ZÁKLDY GEOMETIE Jiří Doležal
Obsah Obsah Obsah 3 Úvod 4 1 Planimetrie 5 1. Konstruční lanimetricé úlohy............................. 5 2. olloniovy a Paovy úlohy............................... 6 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti........................... 7 3.1. Záladní množiny všech bodů dané vlastnosti v rovině............. 7 3.2. olloniova úloha.............................. 11 3.3. olloniova úloha............................... 13 3.4. Tečny z bodu e ružnici............................. 23 3.5. Paova úloha................................ 26 3.6. Paova úloha................................ 28 3.7. Varianta olloniovy úlohy......................... 33 4. Mocnost bodu e ružnici................................. 38 4.1. Definice a záladní vlastnosti........................... 38 4.2. hordála a otenční střed............................. 39 4.3. olloniova úloha.............................. 40 4.4. olloniova úloha.............................. 44 5. Geometricá zobrazení v rovině.............................. 49 5.1. hodná zobrazení (shodnosti) v rovině...................... 50 5.1.1. Posunutí (translace)........................... 51 Varianta olloniovy úlohy..................... 51 5.1.2. Otočení (rotace)............................. 55 Konstruce rovnostranného trojúhelnía z daných rvů........ 55 5.1.3. tředová souměrnost.......................... 59 Konstruce úsečy z daných rvů.................... 59 5.1.4. Osová souměrnost............................ 62 Konstruce bodu dané vlastnosti..................... 62 5.2. Podobná zobrazení (odobnosti) v rovině.................... 66 5.2.1. tejnolehlost............................... 66 olečné tečny dvou ružnic s různými oloměry............ 67 Čtverec vesaný do ostroúhlého trojúhelnía............... 71 Varianta olloniovy úlohy..................... 75 Paova úloha............................. 80 Varianta olloniovy úlohy...................... 84 Zracoval Jiří Doležal 2
Obsah 2 tereometrie 96 1. Užité ojmy a metody zobrazení............................. 96 2. ovinné řezy hranatých těles............................... 97 2.1. Prostorová osová afinita mezi dvěma rovinami................. 97 2.1.1. Řez rychle rovinou........................... 98 2.1.2. Řez olmého čtyřboého hranolu rovinou............... 103 2.1.3. Řez olmého ětiboého hranolu rovinou............... 107 2.2. Prostorová středová olineace mezi dvěma rovinami.............. 112 2.2.1. Řez ravidelného čtyřboého jehlanu rovinou............. 112 2.2.2. Řez ětiboého jehlanu rovinou.................... 116 3. Průni římy s tělesem.................................. 120 3.1. Průni římy s hranolem, válcem, jehlanem a uželem............ 121 3.1.1. Průni římy s olmým čtyřboým hranolem............ 121 3.1.2. Průni římy s rotačním válcem................... 123 3.1.3. Průni římy s ravidelným čtyřboým jehlanem.......... 125 3.1.4. Průni římy s rotačním uželem................... 128 Pracovní listy 131 Literatura 159 ejstří 160 Zracoval Jiří Doležal 3
Úvod Úvod ředládaný studijní materiál je síše sbírou omfortně řešených úloh než souvislým učebním textem jednotlivé úlohy jsou řitom řešeny metodou ro o rou, tj. od zadání až o řešení je vyrýsována série něolia obrázů oatřených vysvětlujícím omentářem učební láta je rozdělena do dvou aitol: Planimetrie a tereometrie; v aždé z nich je stručně a heslovitě řiojena otřebná teorie v aitole Planimetrie jsou řešeny ředevším onstruční úlohy, v nichž se užívají množiny všech bodů dané vlastnosti, mocnost bodu e ružnici a geometricá zobrazení v rovině v aitole tereometrie je uázáno řešení rovinných řezů na hranatých tělesech a onstruce růniu římy s daným tělesem ro ohodlí čtenářovo je řiojen dodate s názvem Pracovní listy, v němž jsou sebrána zadání všech 26 úloh vyřešených v ředchozí části na závěr je uveden řehled užité literatury a rejstří významných ojmů na webových stránách htt://www.studoory.vsb.cz/ lze najít odaz na interativní verzi těchto materiálů, jejichž součástí je i 9 virtuálních 3D modelů uvedeným stereometricým úlohám... Zracoval Jiří Doležal 4
Kaitola 1. Planimetrie Planimetrie Tematicý obsah Množiny všech bodů dané vlastnosti Záladní množiny všech bodů dané vlastnosti, Řešené úlohy Mocnost bodu e ružnici Definice a záladní vlastnosti, hordála a otenční střed, Řešené úlohy Geometricá zobrazení Posunutí, Otočení, tředová souměrnost, Osová souměrnost, tejnolehlost 1. Konstruční lanimetricé úlohy Výlad v rámci tohoto studijního materiálu byly zracovány zejména řešené onstruční úlohy v těchto úlohách jde ředevším o to sestrojit (zonstruovat) ředesaný geometricý útvar, terý bude mít ožadované vlastnosti řitom jsou užívány výhradně tzv. euleidovsé onstruce omocí ravíta a ružíta části ostuu řešení onstruční úlohy: 1. ozbor: ředoládáme, že úloha je vyřešená, načrtneme ilustrační obráze a snažíme se najít vztahy mezi danými a hledanými útvary 2. Konstruce: na záladě rozboru sestavíme ostu onstruce a odle něj rovedeme onstruci graficy (v ředládaném studijním materiálu je rováděna římo graficá onstruce ro o rou oatřená vysvětlujícím omentářem) 3. Zouša: ontrola srávnosti onstruce 4. Disuze: v této části se stanovují odmíny řešitelnosti úlohy a očet řešení odle vzájemné olohy zadaných rvů; řitom ostuujeme ta, že rocházíme jednotlivé roy onstručního ostuu a zoumáme očet možných řešení těchto jednotlivých roů (u něterých úloh je disuze řenechána čtenáři jao cvičení) Zracoval Jiří Doležal 5
2. olloniovy a Paovy úlohy 2. olloniovy a Paovy úlohy Výlad větší část zde řešených úloh atří mezi tzv. olloniovy a Paovy úlohy zadání tzv. obecné olloniovy úlohy: sestrojte ružnici, terá se dotýá tří daných ružnic řiustíme-li v obecné olloniově úloze doty hledané ružnice taé s římami říadně rocházení body, dostaneme sérii desíti tzv. olloniových úloh:,,,,,,,,, ( bod, říma, ružnice) v rámci těchto studijních materiálů byly vyřešeny následující olloniovy úlohy: (viz strana 11), (strana 40), (strana 44), - varianta rovnoběžy (strana 51), - varianta různoběžy (strana 75), (strana 13), - varianta rovnoběžy (strana 33), - varianta různoběžy (strana 84) seciálním říadem olloniových úloh jsou úlohy Paovy: dvěma ze tří daných útvarů jsou vždy říma nebo ružnice s daným bodem dotyu tato lze zísat sérii šesti Paových úloh:,,,,, v rámci těchto studijních materiálů byly vyřešeny následující Paovy úlohy: (strana 26), (strana 80), (strana 28) omlexně zracované řešení všech olloniových a Paových úloh je odáno nař. v dilomové ráci Evy Patáové (viz htt://geometrie.ma.zcu.cz/wor/u/uvod/uvod.html) Zracoval Jiří Doležal 6
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti 3.1. Záladní množiny všech bodů dané vlastnosti v rovině Výlad množinou M všech bodů dané vlastnosti V rozumíme taový geometricý útvar G, jehož body slňují následující dvě odmíny: 1. aždý bod útvaru G má danou vlastnost V 2. aždý bod, terý má danou vlastnost V, je bodem útvaru G Přehled nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti v rovině M1 množina všech bodů, teré mají od daného bodu danou vzdálenost r, je ružnice (, r) r tato ružnice je taé množinou všech středů ružnic, jež mají daný oloměr r a rocházejí daným bodem r Zracoval Jiří Doležal 7
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti M2 množina všech bodů, teré mají stejnou vzdálenost od dvou daných navzájem různých bodů,, je osa úsečy, terá je olmá úsečce a rochází jejím středem o tato osa úsečy je taé množinou všech středů ružnic, jež rocházejí danými body, o M3 množina všech bodů, teré mají stejnou vzdálenost od dvou daných navzájem různých rovnoběže, q ( q, q), je osa ásu jimi omezeného q o tato osa ásu je taé množinou všech středů ružnic, jež se dotýají daných rovnoběže, q q o Zracoval Jiří Doležal 8
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti M4 množina všech bodů, teré mají stejnou vzdálenost od dvou daných různoběže, q, jsou navzájem olmé osy o 1, o 2 (o 1 o 2 ) úhlů sevřených římami, q o 2 V o 1 q tyto osy úhlů jsou taé vyjma jejich růsečíu V =o 1 o 2 množinou všech středů ružnic, jež se dotýají daných různoběže, q o 2 V o 1 q M5 množina všech bodů, z nichž je danou úseču vidět od ravým úhlem, je ružnice sestrojená nad růměrem (tzv. Thaletova ružnice nad daným růměrem) vyjma bodů, tato Thaletova ružnice je jina taé množinou všech vrcholů ravých úhlů, jejichž ramena rocházejí danými dvěma různými body, Zracoval Jiří Doležal 9
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti M6 množina všech středů ružnic, teré se dotýají dané římy v jejím daném bodě T, je říma n jdoucí daným bodem T olmo dané římce (normála římy v bodě T ; T n, n ) vyjma bodu T n T n T M7 množina všech středů ružnic, teré se dotýají dané ružnice (, r= T ) v jejím daném bodě T, je říma n=t (normála ružnice v bodě T ) vyjma bodů, T T n T n M8 množina všech středů ružnic, teré se dotýají dané ružnice (, r) a mají daný oloměr r, jsou soustředné ružnice 1 (, r + r ) (ro vnější doty s ) a 2 (, r r ) (ro vnitřní doty s ) ro r > r ro r > r r+r r r 2 2 1 1 Zracoval Jiří Doležal 10
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti ro r < r ro r < r r r r+r 2 2 1 1 3.2. olloniova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází třemi danými navzájem různými body,,. ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme na ní tři navzájem různé body,, a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... Zracoval Jiří Doležal 11
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti zřejmě ro body,,, latí = = =r (viz množinu M1 na straně 7 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) r r r střed ružnice má stejnou vzdálenost r od bodu i od bodu, a musí tedy ležet na ose úsečy (viz množinu M2 na straně 8 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti); ze stejného důvodu leží taé na ose úsečy a současně na ose úsečy ; stačí tedy sestrojit dvě z těchto tří os, najít jejich růsečí, terý je nutně středem hledané ružnice (viz následující onstruce) r r r Konstruce: zadání úlohy: jsou dány tři navzájem různé body,, Zracoval Jiří Doležal 12
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odle závěru rozboru sestrojme nař. osy o a a o c úseče a : o a, a o a, de a je středem úsečy, odobně o c, c o c, de c je středem úsečy o a a c o c bod =o a o c je a středem hledané ružnice (, r= = = ), terá je tzv. ružnicí osanou trojúhelníu o a a c o c Disuze: Úloha má vždy rávě jedno řešení vyjma říadu, dy dané navzájem různé body,, leží v jedné římce (jsou tzv. olineární), v tomto říadě řešení neexistuje (osy úseče,, jsou rovnoběžné a nelze tedy sestrojit jejich růsečí). 3.3. olloniova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá se dotýá tří daných navzájem různých říme a, b, c. Zracoval Jiří Doležal 13
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme tři její navzájem různé tečny a, b, c a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... b c a zřejmě ro římy a, b, c a bod latí a = b = c =r, tj. střed ružnice má stejnou vzdálenost r od říme a, b, c b T c r r T b c r T a a odle vlastností množiny M 4 (viz strana 9) z řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti musí tedy bod ležet na jedné z os úhlů římami a, b sevřených; ze stejného důvodu leží taé na jedné z os úhlů sevřených římami a, c a současně na jedné z os úhlů sevřených římami b, c; tím je nalezen vztah mezi danými (římy a, b, c) a hledanými (ružnice, ředevším její střed ) rvy a je možno řistouit následující onstruci Zracoval Jiří Doležal 14
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti b T c r r T b c r T a a Konstruce (dosti náročná na řesnost rýsování): zadání úlohy: jsou dány tři navzájem různé římy a, b, c b c a Zracoval Jiří Doležal 15
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odle závěru rozboru sestrojme nejrve růsečí =a b daných říme a, b a jím ved me obě osy o 14 a o 23 (o 14 o 23 ) úhlů římami a, b sevřených b o 23 c o 14 a Zracoval Jiří Doležal 16
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti totéž roved me analogicy v bodě =a c: zde zísáme osy o 13 a o 24 (o 13 o 24 ) úhlů sevřených římami a, c; a ještě naosled rozdělme osami o 12 a o 34 (o 12 o 34 ) úhly sevřené římami b, c (ty se rotínají v bodě =b c) b o 12 o 34 o 13 o 23 o 24 a c o 14 Zracoval Jiří Doležal 17
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti ři řesném rýsování musí vyjít, že se vždy tři ze šesti sestrojených os rotínají v jednom bodě: zísáme ta celem čtyři růsečíy 1 =o 12 o 13 o 14, 2 =o 12 o 23 o 24, 3 =o 13 o 23 o 34 a 4 =o 14 o 24 o 34 ; odle M4 ro aždý tato sestrojený bod i, de i=1, 2, 3, 4, latí, že jeho vzdálenost od daných říme a, b, c je stejná, a je to tedy střed hledané ružnice; ro větší řehlednost sestrojme tyto ružnice ostuně b o 12 4 o 34 3 1 o 13 o 23 o 24 a c o 14 2 Zracoval Jiří Doležal 18
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti bodem 1 ved me olmice daným tečnám a, b, c a v růsečících najdeme říslušné body dotyu; bod 1 leží ve vnitřní oblasti trojúhelnía a ružnice 1 ( 1, r 1 = a 1 = b 1 = = c 1 ) se tudíž nazývá ružnicí trojúhelníu vesanou b o 12 4 o 34 3 1 o 13 1 o 23 o 24 a c o 14 2 Zracoval Jiří Doležal 19
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odobně sestrojme ružnici 2 ( 2, r 2 = a 2 = b 2 = c 2 ) tzv. řisanou e straně a trojúhelnía b o 12 4 o 34 3 1 o 13 1 o 23 2 o 24 a c o 14 2 Zracoval Jiří Doležal 20
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti analogicy ro ružnici 3 ( 3, r 3 = a 3 = b 3 = c 3 ) řisanou e straně b trojúhelnía b o 12 3 4 o 34 3 1 o 13 1 o 23 2 o 24 a c o 14 2 Zracoval Jiří Doležal 21
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti a onečně je dolněna i ružnice 4 ( 4, r 4 = a 4 = b 4 = c 4 ) řisaná e straně c trojúhelnía b 4 o 12 3 4 o 34 3 1 o 13 1 o 23 2 o 24 a c o 14 2 Disuze: V obecném říadě má úloha rávě čtyři řešení; jsou-li dvě z říme a, b, c rovnoběžné a třetí je s nimi různoběžná, má tato úloha rávě dvě řešení (ro rovnoběžy se sestrojí osa ásu jimi určeného - viz množina M3 na straně 8 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti); jsou-li všechny tři dané římy a, b, c rovnoběžné, nemá úloha žádné řešení (osy říslušných ásů jsou taé rovnoběžné). Zracoval Jiří Doležal 22
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti 3.4. Tečny z bodu e ružnici Řešené úlohy Přílad: Daným bodem M ved te tečny dané ružnici (, r). ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme dvě její nerovnoběžné tečny t 1, t 2, teré se rotínají v bodě M, a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... t 1 T 1 M T 2 t 2 zřejmě je T 1 t 1 a T 2 t 2, de T 1 res. T 2 je bod dotyu tečny t 1 res. tečny t 2 a ružnice t 1 T 1 M T 2 t 2 Zracoval Jiří Doležal 23
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti úseču M je tedy z bodu T 1 i z bodu T 2 vidět od ravým úhlem a odle vlastností množiny M 5 (viz strana 9) z řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti leží body T 1, T 2 na Thaletově ružnici l(o, 1 M ) sestrojené nad růměrem M 2 t 1 T 1 l O M T 2 t 2 Konstruce: zadání úlohy: je dána ružnice (, r) a bod M M Zracoval Jiří Doležal 24
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odle závěru rozboru sestrojme Thaletovu ružnici l(o, 1 M ) nad růměrem M, 2 de bod O je tedy středem úsečy M l O M nyní stačí najít růsečíy T 1, T 2 dané ružnice a sestrojené ružnice l a vést jimi hledané tečny t 1 =MT 1, t 2 =MT 2 z bodu M e ružnici t 1 T 1 l O M T 2 t 2 Disuze: Úloha má rávě dvě řešení osově souměrná odle římy M, leží-li daný bod M ve vnější oblasti dané ružnice ; jestliže je bod M bodem ružnice, a má úloha rávě jedno řešení (bod M je současně bodem dotyu dané ružnice, sestrojené Thaletovy ružnice l i hledané tečny t); v říadě, že bod M leží ve vnitřní oblasti ružnice, řešení neexistuje (Thaletova ružnice l ružnici nerotíná nebo ro =M ružnice l neexistuje). Zracoval Jiří Doležal 25
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti 3.5. Paova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází daným bodem a dotýá se dané římy t v daném bodě T. ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme na ní dva body, T, v bodě T dolňme tečnu t a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... T t střed ružnice musí ležet na normále n tečny t v bodě T (viz množinu M6 na straně 10 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) T t n Zracoval Jiří Doležal 26
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti současně musí střed ružnice ležet taé na ose o úsečy T (viz množinu M2 na straně 8 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti); ro řešení této úlohy se tedy využijí hned dvě různé množiny bodů dané vlastnosti T o t O n Konstruce: zadání úlohy: je dán bod, říma t a na ní bod T (T t) T t odle rozboru sestrojme nejrve normálu n římy t v bodě T : T n a n t T t n Zracoval Jiří Doležal 27
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti dále sestrojme osu o úsečy T : O o, de bod O je středem úsečy T, a o T T t o O n bod =n o je a středem hledané ružnice (, r= = T ), terá rochází daným bodem a dotýá se dané římy t v daném bodě T T t o O n Disuze: Úloha má rávě jedno řešení, jestliže bod neleží na římce t; je-li t a T, a úloha nemá žádné řešení (normála n a osa o úsečy T jsou rovnoběžné); je-li =T, má úloha neonečně mnoho řešení (všechny ružnice, jejichž středy leží na normále n vyjma bodu =T ). 3.6. Paova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá se dotýá dané ružnice (, r = T ) v daném bodě T a dané římy. Zracoval Jiří Doležal 28
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme na ní bod T, řiresleme ružnici (, r), terá se dotýá ružnice v bodě T, dolňme tečnu e ružnici a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... T střed ružnice musí ležet na normále n=t ružnice v bodě T (viz množinu M7 na straně 10 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) T n současně musí mít střed ružnice stejnou vzdálenost r od římy i od římy t, terá je solečnou tečnou ružnic a v bodě T T T t n Zracoval Jiří Doležal 29
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odle vlastností množiny M 4 (viz strana 9) z řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti leží tedy bod na jedné z os úhlů sevřených římami t a ; ro řešení této úlohy se tedy využijí hned dvě různé množiny bodů dané vlastnosti T T t n o Konstruce: zadání úlohy: je dána ružnice (, r= T ) s bodem T dotyu (T ) a říma T Zracoval Jiří Doležal 30
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odle rozboru sestrojme nejrve normálu n=t ružnice v bodě T T n nyní dolňme tečnu t e ružnici v bodě T (T t a t n) a najděme růsečí =t T t n Zracoval Jiří Doležal 31
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti bodem sestrojme obě osy o 1 a o 2 (o 1 o 2 ) úhlů sevřených římami t a o 2 T t n o 1 bod 1 =n o 1 je a středem hledané ružnice 1 ( 1, r 1 = 1 T ), terá se dotýá dané ružnice v daném bodě T (tzv. vnější doty) a taé se dotýá dané římy o 2 T T 1 t 1 1 n o 1 Zracoval Jiří Doležal 32
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odobně je bod 2 =n o 2 taé středem hledané ružnice 2 ( 2, r 2 = 2 T ), terá se dotýá dané římy a s danou ružnicí má v daném bodě T tzv. vnitřní doty T 2 2 o 2 T T 1 2 t 1 1 n o 1 Disuze: Necht t je tečna ružnice v bodě T. Úloha má rávě dvě řešení, jestliže říma je různoběžná s tečnou t a současně T ; je-li T a říma není tečnou ružnice (tj. t), a úloha nemá žádné řešení; úloha má rávě jedno řešení, jestliže je t a současně T (ři řešení se místo množiny M4 využije množina M3 viz strana 8); je-li říma tečnou ružnice v bodě T (tj. = t), a má úloha neonečně mnoho řešení. 3.7. Varianta olloniovy úlohy Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá se dotýá dvou daných různých rovnoběžných říme, q ( q, q) a dané ružnice (, r). ozbor úlohy: Zracoval Jiří Doležal 33
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme dvě její navzájem různé rovnoběžné tečny, q ( q, q), ružnici (, r), terá se dotýá ružnice, a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... q střed ružnice musí ležet na ose o ásu omezeného rovnoběžami, q (viz množinu M3 na straně 8 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) a ro oloměr r ružnice latí r = 1 2 q r o q odle vlastností množiny M 8 (viz strana 10) z řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti musí tedy bod ležet taé na jedné ze soustředných ružnic l 1 (, r+r ) nebo l 2 (, r r ); v náčrtu je zvolen vnější doty ružnic, a střed tedy leží na ružnici l 1 (, r+r ) l 1 r r+r o q Zracoval Jiří Doležal 34
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Konstruce: zadání úlohy: jsou dány dvě různé rovnoběžy, q ( q, q) a ružnice (, r) q nejrve sestrojme osu o ásu omezeného rovnoběžami, q, na níž bude ležet střed hledané ružnice o q Zracoval Jiří Doležal 35
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti dále sestrojme ružnice l 1 (, r+r ) a l 2 (, r r ), de r = 1 q = o = oq, na nichž 2 leží středy ružnic, teré se dotýají ružnice a mají zjištěný oloměr r l 1 l 2 o q nyní ostuně hledejme růsečíy osy o s ružnicemi l 1, l 2 : osa o rotíná ružnici l 1 ve dvou bodech, jeden z nich označme 1 a odle rozboru je to střed hledané ružnice 1 ( 1, r ), terá se dotýá daných rovnoběže, q i dané ružnice (, r); body dotyu na římách, q jsou růsečíy těchto říme s olmicí ose o vedenou bodem 1 ; bod dotyu ružnic 1 a najdeme jao růsečí úsečy 1 s ružnicí l 1 l 2 o 1 q 1 Zracoval Jiří Doležal 36
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti druhý růsečí osy o a ružnice l 1 označme 2 a oišme olem něj ružnici 2 ( 2, r ); ružnice 1 a 2 jsou zřejmě osově souměrné odle olmice ose o vedené středem ; současně mají obě tato řešení 1, 2 vnější doty s danou ružnicí l 1 l 2 2 2 o 1 q 1 třetím řešením úlohy je ružnice 3 ( 3, r ), de bod 3 je jedním z růsečíů osy o s ružnicí l 2 ; v tomto říadě najdeme bod dotyu ružnic 3 a jao růsečí ružnice s olořímou 3 l 1 l 2 3 2 2 o 1 3 q 1 Zracoval Jiří Doležal 37
4. Mocnost bodu e ružnici analogicy dolňme oslední ružnici 4 ( 4, r ), de 4 je druhým růsečíem osy o a ružnice l 2 ; tato ružnice 4 je oět osově souměrná s ružnicí 3 odle téže osy; obě tato řešení 3, 4 mají s danou ružnicí vnitřní doty l 1 l 2 3 4 2 2 o 1 3 4 q 1 Disuze: Úloha může mít čtyři, tři, dvě, jedno nebo žádné řešení. Podrobnější rovedení disuze je řenecháno čtenáři jao cvičení. 4. Mocnost bodu e ružnici 4.1. Definice a záladní vlastnosti Výlad necht je v rovině dána ružnice (, r) a bod M; mocností bodu M e ružnici nazýváme reálné číslo m = v 2 r 2, de v = M m > 0 res. m = 0 res. m < 0, rávě dyž bod M leží ve vnější oblasti ružnice res. bod M leží na ružnici res. bod M leží ve vnitřní oblasti ružnice leží-li bod M ve vnější oblasti ružnice a T je bodem dotyu tečny t vedené z bodu M e ružnici, a latí MT 2 = v 2 r 2 = m (lyne z Pythagorovy věty, viz obr. a) ro růsečíy, ružnice a její libovolné sečny vedené bodem M latí M M = = m res. M M = m, je-li bod M ve vnější res. ve vnitřní oblasti ružnice 1. ro sečnu jdoucí středem ružnice je tvrzení zřejmé (viz obr. b): M M = = (v +r) (v r) = v 2 r 2 = m nebo M M = (r+v) (r v) = r 2 v 2 = m Zracoval Jiří Doležal 38
4. Mocnost bodu e ružnici 2. jestliže jiná sečna vedená bodem M rotíná ružnici v bodech, (viz obr. c), a) a jsou trojúhelníy M a M odobné (odle věty uu), a tudíž latí: M = M a odtud M M = M M M M t T b) M c) M M M M 4.2. hordála a otenční střed dá se uázat, že množinou všech bodů, teré mají stejnou mocnost e dvěma různým nesoustředným ružnicím 1 ( 1, r 1 ), 2 ( 2, r 2 ) je říma olmá e středné s = 1 2 daných ružnic; tato říma se nazývá chordála ružnic 1, 2 onstruci chordály uazují následující obrázy a) ružnice 1, 2 se rotínají v bodech,, jež mají stejnou mocnost m = 0 oběma ružnicím; je tudíž chordála = b) ružnice 1, 2 se dotýají v bodě T, terý má oběma stejnou mocnost m = 0; chordálou je tedy solečná tečna v bodě T c) ružnice 1, 2 nemají žádný solečný bod; zvolme omocnou ružnici (, r ), terá rotíná obě ružnice 1, 2, a sestrojme chordálu 1 ružnic, 1 a chordálu 2 ružnic, 2 ; růsečí P = 1 2 má a stejnou mocnost e všem třem ružnicím, 1, 2, je to jejich tzv. otenční střed; bodem P a rochází taé a) chordála 1 2 ružnic 1, 2 b) c) 1 1 1 1 2 2 T 1 2 2 P 1 2 2 1 2 Zracoval Jiří Doležal 39
4. Mocnost bodu e ružnici 4.3. olloniova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází danými různými body, a dotýá se dané římy. ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme na ní dva body,, dolňme tečnu a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... střed ružnice musí ležet na ose o úsečy (viz množinu M2 na straně 8 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) o necht je P = a T je bodem dotyu římy a ružnice ; z vlastností mocnosti bodu P e ružnici a lyne: P T 2 = P P ; díy tomu lze bod T dotyu sestrojit... o P T Zracoval Jiří Doležal 40
4. Mocnost bodu e ružnici Konstruce: zadání úlohy: jsou dány různé body, a říma odle rozboru sestrojme nejrve osu o úsečy o Zracoval Jiří Doležal 41
4. Mocnost bodu e ružnici dále najděme růsečí P = o P nad úsečou P sestrojme Thaletovu ůlružnici a na ní vrchol ravoúhlého trojúhelnía P, v němž je úseča výšou; odle Euleidovy věty o odvěsně a latí P 2 = P P o P Zracoval Jiří Doležal 42
4. Mocnost bodu e ružnici nyní stačí na římu od bodu P nanést veliost úsečy P a tím zísáme body T 1, T 2 dotyu římy a hledaných ružnic 1, 2 o T 2 P T 1 střed 1 ružnice 1 ( 1, r 1 ) leží na ose o a na olmici vedené bodem T 1 římce o 1 1 T 2 P T 1 Zracoval Jiří Doležal 43
4. Mocnost bodu e ružnici odobně rotíná normála římce vedená bodem T 2 osu o v bodě 2, terý je středem druhé hledané ružnice 2 ( 2, r 2 ), jež taé rochází danými body, a dotýá se dané římy o 2 1 1 2 T 2 P T 1 Disuze: Úloha nemá žádné řešení, jestliže body, leží v různých olorovinách určených hraniční římou nebo je-li a současně ; je-li, má úloha rávě jedno řešení (osa o úsečy rotíná římu římo v bodě T dotyu); leží-li body, uvnitř jedné oloroviny ohraničené římou a, a má úloha rávě dvě řešení; jestliže rávě jeden z bodů, leží na římce, jedná se o Paovu úlohu. 4.4. olloniova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází danými různými body, a dotýá se dané ružnice (, r). Zracoval Jiří Doležal 44
4. Mocnost bodu e ružnici ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici 1 o středu 1 a libovolném oloměru r 1, zvolme na ní dva body,, dolňme dotyovou ružnici (, r) a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... 1 1 střed 1 ružnice 1 musí ležet na ose o úsečy (viz množinu M2 na straně 8 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) o 1 1 solečná tečna t ružnic, 1 je současně taé jejich chordálou; růsečí P = t má tedy stejnou mocnost e ružnici i e ružnici 1 P o 1 T 1 t Zracoval Jiří Doležal 45
4. Mocnost bodu e ružnici bodem P a musí rocházet i chordála dané ružnice a zvolené ružnice (, r ), terá rochází body, (tj. o); díy tomu lze otenční střed P ružnic,, 1 a následně tečnu t sestrojit... P o 1 T t 1 Konstruce: zadání úlohy: jsou dány různé body, a ružnice (, r) odle rozboru sestrojme nejrve osu o úsečy o Zracoval Jiří Doležal 46
4. Mocnost bodu e ružnici dále zvolme ružnici (, r ) ta, aby rocházela body, (její střed tedy leží na ose o) a aby rotínala ružnici o sestrojme chordálu ružnic, a na ní bod P =, terý je hledaným otenčním středem P o Zracoval Jiří Doležal 47
4. Mocnost bodu e ružnici bodem P ved me tečny t 1, t 2 e ružnici a dolňme říslušné body T 1, T 2 dotyu (viz úloha Tečny z bodu e ružnici na straně 23) P T 2 t 2 o T 1 t 1 střed 1 hledané ružnice 1 ( 1, r 1 ) a leží na ose o a na římce T 1 (ružnice a 1 mají vnější doty) P T 2 t 2 o 1 1 T 1 t 1 Zracoval Jiří Doležal 48
5. Geometricá zobrazení v rovině odobně rotíná říma T 2 osu o v bodě 2, terý je středem druhé hledané ružnice 2 ( 2, r 2 ), jež taé rochází danými body, a dotýá se dané ružnice (ružnice a 2 mají vnitřní doty) P T 2 t 2 o 1 T 1 1 2 t 1 2 Disuze: Úloha nemá žádné řešení, jestliže jeden z bodů, leží ve vnitřní a druhý ve vnější oblasti ružnice nebo jestliže oba body, leží na ružnici ; leží-li oba body, ve vnitřní nebo ve vnější oblasti ružnice, a má úloha rávě dvě řešení; jestliže rávě jeden z bodů, leží na ružnici, jedná se o Paovu úlohu, terá se řeší omocí množin všech bodů dané vlastnosti a má rávě jedno řešení. 5. Geometricá zobrazení v rovině Výlad geometricým zobrazením v rovině se rozumí ředis, terý libovolnému bodu X roviny řiřazuje jao jeho obraz rávě jeden bod X téže roviny jestliže v daném zobrazení slývá bod X se svým obrazem X, a se bod X = X nazývá samodružným bodem daného zobrazení necht U je geometricý útvar a U jeho obraz v daném zobrazení; jestliže obraz aždého bodu útvaru U je oět bodem tohoto útvaru, a obraz U slývá s útvarem U a taový Zracoval Jiří Doležal 49
5. Geometricá zobrazení v rovině útvar U = U se nazývá samodružným útvarem daného zobrazení; je-li aždý bod samodružného útvaru U samodružný, a je útvar U tzv. silně samodružný v daném zobrazení, jina je slabě samodružný 5.1. hodná zobrazení (shodnosti) v rovině Výlad rosté zobrazení v rovině se nazývá shodným zobrazením nebo rátce shodností, rávě dyž ro aždé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X, Y v tomto zobrazení latí X Y = XY, tj. shodnost zachovává délu úsečy zvláštním říadem shodnosti je tzv. identita, v níž je aždému bodu X roviny řiřazen tentýž bod X = X Záladní vlastnosti shodností obrazem aždé úsečy je úseča s ní shodná ( = ) obrazy rovnoběžných říme jsou rovnoběžné římy, tj. shodnost zachovává rovnoběžnost obrazem aždého trojúhelnía je trojúhelní s ním shodný ozdělení shodností římé libovolný trojúhelní a jeho obraz jsou římo shodné, tj. mají souhlasnou orientaci vrcholů identita, osunutí (translace), otočení (rotace), středová souměrnost neřímé libovolný trojúhelní a jeho obraz jsou neřímo shodné, tj. mají nesouhlasnou orientaci vrcholů osová souměrnost, osunutá souměrnost římo shodné neřímo shodné Zracoval Jiří Doležal 50
5. Geometricá zobrazení v rovině ládání shodností složením dvou římých nebo dvou neřímých shodností vznine římá shodnost složením římé a neřímé shodnosti vznine neřímá shodnost aždou římou shodnost lze složit ze dvou osových souměrností aždou neřímou shodnost lze složit ze středové souměrnosti a osové souměrnosti 5.1.1. Posunutí (translace) Výlad osunutí (translace) v rovině je římá shodnost, terá aždému bodu X roviny řiřazuje obraz X ta, že latí XX = s, de s je daný vetor vetoru s se říá vetor osunutí, jeho déla udává délu osunutí a jeho směr určuje směr osunutí osunutí je jednoznačně určeno vetorem osunutí osunutí nemá samodružné body; (slabě) samodružné jsou všechny římy rovnoběžné se směrem osunutí je-li říma obrazem dané římy v osunutí, a latí s X X Varianta olloniovy úlohy Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází daným bodem a dotýá se daných různých rovnoběžných říme, q ( q, q). Zracoval Jiří Doležal 51
5. Geometricá zobrazení v rovině ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme na ní bod, řidejme rovnoběžné tečny, q a nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... q střed ružnice zřejmě musí ležet na ose o ásu omezeného rovnoběžami, q (viz množinu M 3 na straně 8 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) o q na římce o zvolme bod ta, aby ružnice (, r= ) olem něj osaná nerocházela bodem ; ružnice se taé dotýá rovnoběže, q a odovídá ružnici v osunutí určeném směrovým vetorem s = ; v tomto osunutí je obrazem bodu bod ; v následující onstruci zusme tedy nejrve zvolit ružnici a jejím osunutím v oačném směru vyřešíme danou úlohu o s q Zracoval Jiří Doležal 52
5. Geometricá zobrazení v rovině Konstruce: zadání úlohy: je dán bod a dvě různé rovnoběžné římy, q ( q, q) q nejrve sestrojme osu o (o q) rovinného ásu omezeného rovnoběžami, q o q dále zvolme na římce o bod a dolňme ružnici (, r= o = oq ), terá se dotýá říme, q o q ved me římu a ta, že a o, a, a najděme jeden její růsečí 1 s ružnicí ; body, 1 a určují vetor s 1 = 1 zětného osunutí T 1, o němž byla zmína v rozboru úlohy s 1 1 a o q Zracoval Jiří Doležal 53
5. Geometricá zobrazení v rovině v osunutí T 1 sestrojme obraz 1 středu (latí 1 1) a tím zísáme střed hledané ružnice 1 ( 1, r), terá rochází daným bodem a dotýá se daných různých rovnoběže, q s 1 1 a o 1 1 q říma a rotíná ružnici ještě v bodě 2, terý solu s bodem určuje vetor s 2 = 2 zětného osunutí T 2 s 2 2 s 1 1 a o 1 1 q oět najděme obraz 2 středu v osunutí T 2 (odobně latí 2 2) a obdržíme střed ružnice 2 ( 2, r), terá je druhým řešením dané úlohy s 2 2 s 1 1 a o 1 2 2 1 q Disuze: Úloha má rávě dvě řešení, leží-li daný bod uvnitř ásu určeného danými různými rovnoběžami, q; jestliže bod leží na něteré z říme nebo q ( nebo q), a má úloha jediné řešení (varianta Paovy úlohy ); leží-li bod vně ásu určeného rovnoběžami, q, a úloha nemá žádné řešení. Poznáma: Na závěr oznamenejme, že úlohu je možno řešit snadno taé jen s oužitím množin všech bodů dané vlastnosti (viz množiny M1 na straně 7 a M3 na straně 8). Zracoval Jiří Doležal 54
5. Geometricá zobrazení v rovině 5.1.2. Otočení (rotace) Výlad otočení (rotace) olem středu o úhel veliosti ϕ (0 < ϕ 360 ) v daném ladném nebo záorném smyslu je římá shodnost, terá řiřazuje bodu týž bod = a aždému jinému bodu X roviny řiřazuje obraz X ta, že latí: 1. bod X leží na ružnici o středu a oloměru X 2. oloříma X se zísá otočením olořímy X o daný úhel otočení veliosti ϕ v daném smyslu (ladném, tj. roti směru ohybu hodinových ručiče; nebo záorném, tj. o směru ohybu hodinových ručiče) otočení je jednoznačně určeno středem otočení, veliostí úhlu otočení ϕ a daným smyslem otočení ro veliost ϕ = 360 úhlu otočení jsou všechny body roviny samodružné, ro ϕ 360 je samodružný ouze střed ; ro veliost ϕ = 360 úhlu otočení jsou všechny římy roviny (silně) samodružné, ro veliost ϕ = 180 jsou (slabě) samodružné všechny římy jdoucí bodem, v ostatních říadech (ϕ 360, ϕ 180 ) otočení samodružné římy nemá X ϕ X Konstruce rovnostranného trojúhelnía z daných rvů Řešené úlohy Přílad: Jsou dány tři navzájem různé rovnoběžné římy a, b, c (a b c) a bod a; sestrojte rovnostranný trojúhelní ta, aby byl b a c. Zracoval Jiří Doležal 55
5. Geometricá zobrazení v rovině ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme rovnostranný trojúhelní, jeho vrcholy,, ved me o řadě tři různé rovnoběžné římy a, b, c a nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... a b c z vlastností rovnostranného trojúhelnía lyne, že otočení olem středu o úhel veliosti 60 v ladném smyslu řiřazuje vrcholu obraz = a 60 b c = ro řešení úlohy bude tedy stačit v tomto otočení sestrojit obraz b římy b a najít růsečí říme b, c (dá se uázat, že jeden z úhlů, teré svírají říma b a její obraz b má veliost rovnu veliosti úhlu oužitého otočení) a 60 60 b c = b Zracoval Jiří Doležal 56
5. Geometricá zobrazení v rovině Konstruce: zadání úlohy: jsou dány tři navzájem různé rovnoběžné římy a, b, c (a b c) a bod a a b c sestrojme obraz b 1 římy b v otočení 1 olem středu o úhel veliosti 60 v ladném směru a to nařílad tato: na římce b sestrojme bod ta, že b, určeme jeho obraz 1 v otočení 1 a tímto ved me římu b 1 1, 1 b 1 a 1 b c b 1 růsečí 1 = b 1 c je a vrcholem hledaného rovnostranného trojúhelnía 1 1, jehož třetí vrchol 1 najdeme na římce b a 1 b 1 1 c b 1 Zracoval Jiří Doležal 57
5. Geometricá zobrazení v rovině tytéž onstruce roved me taé v otočení 2, teré se od 1 liší ouze záorným smyslem otočení: obrazem 2 bodu v otočení 2 sestrojme římu b 2 2, 2 b 2 jao obraz římy b v tomto otočení 2 b 2 a 2 1 b 1 1 c b 1 růsečí 2 = b 2 c je a rovněž vrcholem hledaného rovnostranného trojúhelnía 2 2, terý je druhým řešením dané úlohy; trojúhelníy 1 1 a 2 2 jsou zřejmě osově souměrné odle římy b 2 a 2 1 b 1 1 2 c 2 b 1 Disuze: Úloha má vždy rávě dvě řešení osově souměrná odle římy jdoucí bodem olmo dané římce a. Zracoval Jiří Doležal 58
5. Geometricá zobrazení v rovině 5.1.3. tředová souměrnost Výlad středová souměrnost se středem je římá shodnost, terá řiřazuje bodu týž bod = a aždému jinému bodu X roviny řiřazuje obraz X ta, že latí: 1. bod X leží na olořímce oačné olořímce X 2. X = X středová souměrnost je jednoznačně určena středem souměrnosti samodružný je rávě jen střed souměrnosti; (slabě) samodružné jsou všechny římy jdoucí bodem středová souměrnost je seciálním říadem otočení o úhel veliosti 180 je-li říma obrazem římy v dané středové souměrnosti, a latí X X Konstruce úsečy z daných rvů Řešené úlohy Přílad: Jsou dány dvě různoběžné římy a, b a bod, de a, b; sestrojte úseču ta, aby měla střed v bodě a aby latilo a, b. ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: různoběžy a, b rocházejí o řadě rajními body, úsečy, terá má střed v bodě ; nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... a b Zracoval Jiří Doležal 59
5. Geometricá zobrazení v rovině uvažujme růsečí = a b a jeho obraz ve středové souměrnosti o středu a b v této středové souměrnosti je obrazem bodu bod = a obrazem římy a = je říma a =, de a a; odobně je obrazem bodu bod = a obrazem římy b je říma b =, b b a = b b = a Konstruce: zadání úlohy: jsou dány dvě různoběžné římy a, b a bod, ro terý latí a, b a b Zracoval Jiří Doležal 60
5. Geometricá zobrazení v rovině sestrojme bod souměrný odle středu s růsečíem = a b a b bodem ved me římu a a, a a římu b b, b a b b a růsečí = a b a růsečí = b a jsou a rajními body hledané úsečy, terá má střed v daném bodě a b b a Disuze: Úloha má vždy rávě jedno řešení. Zracoval Jiří Doležal 61
5. Geometricá zobrazení v rovině 5.1.4. Osová souměrnost Výlad osová souměrnost s osou o je neřímá shodnost, terá aždému bodu X roviny řiřazuje obraz X ta, že latí: 1. bod X = X, rávě dyž bod X leží na ose o souměrnosti 2. bod X leží na olmici ose o vedené bodem X a to v oačné olorovině určené osou o než bod X 3. ox = ox osová souměrnost je jednoznačně určena osou o souměrnosti samodružnými body jsou rávě jen všechny body osy o; silně samodružná je osa o, slabě samodružné jsou všechny římy olmé ose o říma a její obraz mají stejnou odchylu od osy o souměrnosti X X o Konstruce bodu dané vlastnosti Řešené úlohy Přílad: Je dána říma a dva různé body, ( ) ležící uvnitř jedné oloroviny s hraniční římou ; sestrojte na římce bod, v němž se odrazí arse vyslaný z bodu do bodu. Zracoval Jiří Doležal 62
5. Geometricá zobrazení v rovině ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: arse, terý se odráží v bodě římy, rochází bodem i bodem ; nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... úsečy a mají tedy stejnou odchylu ϕ od římy ϕ ϕ uvažujeme-li obraz bodu v osové souměrnosti s osou, a úseča má od římy tutéž odchylu ϕ a body,, tudíž leží v jedné římce ϕ ϕ ϕ Zracoval Jiří Doležal 63
5. Geometricá zobrazení v rovině Konstruce: zadání úlohy: je dána říma a dva různé body,, teré leží uvnitř jedné oloroviny určené římou sestrojme obraz bodu v osové souměrnosti s osou Zracoval Jiří Doležal 64
5. Geometricá zobrazení v rovině růsečí = je a hledaným bodem odrazu na dané římce na závěr dolňme růběh arsu, terý vychází z daného bodu a v sestrojeném bodě se odráží od dané římy do daného bodu Disuze: Úloha má vždy rávě jedno řešení. Poznáma: Tato úloha může mít i jiné zadání: na římce sestrojte bod ta, aby déla lomené čáry byla co nejmenší. Zracoval Jiří Doležal 65
5. Geometricá zobrazení v rovině 5.2. Podobná zobrazení (odobnosti) v rovině rosté zobrazení v rovině se nazývá odobným zobrazením nebo rátce odobností, rávě dyž ro aždé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X, Y v tomto zobrazení latí X Y = XY, de 0 je daná onstanta zvaná oeficient odobnosti zvláštním říadem odobnosti je ro = 1 shodnost Záladní vlastnosti odobností obrazem aždé úsečy v odobnosti s oeficientem je úseča dély = = obrazy rovnoběžných říme jsou rovnoběžné římy, tj. odobnost zachovává rovnoběžnost obrazem aždého trojúhelnía je odobný trojúhelní Významný zástuce odobného zobrazení stejnolehlost 5.2.1. tejnolehlost Výlad stejnolehlost se středem a oeficientem je římá odobnost, terá: 1. bodu řiřazuje obraz = 2. bodu X řiřazuje obraz X ta, že latí X = X a řitom bod X leží na olořímce X ro > 0 (obr. a), res. bod X leží na olořímce oačné olořímce X ro < 0 (obr. b) a) > 0 a > 1 X X Zracoval Jiří Doležal 66
5. Geometricá zobrazení v rovině b) < 0 a < 1 X X stejnolehlost je jednoznačně určena středem a oeficientem stejnolehlost se středem a oeficientem = 1 je středová souměrnost se středem ; stejnolehlost s oeficientem = 1 je identita ro 1 je samodružným bodem rávě jen střed, slabě samodružné jsou všechny římy rocházející bodem je-li říma obrazem římy v dané stejnolehlosti, a latí obraz U omezeného útvaru U je zvětšený ro > 1 (obr. a) a zmenšený ro < 1 (obr. b) aždé dvě ružnice v rovině jsou stejnolehlé olečné tečny dvou ružnic s různými oloměry Řešené úlohy Přílad: estrojte solečné tečny dvou daných ružnic (, r) a (, r ), de r r. ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme dvě ružnice (, r), (, r ) o nestejných oloměrech, dolňme jejich solečné tečny t 1, t 2, a nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... t 1 t 2 Zracoval Jiří Doležal 67
5. Geometricá zobrazení v rovině z vlastností stejnolehlosti vylývá, že růsečí 1 tečen t 1, t 2 se střednou s = daných ružnic, je středem stejnolehlosti, v níž si tyto ružnice odovídají t 1 s 1 t 2 e onstruci bodu 1 využijeme vhodně zvolený bod a jemu odovídající obraz ve zmíněné stejnolehlosti, řičemž latí t 1 s 1 t 2 Zracoval Jiří Doležal 68
5. Geometricá zobrazení v rovině Konstruce: zadání úlohy: jsou dány ružnice (, r) a (, r ), de r r na ružnici zvolme bod a na ružnici sestrojme rajní body růměru 1 2 1 2 Zracoval Jiří Doležal 69
5. Geometricá zobrazení v rovině bod 1 = s 1, de s =, je a tzv. vnějším středem stejnolehlosti mezi oběma ružnicemi, odobně je růsečí 2 = s 2 tzv. vnitřním středem stejnolehlosti daných ružnic 1 s 2 1 2 sestrojíme-li tečny t 1, t 2 z bodu 1 e ružnici, budou to současně taé tečny e ružnici t 1 1 s 2 1 2 t 2 Zracoval Jiří Doležal 70
5. Geometricá zobrazení v rovině analogicy jsou tečny t 3, t 4 vedené z bodu 2 e ružnici hledanými solečnými tečnami obou daných ružnic (, r), (, r ), de r r t 1 1 t 3 s 2 1 2 t 4 t 2 Disuze: Úloha může mít čtyři, tři, dvě, jedno nebo žádné řešení odle vzájemné olohy daných ružnic, ; odrobnější disuze je řenechána čtenáři jao cvičení. Čtverec vesaný do ostroúhlého trojúhelnía Řešené úlohy Přílad: estrojte čtverec D ta, aby jeho vrcholy, ležely na straně KL, vrchol ležel na straně LM a vrchol D na straně KM daného ostroúhlého trojúhelnía KLM. Zracoval Jiří Doležal 71
5. Geometricá zobrazení v rovině ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: vrcholy, čtverce leží na straně KL trojúhelnía, vrchol leží na straně LM a vrchol D na straně KM; nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... M D K L na straně KL zvolme vhodně bod jao obraz bodu ve stejnolehlosti se středem K M D K L v této stejnolehlosti se čtverec D zobrazí na čtverec D, de ouze vrchol neslňuje zadání úlohy, a ro její řešení se zřejmě užije oačný ostu onstrucí... M D D K L Zracoval Jiří Doležal 72
5. Geometricá zobrazení v rovině Konstruce: zadání úlohy: ostroúhlý trojúhelní KLM M K L na jeho straně KL zvolme vhodně bod (vhodně znamená uvnitř úsečy KM 1, de M 1 by byl ravoúhlý růmět bodu M na stranu KL) M K L Zracoval Jiří Doležal 73
5. Geometricá zobrazení v rovině dále sestrojme čtverec D ta, že vrchol D KM, D KL a vrchol leží na olořímce L M D K L růsečí = K LM je a jedním vrcholem hledaného čtverce D; současně je tím určena stejnolehlost o středu ve vrcholu K, v níž bod je obrazem bodu M D K L Zracoval Jiří Doležal 74
5. Geometricá zobrazení v rovině v této stejnolehlosti se zachová rovnoběžnost a díy tomu jsou sestrojeny zbývající vrcholy,, D hledaného čtverce D vesaného do daného ostroúhlého trojúhelnía KLM M D D K L Disuze: Úloha má vždy rávě jedno řešení. Varianta olloniovy úlohy Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází daným bodem a dotýá se daných různoběžných říme, q. ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici (, r), na ní zvolme bod, dolňme dvě její různoběžné tečny, q a nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... q Zracoval Jiří Doležal 75
5. Geometricá zobrazení v rovině střed ružnice leží na ose o toho z úhlů sevřených různoběžami, q, v němž leží bod (viz množina M4 na straně 9 v řehledu množin všech bodů dané vlastnosti) o q ružnice (, r = = q ), jejíž střed byl zvolen na ose o a terá se dotýá říme, q, je obrazem ružnice (, r) ve stejnolehlosti se středem v růsečíu = q; v této stejnolehlosti je obrazem bodu bod a latí ; toho využijeme ro řešení dané úlohy... o q Zracoval Jiří Doležal 76
5. Geometricá zobrazení v rovině Konstruce: zadání úlohy: bod a dvě různé různoběžy, q q nejrve ved me růsečíem = q osu o toho z úhlů sevřených různoběžami, q, v němž leží bod o q Zracoval Jiří Doležal 77
5. Geometricá zobrazení v rovině na římce o zvolme střed omocné ružnice (, r = ), terá se dotýá různoběže, q o q říma rotíná ružnici v bodech 1, 2 o 1 2 q Zracoval Jiří Doležal 78
5. Geometricá zobrazení v rovině rovnoběža s římou 1 vedená bodem rotíná osu o v bodě 1, terý je středem hledané ružnice 1 ( 1, r 1 = 1 ) o 1 2 1 1 q odobně rotíná rovnoběža s římou 2 vedená bodem osu o v bodě 2, terý je středem druhé hledané ružnice 2 ( 2, r 2 = 2 ); obě ružnice 1, 2 rocházejí daným bodem a dotýají se daných různoběže, q o 1 2 2 1 1 2 q Zracoval Jiří Doležal 79
5. Geometricá zobrazení v rovině Disuze: Poud bod slývá s růsečíem = q, nemá úloha žádné řešení; jina má rávě dvě řešení (oud bod leží na něteré z říme nebo q, jedná se o tzv. Paovu úlohu, terou lze řešit jen omocí množin všech bodů dané vlastnosti M4 a M6). Paova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá se dotýá dané římy v jejím bodě a dané ružnice (, r). ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici (, r ), na ní zvolme bod, v něm sestrojme tečnu a dolňme ružnici (, r), terá se ružnice dotýá; nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... střed ružnice leží na římce n, n, tedy na tzv. normále římy v bodě (viz množina M6 na straně 10 v řehledu množin všech bodů dané vlastnosti) n Zracoval Jiří Doležal 80
5. Geometricá zobrazení v rovině ružnice a si odovídají ve stejnolehlosti se středem v bodě T jejich dotyu; v této stejnolehlosti se tečna e ružnici s bodem dotyu zobrazí na tečnu e ružnici s bodem dotyu, řičemž bude latit ; a toho využijeme ro řešení úlohy... T n Konstruce: zadání úlohy: říma, na ní bod a ružnice (, r) nejrve ved me bodem olmici n římce : n, n n Zracoval Jiří Doležal 81
5. Geometricá zobrazení v rovině dále sestrojme římu 1 jao jednu ze dvou tečen ružnice rovnoběžných s římou ; říma 1, de 1 je bodem dotyu římy 1 a ružnice, rotíná ružnici ještě v bodě T 1 ; ten je bodem dotyu dané ružnice a hledané ružnice 1 T 1 1 1 n bod 1 = n T 1 je středem ružnice 1 ( 1, r 1 = 1 T 1 = 1 ), terá se dotýá dané římy v jejím daném bodě a taé se dotýá dané ružnice 1 T 1 1 1 1 n Zracoval Jiří Doležal 82
5. Geometricá zobrazení v rovině odobně sestrojme římu 2 jao druhou z tečen ružnice rovnoběžných s římou ; říma 2, de 2 je bodem dotyu římy 2 a ružnice, rotíná ružnici ještě v bodě T 2, terý je bodem dotyu dané ružnice a hledané ružnice 2 2 2 1 T 1 T 2 1 1 1 n ružnice 2 ( 2, r 2 = 2 T 2 = 2 ), de 2 = n T 2, je a druhým řešením dané úlohy ři tomto zadání 2 2 1 T 1 T 2 1 1 2 1 2 n Disuze: Úloha může mít neonečně mnoho, rávě dvě, rávě jedno nebo žádné řešení. Podrobnější disuze je řenechána čtenáři jao cvičení. Zracoval Jiří Doležal 83
5. Geometricá zobrazení v rovině Varianta olloniovy úlohy Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá se dotýá daných různoběžných říme, q a dané ružnice (, r). ozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici (, r ), zvolme dvě její různoběžné tečny, q, dotyovou ružnici (, r) a nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... q střed ružnice musí ležet na ose o jednoho z úhlů sevřených různoběžami, q (viz množina M4 na straně 9 v řehledu množin všech bodů dané vlastnosti) o q Zracoval Jiří Doležal 84
5. Geometricá zobrazení v rovině ružnice a jsou stejnolehlé odle středu T, terý je jejich bodem dotyu; v této stejnolehlosti odovídají tečnám, q ružnice tečny, q ružnice, řičemž latí a q q; toho využijeme ro řešení dané úlohy... q T o q Zracoval Jiří Doležal 85
5. Geometricá zobrazení v rovině Konstruce: zadání úlohy: dvě různé různoběžy, q a ružnice (, r) q Zracoval Jiří Doležal 86
5. Geometricá zobrazení v rovině nejrve ved me růsečíem = q osy o 1, o 2 (o 1 o 2 ) úhlů sevřených různoběžami, q q o 1 o 2 Zracoval Jiří Doležal 87
5. Geometricá zobrazení v rovině e ružnici sestrojme tečny 1 a q 1 q a najděme jejich růsečí 1 = 1 q 1 q q 1 1 1 o 1 o 2 Zracoval Jiří Doležal 88
5. Geometricá zobrazení v rovině říma 1 rotíná ružnici v bodech T 1, T 2 q q 1 1 T 1 T 2 1 o 1 o 2 Zracoval Jiří Doležal 89
5. Geometricá zobrazení v rovině bod T 1 je bodem dotyu dané ružnice a hledané ružnice 1 ( 1, r 1 = 1 T 1 ), ro jejíž střed 1 latí 1 = T 1 o 1 q q 1 1 T 1 T 2 1 o 1 1 1 o 2 Zracoval Jiří Doležal 90
5. Geometricá zobrazení v rovině odobně rotíná říma T 2 osu o 1 v bodě 2, terý je středem hledané ružnice 2 ( 2, r 2 = 2 T 2 ), jež se dotýá daných různoběže, q i dané ružnice q q 1 1 T 1 T 2 1 2 o 1 1 1 2 o 2 Zracoval Jiří Doležal 91
5. Geometricá zobrazení v rovině e ružnici sestrojme zbývající dvě tečny 2, q 2 q a na nich označme zbývající vrcholy 2 = 2 q 2, 3 = 2 q 1, 4 = 1 q 2 tečnového rovnoběžnía q q 1 2 3 1 2 T 1 T 2 1 2 4 o 1 1 q 2 1 2 o 2 Zracoval Jiří Doležal 92
5. Geometricá zobrazení v rovině z říme 2, 3, 4 rotíná ři zvoleném zadání ružnici už jen říma 3 a to v bodech T 3, T 4 q q 1 2 3 T 3 1 2 T 4 T 1 T 2 1 2 4 o 1 1 q 2 1 2 o 2 Zracoval Jiří Doležal 93
5. Geometricá zobrazení v rovině bod T 3 je bodem dotyu ružnice a ružnice 3 ( 3, r 3 = 3 T 3 ), de střed 3 je růsečíem římy T 3 s osou o 2 3 3 q q 1 2 3 T 3 1 2 T 4 T 1 T 2 1 2 4 o 1 1 q 2 1 2 o 2 Zracoval Jiří Doležal 94
5. Geometricá zobrazení v rovině odobně rotíná říma T 4 osu o 2 v bodě 4, terý je středem hledané ružnice 4 ( 4, r 4 = 4 T 4 ), jež se taé dotýá daných různoběže, q i dané ružnice 3 3 q q 1 2 3 T 3 1 4 4 2 T 4 T 1 T 2 1 2 4 o 1 1 q 2 1 2 o 2 Disuze: Úloha může mít rávě osm, rávě šest, rávě čtyři nebo rávě dvě řešení. Podrobnější disuze je řenechána čtenáři jao cvičení. Zracoval Jiří Doležal 95
Kaitola 2. tereometrie tereometrie Tematicý obsah ovinné řezy hranatých těles Osová afinita a tředová olineace mezi dvěma rovinami, Řešené úlohy Průni římy s tělesem Princi onstruce, Řešené úlohy Výlad 1. Užité ojmy a metody zobrazení v rámci tohoto studijního materiálu byly zracovány zejména řešené úlohy o růnicích roviny a římy s daným tělesem řitom se ve všech úlohách ředoládá, že dané těleso je ostaveno na vodorovné rovině π, terá se obvyle nazývá ůdorysna ro dourčení olohy bodu v rostoru je a možno oužít jeho ůdorys, tj. jeho ravoúhlý růmět do roviny π v následujícím obrázu je tedy bod 1 ůdorysem bodu, tj. růsečíem ůdorysny π s římou vedenou bodem olmo rovině π s π 1 zobrazováním rostorových útvarů do roviny se odrobněji zabývá raticá discilína zvaná desritivní geometrie zde je ro zobrazení hranatých těles (rychle, hranol, jehlan) užito tzv. volné rovnoběžné romítání (viz rychle D D na dalším obrázu) u oblých těles (válec, užel) je a vhodnější oužít zjednodušenou variantu tzv. axonometricé rojece (viz dále obráze rotačního užele) Zracoval Jiří Doležal 96