem 9 i jeho ciferný součet. Věta 4.6.: Každé přirozené číslo je dělitelné číslem 11 právě tehdy, když je číslem 11 dělitelný rozdíl součtu cifer u sudých mocnin 10 a součtu cifer u lichých mocnin 10. Číslo si označíme písmenem a, potom platí: a=11 b+(součet cifer ze sudých mocnin 10)-(součet cifer z lichých mocnin 10) =11 b+[(a 0 +a 2 +..+a 2k )-(a 1 +a 3 +..+a 2k-1 )] Důkaz:11/a k N: a=11k a=11 b+[(a 0 +a 2 +..+a 2k )-(a 1 +a 3 +..+a 2k-1 )] 11k=11 b+[(a 0 +a 2 +..+a 2k )-(a 1 +a 3 +..+a 2k-1 )] 11k-11b=[(a 0 +a 2 +..+a 2k )-(a 1 +a 3 +..+a 2k-1 )] 11 (k-b)= [(a 0 +a 2 +..+a 2k )-(a 1 +a 3 +..+a 2k-1 )] N rs m N:11m=rs 11/rs Dokázali jsme, že pokud číslo 11 dělí číslo a, potom dělí i jeho rozdíl součtu cifer u sudých mocnin 10 a součtu cifer u lichých mocnin 10 (rs). 4.3. Kritérium dělitelnosti: využitím kongruencí Pomocí kongruence (z kapitoly 2) si určíme dělitelnost číslem 7. Při tomto kritériu dělitelnosti využijeme vlastnosti pozičních soustav (z kapitoly 3), tedy že každá číslice má svůj řád, svoji pozici. Každé číslici budeme přiřazovat číslo (co nejmenší) kongruentní podle modulu 7. Věta 4.7. Každé přirozené číslo je dělitelné číslem 7 právě tehdy, když je číslem 7 dělitelné číslo a=.a 6-2a 5-3a 4 -a 3 +2a 2 +3a 1 +a 0 38

Důkaz:Všimněme si jednotlivých mocnin 10 vzhledem k dělení číslem 7: 10 0 1 (mod 7) 10 3 (mod 7) 10 2 2 (mod 7) 10 3-1 (mod 7) 10 4-3 (mod 7) 10 5-2 (mod 7) 10 6 1 (mod 7) 10 7 3 (mod 7) Vidíme, že 10 0 i 10 6 dávají při dělení číslem 7 stejný zbytek, stejně tak 10 1 a 10 7 a tak dále. Můžeme tedy zapsat obecně: 10 6n 1 (mod 7) pro n N 0 10 6n+1 3 (mod 7) pro n N 0 10 6n+2 2 (mod 7) pro n N 0 10 6n+3-1 (mod 7) pro n N 0 10 6n+4-3 (mod 7) pro n N 0 10 6n+5-2 (mod 7) pro n N 0 Pravdivost výrazu 10 6n 1 (mod 7), pro n N 0, si dokážeme matematickou indukcí: 1. Pro n=0 10 0 =1 1 1 (mod 7) 2. Předpokládáme, že platí i pro libovolné k N: 10 6k 1 (mod 7) ~ p N : 10 6k =7p+1 3. Chceme ukázat, že platí i pro k+1: 10 6(k+1) =10 6k 10 6 = výraz přepíšeme podle předpokladu 2 = (7p+1) (7 142 857+1)= roznásobíme a dostáváme =7p 7 142 857+7 142 857+7p+1= vytkneme číslo 7 =7 (7p 142 857+142 857+p)+1= s N =7 s+1 můžeme vidět, že výraz 10 6(k+1) 1 (mod 7) 39

Matematickou indukcí, jsme dokázali, že výraz 10 6n je kongruentní s číslem 1 podle modulu 7. Analogicky můžeme dokázat všechny výrazy: 10 6n+1 3 (mod 7), 10 6n+2 2 (mod 7), 10 6n+3-1(mod 7), 10 6n+4-3(mod 7), 10 6n+5-2 (mod 7), pro n N 0 Příklad: Zjistěte, zda číslo 1 457 232 je dělitelné číslem 7. Číslo 1 je na pozici cifry a 6, tedy vynásobíme číslem, které je u cifry a 6 (=1), další číslo 4 má pozici a 5, tedy číslo 4 vynásobíme číslem, které je u cifry a 5 (= -2), a dále budeme postupovat se všemi čísly. Dostáváme: 1 1-2 4-3 5-1 7+2 2+3 3+1 2= vypočítáme 1-8-15-7+4+9+2= -14 Číslo -14 je dělitelné číslem 7, tedy i číslo 1 457 232 je dělitelné číslem 7. Přehled kritérií v desítkové soustavě: Číslo je dělitelné číslem 2 právě tehdy, když jeho poslední číslice je také dělitelná číslem 2. Číslo je dělitelné číslem 3 právě tehdy, když je dělitelný číslem 3 i jeho ciferný součet. Číslo je dělitelné číslem 4 právě tehdy, když je jeho poslední dvojčíslí dělitelné číslem 4. Číslo je dělitelné číslem 5 právě tehdy, když jeho poslední číslice je také dělitelná číslem 5. Číslo je dělitelné číslem 7 právě tehdy, když je dělitelné číslem 7 číslo a= a 6-2a 5-3a 4 -a 3 +2a 2 +3a 1 +a 0 Číslo je dělitelné číslem 8 právě tehdy, když jeho poslední trojčíslí je dělitelné číslem 8. Číslo je dělitelné číslem 9 právě tehdy, když je dělitelný číslem 9 i jeho ciferný součet. Číslo je dělitelné číslem 10 právě tehdy, když jeho poslední číslice je také dělitelná číslem 10. Číslo je dělitelné číslem 11 právě tehdy, když je číslem 11 dělitelný rozdíl součtu cifer u sudých mocnin 10 a součtu cifer u lichých mocnin 10. 40

4.4. Malá čísla určují dělitelnost velkými čísly. Podmínku dělitelnosti dalších, vyšších, složených čísel určují jejich dělitelé a jejich podmínky, která jsme si již dokázali. Příklad: Číslo je dělitelné číslem 18, právě tehdy, když je dělitelné zároveň číslem 2 i číslem 9. Příklad: Číslo54 je dělitelné 2 i 9 (podle věty 4.1. a věty 4.5.), a proto je dělitelné také číslem 18. Cvičení 4: 1) Z čísel 27, 46, 63, 96, 121, 132 a 162 vyberte (bez dělení, pouze pomocí uvedených kritérií) ta, která jsou dělitelná číslem: a) 4 b) 6 c) 7 d) 9 2) Kterou číslici můžete doplnit místo hvězdičky v zápisu 2 43*, aby vzniklé čtyřciferné číslo bylo dělitelné číslem (pokud lze doplnit více číslic, vypište je všechny) : a) 9 b) 11 c) 12 3) Rozhodněte, zda je číslo dělitelné číslem 15: a) 2 155 b) 5 010 c) 7122 Řešení: 1. a) 96, 132, b) 96, 132, 162, c) 63, d) 27, 63, 162 2. a) 0, 9, b) 1, c) 6 3. a) ne, b) ano, c) ne 41

5. Kritéria dělitelnosti v osmičkové soustavě Určovat kritéria dělitelnosti budeme pouze čísly, která jsou menší než z (=základ soustavy). V tomto případě čísly 2 až 7. 5.1. Kritérium dělitelnosti: využitím rozkladu přirozeného čísla na součet dvou jeho sčítanců Stejně jako u desítkové soustavy využijeme tvrzení 4.1.: (Tvrzení 4.1.: Každé přirozené číslo můžeme, pomocí rozkladu čísla na součet jeho sčítanců, zapsat obecně ve tvaru: a n 10 n +a n-1 10 n-1 +..+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 ) V osmičkové soustavě však místo čísla 10 máme číslo 8, dostáváme tedy: a n 8 n +a n-1 8 n-1 +..+a 2 8 2 +a 1 8+a 0 Jelikož v osmičkové soustavě neexistuje cifra 8, zápis by vypadal stejně jako v Tvrzení 4.1., ale číslo 10 by neznamenalo deset, ale jedna, nula, tedy zápis čísla 8 v osmičkové soustavě, my pro lepší pochopení budeme používat číslo 8. Věta 5.1. Každé přirozené číslo v osmičkové soustavě je dělitelné číslem 2 a číslem 4 právě tehdy, když jeho poslední číslice je také dělitelná číslem 2 a číslem 4. Důkaz: Dle tvrzení 4.1. si číslo rozepíšeme ve tvaru: a n 8 n +a n-1 8 n-1 +..+a 2 8 2 +a 1 8+a 0 Po vytknutí čísla 8 dostáváme: 8 ( a n 8 n-1 +a n-1 8 n-2 +..+a 2 8+a 1 )+a 0 Číslo 8 je dělitelné čísly 2 a 4, tedy jediná podmínka pro dělitelnost 2 a 4 nám zůstává na poslední číslici (a 0 ). Poslední číslice v naší osmičkové soustavě může tedy být pro dělitelnost číslem 2={ 0,2,4,6}, pro dělitelnost číslem 4={ 0,4}. 42