Erne 4 6 Teorie yém 6 Hiorie eorie yém Iniivní edv - yém jo množin elemen eré jo vázány njým vzhem mezi ebo To definovl yém Ldwig von Berlnfy n oá icáých le Prof Berlnfy e zbývl eorií oevených yém imlovných oebmi biologie To záldní myšlen dl vzni nové vdecé dicilín - obecné eorii yém Z zldele obecné eorie yém je ovžován rof Berlnfy erý ázl že inerce mezi ámi jo ro vlnoi cel velmi dležié že cele mže vyzov vlnoi eré bezroedn nevylývjí z vlnoí jeho áí Záe 4 le znmenl výrzný rozvoj olrizce obecné eorie yém Dv mry - rvní rerezenovl oždvy biologie eonomie dlších málo formlizovných dicilín byl íše verbálním oiem drhý mr vycházel zejmén z eorie obvod eorie ízení jo dedivní í vycházejících z riých iom 6 Záldní ojmy obecné eorie yém Nšem vdecém zomání nelze ricy odrobi vešero objeivní reli Z dvod eré jo nám iniivn jné le eré mjí mnohdy hlboé fyziální oodnní je nšem zomání v ždém omži íná vždy oze jiá á objeivní reliy To á nzýváme obje všechno oní oolím Obje mžeme vyšeov z rzných hledie N zvoleném obje ozorjeme nebo míme rié vlnoi Výbr vlnoí závií n om co ovžjeme z význmné vzhledem dném úel Vzh mezi vybrnými vlnomi n dném obje definje yém nd objeem
Erne 4 objeivní reli oolí yém obje Proceem definování yém n obje rozlišjeme noli hierrchicých úrovní Sobor zmn ozorovných vlnoí romnných nzveme ivi yém Peno frevence jo bdeme mi romnné rjí oroorovo rozlišovcí úrove v roor zvolených romnných Zdrojový yém - definjeme obor romnných n obje e zvoleno rozlišovcí úrovní ínými mezemi cho romnných Vymezení niverzální množiny chrerizjící dný yém Dový yém - dolnní zdrojového yém onréním vzorem iviy yém Generivní yém - njdeme-li vzh mezi romnnými erý nám možní generov ejná d jo zmínný vzore iviy Dlení yém odle inerce oolím: ízený orienovný yém - dného yém lze rozliši vy výy yém vy - jo veliiny eré zobjí zmny oních veliin yém my závií oze n oolí yém výy - veliiny yém eré zobjí zmny v oolí yém Odorový dli regláor Neízený volný yém - ohoo yém dlení n vy výy neeije nebo není známo Hrmonicý ociláor hod oo d
Erne 4 Rozdlení yém odle zliy: Deerminiicý yém Jeliže lze chování yém úln o jo množin oádných dvojic íin náled zn jeliže rié íin odovídá vždy ejný nálede ovžjeme ový yém z deerminiicý U deerminiicého yém je íin odmíno nno i ojící rení náled Píldem je rvní Newonv záon dy jeliže obí íl íin ohyb hmoného bod e zrychlje nálede no jeliže e ohyb hmoného bod zrychlje mí n nj obi njá íl Sochicý yém O deerminiicého yém Jedné íin mže odovíd i noli rzných náled rznými rvdodobnomi Píin je zde jen nno nioli ojící odmíno ro rení náled Píldem mže bý n vnová fyzi Hienbergovy relce nerioi ro hybno energii áice Sochicé chování vyzjí i deerminiicé yémy erých obí velé množví íin iemž neré z nich neznáme nebo nemíme mi Sojié diréní yémy: Sojiý yém Promnné nbývjí reálných hodno jo ojié v hodnoách Promnno obvyle bývá i erý e o zámrn odlišje od oních veliin Diréní yém Promnné nbývjí hodno z množiny celých íel Jedná e i o vnovné i vzorovné ojié yémy eré e ídí ílicovými oíi rcjícími diréními hodnomi Dynmicé icé yémy: Dynmicý yém Promnné e mní em Sicý yém Promnné e em nemní
Erne 4 6 Dynmicý yém jeho oiy S y 6 Vniní oi dynmicých yém Vniní oi nelineárních ojiých deerminiicých dynmicých yém oije vzh mezi vovými vniními veliinmi yém: f y g de je veor vových romnných y je veor výních romnných je veor vních romnných Nelineární ojiý nedeerminiicý dynmicý yém lze o: f v y g e de v je šm roce e je šm mení Nelineární diréní deerminiicý dynmicý yém lze o: f y g de v v ro Obdobn lze definov i nedeerminiicý yém
Erne 4 Lineární ojiý deerminiicý ov invrinní dynmicý yém LTI yem lze o vovo výní rovnicí: A B y C D de A je mice yém B je mice ízení C D jo výní mice Lineární ojiý deerminiicý ov neinvrinní dynmicý yém lze o vovo výní rovnicí: A B y C D Lineární ojiý nedeerminiicý ov invrinní dynmicý yém lze o: A B v y C D e Lineární diréní nedeerminiicý ov invrinní dynmicý yém lze o: M N v y C D e Lineární diréní nedeerminiicý ov neinvrinní dynmicý yém lze o: M N v y C D e
Erne 4 Pevod ojiého vového oi n diréní: Sojiý yém mže bý eveden n diréní omocí direizce Dvod - o ožíváme ízení oíe PLC rmylová PC log ízení d eré mí vy výy v diréních ech Málo yém je diréních v rinci mnoho jich vzniá direizcí ojiých Nno dodrže vzorovcí v jin nebezeí liing error nebiliy Shnnon-Kolniv eorém Mnoho meod dierizce - ZOH Elerov d Píld : lineární RC obvod R C C y R Uree : vniní ojiý vový oi obvod n obráz b direizje yém žiím Elerovy meody d Užiím meody zlových ní doneme dv nezávilé obvodové rovnice d C R d C d d R C d d
Erne 4 Úrvo doneme C R C R R C R C vynáobením edchozí rovnice inverzí rvní mice máme vový oi obvod R C R C R C C R R C C R y de je vový veor yém A je mice yém R C C R R C C R A B je mice ízení R C R C B veor ízení y je výní veor y ro mice výní rovnice lí C D
Erne 4 d b Užiím Elerovy meody rovedeme náhrd derivcí z diference edy ro vovo rovnici lze n jo B T A T I B A T d d Porovnáním edchozí roimce doneme mice lineárního diréního yém jo B T A T I N M de T je vzorovcí eriod Tedy ro direizovný lineární yém z íld lze n R C T R C T R C T C R T R C T C R T y Pevod nelineárního vového oi n lineární: Nelineární yém mže bý eveden n lineární omocí linerizce v rcovním bod Dvod - celá eorie ízení je vyrcován ro lineární yémy vová zná vzb PID reglce LQ reglce d - nelineární ízení je ložié ožívjí e o nmericé meody Málo yém je lineárních v rinci z lineární je ovžjeme oze i zjednodšení vzhledem rcovním odmínám - n neeije lineární cív
Erne 4 Linerizovný model lí doeno enoí oze v blízém oolí rcovního bod de byl linerizce roveden Sndrní meodo je náhrd Tylorovým rozvojem ád Píld : inverzní roní yvdlo N obráz je zobrzeno zv roní yvdlo eré e ládá z rmene dély l hmonoi m eré je ohánno moorem o ní oáí e dool N onci ohoo rmene je evnno yvdlo dély l hmonoi m Výchyl ooného rmene je výchyl yvdl od rovnovážné olohy je Znedbáním dynmiy moor dlších vzeb v yém lze oo yvdlo modelov zjednodšen jo idenifiovný model: 8 9 6in 45 co
Erne 4 Uree : linerizovný model z odmíny π Pedoládejme dále že míme ob úhly b vlní íl chrerizjící dynmi model z bod d Nelineární model roního yvdl je ve vr 9 8 f Linerizov je nno oze rvní rovnici vového oi oní jo lineární výní rovnice je é lineární edy lineární model bde ve vr 8 9 f f f f f
Erne 4 Po výo rciálních derivcí máme 8 45co 9 in 45 6co Dozením rcovního bod i π ii do edchozího model doneme lineární oi i 8 45 9 6 ii 8 45 9 6 d b Pro vlní íl λ lineárního model B A lí: de A I λ Alicí edchozího vzh n linerizovný model i doneme lgebrico rovnici
Erne 4 λ 6 λ 9 de λi A de 58 54 λ λ λ λ λ λ Vlní íl yém i doneme rením oen edchozí lgebricé rovnice edy λ λ 9 λ 55 λ 4 5 Pro linerizovný model ii jeho vlní íl doneme lgebrico rovnici λ 6 λ 9 de λi A de 58 54 λ λ λ λ λ λ Vlní íl yém ii doneme rením oen edchozí lgebricé rovnice edy λ λ 9 λ 45j λ 4 45j Sbili dynmicých yém: Noli definic biliy Aymoicá ver Ljnová bili BIBO bili Aymoicá bili lineárních ojiých yém lineární ojiý yém definovný vniním vovým oiem A B je bilní ehdy od vlní íl ohoo yém definovná lgebrico rovnicí de λ I A leží v levé olorovin omlení roviny edy Re{λ i } < i n Ljnová bili lineárních ojiých yém yém mže mi vlní íl moho leže n imginární oe
Erne 4 Aymoicá bili lineárních diréních yém lineární diréní yém definovný vniním vovým oiem M N je bilní ehdy od vlní íl ohoo yém definovná lgebrico rovnicí de λ I M leží v vni jednoové ržnice jejíž ed rochází oáem omlení roviny edy λ i < i n Ljnová bili lineárních diréních yém yém mže mi vlní íl moho leže n hrnici jednoové ržnice Sbili nelineárních yém vlno ešení cionárních rovnovážných bod bili lineárních yém vlno yém Sbili ve velém ver bili v mlém Píld : bili linerizovného model roního yvdl Uree bili v mlém linerizovných vniních oi z odmíny i π ii Dije edvo biliy v cho dvo rovnovážných bodech Pro vlní íl model i doneme lgebrico rovnici λ 6 λ 9 de λi A de 58 54 λ λ λ λ λ λ Vlní íl yém i doneme rením oen edchozí lgebricé rovnice edy lí λ λ 9 λ 55 λ 4 5 Vlní ílo λ odovídá mezi biliy Ljnovy bilní ól vlní íl λ 9 λ 55 odovídjí bilním ólm yém vlní ílo λ 4 5 odovídá
Erne 4 nebilním ól Linerizovný yém i π odovídá yvdl v nebilní oloze ro úhel yvdl π Vzhledem ozování biliy yém v mlém e jedná o nebilní yém linerizovný model v rovnovážném bod není ni ymoicy ni Ljnovy bilní Pro vlní íl model ii doneme lgebrico rovnici λ 6 λ 9 de λi A de 58 54 λ λ λ λ λ λ Vlní íl yém ii doneme rením oen edchozí lgebricé rovnice edy λ λ 9 λ 45j λ 4 45j Vlní ílo λ odovídá mezi biliy Ljnovy bilní ól vlní íl λ 9 λ 45j λ 4 45j odovídjí bilním ólm yém Linerizovný yém i odovídá yvdl ve bilní oloze ro úhel yvdl Vzhledem ozování biliy yém v mlém e jedná o ymoicy nebilní yém Ljnovy bilní yém 6 Vnjší oiy dynmicých yém Vnjší oi yém oihje vzh mezi vem výem y yém Dlíme n rmericé nermericé oiy Možné rmericé vnjší oiy: Diferenciální rovnice Diferenní rovnice Peno v Llceov rnformci
Erne 4 Peno v Z- rnformci Frevenní eno Póly nly eno yém Možné nermericé vnjší oiy: Imlní chrerii Pechodová chrerii Frevenní chrerii Píld 4: vnjší oiy obvod R C C y R Pro obvod n obráz rmery R Ω R Ω C µf ree : Peno v Llceov rnformci frevenní eno b Diferenciální rovnici oijící dynmi mezi vem výem obvod c Póly nly eno yém jejich bili d Imlní echodovo chrerii
Erne 4 d Pro rmery obvod dozením do vniního oi yém máme 5 5 y Pro eno yém v Llceov rnformci v íd znloi vniního oi lí Y G U [ C I A B D] U de G je enoová mice yém Dozením do edchozího vzh doáváme eno yém v Llceov rnformci U G U 5 5 Frevenní eno mžeme ri z eno yém Pedoládejme že v áleném v lí j Poom ro frevenní eno yém lí d b U j F j j 5 j 5 U Diferenciální rovnici lze zí z vniního oi yém elimincí vniních v Dlší možnoí je zíání diferenciální rovnice ímo z eno yém jo U 5 5 U
Erne 4 zno Llceovo rnformcí máme diferenciální rovnici d c 5 5 Póly nly eno lze zí ešením lgebricé rovnice jmenovele iele eno edy ro óly eno lí lgebricá rovnice 5 5 óly ríme jo oeny éo rovnice hodné vlními íly mice yém 5 5 7 5 5 7 Pro nly eno lí lgebricá rovnice edy máme jedino nl o Ob óly eno jo bilní d d Imlní chrerii w je odezv yém n Dircv imlz n v yém Odezv lze oí nlyicy z eno yém jo U G U U 5 5 ro obrz Dircov iml lí L{δ} imlní odezv W v oeráorovém vr lze n jo W G 5 5 zno Llceovo rnformcí doneme w L 5 5 7 L 5 5 7e 55 7 5 5 5 7 /7 5 5 7 /7 5 5 7 5 5 7 5 7 7e 5 5 7
Erne 4 Pechodová chrerii je odezv yém n jednoový o n v yém Odezv lze oí nlyicy z eno yém jo U G U U 5 5 ro obrz jednoového o lí L{δ}/ echodovo chrerii A v oeráorovém vr lze n jo A G 5 5 zno Llceovo rnformcí doneme L 7 7e L 5 5 55 7 7 7 /7 7 /7 5 5 7 5 5 7 7e 5 5 7 8 6 w 4-5 5 5 5 4 45 5 []
Erne 4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 45 5 [] 64 Syémy modely 64 Volb rry model Srr model zvolíme odle riorní znloi o yém orchách eré n nj obí Obecn volíme b vnjší oi yém výhodné ro ndno idenifici omocí SW ili - idenifiní oolbo MATLAB nebo vniní model erý mže bý obecn nelineární Pro modelování dynmicých yém ožíváme obecných meod vniní oiy: Odvození model n záld fyziálního oi - o meod je ídem licého nlyicého modelování erá je zložen n evení diferenciálních lgebricých rovnic Vhodné n libovolné yémy rcný o odvozování oi Modelování yém žiím zv vzebních grf - oný í než meody edchozí nejrve modelovný yém rozložíme n odyémy jejich vzby znázorníme orienovným grfem Vznine
Erne 4 nejrve imlní chém z erého mže bý odvozen memicý model Vhodná meod ro zv hybridní yémy yémy eré e ládjí z odyém elericých nemicých hydrlicých mechnicých eelných d Modelování žiím Lgrngeovy meody - vhodná meod ro modelování ložiých mechnicých obecn nelineárních yém Odvození vniního oi yém je zloženo n rciálních derivcích Lgrngeovy fnce rerezenjící energii yém 64 Volb rmer model Úloh nlezení rmer model e nzývá idenifice rmer model je formlován jedn rro idenifiovného model riériem eré vyhodnocje rozdíl mezi odezvo modelovného eného yém n olený bdící vní ignál Úloh idenifice rmer je formlován jo oimlizní úloh n úloh minimlizce o vdrá odchyle vý modelovného reálného yém n ejný vní ignál vzhledem romnným což jo hledné rmery model K jejím ešení e ožívá o meod nejmenších verc Le Sqre - LS erá byl orvé bliován geniálním C F Gem v roce 89 v ráci o ohyb vemírných le Pro odhd rmer model e ožívjí náledjící echniy: Vyhodnocení echodové frevenní chreriiy Meody orelní erální nlýzy Meod nejmenších verc její modifice Siicá meod mimální vrohodnoi
Erne 4 65 Syémy ízení ízení dynmicých yém lze dli: Direivní ízení - ízení bez zné vzby ídicí len regláor nemá informci o vý y yém regláor v reglovná ov R R y R S y b Znovzební ízení - ízení e zno vzbo - regláor má informci o vý yém ídící veliin nvje by n vý y byl oždovná hodno w regláor v reglovná ov w - e R y R S y Podno výhodo znovzební reglce oži bilní záorná zná vzb - viz obráze je informce o vý yém možno omenzce orch v obících n v yém Direivní ízení o orch neomenzje orch e negivn rojeví n vý yém
Erne 4 K ízení yém ožíváme b lineární meody návrh nebo nelineární meody návrh é meody návrh ízení dynmicých yém ožívjí lineární í v íd nelineární reglovné ovy e ožívá linerizce v rcovním bod reglce n ízení yvdl v horní oloze K návrh ízení žíváme edy vniní oi yém ov diferenciálních rovnic chrerizjících vy yém nebo vnjší oi yém diferenciální rovnice chrerizjící vzh mezi vem výem yém Pro ízení z edold znloi vnjšího oi yém e o ožívjí meody PID regláory meod míování ól frevenní meody ynézy nebo eerimenální meod Ziegler- Nichol Algebricé meody ynézy zloženo n ešení diofnicé rovnice volíme oždovný eno zvené myy Nelineární meody ízení Pro ízení z edold znloi vniního oi yém e o ožívjí meody Svová zná vzb míování ól yém reglce robíhá od v yém v íd že neznáme vy yém nno eroji ozorovele v Kvdricy oimální ízení - LQ regláor vová zná vzb reglci ožio álené ešení vové zné vzby dle riéri Nelineární vová zná vzb záon ízení není lineární ídicí fnce je nelineární její licí rovedeme linerizci nelineárního oi
Erne 4 Píld 5: PID reglce lineárního yém Pro yém drhého ád enoem G 6 nvrhne: P regláor meodo míování ól by óly zvené myy byly bilní reglní odchyl byl menší j % Vyoe óly zvené myy ro o odmín echodovo chrerii zvené myy b Nvrhne P regláor meodo míování ól by chování zvené myy bylo n mezi eriodiciy Uree óly zvené myy reglní odchyl v áleném v echodovo chrerii zvené myy c Nvrhne PI regláor meodo míování ól by reglní roce byl n mezi eriodiciy Uree óly zvené myy reglní odchyl v áleném v d Pro oeráorový eno zvené reglní myy G w mezi oždovno hodnoo w výem ovy y lí Y G G G G S R w W G GS GR de G je eno odevené reglní myy G S je eno ovy G R je eno regláor Pro eno ovy P regláor lí G S G R K 6 Pro eno zvené myy lí K Gw 6 K Pro óly eno zvené myy lí lgebricá rovnice 6 K
Erne 4 Póly zvené myy doneme ešením edchozí rovnice 5 ± 6 4K Pro reglní odchyl lí [ G ] e% lim w dozením eno zvené myy máme odmín K > lim 6 K ešením máme odmín ro roorcionální lož K K > 44 Volíme edy K 5 Pro o odmín máme óly zvené myy 5 j 4 5 j 4 Pro echodovo chrerii zvené myy v oeráorovém vr lze á A 75 8 5 66 A B C 66 75 5 5 66 8 5 4 5 Po zné Llceov rnformci doáváme echodovo chrerii zvené reglní myy 75 5 4 e in 4 75 75 5 e co 8 8 8 4 4
Erne 4 8 6 4 d b 4 6 8 4 6 8 [] Pro eno zvené myy P regláorem lí K Gw 6 K Pro chreriicý olynom ve jmenoveli eno ro mez eriodiciy mí li 6 K oom orovnáním oeficien rovnice doneme odmín ro neznámé rmery edy 5 K 9 Peno zvené myy bde mí vr 9 9 G w 5 5 Póly zvené myy jo edy 5 dvojnáobný ól -5 5 Pro reglní odchyl v áleném v lí 9 e lim Gw 5 [ ] 64% %
Erne 4 Pro echodovo chrerii zvené myy v oeráorovém vr lze á A 9 5 5 9 5 9 A B C 5 5 9 5 5 5 Po zné Llceov rnformci doáváme echodovo chrerii zvené reglní myy 9 9 5 9 5 e e 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 45 5 [] d c Pro eno oevené myy PI regláorem lí G KI K 6 K de K K I / je eno PI regláor
Erne 4 Pro eno zvené myy lí G w K KI 6 K K Pro chreriicý olynom ve jmenoveli eno ro mez eriodiciy mí li 6 K K I oom orovnáním oeficien rovnice doneme odmín ro neznámé rmery edy 6 K KI 5 7 Peno zvené myy bde mí vr 468 468 G w 7 7 468 7 Póly zvené myy jo edy rojnáobný ól Pro reglní odchyl v áleném v lí e lim Gw [ ] % % I 9 8 7 6 5 4 5 5 5 5 4 []
Erne 4 Úlohy Pro náledjící ojiý lineární yém ree 8 diréní yém omocí Elerovy meody erý vznine ze ojiého vzorováním eriodo T 5 b dije bili vlních íel ojiého i diréního yém Pro náledjící ojiý nelineární yém ree 9 6in 5 co 5in linerizovný yém v oolí rcovního bod π/ b dije bili vlních íel ojiého linerizovného yém Pro náledjící ojiý lineární yém ree 6 4 5 y oeráorový eno mezi vem výem y yém b óly nly eno jejich bili c imlovo echodovo chrerii
Erne 4 4 Pro náledjící ojiý lineární yém dný enoem nvrhne G S Y U 5 P regláor by reglní odchyl byl menší j 5 % dále ree ro jé zeílení regláor je zvená my bilní b PI regláor by reglní ochod byl n mezi eriodiciy jeho ová onn byl 5 m ree reglní odchyl v áleném v Požiá lierr [] Koe Vyoý Zdráhl Kybernei SNTL 99 [] Horáe Syémy modely vydvelví VUT 998 [] John Syémy ízení vydvelví VUT 996 [4] Srány edm ednášy h://gernerfelcvcz